Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
|
|
- Seweryna Klimek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś Wykład 13
2 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe Bit kwantowy kubit (qubit) Twierdzenie o nieklonowaniu Bramki logiczne Problem Deutscha Kwantowy paralelizm Algorytm Shora Kwantowa transformata Fouriera
3 19 Algorytmy kwantowe 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit) Klasyczny bit może przyjmować dwie wartości {0, 1}. Układ kwantowy, który ma dwa możliwe stany { 0, 1 } może się znajdować w każdym z nich, ale także w stanie będącym syperpozycją stanów bazowych i taki stan nazywamy kubitem. Ψ = a 0 + b 1 Oznacza to, że z prawdopodobieństwem p 0 = a układ znajduje się w stanie 0 i z prawdopodobieństwem p 1 = b w stanie 1, oczywiście p 0 + p 1 = 1. Stan układu kwantowego możemy przedstawić jako wektor na sferze Blocha
4 19 Algorytmy kwantowe 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit) Klasyczny bit może przyjmować dwie wartości {0, 1}. Układ kwantowy, który ma dwa możliwe stany { 0, 1 } może się znajdować w każdym z nich, ale także w stanie będącym syperpozycją stanów bazowych i taki stan nazywamy kubitem. Ψ = a 0 + b 1 Oznacza to, że z prawdopodobieństwem p 0 = a układ znajduje się w stanie 0 i z prawdopodobieństwem p 1 = b w stanie 1, oczywiście p 0 + p 1 = 1. Stan układu kwantowego możemy przedstawić jako wektor na sferze Blocha
5 19 Algorytmy kwantowe 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit) Klasyczny bit może przyjmować dwie wartości {0, 1}. Układ kwantowy, który ma dwa możliwe stany { 0, 1 } może się znajdować w każdym z nich, ale także w stanie będącym syperpozycją stanów bazowych i taki stan nazywamy kubitem. Ψ = a 0 + b 1 Oznacza to, że z prawdopodobieństwem p 0 = a układ znajduje się w stanie 0 i z prawdopodobieństwem p 1 = b w stanie 1, oczywiście p 0 + p 1 = 1. Stan układu kwantowego możemy przedstawić jako wektor na sferze Blocha
6 19 Algorytmy kwantowe 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit) Klasyczny bit może przyjmować dwie wartości {0, 1}. Układ kwantowy, który ma dwa możliwe stany { 0, 1 } może się znajdować w każdym z nich, ale także w stanie będącym syperpozycją stanów bazowych i taki stan nazywamy kubitem. Ψ = a 0 + b 1 Oznacza to, że z prawdopodobieństwem p 0 = a układ znajduje się w stanie 0 i z prawdopodobieństwem p 1 = b w stanie 1, oczywiście p 0 + p 1 = 1. Stan układu kwantowego możemy przedstawić jako wektor na sferze Blocha
7 1 Ψ 0 Kubit na sferze Blocha
8 19. Twierdzenie o nieklonowaniu Nie istnieje transformacja unitarna U taka, że dla dowolnego Ψ. U Ψ 0 = Ψ Ψ Dowód: Przypuśćmy, że istnieje U takie, że dla dowolnych Ψ i Φ. U Ψ 0 = Ψ Ψ U Φ 0 = Φ Φ Transformacja U reprezentowała by maszynę klonującą, gdyby taka istniała.
9 19. Twierdzenie o nieklonowaniu Nie istnieje transformacja unitarna U taka, że dla dowolnego Ψ. U Ψ 0 = Ψ Ψ Dowód: Przypuśćmy, że istnieje U takie, że dla dowolnych Ψ i Φ. U Ψ 0 = Ψ Ψ U Φ 0 = Φ Φ Transformacja U reprezentowała by maszynę klonującą, gdyby taka istniała.
10 19. Twierdzenie o nieklonowaniu Nie istnieje transformacja unitarna U taka, że dla dowolnego Ψ. U Ψ 0 = Ψ Ψ Dowód: Przypuśćmy, że istnieje U takie, że dla dowolnych Ψ i Φ. U Ψ 0 = Ψ Ψ U Φ 0 = Φ Φ Transformacja U reprezentowała by maszynę klonującą, gdyby taka istniała.
11 19. Twierdzenie o nieklonowaniu Nie istnieje transformacja unitarna U taka, że dla dowolnego Ψ. U Ψ 0 = Ψ Ψ Dowód: Przypuśćmy, że istnieje U takie, że dla dowolnych Ψ i Φ. U Ψ 0 = Ψ Ψ U Φ 0 = Φ Φ Transformacja U reprezentowała by maszynę klonującą, gdyby taka istniała.
12 Z unitarności U wynika jednak, że Ψ 0 U U Φ 0 = Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ 0 0 = Ψ Φ Ψ Φ co nie jest prawdziwe dla dowolnych Ψ i Φ, natomiast może zachodzić dla stanów ortogonalnych Ψ Φ = {0, 1}. Stany ortogonalne (klasyczne bity) mogą być kopiowane, natomiast dowolne stany kwantowe nie.
13 Z unitarności U wynika jednak, że Ψ 0 U U Φ 0 = Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ 0 0 = Ψ Φ Ψ Φ co nie jest prawdziwe dla dowolnych Ψ i Φ, natomiast może zachodzić dla stanów ortogonalnych Ψ Φ = {0, 1}. Stany ortogonalne (klasyczne bity) mogą być kopiowane, natomiast dowolne stany kwantowe nie.
14 19.3 Bramki logiczne klasyczne kwantowe a 0 + b 1 a 1 + b 0 x x a 0 + b 1 S a 0 b 1 1 R 1 ( ) Jednobitowe bramki logiczne
15 klasyczne kwantowe x y x y x x x y x y y CNOT x y Dwubitowe bramki logiczne
16 W bazie stanów { 0, 1 }, mamy 0 1 0, Wtedy operacje na stanach kwantowych mają reprezentację macierzową, i tak na przykład U NOT = U NOT 0 = = 0 1 1
17 W bazie stanów { 0, 1 }, mamy 0 1 0, Wtedy operacje na stanach kwantowych mają reprezentację macierzową, i tak na przykład U NOT = U NOT 0 = = 0 1 1
18 Operacja przesunięcia fazy, która nie zmienia stanu 0 zaś stan 1 zmienia na 1, ma postać U S = Operacja Hadamarda, czasem nazywana pierwiastkiem kwadratowym z NOT ( NOT), ma postać H =
19 Operacja przesunięcia fazy, która nie zmienia stanu 0 zaś stan 1 zmienia na 1, ma postać U S = Operacja Hadamarda, czasem nazywana pierwiastkiem kwadratowym z NOT ( NOT), ma postać H =
20 Istnieje nieskończenie wiele bramek kwantowych generowanych przez rotacje o kąt θ U R (θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ oraz przesunięcia faz U P (ϕ 1, ϕ ) = eiϕ e iϕ
21 Istnieje nieskończenie wiele bramek kwantowych generowanych przez rotacje o kąt θ U R (θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ oraz przesunięcia faz U P (ϕ 1, ϕ ) = eiϕ e iϕ
22 Operacja CNOT (kontrolowane NOT) na dwóch kubitach ma postać U CN =
23 19.4 Problem Deutscha Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą funkcję f(x), tzn. wykonującą transformację unitarną na dwóch kubitach przedstawioną poniżej x? f(x) f : {0, 1} {0, 1} U f : x y x y f(x) Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera możemy stwierdzić, że f(0) = f(1)?
24 19.4 Problem Deutscha Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą funkcję f(x), tzn. wykonującą transformację unitarną na dwóch kubitach przedstawioną poniżej x? f(x) f : {0, 1} {0, 1} U f : x y x y f(x) Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera możemy stwierdzić, że f(0) = f(1)?
25 19.4 Problem Deutscha Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą funkcję f(x), tzn. wykonującą transformację unitarną na dwóch kubitach przedstawioną poniżej x? f(x) f : {0, 1} {0, 1} U f : x y x y f(x) Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera możemy stwierdzić, że f(0) = f(1)?
26 19.4 Problem Deutscha Przypuśćmy, że mamy kwantową czarną skrzynkę obliczającą funkcję f(x), tzn. wykonującą transformację unitarną na dwóch kubitach przedstawioną poniżej x? f(x) f : {0, 1} {0, 1} U f : x y x y f(x) Pytanie: Czy po jednym przebiegu kwantowego komputera możemy stwierdzić, że f(0) = f(1)?
27 Weźmy następujący obwód kwantowy 0 H H Pomiar 1 H U f gdzie H jest kwantową bramką Hadamarda.
28 Weźmy następujący obwód kwantowy 0 H H Pomiar 1 H U f gdzie H jest kwantową bramką Hadamarda.
29 Działanie obwodu H : 0 1 ( ), 1 1 ( 0 1 )
30 Działanie obwodu H : 0 1 ( ), 1 1 ( 0 1 ) ( )( 0 1 )
31 Działanie obwodu H : 0 1 ( ), 1 1 ( 0 1 ) ( )( 0 1 ) 1 ( ) ( 1) f(0) 0 + ( 1) f(1) 1 ( 0 1 )
32 Działanie obwodu H : 0 1 ( ), 1 1 ( 0 1 ) ( )( 0 1 ) 1 ( ) ( 1) f(0) 0 + ( 1) f(1) 1 ( 0 1 ) 1 [ ( ( 1) f(0) + ( 1) f(1)) 0 + ( ( 1) f(0) ( 1) f(1)) ] 1 1 ( 0 1 )
33 Działanie obwodu H : 0 1 ( ), 1 1 ( 0 1 ) ( )( 0 1 ) 1 ( ) ( 1) f(0) 0 + ( 1) f(1) 1 ( 0 1 ) 1 [ ( ( 1) f(0) + ( 1) f(1)) 0 m = + ( ( 1) f(0) ( 1) f(1)) ] 1 1 ( 0 1 ) ± 0 dla f(0) = f(1) ± 1 dla f(0) f(1)
34 19.5 Kwantowy paralelizm Przypuśćmy, że mamy funkcję działającą na N bitów o N możliwych wartościach. Aby obliczyć tablicę funkcji f(x) musielibyśmy policzyć wartość funkcji N razy (dla N = )! Na komputerze kwantowym działającym zgodnie z U f : x 0 x f(x) możemy wybrać stan początkowy (kwantowy rejestr) w postaci ψ 0 = [ ] N 1 ( ) = 1 N/ N 1 x=0 x
35 19.5 Kwantowy paralelizm Przypuśćmy, że mamy funkcję działającą na N bitów o N możliwych wartościach. Aby obliczyć tablicę funkcji f(x) musielibyśmy policzyć wartość funkcji N razy (dla N = )! Na komputerze kwantowym działającym zgodnie z U f : x 0 x f(x) możemy wybrać stan początkowy (kwantowy rejestr) w postaci ψ 0 = [ ] N 1 ( ) = 1 N/ N 1 x=0 x
36 19.5 Kwantowy paralelizm Przypuśćmy, że mamy funkcję działającą na N bitów o N możliwych wartościach. Aby obliczyć tablicę funkcji f(x) musielibyśmy policzyć wartość funkcji N razy (dla N = )! Na komputerze kwantowym działającym zgodnie z U f : x 0 x f(x) możemy wybrać stan początkowy (kwantowy rejestr) w postaci ψ 0 = [ ] N 1 ( ) = 1 N/ N 1 x=0 x
37 i obliczając f(x) tylko raz otrzymujemy stan ψ = 1 N/ N 1 x=0 x f(x) Stan ten jest superpozycją wartości funkcji dla wszystkich wartości jej argumentów. Mamy tu do czynienia z kwantowym paralelizmem.
38 i obliczając f(x) tylko raz otrzymujemy stan ψ = 1 N/ N 1 x=0 x f(x) Stan ten jest superpozycją wartości funkcji dla wszystkich wartości jej argumentów. Mamy tu do czynienia z kwantowym paralelizmem.
39 Na przykład, dla N =, stan początkowy może mieć postać ψ 0 = 1 ( ) ψ 0 = 1 ( ) Otrzymujemy superpozycję czterech liczb, na których komputer kwantowy wykonuje operacje w jednym kroku!
40 Na przykład, dla N =, stan początkowy może mieć postać ψ 0 = 1 ( ) ψ 0 = 1 ( ) Otrzymujemy superpozycję czterech liczb, na których komputer kwantowy wykonuje operacje w jednym kroku!
41 19.6 Algorytm Shora Rejestr A Rejestr B Etap 1. Przygotowujemy rejestr A komputera kwantowego w superpozycji wszystkich możliwych stanów
42 19.6 Algorytm Shora Rejestr A Rejestr B Etap 1. Przygotowujemy rejestr A komputera kwantowego w superpozycji wszystkich możliwych stanów Etap. Liczba, którą chcemy sfaktoryzować jest N, N = 15. Wybieramy liczbę losową X, 1 < X < N 1, X =. Wykonujemy operację B = X A (mod N) np. dla X = mamy wyniki przedstawione w tabelce
43 19.6 Algorytm Shora Rejestr A Rejestr B Etap 1. Przygotowujemy rejestr A komputera kwantowego w superpozycji wszystkich możliwych stanów Etap. Liczba, którą chcemy sfaktoryzować jest N, N = 15. Wybieramy liczbę losową X, 1 < X < N 1, X =. Wykonujemy operację B = X A (mod N) np. dla X = mamy wyniki przedstawione w tabelce Etap 3. Obliczamy P = X f/ 1; f = 4 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N w naszym przypadku P = 4/ 1 = 3, P = 4/ + 1 = 5;
44 19.6 Algorytm Shora Rejestr A Rejestr B Etap 1. Przygotowujemy rejestr A komputera kwantowego w superpozycji wszystkich możliwych stanów Etap. Liczba, którą chcemy sfaktoryzować jest N, N = 15. Wybieramy liczbę losową X, 1 < X < N 1, X =. Wykonujemy operację B = X A (mod N) np. dla X = mamy wyniki przedstawione w tabelce Etap 3. Obliczamy P = X f/ 1; f = 4 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N w naszym przypadku P = 4/ 1 = 3, P = 4/ + 1 = 5; Hurra!!! 15/3 = 5 15/5 = 3
45 19.7 Kwantowa transformata Fouriera gdzie q = N QF T : x 1 q q 1 y=0 e πixy/q y
46 19.7 Kwantowa transformata Fouriera gdzie q = N QF T : x 1 q q 1 y=0 e πixy/q y
47 Okres funkcji Przygotowujemy stan ψ 0 = 1 q 1 q x=0 x f(x) Mierzymy drugi rejestr dostając f(x 0 ), co powoduje, że pierwszy rejestr staje się superpozycją wszystkich stanów, które dają wartość f(x 0 ) (funkcja jest okresowa z okresem r) 1 a 1 a j=0 x 0 + jr, a 1 < q r < a + 1
48 Okres funkcji Przygotowujemy stan ψ 0 = 1 q 1 q x=0 x f(x) Mierzymy drugi rejestr dostając f(x 0 ), co powoduje, że pierwszy rejestr staje się superpozycją wszystkich stanów, które dają wartość f(x 0 ) (funkcja jest okresowa z okresem r) 1 a 1 a j=0 x 0 + jr, a 1 < q r < a + 1
49 Okres funkcji Przygotowujemy stan ψ 0 = 1 q 1 q x=0 x f(x) Mierzymy drugi rejestr dostając f(x 0 ), co powoduje, że pierwszy rejestr staje się superpozycją wszystkich stanów, które dają wartość f(x 0 ) (funkcja jest okresowa z okresem r) 1 a 1 a j=0 x 0 + jr, a 1 < q r < a + 1
50 Stosujemy QT F 1 q 1 qa y=0 e πix 0y a 1 j=0 e πijry/q y Prob(y) = a q 1 a a 1 j=0 e πijry/q Jeśli q/r jest całkowite (q/r = a), to Prob(y) = 1 a 1 a a 1 j=0 e πijy/q = 1 r y = a integer 0 otherwise
51 Stosujemy QT F 1 q 1 qa y=0 e πix 0y a 1 j=0 e πijry/q y Prob(y) = a q 1 a a 1 j=0 e πijry/q Jeśli q/r jest całkowite (q/r = a), to Prob(y) = 1 a 1 a a 1 j=0 e πijy/q = 1 r y = a integer 0 otherwise
Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.
Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa
VI Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM Informatyka kwantowa Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 16 października 2003 Spis treści 1 Rozwój komputerów 4 1.1 Początki..................
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit jest jednostką informacji tzn. jest "najmniejszą możliwą
Bardziej szczegółowoFizyka dla wszystkich
Fizyka dla wszystkich Wykład popularny dla młodzieży szkół średnich Splątane kubity czyli rzecz o informatyce kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 21 kwietnia 2004 Spis treści 1
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit kwantowy zawiera więcej informacji niż bit klasyczny
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz
Informatyka kwantowa Karol Bartkiewicz Informacja = Wielkość fizyczna Jednostka informacji: Zasada Landauera: I A =log 2 k B T ln 2 1 P A R. Landauer, Fundamental Physical Limitations of the Computational
Bardziej szczegółowoVIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski
VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Teleportacja kwantowa polega na przesyłaniu stanów cząstek kwantowych na odległość od nadawcy do odbiorcy. Przesyłane stany nie są znane nadawcy
Bardziej szczegółowoKomputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006
Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 12 - Algorytmy i protokoły kwantowe Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/05/2016 1 / 39 1 Motywacja rozwoju informatyki kwantowej. 2 Stany kwantowe. 3 Notacja Diraca.
Bardziej szczegółowoO informatyce kwantowej
O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33 Plan wystąpienia
Bardziej szczegółowoXIII Poznański Festiwal Nauki i Sztuki. Wydziale Fizyki UAM
XIII Poznański Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM XIII Poznański Festival Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM Od informatyki klasycznej do kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
Bardziej szczegółowoVII Festiwal Nauki i Sztuki. Wydziale Fizyki UAM
VII Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM VII Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM Teleportacja stanów atomowych Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 14 października 2004
Bardziej szczegółowoAlgorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna
Bardziej szczegółowoQuantum Computer I (QC) Zapis skrócony. Zapis skrócony
Quantum Computer I (QC) Jacek Szczytko, Wydział Fizyki UW. Komputery kwantowe a. Logika bramek b. Kwantowe algorytmy c. Jak zbudować taki komputer? "Where a calculator on the Eniac is equipped with vacuum
Bardziej szczegółowoPeter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku
Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Wstęp czyli (próba) odpowiedzi na pewne pytania (Silna) Teza Church
Bardziej szczegółowoAlgorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego
Algorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego Peter Shor (ur. 14 sierpnia 1959 roku w USA Matematyk oraz informatyk teoretyk Autor kwantowego Algorytmu Shora Pracuje w AT&T Bell Laboratories
Bardziej szczegółowoW5. Komputer kwantowy
W5. Komputer kwantowy Komputer klasyczny: Informacja zapisana w postaci bitów (binary digit) (sygnał jest albo go nie ma) W klasycznych komputerach wartość bitu jest określona przez stan pewnego elementu
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii komputerów kwantowych
Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35 Plan seminarium
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 7
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 7 Spis treści 11 Algorytm ElGamala 3 11.1 Wybór klucza.................... 3 11.2 Szyfrowanie.....................
Bardziej szczegółowoGry kwantowe na łańcuchach spinowych
Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Jarosław Miszczak we współpracy z Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 8
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 8 Spis treści 13 Szyfrowanie strumieniowe i generatory ciągów pseudolosowych 3 13.1 Synchroniczne
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoV. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi
Bardziej szczegółowoOdkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego
Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoWstęp do algorytmiki kwantowej
Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Komputer kwantowy - co to właściwie jest? Komputer kwantowy Komputer, którego zasada działania nie może zostać wyjaśniona bez użycia formalizmu mechaniki
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 5
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 5 Spis treści 9 Algorytmy asymetryczne RSA 3 9.1 Algorytm RSA................... 4 9.2 Szyfrowanie.....................
Bardziej szczegółowoHistoria. Zasada Działania
Komputer kwantowy układ fizyczny do opisu którego wymagana jest mechanika kwantowa, zaprojektowany tak, aby wynik ewolucji tego układu reprezentował rozwiązanie określonego problemu obliczeniowego. Historia
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoSymulacja obliczeń kwantowych
Model kwantowych bramek logicznych w NumPy Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 10 października 2007 Plan prezentacji 1 Python
Bardziej szczegółowoKomputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 16 stycznia Komputery Kwantowe
Ravindra W. Chhajlany 16 stycznia 2007 Plan Przeszukiwanie nieuporządkowanej bazy danych: I Przykłady 1. Z ksiązki adresowej, podaj nazwę użytkownika do którego przypisany jest jakiś numer telefonu, np.
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoSYMULACJE OPTYCZNE OBLICZEŃ KWANTOWYCH 1 OPTICAL SIMULATIONS OF QUANTUM COMPUTING
STUDIA INFORMATICA 00 Volume 3 Number A (48) Sławomir BUGAJSKI, Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Uniwersytet Śląski, Instytut Fizyki Zbigniew MOTYKA Główny Instytut
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 07 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 27/10/2016 1 / 29 1 Wprowadzenie Obliczanie Motywacja fizyczna Motywacja kryptograficzna 2 2 /
Bardziej szczegółowo- nowe wyzwanie. Feliks Kurp
INFORMATYKA KWANTOWA - nowe wyzwanie Feliks Kurp 2006 2 Plan wystąpienia: 1. Dlaczego informatyka kwantowa? 2. Grupy i ludzie zajmujący się informatyką kwantową 3. Fenomeny mechaniki kwantowej 4. Podstawy
Bardziej szczegółowoSplątanie a przesyłanie informacji
Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA Joanna Patrzyk Bartłomiej Patrzyk Katarzyna Rycerz jpatrzyk@quide.eu bpatrzyk@quide.eu kzajac@agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoPodstawy informatyki kwantowej
Wykład 6 27 kwietnia 2016 Podstawy informatyki kwantowej dr hab. Łukasz Cywiński lcyw@ifpan.edu.pl http://info.ifpan.edu.pl/~lcyw/ Wykłady: 6, 13, 20, 27 kwietnia oraz 4 maja (na ostatnim wykładzie będzie
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoSeminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 24, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
odstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 4, 5.05.0 wykład: pokazy: ćwiczenia: Michał Karpiński Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 3 - przypomnienie argumenty
Bardziej szczegółowoPodejścia do realizacji modelu obliczeń kwantowych
Podejścia do realizacji modelu obliczeń kwantowych Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 18 maja 2007 Jak reprezentować qubit? Główne zasady Warunki dla obliczeń kwantowych Spin Oscylator harmoniczny
Bardziej szczegółowoPodstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA
Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoObraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne
Cyfrowe przetwarzanie obrazów I Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne dr. inż Robert Kazała Definicja obrazu Obraz dwuwymiarowa funkcja intensywności światła f(x,y); wartość f w przestrzennych
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 6a Spis treści 10 Trochę matematyki (c.d.) 3 10.19 Reszty kwadratowe w Z p.............. 3 10.20
Bardziej szczegółowoIX. KRYPTOGRAFIA KWANTOWA Janusz Adamowski
IX. KRYPTOGRAFIA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wstęp Wykład ten stanowi wprowadzenie do kryptografii kwantowej. Kryptografia kwantowa jest bardzo obszerną i szybko rozwijającą się dziedziną obliczeń kwantowych,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoKryptografia kwantowa. Marta Michalska
Kryptografia kwantowa Marta Michalska Główne postacie Ewa podsłuchiwacz Alicja nadawca informacji Bob odbiorca informacji Alicja przesyła do Boba informacje kanałem, który jest narażony na podsłuch. Ewa
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję.
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa i jej fizyczne podstawy Rezonans spinowy, bramki dwu-kubitowe
Wykład 4 29 kwietnia 2015 Informatyka kwantowa i jej fizyczne podstawy Rezonans spinowy, bramki dwu-kubitowe Łukasz Cywiński lcyw@ifpan.edu.pl http://info.ifpan.edu.pl/~lcyw/ Dobra lektura: Michel Le Bellac
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
Bardziej szczegółowoInformatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja
Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja Robert Nowotniak Wydział FTIMS, Politechnika Łódzka XV konferencja SIS, 26 października 2007 Streszczenie Informatyka kwantowa jest dziedziną
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoARKUSZ X
www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoWEKTORY I MACIERZE. Strona 1 z 11. Lekcja 7.
Strona z WEKTORY I MACIERZE Wektory i macierze ogólnie nazywamy tablicami. Wprowadzamy je:. W sposób jawny: - z menu Insert Matrix, - skrót klawiszowy: {ctrl}+m, - odpowiedni przycisk z menu paska narzędziowego
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoZastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej
Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8
Bardziej szczegółowoKrótki wstęp do mechaniki kwantowej
Piotr Kowalczewski III rok fizyki, e-mail: piotrkowalczewski@gmailcom Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej Mechanika kwantowa w cytatach If quantum mechanics hasn
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoAlgorytm - pojęcie algorytmu, sposób zapisu, poziom szczegółowości, czynności proste i strukturalne. Pojęcie procedury i funkcji.
Algorytm - pojęcie algorytmu, sposób zapisu, poziom szczegółowości, czynności proste i strukturalne. Pojęcie procedury i funkcji. Maria Górska 9 stycznia 2010 1 Spis treści 1 Pojęcie algorytmu 3 2 Sposób
Bardziej szczegółowoKwantowa implementacja paradoksu Parrondo
Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN, Gliwice oraz Zakład Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Śląski, Katowice 7 Czerwca 2005 Plan
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 5 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i złożone Metody
Bardziej szczegółowoKryptografia kwantowa
Kryptografia kwantowa Krzysztof Maćkowiak DGA SECURE 2006 Plan referatu Wprowadzenie, podstawowe pojęcia Algorytm Grovera Algorytm Shora Algorytm Bennetta-Brassarda Algorytm Bennetta Praktyczne zastosowanie
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoWykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych
Wykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych Robert Nowotniak Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 3 czerwca
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo