Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności.

Transkrypt

1 Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Ćwiczenia (środa) Osoby, które uzyskały łacznie mniej niż 80 punktów (50%) na sprawdzianie nr i kolokwium nr, powinny przyjść na ćwiczenia. Pozostali mogą ogranić się do rozwiązania zadań we własnym zakresie. Zanamy od omówienia kolokwium nr. 0. Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x ) (x 2) (x 3) > 0,... ; b) (x ) 2 (x 2) (x 3) > 0,... ; c) (x ) (x 2) 2 (x 3) > 0,... ; d) (x ) (x 2) (x 3) 2 > 0,..... Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x ) 203 (x 2) 203 > 0,... ; b) (x ) 203 (x 2) 204 > 0,... ; c) (x ) 204 (x 2) 203 > 0,... ; d) (x ) 204 (x 2) 204 > 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) ( x ) 203 ( x 2) 203 > 0,... ; b) ( x ) 203 ( x 2) 204 > 0,... ; c) ( x ) 204 ( x 2) 203 > 0,... ; d) ( x ) 204 ( x 2) 204 > 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) x 3 <,... ; b) x 4 > 2,... ; c) x 5 > 6,... ; d) x 6 < 5, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) x 2 7 < 8,... ; b) x 3 4 < 3,... ; c) x 4 40 < 4,... ; d) x 5 6 < 6,.... Lista Strony 7-24

2 5. Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x )(x 2) < 0,... ; b) (x 2)(x 4) 2 < 0,... ; c) (x 4) 2 (x 7) < 0,... ; d) (x 7) 2 (x 9) 2 > 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x 2 )(x 2) < 0,... ; b) (x 2)(x 2 4) < 0,... ; c) (x 2 4)(x 7) 2 < 0,... ; d) (x 7)(x 2 9) 2 < 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x 4)(x 9) > 0,... ; b) (x 4)(x 2 9) > 0,... ; c) (x 2 4)(x 9) > 0,... ; d) (x 2 4)(x 2 9) > 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (x 2 25) (x 3 27) > 0,... ; b) (x 5 32) (x 3 27) > 0,... ; c) (x 5 32) (x 4 6) > 0,... ; d) (x 2 25) (x 4 6) > 0, Rozwiązać nierówności a) x+2 x 2 < x 2 b) x > 2x c) x 2 x Ćwiczenia (czwartek) d) x 3 x e) x ( x 2 +8x 8) x ( x 2 +x 8) f) 4x 4 x 2 x g) x x h) x 2 i) x 2 2x++ x 2 4x+4 < x 2 +2x++ x 2 8x+6 j) x 2 25 < 24 Lista Strony 7-24

3 k) (x+5) (x+5) 3 < (3x+) (3x+) 3 l) (x 2 +) x+2 (x 2 +) x2 Szacowanie wyrażeń. Ćwiczenia (środa) Osoby, które uzyskały łacznie mniej niż 80 punktów (50%) na sprawdzianie nr i kolokwium nr, powinny przyjść na ćwiczenia. Pozostali mogą ogranić się do rozwiązania zadań we własnym zakresie. 20. Która z liczb jest większa a) b) 000! c) 000! d) 000! (500!) 2 ( ) 2007 ( ) e) f) ( ) 2007 ( ) 666 g) ( ) 2007 ( ) 666 h) ( ) 2007 ( ) 666 i) ( ) 2007 ( ) 667 j) 2 00! 9 99! k) l) m) 7 20 n) o) p) ( ) ( ) q) ( ) ( ) r) ( ) ( ) s) Lista Strony 7-24

4 ( ) 2007 t) 666 u) v) w) ( ) x) y) ( 37 6 ) 666 ( ) 9 27/8 z) 4 ( ) 9/4 Uprościć wyrażenia log log 3 2 log log 6 2+log 36 9 log 24. m (mn) log n (mn) log m (mn)+log n (mn) 25. log ( 2 ) ( 2+) log 35 5 log 3 2 Logarytmy Ćwiczenia 3, (czwartek, wtorek) dla liczb naturalnych m i n większych od. 27. Dla ilu trójek liczb rzewistych dodatnich a, b, c różnych od spełniona jest podana równość? Dla wszystkich? Dla żadnej? Dla niektórych (podać 3 przykłady, a jeśli przykładów jest mniej niż 3, podać wszystkie)? a) log a (bc) = (log a b)+log a c b) log a (bc) = (log a b) log a c c) log a (b+c) = (log a b) log a c d) log a (b+c) = (log a b)+log a c e) (log a b) log b c = log a c f) log a (b c ) = c log a b 28. Bez użycia kalkulatora rozstrzygnąć, która liczba jest większa: a) log 2 7 log 3 7 b) log 0,2 7 log 0,3 7 c) log 2 7 log 0,3 7 d) log 0,2 7 log 3 7 e) log 2 0,7 log 3 0,7 f) log 0,2 0,7 log 0,3 0,7 g) log 2 0,7 log 0,3 0,7 Lista Strony 7-24

5 h) log 0,2 0,7 log 3 0,7 i) log 9 27 log 4 8 j) log 3 8 log 2 5 k) log 5 27 log l) log 3 00 log 2 0 m) (log 2 3) log 5 7 (log 2 7) log 5 3 n) (log 2 3) log 7 5 (log 7 9) log 6 25 o) log 2 3 log 3 5 p) log 3 7 log 5 9 q) log 2 3 log 5 3 r) log 3 5 log 5 56 Wskazówka do kilku ostatnich pytań: Wiadomo, że wartość ułamka nie zmieni się, jeżeli licznik i mianownik pomnożymy przez tę samą liczbę różna od zera. Podobnie, wartość logarytmu nie zmieni się, jeżeli podstawę i liczbę logarytmowaną Czy jest prawdą, że log 2 (a+b) = log 2 a+log 2 b, jeżeli a) a = 2, b = 2 b) a = 3/2, b = 3 c) a = 2, b = 3 d) a = 3/2, b = 2 e) a = 5, b = 5/4 30. Czy jest prawdą, że a log 7 b = b log 7 a, jezeli a) a = 2, b = 3 b) a = 2, b = 4 c) a = 2, b = 5 d) a = 3, b = 4 e) a = 64/27, b = 256/8 3. Rozwiązać nierówności a) log 2x (x 2 +) log 2x (x 2 +3x) b) (x 2 +x+) 3x > (x 2 +x+) x+ c) x 4 5x 2 +4 < 0 d) log 2 x+log x 4 < Na potrzeby tego zadania, dla liczby rzewistej a > zdefiniujemy średnią liczb rzewistych x, y większych od, następującym wzorem S a (x, y) = a log a x log a y. Podać wartości następujących liczb w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego w przypadku liczb wymiernych. Wpisać literkę N w przypadku liczb niewymiernych. a) S 8 (2, 6) =... ; b) S 9 (2, 6) =... ; c) S 8 (3, 8) =... ; d) S 9 (3, 8) =.... Lista Strony 7-24

6 Ćwiczenia 7, (poniedziałek, środa) Osoby, które uzyskały łacznie mniej niż 80 punktów (50%) na sprawdzianie nr i kolokwium nr, powinny przyjść na ćwiczenia. Pozostali mogą ogranić się do rozwiązania zadań we własnym zakresie. 33. Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) ( log 5 x ) 2 <,... ; b) ( log 5 x ) 3 <,... ; c) ( log 5 x 2) 4 >,... ; d) ( log 5 x 2) 5 >, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) (log 2 x 2) (log 3 x 3) > 0,... ; b) (log 2 x 3) (log 3 x 2) > 0,... ; c) (log 2 x 3) 3 (log 3 x 2) 2 > 0,... ; d) (log 2 x 3) 2 (log 3 x 2) 3 > 0, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej a) log x 4 < 2,... ; b) log x 4 < 2,... ; c) log x 2 > 2,... ; d) log x 2 >, Podać taką liczbę x, że a) log 2 3 = 2 log 2 x, x =... ; b) log 2 3 = 2+log 2 x, x =... ; c) 3 log 3 2 = log 3 x, x =... ; d) 3+log 3 2 = log 3 x, x = Niech A(n) = 4 4n, B(n) = 256 6n, C(n) = log 2 A(n), D(n) = log 2 B(n), E(n) = log C(n) D(n). Podać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego: a) E(00) =... ; b) E(200) =... ; c) E(300) =... ; d) E(400) = Niech A(n) = 4 4n, B(n) = n, C(n) = log 2 A(n), D(n) = log 2 B(n), E(n) = log C(n) D(n). Podać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego: a) E(00) =... ; b) E(200) =... ; c) E(300) =... ; d) E(400) =.... Lista Strony 7-24

7 39. Dla podanej liczby n przyjąć za podstawę logarytmu a = n n, a następnie zapisać liczbę log a 2 w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego a) n = 2, log a 2 =... ; b) n = 4, log a 2 =... ; c) n = 8, log a 2 =... ; d) n = 6, log a 2 = Podać wartość podanej liczby w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego, gdy podana liczba jest wymierna. Napisać N, jeśli podana liczba jest niewymierna. a) log 2 log =... ; b) log 2 log =... ; c) log 2 log =... ; d) log 2 log = Dla podanej liczby a wskazać taką liczbę rzewistą dodatnią b, aby spełniona była równość +(log 5 a)+log 5 b = log 5 (2a 2 +2b 2 ). a) a = 2, b =... ; b) a = 3, b =... ; c) a = 4, b =... ; d) a = 6, b = Dla podanych liczb rzewistych x i y wskazać taką liczbę rzewistą dodatnią a, aby prawdziwa była równość log a x = y. a) x = 6, y = 2, a =... ; b) x = 6, y = 4, a =... ; c) x = 2, y = 4, a =... ; d) x = 2, y = /4, a = Dla podanych liczb a, b podać taką liczbę rzewistą c, aby zachodziła równość log a b = log b c. a) a = 3, b = 9, c =... ; b) a = 9, b = 3, c =... ; c) a = 5 4, b = 5 6, c =... ; d) a = 7 54, b = 7 56, c = Dla podanych liczb a, b zapisać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego wartość liczby log x y, gdzie x = log a b oraz y = log b a. Napisać literkę N, jeżeli liczba ta jest niewymierna. a) a = 2 224, b = 2 226, log x y =... ; b) a = 2 227, b = 2 224, log x y =... ; c) a = 2 229, b = 2 222, log x y =... ; d) a = 2 226, b = , log x y =.... Lista Strony 7-24

8 n 45. Niech a i = a m a m+ a m+2 a m+3... a n a n. i=m Zapisać wartość podanego ilonu w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego, jeśli liczba jest wymierna. Napisać literkę N, jeżeli liczba jest niewymierna. 4 a) log (3i+) (3i+4) =... ; i= 4 b) log (3i+) (3i+4) =... ; i=2 5 c) log (3i+) (3i+4) =... ; i=2 6 d) log (3i+) (3i+4) =.... i=2 46. Podać zbiór rozwiązań nierówności zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów. a) 2 < log 4x < 3 2 b) 3 < log 64x < 2 c) 3 5 < log 32x < 4 5 d) 3 2 < log 9x < 4... ;... ;... ; Podać zbiór rozwiązań nierówności zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów. a) 2 < log x8 < 3... ; b) 2 < log x9 < 2... ; c) 2 < log x 4 < 3... ; d) 3 < log x 64 < Czy jest prawdą, że a) 2 log 3 5 = log 3 0 b) 2 log 3 5 = log 3 25 c) 2+log 3 5 = log 3 0 d) 2+log 3 5 = log 3 45 e) (2 log 3 7) 2 = 2 log 3 7 f) (2 log 2 7) 2 = 2 log 2 7 g) (2 log 5 23) 2 = 2 log 5 23 h) (2 log 4 7) 2 = 2 log 4 7 Lista Strony 7-24