MATEMATYCZNY I NUMERYCZNY MODEL CZYSZCZENIA STOPU METODĄ PRZETAPIANIA STREFOWEGO

Transkrypt

1 5/4 oldfcaton of Mtals and Alloys Yar 999 Volum Book No. 4 Krpnęc Mtal topów Rok 999 Rocnk Nr 4 PAN Katowc P IN MATEMATYZNY I NUMERYZNY MOE ZYZZENIA TOPU METOĄ PRZETAPIANIA TREFOWEGO BOKOTA Adam Instytut Mchank Podstaw Konstrukcj Masyn Poltchnka ęstochowska 4- ęstochowa ul. ąbrowskgo 7 POKA IKIERKA ławomr Katdra Elktrotchnk Elktrotchnolog Poltchnka ęstochowska 4- ęstochowa ul. ąbrowskgo 69 POKA PIEKARKA Wsława OWA sk Instytut Mchank Podstaw Konstrukcj Masyn Poltchnka ęstochowska 4- ęstochowa ul. ąbrowskgo 7 POKA TREZZENIE W pracy prdstawono modl matmatycny numrycny cyscna mtal mtodą prtapana strfowgo. Ops matmatycny jawsk prpływu cpła masy ostał wykonany w współrędnych Eulra. Pola tmpratury dyfuj masy opsano równanam dyfuj cłonam konwkcyjnym. W modlu prpływu masy ałożono gładką powrchnę rodału faa ckła faa stała. Warunk cągłośc dla tj powrchn okrślono na podstaw modlu tfana. Równana opsując pol tmpratury rowąano mtodą lmntów skońconych Ptrova-Galrkna natomast rokład składnka domsk wynacono mtodą lmntów brgowych. ymulacja numrycna prtapana strfowgo cyscna domsk ostała prprowadona dla stopu md krmm. okonano ocny wpływu prędkośc prtapana wlkośc strfy prtapanj na fkty cyscna md krmu.. Wstęp trfow prtapan wan krystalacją krunkową jst tchnologą otrymywana matrałów o wymaganych własnoścach o wysokm stopnu ch cystośc. Mtoda ta jst stosowana mędy nnym w produkcj matrałów półprwodnkowych. Mtoda topna strfowgo polga na klkakrotnym prtapanu odpowdnj strfy próbk w postac. topń ocyscna

2 6 npożądango prwastka alży od długośc próbk wlkośc strfy prtoponj prędkośc jj prsuwana ora od wlkośc współcynnka rodału domsk na fronc krystalacj [7]. Mtoda prtapana strfowgo opracowana pr Pfanna jst powschn stosowana do ocyscana matrałów a scgóln matrałów półprwodnkowych pry cym doboru paramtrów do tj tchnolog dokonuj sę na podstaw danych dośwadcalnych uprosconych rowąań analtycnych. Wydaj sę węc clow opracowan modlu numrycngo który uwględnałby komplksowo jawska towarysąc procsow strfowgo prtapana a manowc: topn krystalację sgrgację dyfuję domsk [478]. W proponowanym modlu do matmatycngo opsu jawsk towarysących procsow prtapana strfowgo astosowano współrędn Eulra. Możlw jst atm śldn prpływu cpła masy w wybranym obsar kontrolnym n mnając gomtr w koljnych krokach casu. W pochodnych matralnych występujących w równanach prpływu cpła dyfuj domsk n nkają cłony konwkcyjn stwarając pwn utrudnna w algorytmach numrycnych [68]. Numrycn rowąywan równań dyfuj masy mtodą lmntów skońconych napotyka na dodatkow trudnośc wąan występowanm ncągłośc posukwanych funkcj na grancach podobsarów. Zjawsko to wan sgrgacją występuj na powrchn rodału faa ckła faa stała [478]. latgo do rowąana równana prwodnctwa cłonm konwkcyjnym astosowano mtodę lmntów skońconych Ptrova-Galrkna [] natomast do rowąywana równana różnckowgo opsującgo prpływ masy astosowano mtodę lmntów brgowych [4589]. Mtoda ta apwna stablność rowąana w prypadku stnna cłonu konwkcyjngo dla dużj gamy prędkośc ora daj nacn mnj równań do rowąywana numrycngo. Ta ostatna alta ma bardo duż nacn w procsach tracyjnych. Ponadto mtoda ta daj bardo dobr wynk pommo stnna ncągłośc posukwanych funkcj na powrchnach brgowych roważanych podobsarów.. Modl matmatycny Ops jawsk prpływu cpła masy dotycy wybrango obsaru kontrolngo prtapango pręta ΩT Ω Ω Ω o długośc T ustalongo współrędnym Eulra {r}. Pocątk tych współrędnych pryjęto na powrchn krystalacj Układ współrędnych agrang a {RZ} wąany jst prmscającym sę prędkoścą v prętm (Rys.). Równana opsując pola tmpratury w podobsarach ( Ω Ω ) mają postać [49]: Θ t Θ ( λ( ) Θ ) f + v dla Ω ( ) Ω Ω ()

3 6 gd: λ są współcynnkam prwodna cpła jst fktywnym cpłm ( ) f właścwym któr w prdal lkwdus-soldus awra cpło prmany faowj aproksymowan w modlu funkcją lnową [9]. R r M v t T T ( Ω ) ( Ω ) ( ) Ω Z v δ T δ T Rys.. Podobsary roważango układu prmscna powrchn rodału fa Fg.. ubrgons of th nvstgatd systm and dsplacmnts of th phas dvdng surfac Nagrwan strfy prtapanj ora chłodn poostałj cęśc pobocncy ralowano warunkm brgowym III rodaju pryjmując: Θ n q R λ( ) α ( Θ )( Θ Θ ) ( Θ ) α Θ Θ α () gd α α( Θ ) jst współcynnkm prjmowana cpła. Na powrchnach ograncających obsar kontrolny ( Ω T ) pryjęto warunk trcgo rodaju akładając ż gradnty tmpratury aproksymowanj funkcją kwadratową w odlgłoścach δ δ od brgów tgo obsaru są równ ru. Jst atm: T q λ δ λ ( Θ Θ ) q ( Θ Θ ). T T δ T T () W modlowanu sgrgacj dyfuj składnka domsk ałożono ż prpływ masy występuj tylko w krunku os wobc tgo równana różnckow opsując dyfuję składnka w fa stałj w fa ckłj pryjęto w postac [8]:

4 6 ( ) ( ) ( ) ( ) v dla ( ) Ω Ω Ω (4) t gd: są współcynnkam dyfuj są stężnam domsk w osnow. ( ) ( ) Ponważ współcynnk dyfuj w fa stałj jst nacn mnjsy od współcynnka dyfuj w fa ckłj to w praktyc można pomnąć dyfuję w fa stałj modlować tylko sgrgację na fronc narastana dyfuję w fa ckłj [478]. Mając powyżs na uwad w ralacj numrycnj wykorystano następujący modl makrosgrgacj: J n t v ( k) M v ( ) k gd: kk(t) jst współcynnkm rodału składnka na fronc narastana strumń masy.. Modl numrycny J (5) jst tosując mtodę rst ważonych do równana () wykorystanm prsunętych funkcj wagowych ( φ φ( ϕ )) [] ora wykorystując twrdn Gaussa- Ostrogradskgo otrymuj sę po podstawnu warunków brgowych wykonanu całkowana po lmntach cas układ równań do numrycngo rowąywana: gd: ( ( K + V + B) + M ) T ( M ( β )( K + V + B) ) T + BT β (6) K K M M B B ( K ) ( M ) K M λ ψ j ϕ + Ω f ψ jϕdω t ( B ) B α ψ jϕd. Ω f ψ j Wϕ dω

5 6 Współcynnk β wynkający całkowana po cas pryjmowano w algorytm numrycnym równy ¾. W równanu dyfuj masy (4) pochodną po cas astąpono loram różncowym sprowadając to równan do postac [8]: gd: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) + + Q( t ) v ( ) ( t ) t Q t t Q rprntuj stucn źródło uwględnając cłon konwkcyjny [89] t jst krokm casu ( t t t ).. Równan (4) rowąano mtodą lmntów brgowych. tosując mtodę rst ważonych do równana () wykorystanm funkcj wag ( ξ ) dokonując dwukrotngo całkowana pr cęśc prwsgo cłonu tgo równana otrymano: (7) ( ξ t ) ( J ( ξ ) ( t ) + ( ( ξ ) J ( t ) ( t ) ( ξ ) Q d + ( t ) t ( ξ ) d. (8) Funkcja wag występująca w równanu (8) jst rowąanm fundamntalnym równana podstawowgo omawango agadnna natomast J J są strumnam substancj ξ jst punktm na os ( ξ ( )) położna skuponj masy (źródła masy). Rowąan podstawow ora strumn masy okrślają w tym adanu funkcj: ( ξ ) t xp ξ t (9) J ( ξ ) sgn( ) ξ ξ ( t ) xp J. Wynacając w (8) wartośc funkcj ( ξ ) J ( ) + ξ ( ξ ξ ) t ξ dla grancnych położń źródła otrymano układ równań do numrycngo rowąywana:

6 64 H j + G J j Q + M. () Elmnty macry H G ora wktory prawych stron wynkają (8): H G Q 5 xp H H H t t t G G G xp ( ) ( ) ( ) t Q t ξ d M t ( ξ ) d. t () Rowąan układu równań () daj wartośc dyskrtn na brgach roważango obsaru ( Wartośc funkcj w punktach podobsaru M ). Ω oblca sę korystając (8): + ( ξ t ) ( ξ ) J ( t ) + ( ξ) J ( t ) J s ( ξ) ( t ) J ( ξ ) ( t ) + Q ( ξ ) + M ( ξ ). + () Występujący w równanach () cłon onacony jako ( ξ ) Q awra stucn źródło na poom casu oblcń. W procs oblcnowym stosowano atm procdurę tracyjną wynacając w każdym kroku tracj wartośc całk w () okrślających t źródła. Równocśn omówoną powyżj tracją sprawdano prawo achowana lośc substancj wryfkując równość całkową (rys.):

7 65 (t) M v t v t () Rys.. Rokład stężna prsuwającym sę powrchnam brgowym Fg.. olut dstrbuton wth movng boundary surfacs vt ( t ) d + k( t ) ( t ) vt + ( t ) d. () W pracy wprowadono fktywny współcynnk rodału domsk który w warunkach nrównowagowj krystalacj alżny jst od prędkośc narastana ora wlkośc strfy prtapanj [478]. 4. Oblcna numrycn Oblcna numrycn symulując prtapan strfow cyscn osnowy domsk prprowadono dla stopu md krmm. Pryjęto ż prtapany pręt wykonany stopu u umscony jst w rurc kwarcowj o śrdncy [mm] grubośc ścank [mm]. Obsar kontrolny w krunku os wynosł T.5 [m]. Nagrwan symulowano w cęśc środkowj obsaru kontrolngo na długośc [m]. tał trmofycn odpowdn tmpratury prtapango stopu acrpnęto dostępnj ltratury. Po uyskanu płngo prtopna dobrano prędkość prsuwu pręta apwnającą utrymywan sę srokośc strfy prtoponj dla adanj mocy nagrwana. la ustalonj prędkośc prsuwu srokośc strfy prtoponj prowadono symulacj cyscna strfowgo. Na podstaw uyskanych wynków dokonano ocny wpływu prędkośc prtapana wlkośc strfy prtapanj na fkty cyscna md krmu. Wynk symulacj prntują rysunk -7.

8 Tmpratura [K] Tmpratura [K] [m] Rys.. Rokłady tmpratury (oś symtr) w strf prtoponj jj poblżu po cas mn. odpowdno dla prędkośc: ) v -5 ) v -4 ) v - 4) v x - m/s. Fg.. Tmpratur dstrbuton at th pont placd on th symmtry axs aftr [mn] tm at th rmltng on and ts nghbourhood for vlocty ) v -5 ) v -4 ) v - 4) v x - m/s rspctvly 6 cas [s] Rys.4. Zmany tmpratury w cas na ln symtr źródła (kryw ) punkc prsunętym o cm w krunku prędkośc (kryw 45 6) odpowdno dla prędkośc: ) v -5 ) v -4 ) v - m/s. Fg.4. Tmpratur chang vs. tm along a symmtrcal ln of th sourc locaton (curv ) and at th pont placd [cm] forward (curv 4 5 6) for vlocty 4) v -5 5) v -4 6) v - m/s rspctvly r.8 r.8 r Rys.5. Ioln tmpratury w strf prtoponj jj otocnu odpowdno dla prędkośc koljno: v -5 v -4 v - m/s. Fg.5. Tmpratur solns n rmltng on and hr narby for vlocty v -5 v -4 v - m/s rspctvly

9 tężn [%] tężn [%] 67 Na podstaw prprowadonych symulacj numrycnych stwrdć można ż dla dango stopu maksymalna prędkość prtapana n moż prkrocyć v -5 [m/s] (Rys.7). la węksych bowm prędkośc współcynnk rodału (k) wrasta a tym samym uyskuj sę cora mnjsą sgrgację [m] Rys.6. tężna krmu w md uyskan po prsunęcu strfy prtoponj o.5 m uyskan dla prędkośc: ) v -5 m/s k.5 ) v.5x -5 m/s k.6 ) v x -5 m/s k.7 Fg.6. lcon concntraton n th coopr alloy obtand aftr translaton of th rmltng on for.5[m] for vlocty ) v -5 m/s k.5 ) v.5x -5 m/s k.6 ) v x -5 m/s k.7 rspctvly [m] Rys.7. tężna krmu w md po prsunęcu strfy prtoponj o.5 m uyskan dla prędkośc prsuwu v -5 m/s ) po jdnym ) dwóch ) trch prtopnach Fg.7. lcon concntraton n th coopr alloy aftr translaton of th rmltng on for.5[m] for vlocty v -5 m/s of movng w aftr: ) frst ) scond ) thrd rmltng rspctvly ITERATURA [] Bokota A.: Applcaton Of Boundary Elmnts For olvng oldfcaton Problms. Bulltn d l'académ Polonas ds cncs vol 7 No pp [] Bokota A. Iskrka.: Fnt lmnt mthod for solvng dffuson-convcton problms n th prsnc of a movng hat pont sourc. Fnt Elmnts n Analyss and sgn Vol pp [] Bokota A. Iskrka : An analyss of dffuson-convcton problm by th boundary lmnt mthod. J. Eng. Anal. wth Boundary Elmnts. 5 (995) pp

10 68 [4] Bokota A. Parktny R.: Mtoda lmntów brgowych w astosowanu do agadnń dotycących cął krpnących Prac Naukow Instytutu Tchnolog Budowy Masyn Poltchnk Wrocławskj Nr 55 Konfrncj Nr 6 s [5] Brbba.A. Nowak A.J. olvng hat transfr problms by th ual Rcprocty BEM In.. Wrobl and.a. Brba dtors. Boundary Elmnts Mthod for Hat Transfr chaptr pags -. omp. Mch. Publcatons and Elsvr Appld cnc. Intrnatonal rs on omputatonal Engnrng. 99. [6] Ikguch M.: Transnt soluton of convctv dffuson problm by boundary lmnt mthod. Trans. IEE Japan E-68 (985) [7] Kur W. Fshr.J.: Fundamntals Of oldfcaton. Trans Tch Publcatons wdrland - Grmany - UK - UA 989. [8] Majchrak E. Mochnack B. uchy J.: Modlowan makrosgrgacj w procs krpnęca krunkowgo wykorystanm MEB. Mędyuclnan smnarum astosowań mtody lmntów brgowych ęstochowa 996 pp [9] Majchrak E. Mochnack B.: Applcaton of th BEM n th thrmal thory of foundry. Engnrng Analyss wth Boundary Elmnts pp.99-. [] Prybyłowc K.: Mtalonawstwo. WNT Warsawa 994. [] Wat R. and Mtchll A. R.: Fnt lmnt analyss and applcatons J. Wly and ons hchstr 985. Praca fnansowana pr KBN MATHEMATIA AN NUMERIA MOE OF META IMPURITY EANING BY ZONE REMETING METHO ABTRAT Th mathmatcal and numrcal modls of mtal mpurty clanng by on rmltng mthod hav bn prsntd n th papr. Th mathmatcal dscrpton of hat and mass flow has bn mad n Eulr s co-ordnat. Th tmpratur fld and mass dffuson fld hav bn dscrbd by th dffuson quatons wth convcton trms. Th smooth surfac dvdng th sold-lqud phas has bn assumd n th modl. Th contnuty condtons on ths surfac hav bn dtrmnd on th bass of tfan s modl. Th quaton dscrbng tmpratur fld has bn solvd by Ptrov- Galrkn fnt lmnt mthod whl th mpurty componnt dstrbuton has bn dtrmnd by boundary lmnt mthod. Th numrcal smulaton of on rmltng and mtal mpurty clanng has bn don for coppr slcon alloy. Th nflunc of rmltng vlocty and th rmltng on s on clanng of coppr from slcon has bn nvstgatd n th papr Rcnował Prof. dr hab. nż. tansław Jura