MES dla stacjonarnego przepływu ciepła

Transkrypt

1 ME da staconarngo przpływu cpła Potr Pucńs -ma: Jrzy Pamn -ma: Instytut Tchnoog Informatycznych w Inżynr Lądow Wydzał Inżynr Lądow Potchn Kraows trona domowa: Zars przntac taconarny przpływ cpła w 3D Mod - sformułowan mocn Mod - sformułowan słab Równana ME 2 Dobór func aprosymacynych Func ształtu da zagadnna D Func ształtu da zagadnna 2D Func ształtu da zagadnna 3D

2 Probm staconarngo przpływu cpła w 3D = q x y z n q n = q T n Podstawowa nwadoma - tmpratura T prawo przwodnctwa cpngo Fourra q = D T wtor gęstośc strumna cpła q = {q x q y q z } [W/m 2 ] wtor { gradntu tmpratury } T T T T = [K/m] x y z macrz przwodnctwa cpngo D = { } [W/(mK)] zmno q T cpło Gęstość strumna wzrasta z wzrostm gradntu tmpratury. Cpło płyn od wyższ do nższ tmpratury. Bans cpny da staconarngo przpływu cpła Iość cpła gnrowango = ość cpła wypływaącgo fd = q n d f gęstość źródła cpła ość cpła dostarczana cału na dnostę obętośc czasu [J/(m 3 s)=w/m 3 ] Wyorzystuąc twrdzn Grna Gaussa Ostrogradsgo o całowanu przz częśc q n d = q T n d = fd = dvq d = { qx x + q y y + q } z d z T q d T q = f x

3 Probm staconarngo przpływu cpła w 3D Równana przpływu cpła Równan przwodnctwa (sformułowan mocn) T (D T ) + f = 0 x + warun brzgow q n = q T n = q na q naturan w.b.(numanna) na T podstawow w.b. (Drchta) T q Da matrałów zotropowych macrz D przymu formę D = I 2 T x T y T z 2 + f Da matrałów zotropowych bz źródła cpła 2 T x T y 2 = 0 równan Possona + 2 T = 0 równan Lapac a z2 taconarny przpływ cpła w 3D Wghtd rsdua mthod w ( T (D T ) + f ) d = 0 w 0 w T (D T )d + wfd = 0 T q formułowan słab ( w) T D T d + ( w ( w) T D T d q D T ( w) T D T d = w q d q naturany w.b. )T nd + q n w q T n d + wfd = 0 wfd = 0 w q n d + wf d T nwadoma wtórna w

4 Probm staconarngo przpływu cpła w 3D formułowan mocn T (D T ) + f = 0 x + warun brzgow q n = q T n = q na q na T T q formułowan słab ( w) T D T d = w q d wq n d + q T + podstawowy warun brzgowy wfd w 0 na T Probm staconarngo przpływu cpła w 3D Uład równań ME T = NΘ aprosymowana funca tmpratury N wtor func ształtu Θ wtor węzłowych wartośc tmpratury T = BΘ aprosymowana funca gradntu tmpratury B = N macrz pochodnych func ształtu ( w) T D T d = w qd wq n d + wfd w 0 q T KΘ = f b + f K = B T DBd, f b = N T q d N T q n d, f = q T N T f d

5 Dobór func aprosymacynych Podstawow ro agorytmu ME Zbudowan sformułowana mocngo 2 Transformaca do sformułowana słabgo 3 Wybór aprosymac poszuwan func 4 Wybór func wagow Dobór func aprosymacynych zagadnn D Zbudowan sformułowana mocngo ( d A dt ) + f = 0 dx dx + warun brzgow q x = q da x q ( np. x q = 0) da x T ( np. x T = ) x q = 0 x T = 2 Transformaca do sformułowana słabgo ( dw A dt ) dx = (waq x ) + (wa) + dx dx x= x=0 q 0 + podstawowy warun brzgowy da x T ( np. x T = ) 0 wfdx = 0

6 Dobór func aprosymacynych zagadnn D 3 Wybór func aprosymuących Funca nowa T (x) = α + α 2 x = [ Φα ] Φ = [ x], α α = α 2 T T T x x x T (x) = N ( )T + N ( )T = N Θ N = [N ( ) N ( )], Θ = [ T T ] N (x ) 0 dt d = B Θ, [ B = dn dn d = d dn d ] N (x ) 0 Dobór func aprosymacynych zagadnn D 3 Dobór func aprosymacynych Funca wadratowa T (x) = α + α 2 x + α 3 x 2 = Φα α Φ = [ x x 2 ], α = α 2 α 3 T (x) = N ( )T + N ( )T + N( )T = N Θ N = [N ( ) N ( ) N( )], Θ = T T T [ ] dt d = B Θ, B = dn dn d = dn dn d d d T T T T x x x N ( ) 0 N ( ) 0 N ( ) 0 x

7 Dobór func aprosymacynych Zagadnn 2D Zbudowan sformułowana mocngo T (D T ) + f = 0 + warun brzgow q n = q T n = q x A na Γ q na Γ T Γ T Γ q 2 Transformaca do sformułowana słabgo (h - grubość powrzchn) ( w) T Dh T da = wh qdγ whq n dγ + whfda A Γ q Γ T A + podstawowy warun brzgowy na Γ T Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D 3 Wybór func aprosymuących Emnt trówęzłowy T (x, y) = α + α 2 x + α 3 y = Φα Φ = [ x y], α = α α 2 α 3 T x T (x, y) T T y T (x, y) = N (, )T + N (, )T + + N (, )T = N Θ N = [N (, ) N (, ) N(, )], T Θ = T T

8 Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D 3 Wybór func aprosymuących Emnt trówęzłowy N = [N (, ) N (, ) N (, )].g. for N (, ) N (, ) = N (, ) = 0 N (, ) = 0 N (, ) N (, ) N (, ) Wyznaczn współczynnów func ształtu N (, ) = α + α 2 + α 3 x y x y x y α α 2 α 3 = 0 0 = α = x y x y 2P α 2 = y y 2P α 3 = x x 2P Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D Tróąt Pascaa mnt trówęzłowy x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 Tróąt Pascaa mnt szścowęzłowy x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4

9 Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D Krytra zbżnośc - wymagana da aprosymac zupłność aprosymaca mus być w stan rprzntować dowon po stał dowony stały gradnt poa zgodność na grancach mędzymntowych / styu mntów (dostosowan) aprosymaca mus być cągła na grancach mędzy mntam Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D 3 Wybór func aprosymuących Emnt cztrowęzłowy T (x, y) = α + α2 + α3 + α4x = Φα α Φ = [ x y xy], α = α2 α3 α4 T (x, y) = N (, )T + N (, )T + + N (, )T + N (, )T = N Θ N = [N (x, ) N (x, ) N (x, ) N (x, )] T (x, y) T x T T T y Θ = {T T T T }

10 Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D 3 Wybór func aprosymuących Emnt cztrowęzłowy (prostoątny) N = [N (, ) N (, ) N (, ) N (, )].g. for N (, ) N (, ) = N (, ) = 0 N (, ) = 0 N (, ) = 0 N (x, y) = (x x )(y y ) ab b a N (x, y) = (x x )(y y ) ab b a N (x, y) = (x x )(y y ) ab b a N (x, y) = (x x )(y y ) ab b a T = B Θ [ N ] B = N Dobór func aprosymacynych zagadnn 2D Tróąt Pascaa mnt cztrowęzłowy x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 Tróąt Pascaa mnt ośmowęzłowy x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4

11 Dobór func aprosymacynych zagadnn 3D Zbudowan sformułowana mocngo T (D T ) + f = 0 x + warun brzgow q n = q T n = q na q na T T q 2 Transformaca do sformułowana słabgo ( w) T D T d = w qd wq n d + q T + podstawowy warun brzgowy wfd na T Dobór func aprosymacynych zagadnn 3D 3 Wybór func aprosymuących z Emnt czworoścnny T (x, y, z) = α + α 2x + α 3y + α 4z x y z m p Emnt szścoścnny T (x, y, z) = α + α 2x + α 3y + α 4z+ + α 5xy + α 6yz + α 7xz + α 8xyz n x o y