Geodezja fizyczna i geodynamika

Transkrypt

1 Geodezja fizyczna i geodynamika Podstawowe równanie geodezji fizycznej, całka Stokesa, kogeoida Dr inż. Liliana Bujkiewicz 4 maja 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

2 Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej Physical Geodesy - Martin Vermeer, mvermeer/mpk-en.pdf Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

3 Stałe definiujace system GRS 80 duża półoś elipsoidy ziemskiej a = m geocentryczna stała grawitacyjna GM = m 3 s 2 dynamiczny współczynnik kształtu (spłaszczenia) J 2 = prędkość katowa Ziemi doba gwiazdowa T = 2π ω = 23 h 56 4, 091 U 0 = , 850 m2 s 2 ω = rad s 1 jest wielkościa pochodna powyższych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

4 Potencjał normalny, wielomiany Legendre a U = U(u, β) = GM E arctg E u + ω2 q ( 2 a2 sin 2 β 1 ) + ω2 ( u 2 + E 2) cos 2 β q U(r, θ) = GM r [ ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(cos θ)] + 1 r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 J 2 = 1082, J 4 = 2, J 6 = 0, J 8 = 0, Wzór rekurencyjny dla wielomianów Legendre a dla n > 1 : P n(t) = 2n 1 t P n 1 (t) n 1 P n 2 (t). n n P 0 (t) = 1, P 1 (t) = t, t cos θ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

5 1 1 σ gdzie element powierzchni sfery jednostkowej ortogonalność funkcji Legendre a { 4π n = m P n(t)p m(t)dt = 2n+1 0 n m P n(cos θ)p m(cos θ)dσ = dσ = sin θdθdλ { 4π 2n+1 n = m 0 n m z = r cos θ x = r sin θ cos λ y = r sin θ sin λ dxdydz = J drdθdλ = r 2 dr sin θdθdλ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

6 Potencjał zakłócajacy W - potencjał rzeczywistej siły ciężkości Ziemi (siły grawitacji i siły odśrodkowej) W 0 - wartość potencjału na geoidzie U - potencjał normalny (elipsoidy) U 0 - wartość potencjału normalnego na elipsoidzie odniesienia U 0 = W 0 Potencjał zakłócajacy (w danym punkcie) T = W U W szczególności w dowolnym punkcie P na geoidzie: T P = W 0 U P Różnica ta eliminuje potencjał siły odśrodkowej, więc to, co pozostaje jest funkcja harmoniczna na zewnatrz mas. T = 0 2 T x T y T z 2 = 0 Zagadnienie brzegowe dla T jest zagadnieniem mieszanym (Stokesa) - na brzegu obszaru dana będzie wartość kombinacji liniowej samego potencjału T i jego pochodnej w kierunku normalnym : αt + T n = dane Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

7 Podstawowe równanie geodezji fizycznej γ P γ Q + γ n N Q Dla anomalii grawimetrycznej: ( g = g P γ Q g P γ P γ ) n N = (g P γ P ) + γ Q n N Q warunek graniczny dla potencjału zakłócajacego - podstawowe równanie grawimetrii g = T n + 1 γ γ n T T r + 1 γ γ r T Anomalia grawimetryczna w przybliżeniu sferycznym: γ r 2, (r 2 ) = 2r 3, zatem γ r = 2 γ r. g = T r 2 r T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

8 Całka Stokesa Potencjał zakłócajacy jest funkcja harmoniczna - na zewnatrz mas przyciagaj acych. Rozwiazaniem tego zagadnienia jest całka Stokesa: T(φ, λ, r) = R S(ψ, r) g(φ, λ )dσ, 4π σ gdzie S(ψ, r) = n=2 2n + 1 n 1 ( ) R n+1 P n(cos ψ) r Dla geoidy w przybliżeniu sferycznym r = R (średni promień Ziemi): T(φ, λ) = R S(ψ) g(φ, λ )dσ, 4π σ gdzie S(ψ) = n=2 2n + 1 Pn(cos ψ) n 1 ψ - odlegość katowa między punktami (φ, λ) i (φ, λ ), g(φ, λ ) - wartość anomalii grawimetrycznej w punkcie (φ, λ ), a całkowanie wykonywane jest po sferze jednostkowej. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

9 Funkcja Stokesa S(ψ) = 1 sin ψ 2 6 sin ψ ( cos ψ 3 cos ψ ln sin ψ 2 + ψ ) sin2 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

10 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

11 Wysokość geoidy z danych grawimetrycznych T(φ, λ) = R 4π σ S(ψ) g(φ, λ )dσ, Ze wzoru Brunsa N = T γ N(φ, λ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

12 Aby wyznaczyć wysokość geoidy w danym punkcie P Ziemi, należy wysumować (wycałkować) anomalie grawimetryczne z całej powierzchni Ziemi N(φ P, λ P ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ N(φ P, λ P ) R 4πγ S(ψ P i ) g(φ i, λ i ) σ i gdzie γ jest średnim dla Ziemi przyspieszeniem normalnym, a funkcja Stokesa S(ψ) pełni tu rolę funkcji wagowej dla anomalii grawitacyjnych. i Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

13 metoda kombinowana Do wyznaczania dokładnej geoidy przy użyciu całki Stokesa wykorzystuje się dane różnego typu - np.: mapy średnich anomalii grawimetrycznych zazwyczaj siatki 5 5 model geopotencjału cyfrowy model terenu (DTM) Takie rozwiazania kombinowane właczaj a technikę remove-restore ( usuń-przywróć"): anomalia grawimetryczna g zredukowana zostaje o anomalię wyliczona z modelu geopotencjału g GM dokonane sa wygładzenia poprzez różnego typu poprawki terenowe g T całkę Stokesa stosuje się do anomalii rezydualnych: g res = g g GM g T, które sa niewielkie i wygładzone, a wynikiem jest rezydualna wysokość geoidy N res. na koniec przywracane sa wkłady do wysokości geoidy pochodzace od modelu globalnego i od uformowania terenu: N = N res + N GM + N T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

14 przybliżenie całki Stokesa Dla rezydualnych anomalii grawimetrycznych obszar całkowania można ograniczyć do promienia kilku stopni (odległość katowa), wtedy: S(ψ) 1 sin(ψ/2) 2 ψ sin x x (x 0) Niewielki obszar całkowania na sferze jednostkowej zamienia się na obszar płaski na powierzchni Ziemi: odległość katowa na sferze jednostkowej: ψ P i odpowiednia długość łuku na Ziemi (na kuli o promieniu R): element powierzchni w układzie płaskim: S = x y R 2 σ R ψ P i przybliżenie długości łuku w układzie płaskim: l P i = (x i x P ) 2 + (y i y P ) 2 R ψ l N(φ P, λ P ) R 4πγ i S(ψ P i ) g(φ i, λ i ) σ i N P R 2R g(x i, y i ) x i y i 4πγ l i i R 2 N P 1 g(x i, y i ) x i y i lub N = 1 2πγ l i i 2πγ g dxdy l Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

15 N odstęp geoidy od elipsoidy odniesienia gdy N znane na całej powierzchni Ziemi, znana jest też powierzchnia ekwipotencjalna (geoida) wiadomo, jak wyglada powierzchnia, na której W 0 = U 0 dalsze procedury np. wyznaczanie potencjału W dla r > R Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

16 Rozwiazanie Stokesa słuszne jest dla modelu matematycznego, gdzie: powyżej geoidy nie ma żadnych mas przyspieszenie grawitacyjne zostało odpowiednio zredukowane do geoidy cała masa Ziemi zawarta jest pod geoida Przemieszczenia mas topograficznych zmieniaja potencjał Ziemi otrzymana powierzchnia to kogeoida (cogeoida) - geoida zregularyzowana problem minimalizowania efektu pośredniego redukcji grawimetrycznych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

17 Redukcje anomalia Bouguer a (z poprawka terenowa) g B = g + δg T + δg B + δg F γ 0 = g + δg T + (0, , 0419σ)H γ 0 anomalia wolnopowietrzna (Faye a) g F = g + δg F γ 0 = g + 0, 3086H γ 0 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

18 Efekt pośredni dla redukcji Faye a na wartość pomierzonego przyspieszenia maja wpływ w szczególności wysokość stanowiska i masy zawarte między stanowiskiem pomiarowym, a poziomem morza redukcja Faye a (wolnopowietrzna) usuwa wpływ wysokości w rezultacie przyspieszenie zredukowane odpowiada sytuacji, gdy sa dodatkowe masy - teraz pod geoida (Barlik, s. 113) Dla σ = 2670 kg/m 3 : δn F = δv γ = V 1 V γ πgσh2 γ H = 1km δn F 6cm, H = 4km δn F 90cm Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

19 Efekt pośredni dla redukcji Bouguera dokonujac redukcji Bouguera usuwamy masy topograficzne pod stanowiskiem pomiarowym, a zatem w ogóle pozbywamy się części masy Ziemi δn B = δv γ = 0 V γ (Barlik, s.114) a promień płyty, H wysokość dla a = 100km: 2πGσaH γ H = 1km δn B 11m, H = 4km δn B 45m Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20

20 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 maja / 20