DSP-MATLAB, Ćwiczenie 2, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 2. Przemysław Korohoda, KE, AGH
|
|
- Adam Kalinowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 2 Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1.2 Odpowiedź impulsowa 1.3 Splot liniowy 1.4 Równanie różnicowe 1.5 Literatura uzupełniająca 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2.1 M-pliki, funkcje Informacje ogólne Funkcje Polecenia, których umieszczenie w m-pliku może ułatwić pracę 2.2 Elementy języka sterujące wykonaniem programu Pętla for Instrukcja warunkowa if 2.3 Zapamiętanie danych w pliku i wczytanie danych z pliku 2.4 Funkcje z zakresu DSP 3 Zadania do wykonania 1
2 Na instrukcję składają się następujące części: 1 Materiał z zakresu DSP 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 3 Zadania do wykonania Do sprawnego wykonania ćwiczenia nie jest konieczna wcześniejsza praktyczna znajomość nie używanych w poprzednich ćwiczeniach funkcji pakietu MATLAB, jednak niezbędna jest dobra orientacja w materiale przedstawionym w częściach 1 oraz 2 tej instrukcji oraz w zagadnieniach będących przedmiotem poprzednich ćwiczeń. Dlatego też wskazane jest dokładne przeczytanie obu wymienionych części instrukcji oraz zanalizowanie podanych przykładów. UWAGA: znajomość i zrozumienie części 1, 2 oraz materiału z poprzednich ćwiczeń mogą zostać przez prowadzącego skontrolowane w trakcie zajęć. W realizacji zadań z części 3 może pomóc ich wcześniejsze przemyślenie. W razie niejasności należy skonsultować się przed zajęciami (tzn. na przykład w terminie konsultacji) z prowadzącym, bezpośrednio lub poprzez korohoda@uci.agh.edu.pl 2
3 1 Materiał z zakresu DSP System cyfrowy przekształca podany na wejście systemu ciąg w ciąg wyjściowy. Oba ciągi określone są na tej samej dziedzinie indeksów, czyli liczb całkowitych. Zatem przez system można rozumieć zarówno jakikolwiek opis zależności ciągu wyjściowego od wejściowego (na przykład równanie), jak i, przykładowo, układ scalony realizujący tę samą operację, gdzie kolejne indeksy odpowiadają taktom zegara. Z punktu widzenia dalszych rozważań nie ma to żadnego znaczenia. Równanie (lub inną formę opisu) należy traktować jako model rzeczywistego układu cyfrowego. Warto jedynie przypomnieć, że jeżeli przyjmiemy, iż precyzja zapisu liczb jest dostatecznie duża by aproksymować nieskończoną precyzję, to system taki powinien być nazywany systemem z czasem dyskretnym (ze względu na całkowite indeksy zastępujące ciągły czas). 1.1 Klasyfikacja systemów Systemy ze względu na strukturę można podzielić na: a) nierekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili (czyli dla danego indeksu) jest określona wyłącznie przez wartość lub wartości ciągu wejściowego (niekoniecznie przez wartość wejściową w jednej tylko chwili ); b) rekursywne - gdy wartość na wyjściu w danej chwili jest określona przez wartość lub wartości ciągu wejściowego oraz wartość lub wartości ciągu wyjściowego. Przedstawienie systemu nierekursywnego w postaci rekursywnej jest możliwe zawsze. Natomiast często postaci rekursywnej nie da się przekształcić do nierekursywnej (o skończonym zakresie indeksów określających, które elementy ciągu wejściowego decydują o danej wartości wyjściowej). System wykonujący określoną operację na ciągu wejściowym może być z punktu widzenia jego struktury przedstawiony na nieskończenie wiele sposobów. Zagadnienie to zostanie dokładniej opisane w kontekście równań różnicowych oraz transmitancji z. Rys.1.1 Uproszczony schemat systemu o strukturze: a) nierekursywnej, b) rekursywnej Na rysunku pokazano, iż w chwili określonej przez indeks n na wejście systemu podawana jest odpowiednia wartość ciągu wejściowego, a na wyjściu pojawia się w tej samej chwili pojedyncza wartość ciągu wyjściowego. Warto zaznaczyć, iż system w swojej strukturze może zapamiętywać wartości ciągu wejściowego a także wyjściowego (system rekursywny) dla minionych indeksów, a w przypadku systemu nieprzyczynowego konieczne jest także założenie, iż system dysponuje odpowiednimi wartościami dla przyszłych indeksów (większych od n ). Jeżeli przez S[ ] oznaczy się operację, jaką system wykonuje na ciągu (lub ciągach) podanym w miejsce kropki, to rysunkowi 1.1 może odpowiadać następujący ogólny zapis: a) y[ n] = S[ x[ n] ] (1) b) y[ n] = S x[ n], y[ n] (2) [ ] 3
4 W ogólnym przypadku ciąg wejściowy określony jest dla indeksów rozpoczynających się w minus nieskończoności. W praktyce często rozważa się jednak oś indeksów począwszy od określonej, skończonej wartości. W takiej sytuacji to, co wydarzyło się w systemie do tej chwili początkowej jest opisywane za pomocą warunków początkowych lub stanu początkowego systemu. Oznaczmy tę dodatkową informację jako s. Wtedy ogólny zapis odpowiedzi systemu wyglądać może następująco: [ ] y[ n] S x[ n], y[ n], s = (3) Problematyka ta będzie jeszcze poruszona przy omawianiu równania różnicowego oraz opisu za pomocą zmiennych stanu. Istnieją różne kryteria klasyfikacji systemów cyfrowych - podobne do kryteriów klasyfikacji systemów analogowych. Na ćwiczeniach skoncentrujemy się na czterech z nich: 1) liniowości, 2) zmienności względem przesunięcia (stacjonarności), 3) stabilności, 4) przyczynowości. 1) System S[ ] jest liniowy, jeżeli dla dowolnych dwóch sygnałów wejściowych oraz wszystkich n posiada dwie cechy: addytywności: [ 1[ ] 2[ ]] [ 1[ ]] [ 2[ ]] S x n + x n = S x n + S x n (4) oraz jednorodności, zwanej też skalowalnością lub homogenicznością, czyli dla dowolnej stałej a : [ ] = a S[ x n ] S a x[ n] [ ] (5) Obie powyższe cechy można zapisać łącznie (dla dwóch dowolnych stałych a 1 oraz a 2 ): [ ] = 1 [ 1 ] + 2 [ 2 ] S a x [ n] a x [ n] a S x [ n] a S x [ n] (6) System nie spełniający powyższych warunków jest nieliniowy. 2) System S[ ] jest niezmienny względem przesunięcia (w dziedzinie indeksów czasowych ), jeżeli dla dowolnego całkowitego przesunięcia k zachodzi: [ ] [ ] y[ n] = S x[ n] y[ n + k] = S x[ n + k] (7) System nie spełniający tego warunku jest zmienny względem przesunięcia. System niezmienny względem przesunięcia nazywa się też systemem stacjonarnym. 3) System jest stabilny w sensie BIBO (skrót z j.ang. - Bounded Input Bounded Output, czyli Ograniczone Wejście Ograniczone Wyjście) jeżeli: ( ) ( ) M : < n x n M M : [ ] < n y[ n] M x x y y (8) 4
5 Powyższy zapis oznacza, że jeżeli żadna wartość wejściowa x[ n] nie przekracza co do modułu pewnej skończonej wartości progowej, to można określić skończoną wartość progową także dla wszystkich modułów wartości wyjściowych y[ n]. System nie spełniający tego warunku jest niestabilny w sensie BIBO. Stabilność można zdefiniować także w inny sposób i dlatego należy zawsze dopilnować, by było oczywiste, w jakim sensie określamy stabilność danego systemu. 4) System jest przyczynowy, jeżeli dla dowolnie wybranego n 0 prawdziwe jest poniższe sformułowanie: ( ) ( ) n n x n = 0 n n y n = 0 [ ] [ ] (9) 0 0 Czyli, gdy wszystkie wartości wejściowe dla wszystkich indeksów mniejszych lub równych n 0 są równe zero, to dla tych indeksów również na wyjściu nie pojawi się żadna wartość różna od zera. Inaczej - pojawienie się na wyjściu wartości niezerowej musi być poprzedzone lub co najwyżej równoczesne (w sensie indeksów czasowych ) z podaniem na wejście co najmniej jednej wartości niezerowej. Istnieją różne równoważne formy zapisu tej samej właściwości. System nie spełniający powyższego postulatu jest nieprzyczynowy. Szczególnym przypadkiem systemu nieprzyczynowego jest system antyprzyczynowy, czyli taki, gdy: ( ) ( ) n< n x n = 0 n n y n = 0 : [ ] : [ ] (10) 0 0 Oznacza to, że odpowiedź systemu może być niezerowa jedynie do chwili pojawienia się pierwszej niezerowej wartości wymuszenia. Przykłady systemów (We wszystkich podanych niżej przykładach przyjmujemy, że < liczb całkowitych) a) system niestabilny w sensie BIBO (akumulator - ang. accumulator): y[ n] = x[ k] n k = b) system zmienny względem przesunięcia (kompresor - ang. compressor): c) system nieprzyczynowy (różnica w przód - ang. forward difference): n < oraz, że k należy do zbioru (11) y[ n] = x[ k n] : k > 1 (12) y[ n] = x[ n + ] x[ n] 1 (13) d) system antyprzyczynowy (odwrócenie osi czasu, a także przesunięcie, gdy k<0): e) system nieliniowy (dodanie stałej na wyjściu): y[ n] = x[ k n] : k 0 (14) 5
6 y[ n] = x[ n] + 1 (15) Należy przemyśleć podane przykłady tak, by umieć uzasadnić dlaczego stanowią przykłady odpowiednich cech, a także by umieć określić pozostałe trzy cechy (na przykład dla systemu (11), czy jest on liniowy, stacjonarny czy przyczynowy). Warto też umieć podać inne przykłady oraz sklasyfikować inny system. 1.2 Odpowiedź impulsowa W przypadku sygnałów i systemów dyskretnych odpowiedzią impulsową nazywa się odpowiedź danego systemu na podany na wejście ciąg delty Kroneckera. Zazwyczaj odpowiedź impulsową oznacza się literą h, zatem dla systemu S[ ] będzie to: [ ] h[ n] S d[ n] = (16) W przypadku gdy system jest liniowy i niezmienny względem przesunięcia (odtąd będzie mowa wyłącznie o takich systemach), odpowiedź impulsowa opisuje go jednoznacznie (jak to wykazać? - warto powrócić do tego problemu po przeczytaniu rozdz.1.3). Gdy system jest niestabilny (w sensie BIBO), wówczas odpowiedź impulsowa może, ale nie musi, zawierać elementy o modułach rosnących do nieskończoności (sprawdź dla systemu kumulator). Natomiast gdy elementy odpowiedzi impulsowej dążą (w module) do nieskończoności, to system taki jest zawsze niestabilny w sensie BIBO. Systemy (liniowe, niezmienne względem przesunięcia) są stabilne (w sensie BIBO) wtedy i tylko wtedy, gdy suma modułów wszystkich elementów odpowiedzi impulsowej jest mniejsza od nieskończoności: h[ n] < (17) n= Proszę się zastanowić, jakie będą odpowiedzi impulsowe dla systemów podanych w rozdziale 1.1 i co z postaci tych odpowiedzi wynika z punktu widzenia opisanej klasyfikacji systemów. 1.3 Splot liniowy Splot liniowy jest operacją umożliwiającą określenie za pomocą odpowiedzi impulsowej systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) odpowiedzi tego systemu na dowolny sygnał wejściowy. Splot liniowy dwóch ciągów x n 1[ ] oraz x n 2[ ] jest zdefiniowany następująco: y[ n] = x [ k] x [ n k] = x [ n k] x [ k] k = (18) k = Powyższy zapis pokazuje, iż splot liniowy jest operacją przemienną (warto umieć to wykazać). Jest to także operacja liniowa, a nawet dwuliniowa (też warto wiedzieć dlaczego). Symbolem oznaczającym skrótowo zapis sumacyjny (18) jest, zatem (18) można zapisać również jako: y[ n] = x [ n] x [ n] = x [ n] x [ n] (19) Jeżeli jeden z dwóch splatanych ciągów jest odpowiedzią impulsową danego systemu, to wynik splotu jest odpowiedzią systemu na drugi ze splatanych ciągów, pełniący rolę sygnału wejściowego: y[ n] = x[ n] h[ n] (20) Jeżeli dowolne dwa systemy są opisane przez swoje odpowiedzi impulsowe i systemy te zostaną połączone równolegle lub szeregowo, to, dzięki odpowiednim cechom splotu, można w prosty sposób określić odpowiedź impulsową układu zastępczego takiego połączenia. Jako ćwiczenie przygotowujące do 6
7 zajęć należy dla obu przypadków wyprowadzić zależność odpowiedzi impulsowej układu zastępczego od odpowiedzi impulsowych systemów składowych. Splot sygnału z odpowiedzią impulsową można przedstawić opisowo w sposób następujący. Ciąg odpowiedzi impulsowej należy odwrócić tył na przód i stopniowo przesuwać nad ciągiem sygnału wejściowego. W każdym położeniu wyznacza się iloczyny tych elementów obu ciągów, które znalazły się jeden nad drugim. Zsumowanie tych iloczynów daje wynik splotu dla pojedynczej wartości indeksu sygnału wyjściowego. W praktyce oba ciągi nie rozciągają się w nieskończonym zakresie indeksów (określenie ciągów w skończonym zakresie indeksów oznacza zwykle, że poza nim ciągi te przyjmują wartości zerowe ). Wystarczy zatem wziąć pod uwagę tylko ten zakres położeń ciągu h[ n] nad ciągiem x[ n], dla którego można otrzymać niezerowe wartości ciągu wynikowego. Jeżeli ciąg h[ n] jest określony na długości L h, a ciąg x[ n] na długości L x, to wynik splatania powinien być ciągiem o długości: Ly = Lh + Lx 1 (21) Warto pamiętać, że w określonym zakresie indeksów każdy z ciągów może być również zerowy. Rys.1.2 przedstawia graficznie trzy położenia ( w tym dwa krańcowe ) dwóch ciągów, h[ n] oraz s1[ n], przy wyznaczaniu ich splotu liniowego s [ 2 n ]. Rys.1.2 Przykład wyznaczania splotu liniowego dla ciągów określonych na skończonym zakresie indeksów Należy zwrócić uwagę na wartości indeksów ciągu wynikowego. Zależą one od tego, jak na osi indeksów ułożona jest odpowiedź impulsowa i sygnał wejściowy. W przypadku zignorowania indeksów nie jest możliwe rozróżnienie na przykład odpowiedzi systemu przyczynowego i nieprzyczynowego. Jeżeli zakres 7
8 indeksów, dla którego określono ciąg x[ n], zaczyna się od n x, natomiast ciąg h[ n] określono poczynając od indeksu n h, to pierwszy element ciągu wynikowego jest określony dla indeksu: ny = nx + nh (22) Pominięcie indeksów spowoduje, że nie będzie możliwe potwierdzenie ważnego efektu, iż splot sygnału z ciągiem delty Kroneckera przesuniętym o k daje w wyniku ten sam sygnał, ale przesunięty właśnie o k : x[ n] d[ n k] = x[ n k] (23) Właściwość tę można (i należy to umieć) łatwo sprawdzić analizując wzór (23) w zapisie sumacyjnym (patrz (18)). Zależność (23) wynika także wprost z wyznaczenia odpowiedzi impulsowej systemu opóźniającego o k indeksów. Ponieważ funkcja conv MATLAB a nie uwzględnia indeksów, więc należy tę ważną niekiedy informację wprowadzić samodzielnie. Jednym ze sposobów jest użycie dodatkowych wektorów o długościach identycznych z wektorami reprezentującymi oba splatane ciągi. Te dodatkowe ciągi powinny mieć wartości zerowe wszędzie poza jednym elementem wskazującym na wybrany indeks (na przykład 0 ). Wykonanie polecenia conv dla tych pomocniczych wektorów da w wyniku wektor z jednym niezerowym elementem wskazującym położenie wybranego indeksu w ciągu wynikowym. Domowe ćwiczenia uzupełniające: 1. Dlaczego liniowość oraz niezmienność względem przesunięcia są warunkami koniecznymi do tego, by odpowiedź impulsowa umożliwiała określenie odpowiedzi systemu na dowolny sygnał wejściowy? Uzasadnienie można oprzeć na przykładach systemów nie spełniających wymaganych założeń. Można jednak przeprowadzić dowód bazujący na następujących wskazówkach: a) splot jest operacją liniową, b) dowolny sygnał można przedstawić jako kombinację liniową przesuniętych delt Kroneckera, c) splot dowolnego ciągu z przesuniętą deltą Kroneckera daje ten sam ciąg, jednak przesunięty tak samo jak jest przesunięta delta. 2. Korzystając z właściwości splotu oraz odpowiedzi impulsowej proszę wykazać, że każdy system ( w tym przypadku liniowy i stacjonarny) można przedstawić jako złożenie systemu przyczynowego i antyprzyczynowego. 1.4 Równanie różnicowe Zależność pomiędzy ciągiem wejściowym i wyjściowym dla danego systemu (liniowego, niezmiennego względem przesunięcia) można opisać za pomocą liniowego równania różnicowego o stałych współczynnikach a k oraz b m, przy czym zakłada się, że a 1 0 : K a y[ n k + 1] = b x[ n m + 1] M k k = 1 m= 1 m (24) W ogólnym przypadku sumowanie po obu stronach może przebiegać po indeksach zmierzających do nieskończoności. Przekształcenie (24) do postaci odpowiadającej wyznaczeniu wartości y[ n], czyli wartości wyjściową w danej chwili, daje: a y[ n] = b x[ n] + b x[ n 1] b x[ n M + 1] a y[ n 1] a y[ n 2]... a y[ n K + 1] 2 3 M K (25) 8
9 Współczynnik a 1 przyjmuje się zwykle jako równy 1, co nie ogranicza ogólności wzoru (25), gdyż wymaga jedynie odpowiedniego przeskalowania wszystkich pozostałych współczynników równania. UWAGA: System opisany równaniem (25) nie musi być przyczynowy - przyczynowość może zależeć od założonych warunków początkowych (patrz przykład na końcu podrozdziału). Często jednak przyjmuje się z założenia przyczynowość systemu. W ogólnym przypadku ( ponieważ wartość wyjściowa w danej chwili zależy zarówno od wartości ciągu wejściowego, jak i wyjściowego ) równanie opisuje strukturę rekursywną. Jednak gdy wszystkie współczynniki a k, z wyjątkiem a 1, są zerowe, to równanie (25) opisuje strukturę nierekursywną i jeżeli zakres sumowania jest skończony, to równanie takie odpowiada systemowi o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR (skrót z j.ang. - Finite Impulse Response ). Jako ćwiczenie wstępne należy wykazać, że w takim przypadku kolejne elementy odpowiedzi impulsowej są równe kolejnym współczynnikom b k (natomiast dla indeksów mniejszych od zera elementy odpowiedzi impulsowej są równe zero), czyli: h[ k] = (26) Równość (26) zachodzi także, gdy zakres sumowania nie jest skończony, czyli gdy M =. Wtedy jednak odpowiedź impulsowa także nie jest skończona zatem jest to system o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR ( skrót z j.ang. - Inifinite Impulse Response ). Ponieważ równanie różnicowe o nieskończonym zakresie sumowania ma niewielkie zastosowanie praktyczne, zatem przyjmuje się, że systemu IIR nie da się przedstawić w postaci nierekursywnej. Warto przypomnieć, że system określony jednoznacznie z punktu widzenia realizowanej operacji może być opisany za pomocą nieskończenie wielu równań różnicowych, a w szczególności że każdy opis nierekursywny można przedstawić jako równoważny opis rekursywny ( jednak twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe ). Możliwość wielu wariantów opisu jednego systemu łatwo będzie potwierdzić przy omawianiu transmitancji z. Warunki początkowe równania różnicowego Samo równanie różnicowe nie zawsze jest kompletnym opisem systemu. Odpowiedź systemu wyznaczona z danego równania różnicowego może zależeć od warunków początkowych. Od ich wyboru może zależeć nawet, czy system jest przyczynowy, czy też nie. Jednak termin warunki początkowe posiada nieco inne znaczenie w teorii równań różnicowych, a inne z punktu widzenia implementacji systemów (filtrów) cyfrowych: a) Warunki początkowe dla równania różnicowego (24), to zbiór K 1 przyjętych z założenia wartości ciągu y[ n] dla dowolnych K 1 różnych wartości indeksów. Ponadto zakłada się znajomość ciągu x[ n] dla pełnego zakresu indeksów. Określenie jako zadanych z góry K 1 kolejnych wartości y[ n] gwarantuje znalezienie rozwiązania dla pozostałych elementów ciągu y[ n]. Przyjęcie natomiast jako warunków początkowych dowolnych, ale nie kolejnych K 1 wartości ciągu wyjściowego może - choć nie musi - doprowadzić do sprzeczności. Kompletny ciąg y[ n] można nazwać ogólnym rozwiązaniem równania różnicowego. Rozwiązanie to posiada dwie składowe - rozwiązanie szczególne (zwane też wymuszonym, ponieważ zależy od wymuszenia w postaci ciągu x[ n]) oraz rozwiązanie jednorodne (zwane też swobodnym, ponieważ zależy od K 1 warunków początkowych, a nie zależy od x[ n]). W tym przypadku słowo początkowe nie ma bezpośredniego związku z jakąkolwiek chwilą początkową wynikającą z indeksów czasowych. Przykładowo z warunku początkowego w postaci wartości y[ 10 ] wyznaczane są pozostałe elementy ciągu y[ n] - zarówno dla n < 10, jak i dla n > 10. b) Warunki początkowe dla wyznaczenia odpowiedzi filtru cyfrowego to wartości potrzebne do wyznaczenia fragmentu ciągu wyjściowego y[ n] dla zakresu indeksów czasowych b k 9
10 rozpoczynającego się od skończonej wartości n 0 (na przykład n 0 = 0 ), w sytuacji gdy ciąg wejściowy x[ n] znany jest również dopiero od chwili n 0. Zakłada się wówczas zwykle, że system jest przyczynowy (dla systemu antyprzyczynowego można przyjąć przeciwny bieg indeksów). Warunki początkowe, w postaci na przykład zmiennych stanu systemu, zawierają niezbędną informację zastępującą brakujące z punktu widzenia równania różnicowego elementy ciągów wejściowego i wyjściowego sprzed chwili początkowej n 0. Określenie warunków początkowych można w tym przypadku porównać do odczytania pamięci systemu. Termin początkowe można zatem zinterpretować bardziej dosłownie, w nawiązaniu do chwili początkowej n 0. Dla filtru opisanego równaniem (24) ilość warunków początkowych w postaci np. zmiennych stanu powinna wynosić: Mówi się, że rząd filtru (systemu) jest równy N IC. Dla M K ( ) N = max IC K 1, M 1 (27) = = 1 system nie zawiera żadnych opóźnień, jest bezpamięciowy, więc warunki początkowe w sensie b) nie są konieczne. Warto zwrócić uwagę, że dla systemu FIR nie ma potrzeby określania warunków początkowych w sensie a), natomiast w sensie b) konieczne one będą zawsze, gdy tylko M > 1. Rozpatrywanie klasy systemów z zerowymi warunkami początkowymi typu b) odpowiada założeniu, że w czasie poprzedzającym analizowanie odpowiedzi systemu sygnał wejściowy był zerowy oraz system posiadał zerowy stan wewnętrzny. Nie jest to założenie abstrakcyjne, gdyż w praktyce łatwo jest je spełnić przez zerowanie odpowiednich buforów. Podsumowując, przy założeniu że: 1) system jest przyczynowy oraz 2) przy zerowych warunkach początkowych w sensie b) dane równanie różnicowe jednoznacznie definiuje system. Dość istotny jest fakt, że określając warunki początkowe dla wymuszenia w postaci ciągu d[ n], wyznacza się jednoznaczny opis systemu w postaci odpowiedzi impulsowej. Odpowiedź impulsowa systemu (liniowego i stacjonarnego) nie zależy od ciągu wejściowego x[ n], natomiast opis tego samego systemu za pomocą równania różnicowego może wymagać dobierania warunków początkowych dla każdego ciągu wejściowego (patrz ćwiczenia uzupełniające do przykładu 1.1 na końcu podrozdziału). Pominięcie dostosowania warunków początkowych do danego ciągu wejściowego może dać w rezultacie system o zupełnie innych właściwościach niż wynikałoby to z wyznaczonej odpowiedzi impulsowej. Przykłady systemów opisanych przez równania różnicowe 1. System przyczynowy lub antyprzyczynowy ( nieszczelny akumulator - ang. leaky accumulator ): y[ n] 0, 5 y[ n 1 ] = x[ n] (28) Wyznaczymy dla tego systemu odpowiedź impulsową dla dwóch różnych warunków początkowych w sensie a): 1.1 y[ 1] = 0 ; x[ n] = d[ n] (czyli x[ n] jest określone dla < n < ) Dla n > 1 równanie (25) przekształca się do postaci: y[ n] = 0, 5 y[ n 1 ] + x[ n] natomiast dla n < 1 do: y[ n] = 2 y[ n + 1] x[ n + 1 ] ( ) 10
11 Oddalając się z indeksami od punktu n 0 = 1 w obie strony można w sposób rekurencyjny wyznaczyć ciąg y[ n] dla wszystkich < n <. Fragment ciągu wynikowego jest następujący: y[ n] = h [ n] = 1 1, 1 1 1,, dla n =,,, h1[ n] = 0 dla wszystkich n < 0 { } 1.2 y[ 1] = 0; x[ n] = d[ n] Postępując analogicznie otrzymuje się kompletny ciąg przedstawiono poniżej: y[ n], którego fragment Domowe ćwiczenia uzupełniające: { } { } y[ n] = h2[ n] = 16, 8, 4, 2, 0 dla n = 4, 3, 2, 1, 0 h2[ n] = 0 dla wszystkich n > 0 1. Dla systemu przyczynowego o odpowiedzi impulsowej h[ n] = {,. } dla n = {, } proszę napisać odpowiednie równanie różnicowe oraz określić warunki początkowe w sensie a) w postaci wartości y[ 1 ] przyjmując, że na wejście podany jest: 1) ciąg x1[ n] = u[ n] 2) ciąg x [ n] = u[ n] u[ n ] System o skończonej odpowiedzi impulsowej ( różnica wstecz - ang. backward difference ): 3. Inny system FIR ( bieżąca średnia - ang. moving average ): y[ n] = x[ n] x[ n 1 ] (29) M 1 y[ n] = M x [ n k + 1] k = 1 (30) 1.5 Literatura uzupełniająca [1] W.Borodziewicz, K.Jaszczak, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - wybrane zagadnienia, WNT, Warszawa, [2] A.Dąbrowski (pod red.), Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, [3] A.V.Oppenheim, R.W.Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, [4] A.Papoulis, Obwody i układy, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, [5] A.Wojtkiewicz, Elementy syntezy filtrów cyfrowych, WNT, Warszawa,
12 2 Korzystanie z pakietu MATLAB 2.1 M-pliki, funkcje Informacje ogólne W wielu sytuacjach posługiwanie się pakietem może być znacznie ułatwione przez zapisanie sekwencji komend do pliku lub utworzenie funkcji. Podanie nazwy tego pliku (bez rozszerzenia) spowoduje automatyczne wykonanie całej zapisanej sekwencji lub funkcji. Muszą być jednak spełnione pewne warunki: a) plik jest zapisany w kodzie ASCII, b) nazwa pliku posiada rozszerzenie m, na przykład: funkcja.m, c) katalog, w którym znajduje się ten plik, jest wymieniony w odpowiednim wykazie pakietu MATLAB (wykaz ten jest dostępny w odpowiednim okienku dialogowym lub poprzez komendę path ). Plik zawierający sekwencję komend - a nie funkcję - określany jest jako script Funkcje Drugim sposobem wykorzystania m-plików oprócz skryptów jest tworzenie własnych funkcji. Nazwa funkcji musi być zgodna z nazwą pliku (także o rozszerzeniu m ). W pierwszej linii pliku powinno się znajdować słowo kluczowe function, a po nim lista zmiennych wyjściowych, nazwa funkcji i w nawiasie lista zmiennych wejściowych. Wszystkie nazwy zmiennych używane w definicji funkcji są lokalne. Jeżeli pierwsza linia m-pliku o nazwie suma.m jest następująca: function z= suma(x,y) to funkcja ta może być wywołana jako komenda: >> c=suma(a,b) Wywołanie takie może się znaleźć również w definicji innej funkcji. Należy uważać, by nową nazwą funkcji ( lub zmiennej ) nie zasłonić już istniejącej nazwy funkcji (lub zmiennej). Symbol % oznacza, że reszta linii na prawo od niego jest traktowana jako komentarz. Ponadto sekwencja linii rozpoczynających się od tego znaku, a następująca po pierwszej linii m-pliku z funkcją, jest wyświetlana na ekranie w wyniku podania komendy: >> help nazwafunkcji Korzystanie z tej możliwości jest najlepszym sposobem na uniknięcie pomyłki w interpretacji zmiennych wejściowych i wyjściowych oraz umożliwia przypomnienie, co dana funkcja realizuje. Można też dzięki temu wykryć niepożądane zasłonięcie nazwy funkcji lub zmiennej (w przypadku zmiennej komenda help spowoduje wyświetlenie informacji, że takiego m-pliku nie ma). Przykładowa zawartość m-pliku: function z=suma(x,y) % z = suma(x,y) % % dodawanie liczb, wektorow lub macierzy z=x+y; 12
13 Gdy liczba zmiennych wyjściowych jest większa niż jeden, to lista tych zmiennych umieszczana jest w nawiasach [ ], przykładowo (model systemu antyprzyczynowego): function [y,ty]=anticaus(x,tx); % [y,ty]=anticaus(x,tx); % % x - ciąg wejściowy % tx - indeksy czasowe dla ciągu wejściowego % y - ciąg wyjściowy % ty - indeksy czasowe dla ciągu wyjściowego L=length(tx); ty=[tx(:)-l;tx(:)]; y=zeros(2*l,1); x=x(:); y=[x(l:-1:1);x]; Uwaga: W przypadku, gdy wywołując funkcję nie zaproponujemy zmiennych dla wszystkich zmiennych wynikowych funkcji, to przyporządkowanie zmiennych nastąpi według kolejności na liście w m-pliku (czyli w definicji), np. dla pierwszej linii m-pliku: function [s,r]=plusmin(x,y) oraz przy wywołaniu: >>vector=plusmin(v1,v2); Zmiennej vector zostanie przypisana wartość zmiennej s wyliczonej przez funkcję, natomiast wyliczona zmienna r nie będzie wykorzystana. Pełną zawartość danego m-pliku można wyświetlić na ekranie za pomocą polecenia: >> type nazwa_pliku Nie należy nadużywać możliwości tworzenia funkcji do realizacji prostych zadań, gdyż w takich przypadkach zajmuje to więcej czasu niż podanie sekwencji komend i powoduje trudne do usunięcia zaśmiecenie dysku Polecenia, których umieszczenie w m-pliku może bardzo ułatwić pracę Polecenie Opis disp( stała tekstowa ) wypisanie na ekranie podanej stałej tekstowej input( stała tekstowa ) wypisanie na ekranie podanej stałej tekstowej oraz oczekiwanie na wpisanie nowej wartości zmiennej (przydatne w m-plikach) 13
14 2.2 Elementy języka sterujące wykonaniem programu Tworzenie m-plików zawierających funkcje jest często wskazane, gdy do realizacji danego zadania konieczne jest opracowanie programu zawierającego pętle i elementy decyzyjne Pętla for: for i=1:k, sekwencja poleceń; end Warto pamiętać, że zmienna sterująca może przyjmować kolejne wartości pobrane z wektora o dowolnej zawartości, np.: >> n=[-1,6,-3]; >> for i=n, k=i^2; end; Instrukcja warunkowa if: if warunek sekwencja poleceń; end lub też dwuwariantowo: if warunek sekwencja poleceń; else sekwencja poleceń; end warunek może zawierać jeden z sześciu operatorów porównania: <, >, == (równe), ~= (różne), <=, >=. Na przykład: >> if x~=y x=0; end Instrukcje for oraz if mogą być używane także w postaci komend (patrz powyższe przykłady). Pętla (lub sprawdzenie warunku) nie będzie wtedy realizowana, dopóki nie podamy kompletnego jej opisu - nawet gdy w trakcie jego tworzenia naciśniemy kilkakrotnie klawisz [Enter]. 2.3 Zapamiętanie danych w pliku i wczytanie danych z pliku Zawartość pamięci operacyjnej pakietu - czyli nazwy i wartości zmiennych - może być zapamiętana w pliku i wczytana z pliku. Można także zapamiętać w pliku treść sesji. Poniżej podano zestawienie odpowiednich poleceń. Polecenie save nazwa_pliku save nazwa_pliku zmienne save nazwa_pliku zmienne -ascii load nazwa_pliku load nazwa_pliku -ascii diary nazwa pliku diary on/off Opis zapamiętanie wskazanych danych w pliku o podanej nazwie (tryb ASCII lub matlab, o ile nie podamy opcji -ascii) wczytanie wszystkich danych z pliku o podanej nazwie (tryb ASCII lub matlab, o ile nie podamy opcji -ascii) zapisywanie do pliku wszystkich poleceń i większości rezultatów - on i off włącza i wyłącza zapisywanie 14
15 2.4 Funkcje z zakresu DSP Polecenie filter( dane wejściowe ) conv( dane wejściowe ) Opis wyznaczanie odpowiedzi systemu opisanego przez równanie różnicowe wyznaczanie splotu liniowego dwóch ciągów (w postaci wektorów) Obie funkcje są podobne - umożliwiają wyznaczenie odpowiedzi stacjonarnego systemu liniowego na podane wymuszenie. Funkcja filter może jednak modelować zarówno system opisany równaniem nierekursywnym, jak i rekursywnym, natomiast instrukcja conv jest przydatna bezpośrednio jedynie dla opisu nierekursywnego. Z kolei funkcja filter wyznacza odpowiedź o długości takiej samej jak długość sygnału wejściowego, podczas gdy wynik funkcji conv ma długość wynikającą z długości sygnału wejściowego i odpowiedzi impulsowej (patrz materiał z zakresu DSP). Ograniczona długość wyniku dla funkcji filter jest rekompensowana przez możliwość wykorzystania warunków początkowych ( w sensie b) ) oraz końcowych - zagadnienie to będzie elementem kolejnego ćwiczenia. W tym ćwiczeniu przyjmuje się założenie o zerowych warunkach początkowych (nie będą więc także analizowane warunki końcowe). Dlatego z funkcji filter należy korzystać w sposób następujący: >>y=filter(b,a,x); gdzie x oraz y to wektory reprezentujące ciągi wejściowy i wyjściowy, natomiast b oraz a to wektory reprezentujące ciągi współczynników równania różnicowego o nazwach zgodnych z oznaczeniami we wzorach (24) i (25) ((UWAGA NA KOLEJNOŚĆ!!!). Naturalnie nie ma konieczności stosowania takich samych nazw - istotna jest kolejność wektorów podanych na liście wejściowej funkcji filter. Ponieważ przyjmuje się, że w równaniu (25) a 1 = 1, więc należy o tym pamiętać przy tworzeniu wektorów opisujących badany filtr. Dla systemu według równania (29) przykładowa sekwencja komend mogłaby wyglądać następująco: >> a29=1; >> b29=[1, -1]; >> d=zeros(1,64); >> d(33)=1; zatem umawiamy się, że 33 pozycji odpowiada indeks 0 >> h29=filter(b29,a29,d); h29 jest odpowiedzią impulsową systemu (29) dla wybranego zakresu indeksów ( jakiego?) Podobne zadanie można także zrealizować za pomocą funkcji conv (system nie jest rekursywny), jednak tym razem musimy założyć znajomość odpowiedzi impulsowej: >> x=rand(1,64); >> y=conv(x,h29); odpowiedź systemu (29) na pseudolosowy ciąg wejściowy Powyższe przykłady nie uwzględniają indeksów - jak zatem należałoby je uzupełnić, by można było przedstawić graficznie odpowiednie ciągi z opisem osi poziomej w postaci indeksów czasowych? W celu uruchomienia generatora liczb pseudolosowych w uzależnieniu od stanu zegara komputera należy podać komendę: >> rand( seed,sum(100*clock)); 15
16 3 Zadania do wykonania 1. Korzystając z gotowych m-plików zbadać odpowiedź wybranych systemów na odpowiednio dobrane sygnały wejściowe - i w ten sposób potwierdzić przeprowadzoną klasyfikację. 2. Zademonstrować zastosowanie splotu liniowego do wyznaczania odpowiedzi systemu przy uwzględnieniu indeksów czasowych. 3. Potwierdzić za pomocą przykładów opisane cechy splotu liniowego. 4. Potwierdzić za pomocą przykładu, że odpowiedź impulsowa jako kombinacja liniowa poprzesuwanych delt Kroneckera może być użyta do wyznaczenia odpowiedzi systemu (spełniającego odpowiednie warunki) na dowolny sygnał wejściowy. 5. Potwierdzić za pomocą przykładów związek pomiędzy odpowiedzią impulsową i równaniem różnicowym (przy zerowych warunkach początkowych). 6. Zbadać odpowiedzi systemów opisanych przez równania różnicowe oraz odpowiedzi impulsowe na wybrane sygnały wejściowe (według zaleceń prowadzącego). 7. (dodatkowe) Dla nieprzyczynowego systemu FIR opisanego przez odpowiedź impulsową zademonstrować wyznaczenie odpowiedzi systemu na dowolny sygnał wejściowy poprzez rozkład tego systemu na system przyczynowy i antyprzyczynowy. 16
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Systemy i wybrane sposoby ich opisu
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Systemy i wybrane sposoby ich opisu Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Klasyfikacja systemów 1.
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Ćwiczenie 3. Transformata Z; blokowe struktury opisujące filtr
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie Transformata ; blokowe struktury opisujące filtr Przemysław Korohoda, KE, AGH awartość instrukcji: Materiał z zakresu DSP. Transformata.2
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowo1 Wprowadzenie do algorytmiki
Teoretyczne podstawy informatyki - ćwiczenia: Prowadzący: dr inż. Dariusz W Brzeziński 1 Wprowadzenie do algorytmiki 1.1 Algorytm 1. Skończony, uporządkowany ciąg precyzyjnie i zrozumiale opisanych czynności
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania MATLAB funkcje zewnętrzne (m-pliki, funkcje) Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoZad. 3: Układ równań liniowych
1 Cel ćwiczenia Zad. 3: Układ równań liniowych Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoPętle. Dodał Administrator niedziela, 14 marzec :27
Pętlami nazywamy konstrukcje języka, które pozwalają na wielokrotne wykonywanie powtarzających się instrukcji. Przykładowo, jeśli trzeba 10 razy wyświetlić na ekranie pewien napis, to można wykorzystać
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy
ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH
METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH ĆWICZENIE NR 9 WYRAŻENIA LOGICZNE, INSTRUKCJE WARUNKOWE I INSTRUKCJE ITERACYJNE W PROGRAMIE KOMPUTEROWYM MATLAB Dr inż. Sergiusz Sienkowski ĆWICZENIE NR
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZEIE 7 Splot liniowy i kołowy sygnałów 1. Cel ćwiczenia Operacja splotu jest jedną z najczęściej wykonywanych operacji na sygnale. Każde przejście
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoWielomian interpolacyjny Hermite a
Wielomian interpolacyjny Hermite a Witold Bołt 15 listopada 2005 1 Sformułowaniezadania Dlafunkcjif:[a,b] Rdanejwzorem: f(t)=e 2t +1 wyznaczyć wielomian interpolacyjny Hermite a na zadanych węzłach. Wypisać
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoDiary przydatne polecenie. Korzystanie z funkcji wbudowanych i systemu pomocy on-line. Najczęstsze typy plików. diary nazwa_pliku
Diary przydatne polecenie diary nazwa_pliku Polecenie to powoduje, że od tego momentu sesja MATLAB-a, tj. polecenia i teksty wysyłane na ekran (nie dotyczy grafiki) będą zapisywane w pliku o podanej nazwie.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 2
Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania
Bardziej szczegółowoBlockly Kodowanie pomoc.
1 Blockly Kodowanie pomoc. Słowniczek: Zmienna posiada nazwę wywoływaną w programie oraz miejsce na przechowywanie wartości. Instrukcja warunkowa pozwala na wykonanie instrukcji w zależności od warunku
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1. Wprowadzenie do programu Octave
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 1. Wprowadzenie do programu Octave Mimo że program Octave został stworzony do
Bardziej szczegółowoPo uruchomieniu programu nasza litera zostanie wyświetlona na ekranie
Część X C++ Typ znakowy służy do reprezentacji pojedynczych znaków ASCII, czyli liter, cyfr, znaków przestankowych i innych specjalnych znaków widocznych na naszej klawiaturze (oraz wielu innych, których
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoZapis algorytmów: schematy blokowe i pseudokod 1
Zapis algorytmów: schematy blokowe i pseudokod 1 Przed przystąpieniem do napisania kodu programu należy ten program najpierw zaprojektować. Projekt tworzącego go algorytmu może być zapisany w formie schematu
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych - zajęcia 9
Poniższy dokument zawiera informacje na temat zadań rozwiązanych w trakcie laboratoriów. Elementy metod numerycznych - zajęcia 9 Tematyka - Scilab 1. Labolatoria Zajęcia za 34 punktów. Proszę wysłać krótkie
Bardziej szczegółowoZapisywanie algorytmów w języku programowania
Temat C5 Zapisywanie algorytmów w języku programowania Cele edukacyjne Zrozumienie, na czym polega programowanie. Poznanie sposobu zapisu algorytmu w postaci programu komputerowego. Zrozumienie, na czym
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoZad. 3: Rotacje 2D. Demonstracja przykładu problemu skończonej reprezentacji binarnej liczb
Zad. 3: Rotacje 2D 1 Cel ćwiczenia Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich struktur
Bardziej szczegółowoAlgorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Bardziej szczegółowoKATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoInstrukcje warunkowe i skoku. Spotkanie 2. Wyrażenia i operatory logiczne. Instrukcje warunkowe: if else, switch.
Instrukcje warunkowe i skoku. Spotkanie 2 Dr inż. Dariusz JĘDRZEJCZYK Wyrażenia i operatory logiczne Instrukcje warunkowe: if else, switch Przykłady 11/3/2016 AGH, Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1. Wprowadzenie do programu Octave
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 1. Wprowadzenie do programu Octave Mimo że program Octave został stworzony do
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoINSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW
INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 temat: AUTOMATY MOORE A I MEALY 1.
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Operacja na dwóch funkcjach dająca w wyniku modyfikację oryginalnych funkcji (wynikiem jest iloczyn splotowy). Jest
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania Laboratorium. Ćwiczenie 2 Programowanie strukturalne podstawowe rodzaje instrukcji
Podstawy programowania Laboratorium Ćwiczenie 2 Programowanie strukturalne podstawowe rodzaje instrukcji Instrukcja warunkowa if Format instrukcji warunkowej Przykład 1. if (warunek) instrukcja albo zestaw
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Turbo Pascal
Skróty: ALT + F9 Kompilacja CTRL + F9 Uruchomienie Struktura programu: Programowanie w Turbo Pascal Program nazwa; - nagłówek programu - blok deklaracji (tu znajduje się VAR lub CONST) - blok instrukcji
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania C++
Wykład 3 - podstawowe konstrukcje Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Wstęp Plan wykładu Struktura programu, instrukcja przypisania, podstawowe typy danych, zapis i odczyt danych, wyrażenia:
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1A400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy
ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoJeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:
Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów
Bardziej szczegółowoLaboratorium z automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium z automatyki Algebra schematów blokowych, wyznaczanie odpowiedzi obiektu na sygnał zadany, charakterystyki częstotliwościowe Kierunek studiów:
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE I SYMULACJA UKŁADÓW STEROWANIA Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1.
Bardziej szczegółowoRekurencja (rekursja)
Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoAlgorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny
Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu danych
Bardziej szczegółowolekcja 8a Gry komputerowe MasterMind
lekcja 8a Gry komputerowe MasterMind Posiadamy już elementarną wiedzę w zakresie programowania. Pora więc zabrać się za rozwiązywanie problemów bardziej złożonych, które wymagają zastosowania typowych
Bardziej szczegółowo3. Instrukcje warunkowe
. Instrukcje warunkowe Przykłady.1. Napisz program, który pobierze od użytkownika liczbę i wypisze na ekran słowo ujemna lub nieujemna, w zależności od tego czy dana liczba jest ujemna czy nie. 1 #include
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowob n y k n T s Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu dyskretnego przedstawionego poniżej:
1. FILTRY CYFROWE 1.1 DEFIICJA FILTRU W sytuacji, kiedy chcemy przekształcić dany sygnał, w inny sygnał niezawierający pewnych składowych np.: szumów mówi się wtedy o filtracji sygnału. Ogólnie Filtracją
Bardziej szczegółowoZadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima
Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki ćwiczenia Cz.1. Środowisko Matlab
Podstawy Automatyki ćwiczenia Cz.1 Środowisko Matlab Podstawową jednostką obliczeniową w programie Matlab jest macierz. Wektory i skalary mogą być tutaj rozpatrywane jako specjalne typy macierzy. Elementy
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoPrzetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ PODSTAWY TEORETYCZNE
Przetworniki cyfrowo-analogowe C-A CELE ĆWICZEŃ Zrozumienie zasady działania przetwornika cyfrowo-analogowego. Poznanie podstawowych parametrów i działania układu DAC0800. Poznanie sposobu generacji symetrycznego
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Przetwarzanie Sygnałów Kod: TS1C400027 Temat ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo