Wykład 9. 2 ) działa niezależnie od postaci analitycznej sił. Jest równie łatwa dla oscylatora
|
|
- Magda Lisowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadaliśmy sns równań ruchu. Są o równania różniczkow. Pozwalają on wyznaczyć położnia (i prędkości) w dowolnym czasi przyszłym, jśli znamy w jakijś chwili (nazywanj począkową ) wszyski położnia i wszyski prędkości. Skonsruowaliśmy jawny przpis na znajdowani koljnych położń i prędkości (rakowanych dla wygody jako współrzędn jdngo wkora y = y, y, } w kórym połowa y ków o { 1 L zwykł położnia, a druga połowa o prędkości 1 ) opay na ym, ż znamy pochodn wszyskich składowych y po czasi wyrażon przz samo y: y & = f (y). Pochodn składowych, kór są położniami, o są inn y-ki,, kór są prędkościami, pochodn ych składowych, kór są prędkościami, czyli przyspisznia są właśni ą kwinsncją równań ruchu, kór opisują konkny przykład, konkn oddziaływania. Ważn, by ni zalżały on od niczgo inngo niż y. A więc zalżność siły ograniczona być musi do zalżności od wszyskich położń i prędkości, oraz, wnualni, od czasu (y ). Moda krok po kroku ( w kórjkolwik wrsji prymiywnj, ulpszonj, czy wyrafinowanj ) działa nizalżni od posaci analiycznj sił. Js równi ława dla oscylaora harmoniczngo, co i anharmoniczngo. Równi ława dla siły oporu liniowgo, czy opisango dowolna poęga prędkości, czy funkcja przsępną. Moda numryczna, przy wszyskich zalach, ma jdną wadę. Naw po wprowadzniu ak dużj, jak o możliw, liczby wilkości bzwymiarowych, rozwiązani można skonsruować ylko dla konknych waości bzwymiarowych. Chcąc przdyskuować różn zachowania ruchu w danym problmi, w zalżności i od warunków począkowych i od waości różnych współczynników, rzba porównywać wil abl, czy wil wykrsów. Dlago, gdy ylko isnij możliwość analiyczngo rozwiązania, j. rozwiązania na lirach rprznujących i waości począkow i paramry układu, aki jak masy, ładunki, współczynniki oporu, czy współczynniki sprężysości, o jsśmy bardzo ęśliwi! Taki rozwiązywaln problmy są kljnoami, kór powinniśmy kolkcjonować, kór powinniśmy poznawać, kórymi powinniśmy umić się ciszyć. 1 Gdy siły zalżą jawni od czasu, wprowadzamy j y =. Mody prymiywnj sosować ni wao, chyba, nigdy. Moda wyrafinowana wymaga znaczni mnijszj liczby kroków od mody ulpszonj, dla uzyskania żądanj dokładności, al samgo wpisywania opracji w programi, js nico więcj. Wybór js kwsią gusu, porzb, możliwości numrycznych i oprogramowania jakim dysponujmy. 1
2 Domyślają się wszyscy, ż oscylaor harmoniczny, a więc układ opisany równa- nim: & =, nalży do akich właśni kljnoów! Po wprowadzniu czasu zrdukowango = / i prędkości zrdukowanj v = d / d, równani ruchu przyjmuj posać: d = v d d v = d W j właśni posaci rozwiązaliśmy równania numryczni (przy warunku począkowym v () = 1, () = ) uzyskując dla położń funkcję przypominającą znany z gomrii sinus i dla prędkości zrdukowanj funkcję przypominającą cosinus. Uzyskan numryczni funkcj są okrsow, zminiając się w przdzial od 1 do +1, mają okrs *3, Podjdźmy raz analiyczni do naszgo oscylaora. Upwnimy się, ż nasz funkcj są ymi dobrz znanymi z gomrii funkcjami rygonomrycznymi. Jak pamięamy, przyros sumy kwadraów w ścisłym rozwiązaniu, js wykluczony: d( + v ) = d + v d v = (v v )d = + v = C = + v a sama waość j sumy wyznaczona js przz warunk począkowy. Na płayźni fazowj ( v, ) pozosajmy w czasi ruchu na okręgu o prominiu C. Trzba raz okrślić jak się n punk przmia wraz z upływm czasu. To ław. C (, v ) ( v, ) Wkor : (d v / d,d / d ) = (, v ) i wkor : ( v, ) maja rown dlugosci i sa oogonaln f v
3 Prędkość przmiania się punku o wkorz wodzącym: ( v, ) na płayźni fazowj ( d v / d, d / d ) = (, v ) js prosopadła do go wkora wodzącgo. To oznacza, oczywiści, ż punk musi pozosawać na okręgu, o środku w począku układu. To już js rzula nam znany. Al nasz wynik oznacza j coś więcj. Szybkość (względm czasu zrdukowango) przminia się po ym okręgu js sała i równa waości prominia C. W czasi przbya po obwodzi droga js iloczynm prominia i czasu (zrdukowango). Zam ką φ na rysunku (w mirz łukowj) js ożsamy z czasm zrdukowanym, gdy czas zaczynamy liczyć j od fazy ruchu, w kórj =, a prędkość js maksymalna, albo = + φ = φ +, w przypadku ogólnym φ Korzysając z rygonomrycznj dfinicji funkcji sinus i cosinus, widzimy, iż: = C sin( + φ ) v = v = C cos( + φ ) Na podsawi znanych wzorów na funkcj rygonomryczn sumy kąów mamy: = C sin( + φ ) = C sin( φ ) cos( ) + C cos( φ ) sin( ) v = v = C cos( + φ ) = C cos( φ ) cos( ) C sin( φ ) sin( ) Dwi dowoln sał: ampliudę i fazę możmy, jśli ak nam wygodnij, zasąpić począkowymi waościami położnia i prędkości: = C sin( φ v = C cos( φ ) cos( ) + C cos( φ ) cos( ) C sin( φ ) sin( ) = ) sin( ) = v v cos( ) + sin( ) cos( ) sin( ) Js o kompln rozwiązani problmu ruchu oscylaora. Powsaj pyani, czy wobc isninia, i o ak sosunkowo prosgo, rozwiązania analiyczngo, wao było zajmować się rozwiązanim numrycznym? No cóż. To kwsia gusu. W powyższym podjściu wzoruję się na Fynmani. Js szrg zal uświadominia sobi jak pracują równania ruchu. Jdną z korzyści było nimal naychmiasow, bz żadngo wysiłku, przjści od oscylaora harmoniczngo, do anharmoniczngo. Inna sprawa o sam funkcj sinus i cosinus. Wydaj nam się, ż wimy, czmu on są równ. Al ak naprawdę, z rygonomrii o my ylko widzimy na rysunku, jaki js ich sns, al policzyć o sobi j możmy dla 3, 45, czy 6 sopni i paru innych podobnych. 3
4 Właśni osanio mój wnuk mni dopyuj, bo go o nipokoi: no co o js n sinus dla byl jakigo kąa? Oczywiści, w przszłości, mądrzy ludzi ułożyli ablic - dzisiaj, w byl kalkulaorku odczyamy waość sinusa, dajmy na o 1 radiana. A my sobi sami policzyliśmy! Zaglądamy do abli na sroni 7 wykładu 8 z krokim,1 i w rubryc E1 mamy (wyliczoną za pomocą opracji czyso arymycznych) waość,8415. Tyl samo, co wszędzi! W wyniku na ruch oscylaora zawa są ż ważn wyniki na pochodn ych funkcji. Po prosu widzimy, ż pochodną sinusa js cosinus, a cosinusa minus sinus. No, bo pochodną położnia js prędkość, a pochodną prędkości przyspiszni, równ położniu z znakim minus. Dwukron różniczkowani każdj z ych funkcji (a akż ich dowolnj kombinacji liniowj) daj z powrom ę sama funkcję, al z minusm. Zbiór własności d dϕ f () = d dϕ f ( ϕ) = f ; f ( ϕ) ϕ= = 1 dfiniuj jdnoznaczni funkcję f. Ta funkcja wysępuj w naszj kolumni E arkusza kalkulacyjngo z poprzdnigo wykładu. Ta funkcja nazywa się sinus. Ta sama funkcja pozwala związać współrzędną punku na okręgu z długością odpowidnigo łuku. Funkcj rygonomryczn grają ak wybina rolę w fizyc, ż wao, już raz, pokazać j jdną ich własność. Ni js rudno uzyskać szrg poęgowy dla sinusa i cosinusa. Punkm wyjścia nich będzi szrg dla funkcji wykładniczj: = !! wpros z dfinicji liczby i wzoru na dwumian Nwona ! + 4 4! + L Można go uzyskać Z rozwinięcia go wynika podsawowa własność funkcji wykładniczj, mianowici o, iż jj pochodna równa się samj funkcji. To widać. Każdy człon zróżniczkowany ma mnijszą poęgę, a wykładnik n zjżdżający do licznika, skraca się z osanim czynnikim n! 3 Oo prosy rachunk, rochę brawurowy jak na gusy mamayków, al dla fizyków OK. = 1+ + n ((1 + 1/ n) ) 1! n m m( m 1) = (1 + / n) = (1 + / m) = 1+ m + m! m m( m 1) 1 m( m 1)( m ) L m m 3! m m m! 3! 3 + L = + L 4
5 silni w mianowniku. Tym samym każdy wyraz rozwinięcia samj funkcji, pojawia się ponowni w szrgu jj pochodnj, yl, ż człon z poęgą pochodzi z członu z poęgą 1, człon z poęgą 1 pochodzi z członu z poęgą, człon z poęgą pochodzi z członu z poęgą 34 id. d d = Gdy z szrgu poęgowgo funkcji wykładniczj zosawimy sobi sam poęgi parzys (albo sam niparzys) dopiro dwukron różniczkowani daj znów funkcję wyjściową. Nazywają się funkcj: sinus hiprboliczny i cosinus hiprboliczny: 3 5 sinh( ) = L 1! 3! 5! 4 cosh( ) = L! 4! Mamy szrg oczywisych rlacji: cosh ()=sinh() sinh ()=cosh() sinh()+cosh()= ; cosh()- sinh()= - ; sinh()=( - - )/; cosh()=( + - )/; Jsśmy blisko! Porzba nam ylko znaku minus przy przprowadzaniu jdnj z funkcji w drugą. Osiąga się o, zaminiając szrgi dla funkcji hiprbolicznych, na szrgi naprzminn sin( ) = + + L 1! 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = L! 4! 6! Przy dwukronym różniczkowaniu każdy człon rprodukuj (prawi) n wczśnijszy, yl, ż każdy wczśnijszy (sąsidni) ma przciwny znak! d sin = cos d d cos = sin d Elgancki wzór dosaj się korzysając z liczb zspolonych. Poniważ 3 4 i = 1; i = i; i = 1, więc, widać co się dzij, po wsawiniu i do szrgu poęgowgo dla podsawowj funkcji wykładniczj. Wyrazy o poęgach podzilnych przz 4 ni zminiają się, a pozosał parzys zminiają znak. Grupują się w szrg dla cosinusa. 5
6 Wyrazy o n=4k+1 dosają mnożnik i, a posaci 4K+3 dosają mnożnik i. Po wyłączniu i, dosajmy szrg dla sinusa: Słynny wzór Eulra: i cos( ) + i sin( ) =, js jdnym z najpięknijszych wzorów mamayki Zapisany dla = π brzmi: i zawira 5 najważnijszych liczb: Js ż oczywiści: iπ,1,,, π + 1 = i! sin( ) = i i i, cos( ) = i + i Przydaność liczb zspolonych zilusrujmy zbadanim ruchu oscylaora z siłą łuminia proporcjonalną do prędkości: m & = k α& Sosunk k/m dla oscylaora niłumiongo oznaczaliśmy lirą. Jak się nibawm przkonamy, łumini spowoduj, ż ruch ni będzi już okrsowy (w zwykłym snsi), a jśli pojawi się (dla dosaczni słabgo łuminia) coś analogiczngo do częsości, będzi o wilkość różna od k/m. Dlago zminiamy oznaczni: k / m Wygodni js ż oznaczyć α / m = β i zapisać równani ruchu w posaci: & = β& Przysępując do poszukiwania rozwiązania analiyczngo akigo równania, powinniśmy uświadomić sobi kilka spraw. Po pirwsz. Wimy, iż podani położnia począkowgo i prędkości począkowj v dla wybrango czasu (przyjmijmy, ż gdy ni ma wyraźngo powodu, jako czas począkowy wybirać będzimy =) js i koniczn i wysarczając dla wyznacznia ruchu. Gdybyśmy, więc, znalźli funkcję czasu zawirającą dwi dowoln sał: C 1 i C, funkcję spłniająca nasz równani ruchu, dla dowolngo zsawu sałych C 1 i C, o, dobirając dwi sał, moglibyśmy nadać waościom położnia i prędkości w chwili począkowj, pożądan waości. 6
7 Rozwiązani z porzbną liczbą dowolnych sałych nazywa się rozwiązanim ogólnym. Po drugi. Nasz równani js liniow jdnorodn. Poszukiwana funkcja i jj pochodn wysępują ylko i wyłączni w pirwszj poędz, ni ma akż iloczynów, np. &. Js o ison uławini. Liniowość oznacza, ż gdy jakiś góln () js rozwiązanim, o wilokroność go rozwiązania C () js ż rozwiązanim go samgo równania ruchu. A akż, gdy są dwa rozwiązania góln, o ich kombinacja liniowa: C 1 1 () + C () js ż rozwiązanim. To fanasyczn uławini. Jśli znalźć na j, czy innj drodz, odgadnąć, dwa góln rozwiązania równania liniowgo (równania drugigo rzędu dla jdngo położnia), o ym samym, już się ma rozwiązani ogóln. Po rzci, funkcja wykładnicza, cudowna funkcja wykładnicza, po zróżniczkowaniu pozosaj sobą, mnożąc się jdyni przz współczynnik: d / d = r. Druga pochodna pomnoży się przz r, a sama funkcja pozosani sobą. Osaczni funkcja wykładnicza pozosani w pirwszj poędz w wszyskich członach równania i można o równani przz nią podzilić. Znikni czas z go równaia, a na o by było ono spłnion, spłnion być musi równani algbraiczn jaki się z go narodziło. Przysępujmy do zgadywania. Zgadujmy, ż powinno isnić rozwiązani wykładnicz z jakąś waością r. By się o ym przkonać wsawiamy funkcję do równania ruchu. Dosajmy: r r = + βr + βr =, czyli, po podzilniu przz : zamias Jako bonus porakujmy fak, iż równani na r js kwadraow. Poza pwnym złośliwym przypadkim, daj nam o ni ylko jdno, al dwa rozwiązania, kór po pomnożniu przz dwi dowoln, różn sał i zsumowan produkują nam rozwiązani ogóln! Każdy z Was dobrz wi, ż równani kwadraow moż ni mić żadngo rozwiązania! Czy będzimy z go powodu płakać??? W żadnym wypadku!!!! Owo żadngo rozwiązania doyczy liczb rzczywisych. Dołączając użyczny wór, jakim js i, jaki ż i = 1,przwarzający funkcj wykładniczą (szrg o sałych znakach) w funkcj rygonomryczn, powodujmy, ż rozwiązani posaci a + ib musi isnić dla każdgo 7
8 równania kwadraowgo (czy o o współczynnikach rzczywisych, czy zspolonych). Czasami rozwiązani js ylko jdno, gdy równani js posaci ( a ib) =, al na ogół są dwa, yl, ż czasmi oba sa zspolon. Mamy równani kwadraow, więc avani. r r 1, + βr + = β ± β =, Js jasn, ż przypadk łuminia ak silngo, ż β > (czyli α > km ) js zdcydowani nipodobny do przypadku przciwngo. W ym pirwszym, rozwiązanim ogólnym js β ( C 1 β + C ). β Przy równaniach liniowych, kombinacj rozwiązań gólnych ż są rozwiązaniami gólnymi, w gólności połowa sumy i połowa różnicy. Zam β ( D1 cosh β + D sinh β ) js inną posacią rozwiązania ogólngo. Ta druga posać js wygodna do wsawinia warunków począkowych: D 1 =, D βd1 = v A posać pirwsza js dogodna do ocny mpa zbliżania się oscylaora do położnia równowagi. Dla dużych czasów, człon z większym (co do waości bzwzględnj wykładnikim) js pomijalny w sosunku do go drugigo i o n drugi rządzi zachowanim asympoycznym: p ( β β ). Problm łuminia drgań js nizwykl ważnym prakyczni zagadninim! Czasami chcmy mić drgania możliwi słabo łumion. Czasami jdnak, aki słabo łumion drgania są niwygodn. O, choćby w amoyzaorach. Al i w czysych badaniach naukowych, wil przyrządów pomiarowych, zawira części ruchom, kórych położni usala się w wyniku równowagi. Np. waga. Gdyby kołysani się szalk wagi ni było łumion, ni doczkalibyśmy się nigdy na możliwość odczyu. W akich wypadkach wprowadza się łumini konrolowan. Czy bowim prawdą js, ż im łumini silnijsz, ym lpij? Absoluni ni. Gdy β dąży do niskończoności, współczynnik przy czasi będący odwronością czasu osiągania równowagi ( β β ) = /( β + β ) / β dąży do zra, a czas τ = β / (po kórym waość wychylnia spada o czynnik ) 8
9 dąży do niskończoności. Z go punku, opłaca się łumini zmnijszać. Al co się dzij, gdy przkroczymy waość? No właśni!!! Traz pojawiają się, całkowici nauralni, liczby zspolon. A liczby zspolon w wykładniku, o funkcj rygonomryczn! Zaczynają się drgania! Wygodni js, jak o już robiliśmy, (al raz po dwakroć wygodni) wybrać jako rozwiązania góln: połowę sumy i połowę różnicy dzilonj dodakowo przz i. Czyli sinus i cosinus: ( ) = β ( D1 cos β + D sin β ) Skorzysaliśmy z go, ż ± β = ± i β Waość położnia js iloczynm funkcji opisującj poczciw drgania harmoniczn, choć o mnijszj częsości: = β przz monooniczni maljący czynnik wykładniczy β. W gólności, drgania zaczynając się (w chwili =) w położniu, z prędkością v, opisan są równanim: v β ( ) = sin β β Dla β możmy obliczyć granicę dosając: ( ) = v β J jdną rzcz nalży raz rozwinąć. Mianowici ruch pod wpływm zwnęrznj, oscylującj znanj siły, o dowolnj częsoliwości równj, albo różnj od częsoliwości własnj oscylaora. + + β& = h cos( ) Sała h js ampliudą zminnj siły 4 F( ) = mh cos( ) podziloną przz m. Mamy raz równani nadal liniow al nijdnorodn. I raz, znalzini rozwiązania ogólngo ni przdsawia rudności.. 4 W przypadku innych oscylaorów niż punk marialny, np. w przypadku drgającgo obwodu lkryczngo z kondnsaorm, cwką indukcyjną i opornikim, prawa srona rprznować będzi (z odpowidnim współczynnikim) zminn napięci przyłożon do obwodu, np. napięci sici o częsoliwości 5Hz, albo napięci z anny odbiorczj, c. 9
10 Wysarczy zaobsrwować, ż znajomość, chociaż jdngo rozwiązania gólngo całgo równania, pozwala sprowadzić problm do rozwiązywania znów równania jdnorodngo! Isoni. Nich splnia :& + β& + = h cos Dokonajmy podsawinia = + y, i znajdźmy równani na y. (& + && y) + β( & + y& ) + ( + y) = h cos Człony z rozwiązanim gólnym rdukują się z członm po prawj, człony z y spłniają więc równani: & y + βy& + y =, kórgo rozwiązani ogóln właśni znalźliśmy. Rozwiązani góln rzba znów zgadywać. Odkładając na pom przypadk ogólny zbadajmy na razi oscylaor niłumiony. W akim wypadku widać, ż szans na spłnini równania isnij, gdy uda się dobrać ampliudę drgań z częsością wymuszającą: = Acos Wsawiając do równania (bz łuminia) && ( + Acos + ) A = h = h cos dosajmy : cos = h cos, czyli : Ampliudy rozwiązania gólngo A ni da się dobrać, gdy częsość wymuszająca pokrywa się z częsością własną. W pozosałych przypadkach A = h Rozwiązani ogóln płngo równania js: h = cos + C1 cos + C sin Dziwn rzczy dziją się dla częsości wymuszającj bliskij, a ym bardzij równj, częsości własnj oscylaora. Zro pojawia się w mianowniku, sugrując naychmiasową kaasrofę. Z drugij srony, gdy zaczynamy kołysać oscylaor z częsością rzonansową, 1
11 sosując jakąś skończoną siłę, położni oscylaora, ni moż nagl sać się niskończon, co zdaj się sugrować wzór na rozwiązani ogóln. Rozwiązani paradoksu polga na wprowadzniu do ogólngo wzoru, zamias wygodnych, lcz ni mających bzpośrdnij inrpacji sałych C 1 i C, danych począkowych i v. v = = h C + C cos cos = h 1 + cos v + sin Gdy częsości sają się bliski i w mianowniku pojawia się mała wilkość, w liczniku ż wysępuj mała wilkość, różnica cosinusów od bliskich argumnów. Rozkładając mianownik na iloczyn, możmy pirwszy człon przkszałcić do posaci: h = + cos cos + cos v + sin Gdy a js sinusm., drugi iloraz pokrywa się z dfinicją pochodnj funkcji cosinus! A Mamy, więc, dla dokładngo rzonansu: h v = sin + cos + sin + Wynik całkowici skończony! Jśli wysępuj łumini, pojdynczy człon z cosinusm ni moż spłnić równania, bo człon z pochodną sani się sinusm. Nalży więc szukać rozwiązania w posaci kombinacji sinusa i cosinusa z dwima niwiadomymi ampliudami. Wszlki opracj (jdno różniczkowani, czy dwa) w równaniu prowadzą ylko do członów z sinusm i cosinusm, spłnini równania sprowadzi się do porównania współczynników z osobna przy sinusi i cosinusi. Al mamy dwi niwiadom, więc procdura musi doprowadzic do sukcsu. Zajmici się ym na ćwiczniach. 11
12 1
Wykład 9. 2 ) działa niezalenie od postaci analitycznej sił. Jest równie łatwa dla oscylatora
Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadalimy sns równa ruchu. S to równania róniczkow. Pozwalaj on wyznaczy połonia (i prdkoci) w dowolnym czasi przyszłym, jli znamy w jakij chwili (nazywanj pocztkow ) wszystki
Bardziej szczegółowoWykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości
Bardziej szczegółowoUogólnione wektory własne
Uogólnion wktory własn m Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
Bardziej szczegółowoWykład 2 Wahadło rezonans parametryczny. l+δ
Wykład Wahadło rzonans paramryczny θ θ l l+δ C B B Wykład Wahadło - rzonans paramryczny E E E B mg l cos θ θ E kinb m d d l l+δ B B l C I m l E B B kinb' I m B' B' d d d d B l ml d d B ' mgl cos ' B gcos
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoDefinicja: Wektor nazywamy uogólnionym wektorem własnym rzędu m macierzy A
Uogólnion wktory własnw Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A m do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoSzeregowy obwód RC - model matematyczny układu
Akadmia Morska w Gdyni Katdra Automatyki Okrętowj Toria strowania Mirosław Tomra Na przykładzi szrgowgo obwodu lktryczngo składającgo się z dwóch lmntów pasywnych: rzystora R i kondnsatora C przdstawiony
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoAnaliza wybranych własności rozkładu reszt
Analiza wybranych własności rozkładu rsz Poprawni skonsruowany i oszacowany modl, kóry nasępni ma być wykorzysany do clów analizy i prdykcji, poza wysokim sopnim odzwircidlania zmian warości mpirycznych
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowo2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009
Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach 009 06 Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w
Bardziej szczegółowoFunkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autorzy: Anna Barbaszwska-Wiśniowska 2018 Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autor: Anna Barbaszwska-Wiśniowska DEFINICJA Dfinicja 1: Funkcja niciągła
Bardziej szczegółowover b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Bardziej szczegółowodrgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoProjektowanie procesu doboru próby
Projkowai procsu doboru próby Okrśli populacji gralj i badaj Okrśli jdoski próby 3 Okrśli wykazu badaj populacji 4 Okrśli liczbości próby 5 Wybór mody doboru próby losowgo ilosowgo Usali ko lub co moż
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoRozwiązanie równania różniczkowego MES
Rozwiązani równania różniczkowgo MES Jrzy Pamin -mail: jpamin@l5.pk.du.pl Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki Krakowskij Strona domowa: www.l5.pk.du.pl
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 11 OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STRUKTURY ELEKTRONICZNEGO SYSTEMU BEZPIECZEŃSTWA
ĆWICZENIE OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STUKTUY ELEKTONICZNEGO SYSTEMU EZPIECZEŃSTWA Cl ćwicznia: zapoznani z analizą nizawodnościowo-ksploaacyjną lkronicznych sysmów bzpiczńswa; wyznaczni wybranych wskaźników
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylaor harmoniczny Energia oscylaora harmonicznego Wahadło maemayczne i fizyczne Drgania łumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu RUCH HRMONICZNY Ruch
Bardziej szczegółowosin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)
Kolokwium z mmki 7.. Tm A godz.. Imię i nzwisko Nr indksu Zdni Wznczć cłkę d cos sin Wznczć ką unkcję pirwoną do unkcji cos sin kór przchodzi przz punk Odp. c cos cos F Zdni Nrsowć wrswic unkcji ln odpowidjąc
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ
ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoSieci neuronowe - uczenie
Sici nuronow - uczni http://zajcia.jakubw.pl/nai/ Prcptron - przypomnini x x x n w w w n wi xi θ y w p. p. y Uczni prcptronu Przykład: rozpoznawani znaków 36 wjść Wyjści:, jśli na wjściu pojawia się litra
Bardziej szczegółowocos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω
Rachunk prawdopodobiństwa MAP6 Wydział Elktroniki, rok akad. 8/9, sm. ltni Wykładowca: dr hab. A. Jurlwicz Przykłady do listy : Transformata Fourira Przykłady do zadania. : Korzystając z dfinicji wyznaczyć
Bardziej szczegółowogdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera
San sacjonarny cząsk San sacjonarny - San, w kórym ( r, ) ( r ), gęsość prawdopodobńswa znalzna cząsk cząsk w danym obszarz przsrzn n zalży od czasu. San sacjonarny js charakrysyczny dla sacjonarngo pola
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o przyrostach
Twirdznia o przyrosach Jżli w sici liniow zwrzy dwa węzły, iędzy kóryi panu napięci, o przyrosy (dodani lub un prądów w gałęziach sici oży obliczyć włączaąc iędzy węzły idaln źródło napięciow o sil lkroooryczn
Bardziej szczegółowoEkonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce
Ekonomiczno-chniczn aspky wykorzysania gazu w nrgyc anusz oowicz Wydział Inżynirii i Ochrony Środowiska Polichnika Częsochowska zacowani nakładów inwsycyjnych na projky wykorzysania gazu w nrgyc anusz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowo( t) UKŁADY TRÓJFAZOWE
KŁDY TRÓJFW kładm wilofazowym nazywamy zbiór obwodów lktrycznych (fazowych) w których działają napięcia żródłow sinusoidaln o jdnakowj częstotliwości przsunięt względm sibi w fazi i wytwarzan przważni
Bardziej szczegółowocx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoAndrzej Leśnicki Uogólniony szereg Fouriera 1/1 SZEREGI FOURIERA. Uogólniony szereg Fouriera. x, gdy ich iloczyn x, y 0. całkowalnego z kwadratem
ndrzj Lśnici Uoólniony szr Fourira / SZEREGI FOURIER Iloczyn salarny, y b a Uoólniony szr Fourira, y dwóch synałów zspolonych y d, Dla iloczynu salarno zachodzi symria hrmiowsa Dwa synały, y są oroonaln
Bardziej szczegółowoStanowisko laboratoryjne do badań przesuwników fazowych
Polichnika Śląska Wydział Elkryczny Insyu Mrologii i Auomayki Elkrochniczn Tma pracy: Sanowisko laboraoryn do badań przsuwników fazowych Promoor: Dr inż. Adam Cichy Dyploman: Adam Duna Srukura rfrau. Wsęp.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ESBwT. Optymalizacja niezawodnościowa struktury elektronicznego systemu bezpieczeństwa
ZESPÓŁ LAORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKACJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LAORATORIUM ESwT INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA nr Opymalizacja nizawodnościowa srukury
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoGr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE
Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2011/12 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1 Rachunk Prawdopodobiństwa MAP1151, 011/1 Wydział Elktroniki Wykładowca: dr hab. Agniszka Jurlwicz Listy zadań nr 5-6 Opracowani: dr hab. Agniszka Jurlwicz Lista 5. Zminn losow dwuwymiarow. Rozkłady łączn,
Bardziej szczegółowoEkscytony Wanniera Motta
ozpatrzmy oddziaływani lktronu o wktorz falowym bliskim minimum pasma przwodnictwa oraz dziury z obszaru blisko wirzcołka pasma walncyjngo. Zakładamy, ż oba pasma są sfryczni symtryczn, a ic kstrma znajdują
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoTemat: Pochodna funkcji. Zastosowania
Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a
Bardziej szczegółowoLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzamiacyja la Akuariuszy LIII Egzami la Akuariuszy z 3 paźzirika 0 r. Część II Mamayka ubzpiczń życiowych Imię i azwisko osoby gzamiowaj:... Czas gzamiu: 00 miu Warszawa, 3 paźzirika 0 r. Mamayka
Bardziej szczegółowoFizyka promieniowania jonizującego. Zygmunt Szefliński
Fizyka prominiowania jonizującgo ygmunt Szfliński 1 Wykład 10 Rozpady Rozpady - warunki nrgtyczn Ściżka stabilności Nad ściżką znajdują się jądra prominiotwórcz, ulgając rozpadowi -, zaś pod nią - jądra
Bardziej szczegółowoPRZYKŁAD 1. RozłóŜ na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Rozwiązanie. Przy pomocy rozkładu na ułamki proste otrzymujemy: Czyli + +
Powrd by xo lalik.krzyzo@wp.pl PRZYŁAD RozłóŜ na ułamki pro naępuącą unkcę opraorową: Rozwiązani Przy pomocy rozkładu na ułamki pro orzymumy: Czyli Po przmnoŝniu przz mianownik lw części równania orzymano:
Bardziej szczegółowoAMD. Układy trójfazowe
Wykład 7 kłady rójazow. Gnraory rójazow. kłady ołączń źródł. Wilkości azow i rzwodow 4. ołącznia odbiorników w Y(gwiazda i w D (rójką 5. Analiza układów rójazowych Gnraor naięcia sinusoidalngo rójazowgo
Bardziej szczegółowoZadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe
Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i
Bardziej szczegółowoE2. BADANIE OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO
E. BADANE OBWODÓW PĄDU PZEMENNEGO ks opracowały: Jadwga Szydłowska Bożna Janowska-Dmoch Badać będzmy charakrysyk obwodów zawrających różn układy lmnów akch jak: opornk, cwka kondnsaor, połączonych z sobą
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoKomitet Główny Olimpiady Fizycznej, Waldemar Gorzkowski: Olimpiady fizyczne XXIII i XXIV. WSiP, Warszawa 1977.
XXV OLMPADA FZYCZNA (1974/1975). Stopiń, zadani doświadczaln D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczow: Komitt Główny Olimpiady Fizycznj, Waldmar Gorzkowski: Olimpiady fizyczn XX i XXV. WSiP, Warszawa
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoTemat VIII. Drgania harmoniczne
Tema VIII Drgania harmoniczne Równanie ruchu F k Siła k m Równanie ruchu sin cos Położenie równowagi w ruchu drgającym Położenie równowagi o akie położenie, w kórym siły wymuszające ruch równoważą się
Bardziej szczegółowoFarmakokinetyka furaginy jako przykład procesu pierwszego rzędu w modelu jednokompartmentowym zawierającym sztuczną nerkę jako układ eliminujący lek
1 Matriał tortyczny do ćwicznia dostępny jst w oddzilnym dokumnci, jak równiż w książc: Hrmann T., Farmakokintyka. Toria i praktyka. Wydawnictwa Lkarski PZWL, Warszawa 2002, s. 13-74 Ćwiczni 6: Farmakokintyka
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWstęp... 1. Rozdział 2 Wpływ inflacji na koszt użycia kapitału... 17 2.1 Inflacja i koszt użycia kapitału...17 2.2 Finansowanie pożyczkami...
Spis rści Wsęp... Rozdział Podakowa rozja kapiału a warość przdsiębiorswa... 3.. Isoa rozji kapiału...3... Gospodarka bz podaków... 3..2. Gospodarka z podakai... 4..3. Ilusracja podakowj rozji kapiału...
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO
ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO Łukasz MACH Strszczni: W artykul przdstawiono procs budowy modlu rgrsji logistycznj, którgo clm jst wspomagani
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 10. Elementy fizyki statystycznej klasyczny gaz doskonały. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Trodynaika Część 1 Elnty fizyki statystycznj klasyczny gaz doskonały Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Użytczn całki ax2 dx = 1 2 a x ax2 dx = 1 2a ax2 dx = a a x 2 ax2 dx = 1 4a a x 3 ax2 dx = 1 2a
Bardziej szczegółowoEikonał Optyczny.doc Strona 1 z 6. Eikonał Optyczny
Eikonał Optyczny.doc Stona z 6 Eikonał Optyczny µ µ Rozpatzmy ośodk bz ładunków i pądów z polm o pulsacji ω Uwaga: ni zakłada się jdnoodności ośodka: ε ε xyz,,, Równania Maxwlla: H iωε ε E ikc ε ε E E
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 11 Badanie materiałów ferromagnetycznych
Laboratorium Półprzwodniki Dilktryki Magntyki Ćwiczni nr Badani matriałów frromagntycznych I. Zagadninia do przygotowania:. Podstawow wilkości charaktryzując matriały magntyczn. Związki pomiędzy B, H i
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoAnaliza danych jakościowych
Analiza danych jakościowych Ccha ciągła a ccha dyskrtna! Ciągła kg Dyskrtna Cchy jakościow są to cchy, których jdnoznaczn i oczywist scharaktryzowani za pomocą liczb jst nimożliw lub bardzo utrudnion.
Bardziej szczegółowoFunkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKA OBCIĄŻENIOWA
Opracowani: dr inż. Ewa Fudalj-Kostrzwa CHARAKTERYSTYKA OBCIĄŻENIOWA Charaktrystyki obciążniow są wyznaczan w ramach klasycznych statycznych badań silników zarówno dla silników o zapłoni iskrowym jak i
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoXIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/1970). Stopień W, zadanie doświadczalne D.. Znaleźć doświadczalną zależność T od P. Rys. 1
KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XIXOLIMPIADA FIZYCZNA (1969/197). Stopień W, zadanie doświadczalne D. Źródło: Olimpiady fizyczne XIX i XX Autor: Waldemar Gorzkowski Nazwa zadania: Drgania gumy. Działy: Drgania
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()
Bardziej szczegółowo