ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych i ranic w niskończonościach. Uwaa. Powyższ twirdzni stosuj się tylko w przypadku symboli nioznaczonych i., Monotoniczność unkcji. Jśli ' > dla a, b to jst rosnąca w przdzial a, b, Jśli ' < dla a, b to jst maljąca w przdzial a, b, Jśli ' = dla a, b to jst stała w przdzial a, b,

2 Ekstrmum unkcji. Funkcja ma w maksimum jśli w pwnym otoczniu to punktu <. Funkcja ma w minimum jśli w pwnym otoczniu to punktu >. Ekstrmum = maksimum lub minimum. Ekstrmum ni musi pokrywać się z wartością największą najmnijszą unkcji w przdzial. Warunk koniczny kstrmum. Jśli unkcja ma w kstrmum i jst w tym punkci różniczkowaa to Uwaa. odwrotn twirdzni ni zachodzi np. y =, unkcja która ni jst różniczkowaa moż mić kstrmum np. y =, Warunk dostatczny kstrmum. Nich unkcja będzi okrślona w pwnym otoczniu punktu. Jśli jst : - ciąła w - rosnąca maljąca w lwostronnym sąsidztwi - maljąca rosnąca w prawostronnym sąsidztwi wtdy ma w maksimum minimum. Warunk dostatczny kstrmum unkcji różniczkowaj. ' + - ' - + ma min Wyznaczyć przdziały monotoniczności i kstrma unkcji = D = R, unkcja jst parzysta. < > ' + - ma ma = = Zauważmy, ż oraz Zatm prosta y = jst asymptotą poziomą obustronną..

3 Wartość największa i wartość najmnijsza unkcji ciąłj w przdzial domkniętym <a, b>: Funkcja ciąła w przdzial domkniętym <a, b> osiąa wartość największą i wartość najmnijszą. Wartości t moą być przyjmowan przz unkcję jdyni na końcach przdziału lub w takich punktach przdziału a, b w których pochodna ' jst równa zro lub ni istnij. Wyznaczyć najmnijszą i największą wartość unkcji = w przdzial [-, ]. Rozwiązani: Pochodna ' = + ma mijsca zrow = i = -. Zatm wartość największa to ma-,,, - = 9. Zatm wartość najmnijsza to min-,,, - =. Twirdzni Roll a Jśli. unkcja jst ciąła na [a,b]. unkcja ma pochodną na a,b. a = b Wtdy istnij a, b / c, ż c. Intrprtacja omtryczna twirdznia Roll a Na wykrsi unkcji ciąłj na przdzial domkniętym, różniczkowaj w wnętrzu to przdziału i przyjmującj jdnakow wartości na jo końcach istnij punkt, w którym styczna jst pozioma. Twirdzni Laran a Jśli a unkcja jst ciąła na [a,b] b unkcja ma pochodną na a,b Wtdy istnij c a, b, ż / c b a b a Intrprtacja omtryczna twirdznia Laran a Na wykrsi unkcji ciąłj na przdzial domkniętym i różniczkowaj na wnętrzu to przdziału istnij punkt, w którym styczna do wykrsu jst równolła do sicznj łączącj końc wykrsu.

4 Pochodna rzędu druio drua pochodna tzn. pochodna rzędu jst pochodną pochodnj rzędu. d Inn oznaczni: d Przykład: = = = Uwaa. Funkcja jst klasy C w przdzial a, b jśli jst ciąła w tym przdzial. Funkcja jst klasy C w przdzial a, b jśli istnij i jst ciąła w tym przdzial. Funkcja jst klasy C w przdzial a, b jśli istnij i jst ciąła w tym przdzial. ' Warunk dostatczny kstrmum. Zastosowania Nich będzi klasy C w pwnym otoczniu punktu. Jśli oraz to ma w kstrmum. Przy czym jst to minimum dy maksimum dy Uwaa. Jśli oraz to powyższ twirdzni ni rozstrzya o istniniu w kstrmum. Wypukłość unkcji. Funkcja różniczkowaa w a, b jst wypukła ku dołowi wypukła w a, b jśli styczna do wykrsu w punkci, dla a < < b lży poniżj wykrsu unkcji. Funkcja różniczkowaa w a, b jst wypukła ku órz wklęsła w a, b jśli styczna do wykrsu w punkci, dla a < < b lży powyżj wykrsu unkcji. 4

5 Nich będzi klasy C w a, b. Jśli dla a < < b to jst wypukła ku órz w a, b wklęsła. Jśli dla a < < b to jst wypukła ku dołowi w a, b wypukła. Dla unkcji Dla unkcji, mamy, mamy, zatm jst to unkcja wypukła., zatm jst to unkcja wklęsła. Punkt przięcia. Nich będzi ciąła w pwnym otoczniu punktu., jst punktm przięcia jśli jst wypukła ku órz w pwnym lwostronnym sąsidztwi punktu i jst wypukła ku dołowi w pwnym prawostronnym sąsidztwi punktu lub odwrotni. Nich będzi klasy C w pwnym otoczniu punktu. Jśli oraz zminia znak w to, jst punktm przięcia. Dla unkcji, mamy,, oraz dla, dla zatm punkt, jst to unkcja wypukła. ZASTOSOWANIA POCODNEJ - zadania. Wyznacz kstrma unkcji: a 7 [brak kstr.] b 9 [y ma = y = 4, y min = y = -8] c 4 4 [y ma = y = 4 4, y min = y4 = ] d [y min = y/ = -/] [brak kstr.] [y ma = y- =,, y min = y = -4] [ y min = y, = -7] 4 h 4 [ D = R, y ma = y =, y min = y = -] 4. Wyznacz najmnijszą i największą wartość unkcji w podanym przdzial: a 9 dla 4, 4 [-4 = -7, = 4] b dla, [ =, = ] c dla, [ = -8, = - = ]

6 . Oblicz druą pochodną unkcji: a 4 4 b c d. Wyznacz punkty przięcia unkcji: a [, ] b [, -] c [4, ] 7. Oblicz ranic stosując rułę d l ospitala: 8 a [-] b 4 [,] c [ ] d [] [ ] sin 4 [,] [ ] h sin [,] 8. Zbadaj unkcj i naszkicuj ich wykrsy: a 4 4 b c d Liczbę 4 rozłożyć na dwa dodatni czynniki aby ich suma kwadratów była maksymaa.. Objętość walca wynosi V. Wyznaczyć promiń R podstawy to walca aby pol powirzchni całkowitj było minima.