Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania
|
|
|
- Jerzy Stefaniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
2 Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
3 Zagadninia. Wprowadzni pojęcia pochodnj.. Przdstawini wzorów na pochodn funkcji lmntarnych i rguł róŝniczkowania; przykłady. 3. Zastosowania pochodnj do badania przbigu zminności funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
4 Przypomnini pojęć ciąg granica ciągu A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
5 Ciąg Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a ,K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
6 Ciąg, granica ciągu Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a ,K a n? A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
7 Ciąg, granica ciągu cd. Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a ,K a?? n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
8 Ciąg, granica ciągu cd. Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a ,K a 0 0 n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
9 Granica ciągu cd. a n 0 lim a 0 n n (czyt.: lims a n przy n dąŝącym do niskończoności równa się 0; granica ciągu a n przy n dąŝącym do niskończoności wynosi 0) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
10 Granica ciągu cd. a 0 0 n n lim a 0 lim 0 n n n n (czyt.: lims /n przy n dąŝącym do niskończoności równa się 0; granica ciągu /n przy n dąŝącym do niskończoności wynosi 0) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
11 Granica ciągu cd. a n n a n / /3 /4... n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
12 Wykrs ciągu a n a n n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
13 Wykrs ciągu a n a n n a n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
14 Wykrs ciągu a n a n n a a n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
15 Wykrs ciągu a n a n n a a n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
16 Przypomnini pojęć cd. granica funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
17 Granica funkcji y f ( ) Jaka jst granica ciągu wartości y n? f ( ) n? A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
18 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
19 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
20 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
21 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
22 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
23 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
24 Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
25 Granica funkcji w punkci 0 Y y 3 y y y f ( ) 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
26 Granica funkcji w punkci 0 Ciąg argumntów n : n 0 Ciąg wartości: y n f ( n ) y n? lim y? n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
27 Granica funkcji w punkci 0 granica ciągu wartości funkcji to granica funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
28 Granica funkcji w punkci 0 granica ciągu wartości funkcji to granica funkcji granica ciągu y n f ( n ) to granica funkcji f() A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
29 Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz... 0 D ciąg argumntów n 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
30 Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz 0 D ciąg argumntów n 0 ni - ciąg wartości f ( ) n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 30
31 Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz 0 D ciąg argumntów n 0 ciąg ilorazów róŝnicowych f ( ) f ( ) n n 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
32 Pochodna funkcji - ida Granicę tgo ciągu ilorazów róŝnicowych nazywamy pochodną funkcji w punkci 0. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
33 Pochodna funkcji Dfinicja Nich f : D R,, 0 D ( n ) taki ciąg, Ŝ D dla kaŝdgo n + n N oraz lim n 0 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 33
34 Pochodna funkcji JŜli istnij skończona granica ciągu ilorazów róŝnicowych nizalŝna od wyboru ciągu ( n ), to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkci 0 i piszmy f ( 0 ) lim n f ( n ) f 0 n ( 0 0 ) K o n i c d f i n i c j i A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 34
35 Pochodna funkcji - komntarz Z tj dfinicji oraz twirdzń opisujących własności pochodnj wyprowadza się wzory na pochodn funkcji lmntarnych podan dalj. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 35
36 Pochodna funkcji - komntarz Pochodna funkcji jst równiŝ pwną funkcją. NiŜj podano przykłady zapisu pochodnj. wzór funkcji f ( ) + A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 36
37 Pochodna funkcji - komntarz Pochodna funkcji jst równiŝ pwną funkcją. NiŜj podano przykłady zapisu pochodnj. wzór funkcji wzór pochodnj f ( ) + f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 37
38 Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 38
39 Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 39
40 Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) h ( ) 5 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 40
41 Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) h ( ) 5 h ( ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
42 Pochodna funkcji - trminologia Wyznaczani pochodnj funkcji f nazywa się róŝniczkowanim funkcji f. RóŜniczkując daną funkcję będzimy korzystać z wzorów na pochodn pwnych funkcji i rguł róŝniczkowania pwnych wyraŝń. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
43 Wzory na pochodn funkcji ( ) Funkcja stała: f c ( ) Pochodna funkcji stałj: f 0 Konwncja zapisu ( )' wzór funkcji wzór pochodnj funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 43
44 Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji stałj ( ) 0 c () A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 44
45 Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 45
46 Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f ( ) ( ) 3 L A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 46
47 Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f 3 ( ) ( ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 47
48 Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 48
49 Przykład Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: h, to ( α 3) ( ) Pochodna funkcji: h K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 49
50 Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: h, to ( α 3) ( ) ( ) Pochodna funkcji: h 3 K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 50
51 Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: Pochodna funkcji: h h, to ( α 3) ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
52 Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: Pochodna funkcji: h h, to ( α 3) ( ) ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
53 Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 53
54 Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: g ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 54
55 Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: ( ) ( ) K g A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 55
56 Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: g ( ) ( ) ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 56
57 Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) a - stała, a > 0, a A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 57
58 Przykład Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) ( ) Funkcja: log f Pochodna funkcji: ( ) ( ) log K f, to a A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 58
59 Przykład Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) ( ) Funkcja: log f Pochodna funkcji: f ( ) ( ) log, to a ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 59
60 Rguły róŝniczkowania a (5) [ f ( ) ] a f ( ) a stała, a R ( ) 3 f A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 60
61 [ f ( ) ] a f ( ) Przykład a (5) a stała, a R ( ) 3 f f ( ) ( ) ( ) 3 K 3 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
62 [ f ( ) ] a f ( ) Przykład a (5) a stała, a R ( ) 3 f f ( ) ( ) ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
63 Rguły róŝniczkowania f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) Pochodna sumy równa jst sumi pochodnych. f ( (6.) [ ) g( ) ] f ( ) g ( ) Pochodna róŝnicy równa jst róŝnicy pochodnych. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 63
64 Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) 3 + K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 64
65 Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 65
66 Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 66
67 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład [ ] ( ) g f g f + + ) ( ) ( ) ( (6.) ( ) f + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K f
68 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład [ ] ( ) g f g f + + ) ( ) ( ) ( (6.) ( ) f + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f
69 Rguły róŝniczkowania [ ] f ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( (7) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 69
70 Rguły róŝniczkowania f g( ( ) ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (8) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 70
71 Rguły róŝniczkowania * { g [ f ( ) ]} g f ( ) [ ] f () (9) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
72 Zastosowania pochodnj. Badani monotoniczności funkcji.. Wyznaczani kstrmów lokalnych. 3. * Obliczani granicy funkcji rguła d L Hospitala. 4. Badani przbigu zminności funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
73 Trminologia uwaga. f : ( a ; b ) R Dzidzina D f (a ; b ) Zbiór wartości Mówimy: Y W R funkcja f okrślona na przdzial (a ; b ), o wartościach rzczywistych A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 73
74 Trminologia uwaga. JŜli f :( a; b ) R i w kaŝdym punkci ( a ; b ) istnij pochodna funkcji f ' (), to mówimy: funkcja f jst róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 74
75 Badani monotoniczności Twirdzni. Dana jst funkcja f :( a; b ) R róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). Jśli ( a ; b) f ( ) > 0, to f na ( a ; b) ( a ; b) f ( ) < 0, to f na ( a ; b) ( a ; b) f ( ) 0, to f stala na ( a ; b) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 75
76 Diagram a b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 76
77 Diagram znak f ' : + a b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 77
78 Diagram znak f ' : + a b monotoniczność f : A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 78
79 Diagram znak f : ' : - a b monotoniczność f : A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 79
80 Diagram 3 znak f ' : 0 a b monotoniczność f : funkcja stała A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 80
81 Ekstrma lokaln Ekstrma lokaln: minimum, maksimum Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
82 Minimum lokaln Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
83 Minimum lokaln cd. Y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 83
84 Maksimum lokaln Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 84
85 Maksimum lokaln cd. Y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 85
86 Ekstrma lokaln Y 0 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 86
87 Wykrywani kstrmów lokalnych Twirdzni. Nich funkcja f ( a ; b) R : będzi róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). Jśli f posiada kstrmum lokaln w punkci, ( a, ) to wtdy f ' ( 0 ) 0. 0 b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 87
88 Wniosk z tw. Warunk f ' ( 0 ) 0 jst warunkim konicznym istninia kstrmum lokalngo w punkci 0. Ni jst jdnak warunkim dostatcznym. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 88
89 Wykrywani maksimum lokalngo Twirdzni 3. Jśli funkcja f : ( a ; b) R jst róŝniczkowalna na przdzial (a; b) i dla pwngo ( a, ) zachodzi f ' ( 0 ) 0 0 b oraz istnij taki otoczni U( 0,r) (a, b), Ŝ dla ( 0 r, ) 0 f ' () > 0, oraz dla ( 0, 0 + r) f ' () < 0, to funkcja f ma w punkci 0 maksimum lokaln. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 89
90 Diagram dla maksimum lok. znaki f : monotoniczność f: 0 maksimum lokaln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 90
91 Wykrywani minimum lokalngo Twirdzni 4. Jśli funkcja f : ( a ; b) R jst róŝniczkowalna na przdzial (a; b) i dla pwngo ( a, ) zachodzi f ' ( 0 ) 0 0 b oraz istnij taki otoczni U( 0,r) (a, b), Ŝ dla ( 0 r, ) 0 f ' () < 0, oraz dla ( 0, 0 + r) f ' () > 0, to funkcja f ma w punkci 0 minimum lokaln. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
92 Diagram dla minimum lok. znaki f : monotoniczność f: 0 minimum lokaln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
93 Przykład f ( ) ( ) K f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 93
94 Przykład f ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 94
95 f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 95
96 f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ln K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 96
97 f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 97
98 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
99 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
100 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
101 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) (
102 Przykład f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
103 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Przykład f ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( > < < > f f f
104 Przykład cd. Funkcja f dla f dla monotoniczność f: f() jst: znaki f : < > maksimum lokaln dla przyjmuj maksimum lokaln o wartości y f () ma A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 04
105 Rguła d L'Hospitala * lim f ( ) Tw 4. Jśli granica ilorazu funkcji g( ) 0 jst wyraŝnim nioznaczonym typu 0 0 lub oraz istnij granica ilorazu lim f ( ) pochodnych tych funkcji g ( ) 0, to lim f ( ) g( ) lim f ( ) g ( ) 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 05
106 Uwaga * Tw. 4 jst prawdziw dla 0 skończonych oraz dla ± 0, a takŝ dla granic jdnostronnych. Przykład lim + lim + 0 lim + H lim + ( ) ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 06
107 Badani przbigu zminności funkcji Dla funkcji danj wzorm yf():. Dzidzina. Punkty wspóln z osiami układu współrzędnych 3. Granic funkcji; asymptoty 4. Pochodna funkcji; monotoniczność, kstrma 5. Tablka 6. Wykrs A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 07
108 Przykład. Funkcja dana jst wzorm: f ( ). Dzidzina: 0 0 ( ) 0 ( ) ( + ) 0 lub Dzidzina D R-{ -, } U W A G A. B a d a n i t y l k o d l a a r g u m n t ó w d o d a t n i c h. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 08
109 . Punkty wspóln z osiami układu: z osią OX: f ( ) Wykrs ni przcina osi OX, zatm mijsca zrow ni istniją. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 09
110 z osią OY: dla 0 f ( ) 0 Punktm wspólnym z osią OY jst A(0, ). 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
111 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3. Granic funkcji: 0, lim + 0, lim ( ) ( ), 0 lim lim ( ) ( ), 0 lim lim K o m n t a r z, j a k i g r a n i c o b l i c z ać.
112 Asymptoty, asymptota pionowa obustronna, y 0, asymptota pozioma obustronna. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
113 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Pirwsza pochodna ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f D la kaŝdgo D mamy ( ) 0 >, zatm znak pochodnj zalŝy tylko od znaku wyraŝnia w liczniku pochodnj.
114 Znaki pochodnj: f f f ( ) < 0 < 0 < 0 ( ) > 0 > 0 > 0 ( ) znak f ': monotoniczność f: - 0 min. lok. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
115 Monotoniczność funkcji: ( ) dla ( ; ) oraz ( ; ), f 0 f ( ) dla ( 0; ) oraz ( ; + ), f() posiada minimum lokaln w punkci 0 0, przy czym y m i n f(0). A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
116 Tabla 0 (0 ; ) ( ; + ) f '() f () min. lok. + as. pion. 0 y m in obustr. - A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
117 Wykrs Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności
Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia
Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej
Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ
ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych
lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x
Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7) 8) 9) 5 5 7 7 7 6 0) 6 ) ) 9) 0)
4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7)
Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI
GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g
Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna
REGUŁA DE L HOSPITALA Rguła d L Hospitala Oblicz granicę: a lim b lim + f lim ln+ k lim l lim p u lim z lim + ln ln c lim g lim ln h lim ln sin q lim + v lim lim arc ctg π ln sin lnln sin d lim lim i lim
Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autorzy: Anna Barbaszwska-Wiśniowska 2018 Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autor: Anna Barbaszwska-Wiśniowska DEFINICJA Dfinicja 1: Funkcja niciągła
2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009
Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach 009 06 Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości
Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego
Rozdział 4 Pocodna unkcji jdnj zminnj 4 Pojęci ilorazu różnicowo W rozdzial przdstawiono sytuację Boba i sposób przwidywania jo dołka inansowo W rozdzial 4 zostani szczółowo omówiony matmatyczny aparat
Definicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
lim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.
Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Temat: Zastosowania pochodnej
Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a
Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Pochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w sprawie
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
3) Naszkicuj wykres funkcji y=-xdo kwadratu+2x+1 i napisz równanie osi symetrii jej wykresu.
Zadanie: 1) Dana jest funkcja y=-+7.nie wykonując wykresu podaj a) miejsce zerowe b)czy funkcja jest rosnąca czy malejąca(uzasadnij) c)jaka jest rzędna punktu przecięcia wykresu z osią y. ) Wykres funkcji
Uogólnione wektory własne
Uogólnion wktory własn m Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
Definicja: Wektor nazywamy uogólnionym wektorem własnym rzędu m macierzy A
Uogólnion wktory własnw Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A m do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P
MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Sieci neuronowe - uczenie
Sici nuronow - uczni http://zajcia.jakubw.pl/nai/ Prcptron - przypomnini x x x n w w w n wi xi θ y w p. p. y Uczni prcptronu Przykład: rozpoznawani znaków 36 wjść Wyjści:, jśli na wjściu pojawia się litra
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Pochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz
Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 2f: wpisy oznaczone jako: GEOMETRIA ANALITYCZNA (GA), WIELOMIANY (W), FUNKCJE WYMIERNE (FW), FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
S n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{
Pochodna. Pochodna. Iloraz róŝnicowy
Pocodn Pocodn Ilorz róŝnicow Nic dn będzi unkcj :D:R Wźm punkt tki,ŝ zwir się w dzidzini wrz z swoim otocznim Wźm trz dowoln nlŝąc do otoczni punktu : -ε, ε RóŜnicę nzwm przrostm rumntu od do i oznczm
Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony
Klasa II - zakres podstawowy i rozszerzony 1. PLANIMETRIA stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie oraz nierówność trójkąta uzasadnia przystawanie trójkątów, wykorzystując cechy przystawania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Pochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony
MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania
Rachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Matematyka. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny
Matematyka Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Klasa III - zakres rozszerzony Rachunek różniczkowy uzasadnia w prostych przypadkach, że funkcja nie ma granicy w punkcie, oblicza granice funkcji
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce
Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami
Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej
Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki Politechniki Koszalińskiej Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej Koszalin 2007 1 Spis treści Literatura...3