Terminy kolokwiów: kwietnia czerwca 2019

Transkrypt

1 Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg detinicji J.M. Rektora) g. 11:15-11:00, bud. C-13, sala P.01 Godzina konsultacji: poniedziałki 10:20-11:00, oraz 13:10-13:50 w bud. C-11, pok Ocena końcowa: dana wzorem [1 + 5 (L + W)]/2, gdy L 0,5 i W 0,5; w pozostałych przypadkach równa 2. L oznacza stosunek liczby punktów uzyskanych na laboratorium do możliwych tam do zdobycia, W analogiczny stosunek dla dwóch kolokwiów na wykładzie. Może być podwyższona (ale nie więcej in o 0,5) za aktywność na laboratorium. [x] oznacza tu część całkowitą liczby x. Terminy kolokwiów: kwietnia czerwca 2019

2 Podręczniki: wymienione w karcie przedmiotu oraz Capiński, Marek, Zastawniak, Tomasz, Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering, wspomagająco Ruppert, D., Matteson, D.S., Statistics and Data Analysis for Financial Engineering 2nd ed. Materiały: slajdy z wykładów listy zadań materiały pomocnicze (lecz obowiązkowe) do pracy własnej studentów na stronie 2

3 O czym będziemy mówić. 1. Zagadnienia związane z wartością pieniądza w czasie (lokaty, obligacje, kredyty, struktura terminowa stopy procentowej) 2. Teoria portfela (inwestycji kapitałowych). 3. Wycena kontaktów terminowych (futures) i wymiany (swap). 4. Opcje i ich zastosowania. 5. Model dwumianowy wyceny opcij. 6. Metoda Monte Carlo w wycenie opcji. 7. Wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową Przy okazji dowiemy się co nieco o rynkach hinansowych ich strukturze, działaniu, uczestnikach i regulacjach. 3

4 Procent prosty (simple interest). F = P + I = P + Prn = P(1 + rn), gdzie P - początkowa wartość kapitału (present value), n - ilość okresów oprocentowania, r - stopa oprocentowania (rentowność) w okresie (interest rate), I odsetki (interest) za n okresów F końcowa (przyszła) wartość (future value) kapitału za po n okresach. Zwykle długość okresu to 1 rok. Procent prosty stosuję się również dla okresów nie wyrażonych liczbą całkowitą. Wtedy oznaczamy czas przez t. F = P + I = P + Prt = P(1 + rt). Będziemy też stosować oznaczenie V(t) (wartość kapitału w momencie t. Wtedy V(t) = P(1 + rt), t > 0, lub (ogólniej) V(t) = P[1 + r(t s)], t > s, gdzie P = V(s). 4

5 Przykład. Kapitał początkowy 1000 zł zainwestowany przy stopie 8% w skali roku na okres od do przyniesie na koniec okresu F = P(1 + rt) = 1000 (1 + 0, ) 1029,59 zł (w większości przypadków). zł, czyli (1029, ) 5

6 Obliczanie długości okresu. Długość okresu najczęściej wyraża się całkowitą liczbą dni. Ale takie same liczby dni mogą być różną ilością lat w zależności od przyjętej konwencji: Rok to kolejne 365 dni. W tej konwencji okres od do to roku Rok to kolejne 360 dni. W tej konwencji okres od do to roku Dzień liczy się za 1/365 roku w roku nieprzestępnym i za 1/366 roku w roku przestępnym. Dzień zaczynający okres wlicza się, a kończący nie. W tej konwencji okres od do to roku = 1, Każdy miesiąc ma 30 dni (a rok 360 dni). Kilka konwencji różnie liczących długości okresów, które zaczynają się lub kończą 31. dnia miesiąca. Ponadto obliczenia komplikują się, gdy ostatni dzień inwestycji przypada na dzień wolny od pracy. 6

7 Przykład. Na przetargu w dniu Ministerstwo Finansów sprzedało bony skarbowe 32-tygodniowe o wartości nominalnej PLN ,00 po cenie PLN 9920,40 z każdy bon. Jaka była rentowność (stopa procentowa) sprzedanych bonów? Uwaga: Rentowność bonów skarbowych wyraża się w skali roku 360 dni. Przekształcając wzór na procent prosty otrzymamy: r = F P 1 t = ( 9905,10 1 ) : 32 7 ( 360 ) = 0, Porównamy, to z komunikatem MF bony-i-obligacje-hurtowe/kalendarze-przetargow? p_p_id=auctionviewportlet_war_mfportalsecuritiestradingportlet&p_p_lifecycle= 2&p_p_state=normal&p_p_mode=view&p_p_cacheability=cacheLevelPage&p_p_co l_id=column-2&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&auctionid= &loadfile= 1 7

8 Procent składany (compound interest) W tym modelu kapitał początkowy jest oprocentowany przez n okresów. Jednak na koniec każdego z tych okresów odsetki powiększają kapitał, który będzie pracował w następnym okresie (tzw. kapitalizacja odsetek ). Tak więc w każdym okresie kapitał jest mnożony przez 1 + r. Dzięki temu na koniec n-tego okresu mamy: F = P(1 + r) n oraz I = F P = P[(1 + r) n 1]. Zwyczajowo stopę odsetek wyraża się w skali roku proporcjonalnie do długości okresu kapitalizacji. Jeśli t wyraża czas w latach, a każdy rok jest podzielony na k okresów kapitalizacji o jednakowej długości, wzór na wartość końcową możemy zapisać następująco Przechodząc do granicy przy k otrzymamy F = Pe rt czyli tzw. wzór na kapitalizację ciągłą. F = P(1 + r k )tk 8

9 Przykład. Która z lokat dwuletnich jest korzystniejsza (dla oszczędzającego): a) lokata na 10% w skali roku z kapitalizacją kwartalną czy b) lokata na 11% w skali roku kapitalizowana na koniec dwuletniego okresu? Z pierwszej lokaty po dwóch latach otrzymamy F = P(1 + 10% ) = P(1 + 2,5%) 8 = P 1, W przypadku drugiej lokaty będziemy mieć (procent prosty!) F = P( %) = P 1,22. Jaka jest stopa efektywna dla każdej z tych lokat (stopa równoważnej lokaty z kapitalizacją roczną)? Dla a) jest to r ef,1 = (1 + 0,1 4, podczas gdy dla b) jest to 4 ) 1 = 10, % r ef,2 = 1,22 0,5 1 = 10,45361%. Przykład. Jaka jest stopa efektywna odpowiadająca stopie r e = e r c 1. Inaczej 1 + re = e r c. r c w kapitalizacji ciągłej? 9

10 Rozumowanie z poprzedniego przykładu rozszerzamy na okresy dowolnej długości. Przykład. k Załóżmy, że mamy lokatę na k dni (czyli roku), która w tym okresie ma oprocentowanie r. 365 Dla niej F = (1 + r)p = [(1 + r) 1 k k ] P. Ten sam dochód da lokata z kapitalizacją dzienną, której oprocentowanie za każdy dzień wynosi r d = (1 + r) 1 k 1. Dla niej efektywna stopa kapitalizacji wyniesie r e = (1 + r) 365 k 1. Rozumowanie to można przeprowadzić dla dowolnego okresu o długości współmiernej z rokiem otrzymując r e = (1 + r) 1 t 1. Gdzie t jest długością okresu wyrażoną w latach a r stopą procentową za ten okres. Podsumowując (1 + r) 1 t = 1 + r e = e r c Przykład. Dla bonu skarbowego 32 tygodniowego o nominale PLN i cenie przetargowej PLN 9905,10 obliczymy roczną stopę efektywną r e i odpowiadającą jej stopę r c dla kapitalizacji ciągłej Wykorzystując powyższy wzór mamy: = 1 + r ( 9905,1 ) e = e r c = 1,

11 Przykład. Adam chce zgromadzić PLN na rachunku bankowym oprocentowanym wg stopy kwartalnej 1,55% przy kapitalizacji kwartalnej. Adam chce systematycznie wpłacać po PLN 1000 na koniec każdego kwartału. Ilu wpłat powinien dokonać? Rozw. Przypomnijmy 1 + q + q q n = qn+1 1 q 1 ( q 1) Oznaczmy przez F wartość środków Adama na rachunku na koniec n-tego okresu zaraz po dokonaniu n-tej wpłaty, a = Wtedy F = a(1 + (1 + r) + + (1 + r) n 1 ), czyli F = a (1 + r)n 1. Szukamy najmniejszego całkowitego n dla którego r 18a a (1 + r)n 1. Rozwiązaniem jest n = 16. Dla n = 16: r F = 1000 (1,0155)16 1 =18001,58 0,0155 ( a więc ostatnia wpłata jest niezbędna) 11

12 Przepływy pieniężne (Cash 2lows) Niech C 0, C 1,, C n jest skończonym ciągiem płatności pieniężych, przy czym C 0 < 0, C n 0 i co najmniej jedna z płatności C k jest dodatnia. Płatności ujemne reprezentują nakłady, a dodatnie przychody. Często posługujemy się diagramami. Wartość bieżąca netto (Net Present Value) NPV = n j=0 C j, gdzie r jest stopą zwrotu (kosztem kapitału) (1 + r) j Wewnętrzna stopa zwrotu (Internal Rate of Return) Stopa IRR = r > 1, przy której NPV = 0. 12

13 Powyższe uogólnia się na przypadek okresów różnej długości: Przyjmijmy 0 = t 0 < t 1 < < t n. Wartość bieżąca netto (Net Present Value) NPV = n j=0 C j, gdzie jest stopą zwrotu (koszt kapitału) (1 + r) t r j W praktyce do obliczeń związanych z wartością pieniądza w czasie (TVM) wykorzystuje się funkcje hinansowe wiodącego arkusza kalkulacyjnego. Można (ale nie jest to wymóg zaliczenia wykładu) się z nimi zapoznać np. w Pakiet o nazwie FinCal implementuje wiele tzw funkcji hinansowych do środowiska R. Arkusz CF1 13

14 RRSO - przykład zastosowania IRR DEFINICJA USTAWOWA (USTAWA O KREDYCIE KONSUMENCKIM) 14

15 Obligacje (bonds) Obligacja papier wartościowy emitowany w serii, w którym emitent stwierdza, że jest dłużnikiem obligatariusza i zobowiązuje się wobec niego do spełnienia określonego świadczenia. Najczęściej świadczenie jest pieniężne, tzn. emitent (wystawca obligacji) zobowiązuję się do zapłaty na rzecz obligatariusza (posiadacza obligacji) określonych kwot pieniężnych w określonych terminach. 15

16 Obligacje o stałym oprocentowaniu (2ixed-interest bonds) Najprostsze z nich to Obligacje zerokuponowe (zero-coupon bonds) Mają one konstrukcję taką jak omawiany bon skarbowy (W Polsce obligacjami nazywa się dłużne papiery wartościowe emitowane na okres powyżej jednego roku.). Są zobowiązaniem emitenta do jednorazowej zapłaty określonej kwoty (wartość nominalna) w dacie wykupu. Emitowane (tworzone i sprzedawane) z dyskontem (czyli poniżej wartości nominalnej). Dochodowość tego (i nie tylko tego) typu obligacji wyraża się tzw. YTM (ang.: Yield To Maturity = dochód w terminie do wykupu). W innym języku jest to efektywna roczna stopa zwrotu z inwestycji w taką obligację. W jeszcze innym jest to IRR dwuelementowego strumenia płatności. 16

17 Przykład. Obligacja skarbowa serii OK0521 jest zerokuponowa o nominale PLN Termin płatności: Data wykupu: Cena na przetargu z dnia : PLN 966,71. Oblicz YTM dla obligacji nabytej na przetargu. 365 YTM = (F/P) t 1 = ( 966,71 ) 1 = 1, % Informacja MinFin o przetargu p_p_id=auctionviewportlet_war_mfportalsecuritiestradingportlet&p_p_lif ecycle=2&p_p_state=normal&p_p_mode=view&p_p_cacheability=cachelev elpage&p_p_col_id=column-1&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&auctionid = &loadFile=1 17

18 Jedna sztuka obligacji OK0521 w dniu została kupiona na GPW w dniu D= po kursie 96,90. Jaka jest rentowność tej inwestycji dla kupującego (zakładając, że będzie trzymał obligację do dnia wykupu), jeśli prowizja maklerska jaką płaci kupujący wynosi 0,12% wartości transakcji. Kurs 96,90 oznacza, że cena wynosiła 96,90% wartości nominalnej, czyli PLN 969,00. Prowizja od transakcji to PLN 969 0,0012 = 1,1628 = 1,16. Łączna kwota zapłacona to PLN 970,16. Termin płatności, to D (dzień zawarcia transakcji) lub D+2 (dwa dni robocze później). Przyjmijmy, że płatność nastąpiła w dniu zawarcia transakcji. Dlatego i t = 825/ YTM = (F/P) t 1 = 1 = 1, % ( 970,16 ) 18