WYKŁAD 14. Rozdział 7: Drgania parametryczne

Transkrypt

1 WYKŁD 4 Rozdział 7: Drgania parameryczne 7.. Isoa drgań paramerycznych Na wsępie przywołajmy klasyfikację drgań ze względu na źródło energii podaną w Wykładzie. W klasyfikacji ej wyodrębnione zosały czery kaegorie drgań: drgania swobodne drgania wymuszone przez oddziaływania zewnęrzne siłowe lub kinemayczne drgania parameryczne drgania samowzbudne. Pierwsze dwie kaegorie zarówno w układach o skończonej liczbie sopni swobody jak i w układach ciągłych - omówione zosały w wykładach -3. Szczegółowa analiza drgań paramerycznych i drgań samowzbudnych ze względu na ich opis maemayczny wymaga głębszego przygoowania doyczącego równań różniczkowych o zmiennych w czasie współczynnikach i równań różniczkowych nieliniowych. Wykracza o poza ramy ego kursu drgań mechanicznych. by jednak zapoznać adresaów podręcznika z podsawowymi właściwościami ych drgań przedsawimy je w odpowiednim skrócie w wykładach 4 i 5. Drganiami paramerycznymi nazywamy drgania kóre powsają w nasępswie cyklicznych zmian jednego lub kilku paramerów układu. Zmiany e są źródłem energii drgań i mogą być wywołane przez akywne siły wewnęrzne lub przez oddziaływania zewnęrzne niemające charakeru poznanych wcześniej wymuszeń siłowych lub kinemaycznych zależnych od czasu. Powszechnie wiadomo że dziecko na huśawce porafi wprawić się w ruch wahadłowy bez jakiejkolwiek pomocy z zewnąrz. Wie z doświadczenia że w ym celu musi w odpowiedni sposób poruszać się względem huśawki. Sprawą doświadczenia jes również dowolnie długie urzymanie drgań o sałej ampliudzie a akże ich zarzymanie gdy zajdzie porzeba. Znając dynamikę wahadła fizycznego domyślamy się nawe bez żadnej analizy że przyczyną drgań wahań huśawki) są cykliczne zmiany położenia środka masy wahadła względem jego osi obrou. Zmiany e są wywołane akywną siłą wewnęrzną wywieraną przez dziecko na huśawkę i powodują cykliczne zmiany momenu bezwładności całego wahadła oraz zmiany ramienia siły ciężkości powodującej momen resyucyjny względem osi obrou wahadła. kywna siła wewnęrzna wykonuje pracę kóra jes źródłem energii drgań paramerycznych wahadła. 84

2 Prose doświadczenie z huśawką pokazuje jednocześnie że drgania parameryczne mogą narasać mieć charaker okresowy usalony lub zanikać zależnie od właściwości zmian parameru jako funkcji czasu. Pokażemy o w szczegółach na innym przykładzie modelowym w dalszej części ego wykładu. 7.. Przykłady drgań paramerycznych w echnice W ej części wykładu pokażemy kilka przykładów modeli realnych układów mechanicznych w kórych wysępują drgania parameryczne. Przyjęe uproszczenia pozwalają skoncenrować uwagę na zjawisku wymuszenia paramerycznego i jego naurze fizycznej a pominąć efeky niej isone z założonego punku widzenia. Wyprowadzimy lub przyoczymy z lieraury równania drgań ych układów wskazując charaker cyklicznych zmian ich paramerów. Przykład 7.. Drgania dysku osadzonego na wale o przekroju elipycznym Rozparzmy drgania wirującego dysku o masie m osadzonego w środku nieważkiego wału o sałym wzdłuż osi przekroju elipycznym o głównych momenach bezwładności I I ). Wał wykonany jes z maeriału o module Younga E I oraz I i obraca się ze sałą prędkością kąową. Założymy że dysk jes idealnie wyrównoważony [] względem osi obrou co eliminuje wymuszenie bezwładnościowe układu. by pominąć obciążenie sayczne ciężarem dysku przyjmiemy pionową oś obrou jak pokazano na Rys. 7.. Rys. 7. Wirujący dysk na wale o przekroju elipycznym: a) kofiguracja i łożyskowanie b) przemieszczenia środka dysku i obró przekroju wału Szywność wału jako elemenu sprężysego w płaszczyźnie drgań dysku Oz zależy od modułu Younga długości wału oraz od geomerycznego momenu bezwładności przekroju względem os CY Rys. 7.b): 48EIY kz. 7.) 3 l 85

3 Momen bezwładności I Y wyznaczamy na podsawie zadanych głównych momenów bezwładności przekroju względem osi ) z wzoru ransformacyjnego doyczącego obrou osi CY względem osi C [] geomeria mas ransformacja układu współrzędnych przez obró): iorąc pod uwagę że I I I Y I I I I. 7.) I I oraz orzymujemy: I Y I I I I. 7.3) Równanie drgań dysku w kierunku osi wynika wpros z prawa ruchu jego środka masy: m k. 7.4) z Uwzględniając wzory 7.) i 7.3) orzymujemy równanie drgań 7.4) w posaci nasępującego równania różniczkowego liniowego o harmonicznie zmiennym paramerze: 48E I I I I m ) l Równanie 7.5) możemy dalej przekszałcić do posaci: 48E I I) gdzie: 3 ml ) 7.6) I I. W eorii równań różniczkowych równanie ypu 7.5) I I nazywa się równaniem Mahieu a bezwymiarowa sała głębokości modulacji harmonicznie zmiennego parameru równania. nosi nazwę współczynnika Przykład 7.. Drgania wahadła maemaycznego z ruchomym punkem zamocowania Rozważmy wahadło maemayczne o masie m i długości l zamocowane na wózku kóry wykonuje zadany ruch posępowy w kierunku pionowym opisany równaniem s s) względem pewnego punku odniesienia O. Układ en może być modelem ciała zawieszonego na linie dźwignicy kórej wózek może wykonywać ruch drgający w kierunku pionowym w wyniku zaburzeń poziomego ruchu roboczego suwnicy np. wskuek zużycia kół lub szyn wózka). Założymy harmoniczny ruch wózka w kierunku pionowym i pokażemy że równanie wahadła w ych warunkach jes równaniem ypu Mahieu i opisuje drgania parameryczne. Wahadło z ruchomym punkem zawieszenia pokazano na Rys

4 Rys. 7.. Wahadło maemayczne z ruchomym punkem zawieszenia z Przykładu 7. Równanie różniczkowe ruchu wahadła zbudujemy jako równanie Lagrange a przyjmując ką odchylenia wahadła od kierunku pionowego jako współrzędną uogólnioną: Energia kineyczna wahadła wyraża się wzorem: d E k E E k p. 7.7) d E k m y ). 7.8) Współrzędne karezjańskie wahadła wyrażamy przez współrzędną uogólnioną współrzędną wózka s : a ich pochodne względem czasu są nasępujące: l y s l 7.9) l y s l. 7.) Wykorzysując wzory 7.) orzymujemy wyrażenie na energię kineyczną: E k m l ls s. 7.) Energia poencjalna wahadła jes nasępującą funkcją kąa poziom odniesienia y ): E p mg s l ). 7.) :Pochodne energii kineycznej porzebne w równaniu Lagrange a są nasępujące: E k m l ls ) d E k m l ls ls ) d E k mls. 7.3) Podsawiając wyrażenia 7.3) i 7.) do równania Lagrange a 7.7) orzymujemy nieliniowe równanie wahadła z ruchomym punkem zawieszenia: mgl mls ml. 7.4) i 87

5 Dzieląc równanie 7.4) sronami przez ml linearyzując je dla małych kąów ) i przyjmując zgodnie z założeniem s ) s orzymujemy równanie małych paramerycznych drgań wahadła z ruchomym punkem zawieszenia: g s. 7.5) l l Jes o równanie ypu Mahieu [4] kóre można jeszcze przekszałcić do posaci: 7.6) gdzie g l a współczynnik głębokości modulacji parameru wynosi s. g Przykład 7.3. Drgania parameryczne przekładni zębaej Rozparzmy przekładnię składającą się z dwóch zazębiających się kół zębaych o promieniach ocznych r i pokazaną na Rys.7.3. r oraz masowych momenach bezwładności J i J względem ich osi obrou Rys Przekładnia zębaa z Przykładu 7.3: a) zęby w przyporze b) model zazębienia odkszałcalnego sprężyście W przypadku zębów nieodkszałcalnych isnieje ścisły związek kinemayczny między prędkościami kąowymi obu kół z kórego wynika przełożenie przekładni. r r Inaczej jes w przypadku gdy zęby odkszałcają się pod wpływem siły międzyzębnej. Prędkości kąowe obu kół nie są już proporcjonalne do siebie ale sają się wielkościami powiązanymi zależnością dynamiczną w posaci równania różniczkowego. Wyprowadzimy o równanie pokazując że jes ono równaniem ze zmiennym w czasie paramerem co oznacza możliwość wysąpienia drgań paramerycznych. Odkszałcalność zazębienia powoduje dodakowy sopień swobody przekładni odpowiadający względnemu obroowi obu kół. Dodakowy sopień swobody można zaobserwować unieruchamiając np. koło napędzane i przykładając do koła napędzającego sały momen M. 88

6 Zaobserwujemy odpowiadający momenowi niewielki ką obrou saycznego koła napędzającego. Można więc określić szywność zazębienia - obroową wzdłuż linii przyporu Rys. 7.3b): Uwagi M k r r i liniową M / r. 7.7). Szywności określone we wzorach 7.7) nie są sałe ale zależą od kąa obrou koła napędzającego w opisanym eksperymencie. Wynika o z geomerii zazębienia.. W przekładni o zębach prosych a sama para zębów jes w przyporze w pewnym przedziale kąa obrou koła napędzającego. Sąsiednia para kół wchodzi w przypór zanim pierwsza wyjdzie z przyporu. W konsekwencji w przyporze jes jedna lub dwie pary zębów. Z uwagi wynika że w pewnym przedziale czasu k ) a w sąsiednim przedziale ) jes większa k ) szywność zazębienia jes mniejsza ) i cykl en powarza się wiele razy w czasie pełnego obrou koła napędzającego. Szywność zazębienia przy sałej prędkości kąowej koła napędzającego jes więc okresową funkcją czasu k k ) k ) przedziałami sałą o okresie pokazaną na Rys k Rys Model szywności zazębienia jako okresowej przedziałami sałej funkcji czasu Okres funkcji szywności zazębienia zależy od liczby zębów napędzającego ): z ) i prędkości kąowej koła. 7.8) z by zbudować równanie dynamiki przekładni przyjmiemy jej model pokazany na Rys. 7.3b. Szywność k doyczy względnych przemieszczeń obwodowych kół przekładni. Uwaga 89

7 Podaność sprężysa zazębienia powoduje że kąy obrou obu kół nie są proporcjonalne do siebie zaem przełożenie nie jes sałe. Zakłócenia przełożenia przekładni mogą mieć niekorzysne skuki w maszynie lub mechanizmie w kórym przekładnia pracuje. Zajmiemy się drganiami swobodnym przekładni kóra zgodnie z przyjęym modelem jes układem o dwóch sopniach swobody. Równania ruchu zbudujemy jako równania Lagrange a przyjmując kąy obrou kół ) Jako współrzędne uogólnione. Energie kineyczna i poencjalna układu mają posać: E k J J E p k r r. 7.9) Równania Lagrange a wynikające z energii kineycznej i poencjalnej 7.9) mają posać: J k ) r r r J k ) r r r 7.) Wprowadzając nowe zmienne s r s r będące przemieszczeniami obwodowymi obu kół możemy równania 7.) przekszałcić: r s k ) J r s k ) J s s s s 7.) Równanie drgań paramerycznych przekładni orzymamy odejmując pierwsze równanie 7.) od drugiego i wprowadzając zmienną s s s kóra sanowi względne przemieszczenie obwodowe kół zębaych przekładni: r r s k ) s 7.) J J gdzie k) jes zadaną okresową funkcją czasu pokazaną na Rys Uwaga Równanie drgań paramerycznych ypu 7.) jes uogólnieniem równania Mahieu i nosi nazwę równania Hilla [3]. Przykład 7.4. Drgania parameryczne belki poddanej zmiennej w czasie sile podłużnej Pręy prose obciążone siłami wzdłuż ich osi wysępują w echnice jako elemeny kraownic. Zakłada się że nie są one poddane zginaniu np. wskuek sił poprzecznych przyłożonych poza węzłami. Przyjmuje się również założenie że siła w każdym pręcie jes sała z czego wynika 9

8 że obliczenia pręów kraownic mogą być saycznymi obliczeniami wyrzymałościowymi na rozciąganie a w przypadku pręów ściskanych również na wyboczenie. W prakyce siły podłużne w pręach kraownic mogą być zmienne w czasie np. wskuek obciążeń dynamicznych wynikających z ruchu pojazdów po przęsłach mosowych drgań fundamenów maszów kraownicowych spowodowanych rzęsieniami ziemi lub innymi przyczynami. W akich warunkach może dojść do paramerycznego wzbudzenia drgań poprzecznych pręa kóry saje się belką ze zmiennym w czasie obciążeniem podłużnym. W celu wyprowadzenia równania drgań paramerycznych rozparzmy smukłą belkę o długości l sałym polu przekroju gęsości maeriału podparą obusronnie przegubowo i poddaną sile osiowej będziemy uważać siłę rozciągającą Rys. 7.5a). P) i szywności zginania EI przy czym za dodanią Wyprowadzenie równania drgań poprzecznych rozważanej belki jes analogiczne jak w przypadku drgań swobodnych badanych w Wykładzie. Efek działania siły osiowej uwzględnimy analogicznie jak w przypadku drgań poprzecznych sruny w Wykładzie 9. Nieskończenie mały elemen belki oraz działające nań siły i momeny pokazano na Rys. 7.5b. P) Rys elka z Przykładu 7.4: a) podparcie i obciążenie siłą osiową b) elemen belki i siły wewnęrzne Prawo Newona zasosowane do elemenu belki prowadzi do równania ruchu: w Q d d Pd 7.3) gdzie w w ) oznacza przemieszczenie poprzeczne elemenu belki w układzie współrzędnych pokazanym na Rys. 7.5a. Korzysając z poniższych zależności wyjaśnionych w Wykładach 9 i : M ) w w w Q ) M ) EI d d d 7.4) orzymujemy równanie drgań paramerycznych belki jaqko równanie cząskowe: 9

9 Dzieląc 7.5) sronami przez p ) P ) / orzymujemy: 4 w w w P ) EI. 7.5) 4 i wprowadzając paramery a b EI / oraz 4 w w w p ) a b 7.6) 4 z warunkami brzegowymi idenycznymi jak w przypadku belki przegubowo podparej bez siły osiowej. Uwaga Funkcje własne belki z siłą osiową są inne niż w przypadku belki bez ej siły. Można jednak w celu przybliżonego zbadania drgań paramerycznych przyjąć funkcje własne belki swobodnie podparej. Załóżmy rozwiązanie równania 7.6) w posaci: gdzie ) w ) ) 7.7) l jes poszukiwaną funkcją przybliżającą posać drgań belki. Podsawiając 7.7) do 7.6) orzymujemy równanie na iorąc pod uwagę że l ) : 4 p ) a 4 b. 7.8) l l 4 a 4 b jes kwadraem częsości własnej pierwszej posaci belki bez siły osiowej możemy równanie 7.8) zapisać w posaci: l p ). 7.9) ab W przypadku okresowej funkcji p ) jes o równanie Hilla a gdy p ) jes harmoniczna jes o równanie Mahieu Przykładowa analiza równania Hilla rezonans parameryczny W ej części wykładu przedsawimy analizę równania Hilla o posaci: ) f 7.3) 9

10 gdzie f ) jes funkcją okresową o okresie przybierającą warości + i na przemian co pół okresu. Funkcję ę pokazano na Rys Przyjęo że. Rys Przebieg zmian parameru w równaniu Hilla 7.3) W analizie równania Hilla 7.3) będzie nas ineresował nasępujący problem bardzo ważny z punku widzenia zasosowań echnicznych: czy możliwe jes nieograniczone narasanie drgań paramerycznych będących rozwiązaniem równania 7.3) a jeśli ak o w jakich warunkach? Poszukując odpowiedzi na o pyanie wykorzysamy pewne elemeny ej eorii nie zgłębiając jednak jej szczegółów i odsyłając zaineresowanego Czyelnika do lieraury. Zgodnie z wierdzeniem Floquea [8] rozwiązanie równania 7.3) ma posać: gdzie ) ) ) e 7.3) jes pewną ciągłą funkcją okresową o okresie a jes liczbą rzeczywisą lub zespoloną zwaną wykładnikiem charakerysycznym równania 7.3). Z wyrażenia 7.3) wynika że po upływie czasu równego okresowi parameru równania ruchu mamy: ) ) gdzie e. 7.3) Liczba nazywa się mnożnikiem równania ruchu 7.3). Gdyby isniał mnożnik oznaczałoby o nieograniczony wzros drgań kóry określa się jako rezonans parameryczny. Ineresujące są również inne możliwe warości mnożnika pokażemy w dalszej części wykładu. Uwaga oraz ich inerpreacja co Przypomnijmy że poszukując rozwiązania równania drgań swobodnych oscylaora o jednym sopniu swobody Wykład ) przyjęliśmy rozwiązanie w posaci ) e r gdzie liczba r mogła przybierać dwie warości jako pierwiasek równania charakerysycznego kóre było równaniem kwadraowym. Dwa wykładniki charakerysyczne generowały dwa rozwiązania liniowo niezależne kóre w kombinacji worzyły rozwiązanie ogólne równania ruchu. Podobnie w przypadku liniowego równania 7.3) można spodziewać się dwóch 93

11 94 wykładników charakerysycznych oraz odpowiadających im mnożników. Pokażemy o w dalszej analizie równania 7.3). Dzięki sałym warościom funkcji ) f w kolejnych połówkach okresu możemy zbudować ścisłe rozwiązania równania 7.3) w ych przedziałach a nasępnie połączyć je korzysając z warunków ciągłości przemieszczenia i prędkości na granicy przedziałów. Równania ruchu w pierwszej i drugiej połowie okresu są nasępujące: / dla ) / dla ). 7.33) Odpowiednie rozwiązania drgań swobodnych są harmoniczne o różnych częsościach: / dla ) / dla ) ) gdzie. 7.34) Czery sałe muszą spełniać nasępujące warunki ciągłości oraz dwa warunki wynikające z posulau 7.3): ) ) ) ) ) / ) / ) / ) / 7.35) Warunki 7.34) prowadzą do jednorodnego układu równań na sałe : 7.36) by isniały niezerowe rozwiązania jednorodnego układu 7.35) jego wyznacznik główny musi być równy :. 7.37) Wyrażenie 7.36) jes równaniem z niewiadomą. Rozwijając wyznacznik orzymujemy równanie kwadraowe kóre możemy zapisać w nasępującej posaci:

12 S 7.38) gdzie przez S oznaczono wielkość: S. 7.39) Wyróżnik równania 7.38) wynosi: 4 S ) 7.4) zaem dwa rzeczywise pierwiaski ego równania isnieją dla S i wynoszą: S S. 7.4) Z posaci pierwiasków 7.4) wynika że możliwe są nasępujące przypadki drgań paramerycznych rozparywanego układu. ) Dla S isnieją dwa pierwiaski rzeczywise dodanie przy czym na pewno w związku z czym drgania narasają nieograniczenie. Wysępuje rezonans parameryczny. ) Dla S obydwa pierwiaski są rzeczywise i ujemne przy czym co również oznacza nieograniczone narasanie drgań ale ze zmianą znaku co okres. 3) Dla S rozwiązania są zespolone sprzężone S i S o module równym S S =. 7.4) Sosując zasady logarymowania liczb zespolonych [3] orzymujemy wykładniki : Ln ln irg gdzie S rg arc g. 7.43) S Oznaczając rg i biorąc pod uwagę że ln orzymujemy wykładniki: i Oraz odpowiadające im rozwiązania liniowo niezależne: i 7.44) i i ~ ) ) ~ e ) ) e. 7.45) Rozwiązaniami liniowo niezależnymi są również kombinacje powyższych rozwiązań: ~ ~ ) ) oraz ~ ~ ) ). 7.46) i Jak widać żadne z rozwiązań 7.46) nie wzrasa nieograniczenie. 95

13 4) Dla S orzymujemy pierwiasek podwójny: przy S lub przy S. Dla S podwójny wykładnik charakerysyczny wynosi a odpowiadające mu rozwiązania liniowo niezależne mają posać: ) ) ) ). 7.47) Jedno z ych rozwiązań jes okresowe drugie nieograniczenie narasa w czasie. W przypadku S mamy mnożnik podwójny kóremu można przyporządkować różne wykładniki i / a odpowiadające mu rozwiązania liniowo niezależne zapisać w posaci: ) ) ) ). 7.48) Funkcje e nie narasają nieograniczenie i mają nasępujące właściwości: ) ) ) ) 7.49) co oznacza że rozwiązania e mają okres. Jak wynika z powyższych rozważań układ drgający jes na granicy rezonansu paramerycznego w przypadku gdy S. Korzysając z wzoru 7.39) na S i wprowadzając częsość wymuszenia paramerycznego / możemy granicę rezonansu zapisać w posaci równości: Wyrażenie 7.5) opisuje miejsce geomeryczne punków na płaszczyźnie. 7.5) kóre leżą na granicy rezonansu paramerycznego. Dla brak modulacji parameru drgania swobodne harmoniczne) warunek 7.5) przyjmuje posać: co oznacza: n 7.5) gdzie n ) Dla każdej innej zadanej warości współczynnika modulacji równaniem rygonomerycznym a niewiadomą wyrażenie 7.5) jes /. Rozwiązując je za pomocą dowolnej meody orzymujemy zbiór punków kóry przedsawia granicę rezonansu paramerycznego 96

14 na płaszczyźnie paramerów układu rezonans parameryczny pokazano na Rys Obszary ej płaszczyzny w kórych wysępuje Rys Obszary rezonansu paramerycznego równania Hilla 7.3) Uwagi. Rezonans parameryczny oznacza wzros energii drgań. Źródłem energii jes praca sił lub momenów kóre wymuszają zmiany cykliczne paramerów układu.. W realnych układach drgających wysępuje łumienie wynikające z oporów ruchu w ośrodku lub z arcia wewnęrznego w elemenach odkszałcalnych. łumienie powoduje zawężenie obszarów rezonansu paramerycznego. nalizę roli łumienia w drganiach paramerycznych można znaleźć w lieraurze []. Pyania sprawdzające do wykładu 4. Co o są drgania parameryczne?. Jaki jes powód drgań paramerycznych w przekładniach zębaych? 3. Jaka jes różnica między drganiami paramerycznymi i wymuszonymi siłowo? 4. Jaką posać ma równanie Hilla i jego rozwiązanie? 5. Podać przykład układu drgającego kórego modelem jes równanie Mahieu. 6. Co o jes rezonans parameryczny? 7. Co o jes współczynnik głębokości modulacji parameru równania Mahieu? 8. Co o są wykładniki charakerysyczne równania Hilla? 9. Co rozumiemy przez mnożniki równania Hilla i jakie jes ich znaczenie?. Jak wygląda obszar rezonansu paramerycznego równania f )) przy f ) f ) przyjmującej warości przemiennie co pół okresu? 97