Politechnika Łódzka. Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej. Laboratorium cyfrowej techniki pomiarowej. Ćwiczenie 7

Transkrypt

1 Politechika Łódzka Istytut Systemów Iżyierii Elektrycze Laboratorium cyfrowe techiki pomiarowe Ćwiczeie 7 Aaliza statystycza wyików pomiaru

2 1. Wprowadzeie teoretycze 1.1 Niepewość pomiaru Prawidłowo zapisay i komplety wyik pomiaru powiie składać się z estymaty ŷ wartości prawdziwe y oraz miary iedokładości, czyli miary rozbieżości między etymatą ŷ a iezaą wartością prawdziwą y. Przy określeiu iedokładości pomiaru korzysta się z teorii iepewości. Umożliwia oa scharakteryzowaie iedokładości przez podaie iepewości stadardowe, iepewości złożoe (łącze) i iepewości rozszerzoe. Składowe iepewości wyzaczae przy użyciu metod statystyczych a podstawie otrzymaego rozrzutu wyików serii pomiarów określa się ako iepewości typu A, atomiast składowe wyzaczae iymi metodami, ako iepewości typu B. Moża przyąć, że iepewość typu A odpowiada błędom spowodowaym zdarzeiami przypadkowymi a iepewość typu B efektami systematyczymi. Naczęstszą przyczyą występowaia iepewości typu B są błedy aparatury pomiarowe. Ze względu a rodza wykoywaego pomiaru wyodrębia się dwa przypadki wyzaczaia iepewości: iepewość pomiaru bezpośrediego, iepewość pomiaru pośrediego. 1. Niepewość pomiaru bezpośrediego W pomiarze bezpośredim ako estymatę ŷ wartości prawdziwe wielkości mierzoe przymue się średią arytmetyczą serii pomiarów y, wykoaych w powtarzalych warukach. Zakładaąc, że wykoao pomiarów wielkości y, a poedycze wskazaia mierika wyoszą: y(1), y() y(), możemy obliczyć średią arytmetyczą serii. 1 y y( i) (1) i1 oraz iepewość typu A (iepewość stadardową) ako pierwiastek z estymaty wariaci średie arytmetycze s ( y ), czyli odchyleie stadardowe średie arytmetycze. y( i) y i1 u A () ( 1) Niepewość typu B, które źródłem est iedokładość aparatury pomiarowe, moża wyzaczyć korzystaąc z iformaci opisuących day przyrząd. Nabardzie przydata okazue się w tym przypadku wiedza dotycząca graiczego błedu przyrządu oraz ego rozkładu. Graiczy błąd przyrządu wyzacza się z zależości: dla mierika aalogowego gdzie: k m wskaźik klasy dokładości mierika, Y zakres mierika, dla mierika cyfrowego k m g Y (3) 100 y Y y q (4) g

3 gdzie: - błąd multiplikatywy mierika (ułamek wskazaia), y - średia arytmetycza serii pomiarów, - błąd addytywy mierika (ułamek zakresu), Y - zakres pomiarowy, - błąd addytywy mierika (liczba cyfr, liczba edostek ostatie pozyci wskazaia), q rozdzielczość mierika (kwat, wartość edostki ostatie pozyci). Wymieioe we wzorach 3 i 4 parametry podae są w specyfikaci mierika. Błędy przyrządów pomiarowych aczęście przymuą rozkład prostokąty, rzadzie trókąty lub ormaly. Niepewość typu B rówą odchyleiu stadardowemu moża obliczyć w zależości od rozkładu z astępuących wzorów: dla rozkładu prostokątego g u B (5) 3 dla rozkładu trókątego g u B (6) 6 dla rozkładu ormalego g u B (7) 3 Niepewość łączą (złożoą) oblicza się ze wzoru, u u A u B (8) atomiast iepewość rozszerzoą z zależości: U k (9) u Współczyik rozszerzeia k określa się a podstawie przyętego poziomu ufości i rozkładu wypadkowego otrzymaego ze złożeia rozkładów przyętych do obliczeia iepewości typu A i B. Rozkład powstały ze złożeia dwóch rozkładów est ich splotem. W praktyce wyzaczeie splotu rozkładów stwarza dużo problemów dlatego często wykorzystue się przybliżoą metodę wyzaczaia współczyika rozszerzeia. Metoda ta zakłada, że iezay splot rozkładów est zbieży do rozkładu składowego o większym odchyleiu stadardowym. Współczyik rozszerzeia określa się wtedy korzystaąc z tablic dystrybuaty tego rozkładu. W przypadku zbliżoych wartości odchyleń stadardowych rozkładów składowych ależy przyąć współczyik wyzaczoy dla rozkładu zmiee mierzoe y. Maąc a uwadze powyższe rozważaia moża wyróżić cztery aczęście spotykae sposoby wyzaczaia współczyika rozszerzeia: Rozkładem o większym odchyleiu stadardowym est rozkład ormaly (duża próba zmiee y, 30) współczyik k odczytue się z tablic dystrybuaty stadaryzowaego rozkładu ormalego w zależości od przyętego poziomu ufości p, przy czym, gdzie - poziom istotości. p = 1- (10) Uwaga! Większość tablic statystyczych zawiera współczyiki określoe dla wartości : 1 (11) 3

4 W takim przypadku współczyik k odczytue się bezpośredio z tablicy dla wartości. Np. w celu wyzaczeia współczyika k dla poziomu ufości p= 0,95 w pierwszym kroku ależy wyzaczyć wartość (10), astępie wartość (11). W tym przypadku wyosi 0,975, a współczyik rozszerzeia odczytay z tablic est rówy 1,96. Przy braku tablic współczyik k moża odczytać korzystaąc z fukci (ormsi v) dostępe w programie Excel. Fukca wymaga wprowadzeia wartości obliczoe według zależości 11. Rozkładem o większym odchyleiu stadardowym est rozkład t- Studeta (mała próba zmiee y, < 30) współczyik k odczytue się z tablic dystrybuaty stadaryzowaego rozkładu t- Studeta. Współczyik odczytue się dla liczby stopi swobody -1 i wyzaczoego a podstawie poziomu ufości prawdopodobieństwa (10) lub / w zależości od wymagań stosowae tablicy. Np. maąc próbę = 6 i przymuąc poziom ufości p= 0,95 otrzymuemy odpowiedio: liczbę stopi swobody rówą 5, = 0,05, współczyik rozszerzeia k =,064. Przy braku tablic współczyik k moża odczytać korzystaąc z fukci (tiv)dostępe w programie Excel. Fukca wymaga wprowadzeia liczby stopi swobody i wartości. Rozkładem o większym odchyleiu stadardowym est rozkład prostokąty - współczyik rozszerzeia wyzacza się z zależości: k 3 p (1) W przypadku trudości z wyzaczeiem współczyika rozszerzeia zwykle przymue się k = i p 0,95 lub k = 3 i p 0, Niepewość pomiaru pośrediego W pomiarze pośredim wartość wielkości y wyzacza się a podstawie wartości kilku wielkości x ( = 1,,...N) zmierzoych bezpośredio. Każdą wartość poszczególych wielkości wyzacza się z serii pomiarów ako średią arytmetyczą (pukt 4.1.1) x 1 i1 x ( i) Maąc wartości średie poszczególych wielkości wyzacza się dla ich iepewości typu A (iepewości stadardowe średich arytmetyczych) oraz współczyik wrażliwości fukci pomiaru a wielkość x x ( i) x (13) i1 u A (14) ( 1) gdzie f est fukcą pomiaru: G f (15) x y = f (x 1,...,x N ) (16) Podobie ak w pukcie 1.1 dla poszczególych wielkości x ależy wyzaczyć iepewość typu B oraz iepewość łączą stadardową pomiaru: u A ub (17) u 4

5 Niepewość łączą estymaty wartości mierzoe wielkości y dla pomiaru, w którym wielkości pośredie x ie są skorelowae, wyzacza się korzystaąc z zależości: Niepewość rozszerzoą wyzacza się z zależości: N u G u (18) 1 u U k (19) Wartość współczyika k est zależa od splotu rozkładów wielkości pośredich.. Błąd karty pomiarowe. Graiczy błąd karty pomiarowe g est sumą pięciu składowych: procet apięcia weściowego (precet of readig), błąd przesuięcia zera - błąd iezrówoważeia (offset error), błąd spowodoway szumem cieplym (białym) elemetów karty (oise), błąd kwatyzaci (quatizatio error), błąd wyikaący ze zmia temperatury dryft termiczy (drift) Dla karty pomiarowe NI 604E specyfikaca podae astępuące wartości błędów graiczych, w zależości od zakresu weściowego: Tabela 1 Parametry karty pomiarowe NI 604E Aalogowy zakres weściowy [V] Błąd graiczy g [mv] , ,63-0,5 0,5 0,846-0,05 0,05 0,106 Niepewość typu B pomiaru kartą pomiarową dla prostokątego rozkładu błędu graiczego karty i zakresu 5V (zakres wykorzystyway w laboratorium) wyosi : u B g 5,63 3,039 [ mv] (0) Obliczaie iepewości pomiaru w programie LabVIEW Do wyzaczaia iepewości pomiarowych w programie LabVIEW wykorzystue się fukce statystycze zgromadzoe w palecie Fuctios Mathematics Probability & Statistics. Należy tu szczególie wymieić trzy abardzie przydate elemety: Stadard Deviatio ad Variace oblicza wartość średią, wariacę i odchyleie stadardowe z próby. Iv Normal Distributio oblicza wartość dystrybuaty rozkładu ormalego dla prawdopodobieństwa określoego fukcą (wzór 11). Iv T Distributio - oblicza wartość dystrybuaty rozkładu t-studeta dla prawdopodobieństwa określoego fukcą (wzór 4.11) i -1 stopi swobody. Przy budowie aplikaci w tym ćwiczeiu poza wymieioymi elemetami będą zastosowae eszcze ie, których zasada działaia ie została wcześie opisaa, t.: 5

6 Iitialize Array (Fuctios Array) tworzy ową tablicę, w które wszystkie elemety przymuą wartość doprowadzoą do zacisku elemet. Array Subset (Fuctios Array) zwraca podtablicę tablicy weściowe. Podtablica rozpoczya się od wskazaego ideksu tablicy weściowe a e długość określoa est ilością ideksów leght. Replace Array Subset (Fuctios Array) podmieia elemet o wskazaym ideksie w tablicy weściowe owym elemetem. Array Size (Fuctios Array) zwraca ilość elemetów w tablicy. Array Max & Mi (Fuctios Array) wyszukue wartość maksymala i miimalą w tablicy. Select (Fuctios Compariso) sprawdza waruek logiczy i w zależości od wyiku przepuszcza sygał z weścia t eżeli waruek est prawdziwy lub z weścia f eżeli waruek est fałszywy. Niepewość pomiary zostaie wyzaczoa dla pomiaru amplitudy sygału siusoidalego. Należy wykoać program Dae1, którym zostaie wygeerowae sygał siusoidaly o częstotliwości 100Hz, przy częstotliwości próbkowaia 1000Hz z losowo dodaym zakłóceiem zmieiaącym amplitudę sygału w każdym okresie. W 1s otrzymue się 100 okresów sygału. Program zapisue dae do pliku (Write Waveforms to File). Schematy diagramu i paelu Dae1 są pokazae a rysukach 1 i. Rys. 1. Diagram programu Dae1. 6

7 Rys.. Pael programu Dae1. Sposób wyzaczaia iepewości pomiaru bezpośrediego zostaie pokazay a przykładzie programu Niepewości. Rys. 3. Diagram programu Niepewość Pomiar amplitudy polega a wyzaczeiu wartości maksymale z każdego okresu, co pozwoli a obliczeie wartości średie amplitudy ako estymaty wartości prawdziwe. Dodatkowo program wyzacza iepewość typu A oraz iepewość łączą i rozszerzoą przy uwzględieiu iepewości typu B wyzaczoe w pukcie. Schemat układu zapewia automatyczy wybór sposobu obliczaia współczyika rozszerzeia w zależości od ilości zebraych próbek amplitud (rozkład ormaly lub t-studeta). Poadto istiee możliwość określeia ilości okresów sygału weściowego, co umożliwia wykorzystaie współczyików obu rozkładów i obserwacę wyiku pomiaru w zależości od ilości próbek. Diagram i Pael programu pokazae są a rysukach 3 i 4. 7

8 Rys. 4. Pael programu Niepewość Po uruchomieiu program odczytue dae pomiarowe z pliku, a astępie wyodrębia z ich wartości 1000 próbek sygału siusoidalego (elemet Get Waveform Compoets). Próbki te w postaci tablicy są wprowadzae do pętli While a dale do weścia elemetu Array Subset. Ilość iteraci pętli deklarue się w polu Liczba okresów sygału. Rozwiązaie takie umożliwia zebraie określoe ilości próbek amplitud. Nie ależy edak przekraczać 100 okresów sygału poieważ tylko tyle est zapisaych w pliku. Z wcześieszych daych wyika, że a każdy okres sygału przypada 10 próbek, dlatego możąc umer kolee iteraci pętli przez 10 otrzymuemy umery ideksu, od którego rozpoczya się ciąg próbek określoego okresu sygału w tablicy. W koleych iteracach pętli astępue doprowadzeie do zacisku idex elemetu Array Subset umeru o 10 większego, co przy zadeklarowae długości próbek (10) przypadaące a okres (zacisk leght), powodue wyodrębieie a wyściu elemetu Array Subset podtablicy zawieraące próbki tylko dla wskazaego okresu. Z próbek tych wyszukiwaa est próbka o maksymale wartości (elemet Array Max & Mi). Trafia oa do zacisku ew elemet elemetu Replace Array Subset, gdzie zostae wstawioa do tablicy amplitud we wskazae ideksem miesce (zacisk idex). Po uruchomieiu programu elemet Iitialize Array iicue tablicę amplitud o rozmiarze odpowiadaącym ilości okresów sygału, w które wszystkie elemety maą wartość rówą zero. Tablica ta est wprowadzaa do pętli przy e starcie i dołączaa do weścia elemetu Replace Array Subset. Wstawieie próbki amplitudy do tablicy amplitud polega więc a zamiaie wskazaego elemetu o wartości zero wartością próbki amplitudy. W te sposób wstawiae są próbki amplitud ze wszystkich okresów. Pętla wykoue się dopóki e umer iteraci est mieszy od zadae ilości okresów. Należy przy tym zazaczyć, że pierwszym umerem iteraci est zero. Utworzoa przez elemet Iitialize Array tablica zer est doprowadzaa do reestru przesuwego pętli (shift register). Dzięki reestrowi tablica wprowadzaa est tylko przy starcie pętli w zerowe iteraci. Reestry przesuwe wykorzystywae są do przesyłu iformaci miedzy koleymi iteracami pętli, co powodue, że tablica utworzoa w iteraci zerowe przez elemet Replace Array Subse est przesyłaa reestrem do iteraci pierwsze, gdzie astępue wymiaa elemetu o koleym ideksie. Proces taki wykoue się do mometu zakończeia działaia pętli. Aby dodać reestr ależy klikąć prawym klawiszem myszy a ramce pętli i z meu wybrać poleceie Add Shift Register. W przypadku zwykłych zacisków pętli dae są do ie rówież wprowadzae w zerowe iteraci, ale są iezmiee i dostępe podczas każdego wykoaia pętli. Po zakończeiu wykoywaia pętli stworzoa tablica wszystkich amplitud przesyłaa est do elemetu Stadard Deviatio ad Variace. Elemet te a podstawie wszystkich wartości próbek oblicza wartość średią, odchyleie stadardowe z próby i wariacę. Odchyleie stadardowe dzieloe est przez pierwiastek z ilości próbek amplitud. Działaie takie ma a celu obliczeie iepewości typu A. Niepewość łącza wyzaczaa est z iepewości typu A i B według 8

9 wzoru 4.8. Współczyik rozszerzeia wyzaczay est a podstawie zadaego poziomu ufości (pole Poziom ufości) z dystrybuat rozkładów ormalego i t-studeta (elemety Iv Normal Distributio, Iv T Distributio), zgodie ze wzorem 11. Wybór odpowiediego współczyika zapewia elemet Select. Pozwala o a wyliczeie iepewości rozszerzoe ze współczyikiem wyzaczaym z dystrybuaty rozkładu ormalego (dla 30) lub z dystrybuaty rozkładu t-studeta (dla < 30). 4. Wykoaie ćwiczeia 1. Wykoać i uruchomić program Niepewość.. Wykoać obliczeia iepewości pomiaru a poziomie ufości p = 0,95 i p = 0,99 dla: 10, 5, 30, 50 i 100 okresów sygału badaego. 5. Literatura 1. Świsulski Dariusz, Komputerowa techika pomiarowa. Oprogramowaie wirtualych przyrządów pomiarowych w LabView, Ageda Wydawicza PAK-u, Warszawa 005. Świsulski Dariusz, Komputerowa techika pomiarowa w przykładach.. Ageda Wydawicza PAK-u, Warszawa Świsulski Dariusz, Laboratorium z systemów pomiarowych.. Wydawictwa PG, Gdańsk LabView Measuremet Maual, Natioal Istrumets 5. Graczyk A., Gołębiowski J., Prohuń T.: Laboratorium komputerowych systemów pomiarowych, Wydawictwo Politechiki Łódzkie, Łódź