Instrukcja oceny niepewności pomiarów w I Pracowni Fizycznej (ONP) Nowe normy międzynarodowe
|
|
- Edward Jasiński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Istrukcja ocey iepewości pomiarów w I Pracowi Fizyczej (ONP) Nowe ormy międzyarodowe l. Wprowadzeie W roku 995, po wielu latach pracy, uzgodioo międzyarodowe ormy dotyczące termiologii i sposobu określaia iepewości w pomiarach. Międzyarodowa Orgaizacja Normalizacyja (ISO) opublikowała odpowiedi Przewodik" []. Dokoao jego przekładu a język polski []. Stosowaie orm ISO w zakresie obliczaia i podawaia iepewości pomiarów jest obowiązkiem, podobym do obowiązku stosowaia układu SI.. Wyrażaie iepewości pomiaru owe ormy międzyarodowe Wszystkie pomiary obarczoe są iepewościami pomiarowymi, które moża ieograiczeie zmiejszać, lecz ie moża ich całkowicie wyelimiować. Przewodik przyjmuje defiicję: Niepewość pomiaru parametr związay z wyikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej. Słowo iepewość", bez dodatkowych określeń, ma podwóje zaczeie: zarówo pojęcia ogólego, jak i miary ilościowej. W przypadku stosowaia termiu w zaczeiu ilościowym dodaje się odpowiedi przymiotik. Stosowae są astępujące termiy o owym zaczeiu:. Niepewość stadardowa (stadard ucertaity) wyiku pomiaru bezpośrediego wielkości X. Ważą owością jest symbol iepewości stadardowej u (ucertaity), którego możemy używać a trzy sposoby: u,, stężeie NaCl). Przewodik ie wprowadził osobego symbolu dla pojęcia iepewości względej. Zgodym z logiką symbolem jest u r (ideks r od ag. relative) zalecoy do użytku w USA przez Natioal Istitute of Stadards ad Techology.. Złożoa iepewość stadardowa u c (y) (combied stadard ucertaity) jest iepewością wyików pomiarów pośredich y = f(x, x, x,...,x k,....x K ), gdzie symbole x, x, x,...,x k,...x K ozaczają K wielkości mierzoych bezpośredio. Jest oa obliczaa (wyzaczaa) z prawa przeoszeia iepewości pomiaru.. Niepewość rozszerzoa U lub U(y) (expaded ucertaity) jest miarą pewego przedziału ufości" otaczającego wyik pomiaru pośrediego. Oczekuje się, że w przedziale tym jest zawarta duża część wartości, które w rozsądy sposób moża przypisać wielkości mierzoej. Wartość U oblicza się możąc złożoą iepewość stadardową przez bezwymiarowy współczyik rozszerzeia k. 4. Współczyik rozszerzeia k (coverage factor) jest możikiem złożoej iepewości stadardowej, stosowaym w celu uzyskaia iepewości rozszerzoej.
2 5. Ocea iepewości metodą typu A (type A evaluatio of ucertaity) oparta a metodzie określaia iepewości pomiaru drogą aalizy statystyczej serii wyików pomiarów. 6. Ocea iepewości metodą typu B (type B evaluatio of ucertaity) obliczaa a podstawie rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego przez eksperymetatora (prawdopodobieństwa subiektywego). Ocea typu B może być zastosowaa w każdej sytuacji.. Ie miary iepewości. Niepewość maksymala Przyjęta przez Przewodik ogóla defiicja iepewości jako parametru charakteryzującego rozrzut wyików pomiaru ie wyklucza, że rozrzut te określać mogą też ie parametry. Niemiej w dokumecie tym ie możliwe miary rozrzutu ie są wymieioe awet z azwy. W wielu sytuacjach używaa jest miara iepewości, której azwą uzaą przez literaturę jest błąd graiczy. (Alteratywą azwą spotykaą w podręczikach jest błąd maksymaly). Zgodie z logiką ogólej defiicji iepewości, właściwą azwą wia być iepewość maksymala. Niepewość maksymala x jest miarą determiistyczą, twierdzimy miaowicie, że moża określić przedział x 0 x < x i < x 0 + x, w którym mieszczą się wszystkie wyiki pomiaru x i, aktualie wykoae i przyszłe. Z powyższej ierówości wyika, że wartość rzeczywista x 0 zawarta jest a pewo w przedziale x i ± x wokół dowolego wyiku pomiaru x i. 4. Niepewości pomiarów bezpośredich 4.. Metoda typu A obliczaia iepewości stadardowej Ocea typu A opiera się a aalizie statystyczej serii wyików pomiarów. Wykoywaie pomiarów bezpośredich jest odpowiedikiem losowaia - elemetowej próbki {x, x,...x } z ieskończeie liczej populacji, którą staowią wszystkie możliwe do wykoaia pomiary. Za wyik pomiaru przyjmuje się średią arytmetyczą wyików pomiarów x = x i. () Niepewością stadardową wyiku pomiaru wielkości X azywamy odchyleie stadardowe eksperymetale średiej arytmetyczej x, które oblicza się ze wzoru = ( xi ( ). () UWAGA! Chociaż iepewość ta odosi się do x jej symbolem jest u ( a ie u (.
3 Oceami typu A są wszelkie ie metody określaia iepewości przy użyciu metod statystyczych, p. iepewości parametrów dopasowaia prostej regresji do puktów eksperymetalych. 4.. Prosta regresji Zagadieie polega a poprowadzeiu prostej y = ax + b () jak ajlepiej dopasowaej do zbioru puktów doświadczalych (x, y ), (x, y ),... (x, y ). Celem dopasowaia jest ie tylko uzyskaie efektu wizualego, ale przede wszystkim uzyskaie oce wartości parametrów a i b opisujących prostą, oraz ich iepewości a) i b). Najczęściej wykorzystujemy do tego celu metodę ajmiejszych kwadratów. Najpowszechiejszy wariat tej metody, stosoway gdy iepewości przypisae puktom eksperymetalym są jedakowe, prowadzi do astępujących wzorów a a i b: a x y ( xi ) ( yi ), i i = (4) D ( xi )( yi ) ( xi ) ( xi yi ), b D gdzie D = ( ). = (5) x i x i oraz a ich iepewości stadardowe a) i b) gdzie xi a) = s y, b) = s y, (6) D D [ y ( ax + b) ] i i s y =. (7) 4.. Metoda typu B obliczaia iepewości stadardowej Niepewość stadardową szacuje się metodą typu B w przypadku, gdy dostępy jest tylko jede wyik pomiaru, albo gdy wyiki ie wykazują rozrzutu. Wówczas iepewość stadardową oceia się a podstawie wiedzy o daej wielkości lub o przedziale, w którym wartość rzeczywista powia się mieścić Niepewość wzorcowaia W przypadku wyików ie wykazujących rozrzutu główym przyczykiem iepewości pomiarów jest iepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) d x.
4 Produceci przyrządów takich jak przymiar milimetrowy, suwmiarka czy termometr lekarski a ogół ie określają ich dokładości. Powszechie uważa się, że iesprecyzowaa bliżej dokładość (iepewość wzorcowaia d jest rówa wartości ajmiejszej działki skali, zwaej działką elemetarą. Jej wartość wyosi dla liijki mm, suwmiarki 0,05 mm, śruby mikrometryczej 0,0 mm, termometru lekarskiego 0, C. Ocea ta może być skorygowaa w górę lub w dół zgodie z posiadaą wiedzą i doświadczeiem. Na przykład, jeżeli mierzymy liijką średicę moety jedogroszowej i oceiamy a oko rówież dziesiąte części milimetra, to iepewość wzorcowaia d x może zmiejszyć się do 0, mm. Z drugiej stroy, przy pomiarze rozmiarów pokoju taśmą miericzą, iepewość wzorcowaia ależy przyjąć większą iż mm, choć skalę z podziałką milimetrową mamy a całej pięciometrowej taśmie. Przyjmuje się, że wartość d x jest rówa połowie szerokości rozkładu jedostajego, a iepewość stadardowa wyosi x = d (8) (Jest to odchyleie stadardowe eksperymetale w rozkładzie jedostajym). W wyiku rewolucji w mierictwie wyikającej z postępów elektroiki prawie wszystkie używae współcześie przyrządy pomiarowe to albo proste przyrządy ze skalą aalogową, albo też elektroicze mieriki cyfrowe. Dla każdego z typów tych przyrządów określeie iepewości wzorcowaia (iepewości maksymalej) przebiega ieco iaczej. Niepewość wzorcowaia przyrządów aalogowych W przyrządzie aalogowym jego dokładość precyzuje tzw. klasa przyrządu, która wyraża w procetach stosuek iepewości maksymalej x do pełego wychyleia mierika a daym zakresie pomiarowym. Jej ses jest taki, że wyiki prawidłowo wykoaych pomiarów ie różią się od wartości rzeczywistej x 0 więcej iż o ± x. I tak by było, gdyby obserwator odczytywał absolutie dokładie położeie wskazówki a skali przyrządu. Odczyt dokoyway jest z pewą dokładością (do działki skali, do ½ działki skali, itd.), dlatego też iepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) przyrządu aalogowego jest sumą iepewości wyikającej z klasy i z odczytu, a iepewość stadardową obliczamy ze wzoru [( klasa zakres /00) + = x odczytu )] (9) Niepewość wzorcowaia przyrządów cyfrowych Iaczej odbywa się określaie iepewości wzorcowaia (iepewości maksymalej) dla przyrządów z cyfrowym wyświetlaiem wyików pomiarów. W tego typu przyrządach ie występuje iepewość związaa z odczytem wielkości mierzoej. Zmiaę wartości mierzoej odpowiadającą przeskokowi ostatiej cyfry azwać moża działką elemetarą daego przyrządu. Waże jest, by działki elemetarej ie utożsamiać z iepewością pomiaru przyrządu z cyfrowym wyświetlaczem. 4
5 W celu określeia iepewości wzorcowaia musimy zajrzeć do istrukcji przyrządu. Zajdziemy tam iformację o wartości iepewości wzorcowaia, ajczęściej podaą jako kombiacja liiowa wartości mierzoej i zakresu d x = C wartość mierzoa + C zakres pomiarowy. (0) Uzyskaą w te sposób iepewość maksymalą zamieiamy a iiepewość d x stadardową przy użycie wzoru = 4... Niepewość eksperymetatora Drugim przyczykiem iepewości pomiarów ie wykazujących rozrzutu jest iepewość eksperymetatora (iepewość maksymala) e x, spowodowaa przyczyami zaymi eksperymetatorowi, ale od iego iezależymi. Eksperymetator korzysta ze swego doświadczeia i wiedzy w celu określeia iepewości e x oraz wyikającej stąd iepewości stadardowej. Niepewość stadardową eksperymetatora moża oszacować a podstawie rozkładu jedostajego; wtedy u ( = ex Niepewość tablicowa Niepewościami obarczoe są rówież wyiki zaczerpięte z literatury, tablic matematyczych lub kalkulatora. Jeśli ie jest podaa wartość odchyleia stadardowego eksperymetalego (jeśli jest podaa, wtedy iepewość jest rówa temu odchyleiu) i brak jest jakiejkolwiek iformacji o iepewości, przyjmujemy, że iepewość tablicowa (iepewość maksymala) t x jest rówa 0 jedostkom ostatiego miejsca dziesiętego. Niepewość stadardowa jest szacowaa a podstawie x rozkładu jedostajego; = t Całkowita iepewość stadardowa Najczęściej przyczyki od iepewości wzorcowaia i iepewości eksperymetatora występują jedocześie i wtedy iepewość stadardowa szacowaa metodą B powia być obliczoa ze wzoru ( d ( e = +. () Jeśli atomiast obydwa typy iepewości, A i B, występują rówocześie, to ależy posłużyć się astępującym wzorem a iepewość stadardową (całkowitą): = ua( + ub ( = ( x ( ) ( d + ( e ) + x i. () 5
6 5. Pomiar pośredi. Prawo przeoszeia iepewości W większości pomiarów fizyczych szukaa wielkość ie daje się zmierzyć bezpośredio. Jest oa wyzaczaa z zależości fukcyjej y= f(x, x, x,...x k,...x K ), () gdzie x, x, x,...x k,...x K ozacza K wielkości mierzoych bezpośredio. Zakłada się, że zae są wyiki pomiarów (średie arytmetycze) tych wielkości x, x, x,k x k, K xk oraz ich iepewości stadardowe x ), x ), x ),..., xk ),..., xk ). Wyik (końcowy) pomiaru wielkości złożoej oblicza się ze wzoru y f x, x, x, K x k, K x ). (4) ( K Przy obliczaiu iepewości stadardowej wielkości złożoej ależy rozróżić ieskorelowae i skorelowae pomiary wielkości mierzoych bezpośredio x k. 5. Wielkość złożoa - pomiary bezpośredie ieskorelowae W pomiarach ieskorelowaych (chodzi tu o korelację między wielkościami mierzoymi, której miarą są współczyiki korelacji) każdą wielkość mierzy się w iym, iezależym doświadczeiu. Złożoą iepewość stadardową u c ( y ) wielkości liczoej pośredio y oblicza się korzystając z prawa przeoszeia iepewości pomiarów bezpośredich ieskorelowaych w postaci u ( y) c K f = u ( xk ) k = x. (5) k 5. Wielkość złożoa pomiary bezpośredie skorelowae Pomiary ależy uzać za skorelowae zawsze wtedy, gdy dae wielkości są mierzoe bezpośredio za pomocą jedego zestawu doświadczalego, w jedym doświadczeiu. W praktyce ozacza to, że wszystkie pomiary elektrycze wykoywae w laboratoriach studeckich są pomiarami skorelowaymi. Z uwagi a bardzo skomplikowae obliczaie złożoej iepewości stadardowej wielkości mierzoej pośredio o skorelowaych wielkościach wejściowych (mierzoych bezpośredio) w pracowiach studeckich wygodiej jest postępować astępująco. Wyiki y i oblicza się korzystając z kompletu wyików pomiarów bezpośredich K wielkości x k,i uzyskaych w i pomiarze y i = f(x,i, x,i, x,i,...x k,i,...x K,i. Seria wyików y i, uzyskaych w pomiarach, staowi próbkę losową podobie jak w pomiarach bezpośredich. Przyjmuje się, że wyikiem pomiaru pośrediego jest 6
7 y = y i, (6) i = a złożoą iepewość stadardową wyiku określa wzór u c ( y ) = ( ) ( y i y). (7) 5. Prawo przeoszeia iepewości maksymalej W przypadku rachuku iepewości opartego a pojęciu iepewości maksymalej przyczyki pochodzące od poszczególych zmieych wejściowych obliczamy tak samo, ale zamiast sumy geometryczej obliczamy sumę algebraiczą ich wartości bezwzględych, y = K k= f x k x k. (8) Postępowaie takie azywae było dawiej metodą różiczki zupełej. Aalogicze obliczeie dla względej iepewości maksymalej osiło azwę metody pochodej logarytmiczej. 6. Niepewość rozszerzoa i zapisywaie wyików Dla celów komercyjych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi koieczość podaia miary iepewości, która określa przedział otaczający wyik pomiaru zawierający dużą, z góry określoą, część wyików, jakie moża przypisać wielkości mierzoej. Niepewość spełiającą powyższy waruek azywa się iepewością rozszerzoą i ozacza symbolem U(y) lub U. Defiiuje się ją wzorem U(y) = k u c (y), gdzie k azywa się współczyikiem rozszerzeia. Jest to umowie przyjęta liczba, wybraa tak, by w przedziale y ± U(y) zalazła się większość wyików pomiaru potrzeba do daych zastosowań, a przykład a I Pracowi do wioskowaia o zgodości z wartością tabelaryczą. W Przewodiku stwierdza się, że wartość k wyosi ajczęściej. Przewodik przyjmuje zasadę zapisywaia iepewości z dokładością do dwu cyfr zaczących. Spośród dwu sposobów skrótowego zapisu wartości mierzoej i jej iepewości (patrz Tabela), utrwala się zasada, by zapis z użyciem symbolu "±" stosować wyłączie do iepewości rozszerzoej, atomiast zapis z użyciem awiasów do iepewości stadardowej. 7
8 Wielkość Niepewość stadardowa: ocea typu A Najważiejsze elemety Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru Symbol i sposób obliczaia Statystycza aaliza serii pomiarów, w tym: dla serii rówoważych pomiarów = ( xi ( ) a), b) dla parametrów prostej regresji, itp. Niepewość Naukowy osąd eksperymetatora, stadardowa: x = (gdy zaa jest iepewość x wzorcowaia ocea typu B d x, eksperymetatora e x, odczytu z tablic czy kalkulatora t x ) Złożoa iepewość K f stadardowa uc ( y) = u ( xk ) k= x (dla ieskorelowaych x k ), k K liczba wielkości mierzoych bezpośredio Współczyik k rozszerzeia Niepewość rozszerzoa U(y) = k u c (y), Zalecay zapis iepewości stadardowa g = 9,78 m/s, u c (g) = 0,076 m/s g = 9,78(76) m/s rozszerzoa g = 9,78 m/s, U(g) = 0,5 m/s g =(9,78±0,5) m/s (zasada podawaia cyfr zaczących iepewości) Literatura. Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet, ISO, Switzerlad Wyrażaie iepewości pomiaru: Przewodik, Główy Urząd Miar, Warszawa H. Szydłowski, Postępy Fizyki, 5 Z, 9 (000). 4. A. Zięba, Postępy Fizyki, 5 Z 5, 8 (00). 5. H. Szydłowski, Niepewości w pomiarach. Międzyarodowe stadardy w praktyce, Wydawictwo Naukowe UAM, Pozań A. Zięba, Opracowaie wyików pomiaru w aukach przyrodiczych i techiczych z uwzględieiem zaleceń Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru, w druku 8
MIĘDZYNARODOWE NORMY OCENY NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
MIĘDZYNARODOWE NORMY OCENY NIEPEWNOŚCI POMIARÓW wersja skrócoa (4 stroy opracowała Ewa Dębowska MIĘDZYNARODOWE NORMY OCENY NIEPEWNOŚCI POMIARÓW - wersja skrócoa l Wprowadzeie W roku 995, po wielu latach
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli doświadczeie,
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizyczej i Fizykochemii Polimerów . BŁĄD A NIEPEWNOŚĆ. TYPY NIEPEWNOŚCI 3. POWIELANIE NIEPEWNOŚCI 4. NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA ZŁOŻONA W rok 995 grpa
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Bardziej szczegółowoOPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW
OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Autor: Dr Adrzej Jaas Katedra Iżyierii Stopów i Kompozytów Odlewaych Wydział Odlewictwa AGH Szacowaie iepewości pomiarów i metody obliczaia iepewości pomiarowych Pomiary fizycze
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO TEORII POMIARÓW
Spis treści POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Niepewość stadardowa pomiarów bezpośredich...8 Ocea iepewości pomiarowej typu
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoMETODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU
METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoPOMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne
D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizyczej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczy, błąd przypadkowy,
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystya Iżyiersa dr hab. iż. Jace Tarasiu GH, WFiIS 03 Wyład 4 RCHUNEK NIEPEWNOŚCI + KILK UŻYTECZNYCH NRZĘDZI STTYSTYCZNYCH Wyład w więszości oparty a opracowaiu prof.. Zięby http://www.fis.agh.edu.pl/~pracowia_fizycza/pomoce/opracowaiedaychpomiarowych.pdf
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METROLOGII
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Cetrum Iżyierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczeie 5 Aaliza statystycza wyików pomiarów pozycji GNSS Szczeci, 010 Zespół wykoawczy: Dr iż. Paweł Zalewski Mgr
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoSYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN
ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoDETERMINATION OF UNCERTAINTY IN MEASUREMENTS
dr Heryk TERENOWSKI Wojskowy Istytut Techiczy Uzbrojeia SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Streszczeie: Wyzaczaie iepewości pomiaru jest koieczą częścią każdej procedury pomiarowej. W referacie omówioo klasycze
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowo1. Błąd średni pomiaru. Leica DISTO
Aaliza dokładości poiarów Charakterystyką dokładości istruetów poiarowych jest błąd średi poiaru. Wykoywae poiary bezpośredie w tereie pośrediczą zwykle w wyzaczaiu pewych wielkości ie poddających się
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoMIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoWstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii. Natura pomiaru. masa 20 ± 1 g
Podstawy chemii ) Sposoby badań obiektów (6 h) pomiar i jego atura klasycza aaliza jakościowa i ilościowa obliczeia rówowagi i ph metody aalizy promieiowaie elektromagetycze kwatowa atura atomu oddziaływaie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoI PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz
Bardziej szczegółowoBEATA BOCHENTYN, BOGUSŁAW KUSZ 2014 POLITECHNIKA GDAŃSKA
* BEATA BOCHENTYN, BOGUSŁAW KUSZ 014 POLITECHNIKA GDAŃSKA Publikacja współfiasowaa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowo14. RACHUNEK BŁĘDÓW *
4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoInstytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej. Wydział Podstawowych Problemów Techniki. Politechnika Wrocławska
Istytut Iżyierii Biomedyczej i Pomiarowej Wydział Podstawowych Problemów Techiki Politechika Wrocławska Laboratorium Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Przyrządy wirtuale rezystometr i termometr Opracował:
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 1. Wstęp
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład. Wstęp dr hab.iż. Katarzya Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroiki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak Wstęp do probabilistyki i statystyki.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoJak opracować i interpretować wyniki pomiarów.
Jolata Gałązka-Friedma Karol Szlachta Jak opracować i iterpretować wyiki pomiarów. ver..5 Spis treści. O czym jest te skrypt...4. O co chodzi z iepewościami pomiarowymi?...6 3. Jak arysować wykres?...9
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowo