to: r z = I K 0 ; i okres tej stopy zwrotu wynosi T. 1 OS 2

Transkrypt

1 Matematyka nansowa - 1. Lokaty I. Wst pne denicje Konwencja Podstawow jednostk czasu w nansach b dzie rok, wi c je±li nie podajemy jednostki czasu np. podaj c okres stopy, domy±lnie jest to rok. Dla uproszczenia rachunków b dziemy stosowa tzw. szacunkow reguª bankow, tj. zakªada,»e ka»dy miesi c ma 30 dni (a w konsekwencji rok ma 360 dni), mimo,»e jednocze±nie zakªada si,»e rok ma 52 tygodnie (do rachunku weksli). Denicja 1. Lokat terminow nazywamy umow zawart z innym podmiotem gospodarczym (najcz ±ciej z bankiem, wi c w dalszej cz ±ci tak w uproszczeniu ten podmiot b dziemy nazywa ) na podstawie której klient powierza swój kapitaª bankowi na zadany okres czasu w zamian za okre±lony zysk zwany odsetkami, wynikaj cy z warunków oprocentowania lokaty. Po upªywie terminu lokaty, bank zobowi zuje si wypªaci klientowi wpªacone przez niego ±rodki wraz z odsetkami. Mo»na tak umow interpretowa jako po»yczk udzielon przez klienta bankowi na okre- ±lony czas w zamian za wspomniane odsetki. Przez kapitaª, oznaczany najcz ±ciej przez K (ewentualnie z indeksem sugeruj cym czas jego zaistnienia), b dziemy rozumie pewien zasób (tutaj najcz ±ciej nansowy), którego warto± podlega procesowi zmiany warto±ci w czasie. Zysk z lokaty kapitaªu K na okres t nazywamy odsetkami (I), a procedur wyznaczania odsetek - oprocentowaniem. Zestaw reguª, wedªug których kapitaª na danej lokacie podlega oprocentowaniu nazywamy modelem oprocentowania. Denicja 2. Nominalna stopa procentowa (najcz ±ciej oznaczana przez r) jest to (domy±lnie roczny tj. w jednostkach 1/rok) koszt odroczenia pªatno±ci o jednostkowej warto±ci na ustalony okres, lub, patrz c z przeciwnej strony: roczny przychód z tytuªu wzrostu warto±ci nominalnej kapitaªu o jednostkowej warto±ci przez ustalony okres, przy zaªo»eniu,»e odsetki naliczamy tylko raz w trakcie tego okresu, na jego ko«cu. Najcz ±ciej podawana w procentach, acz w obliczeniach pro±ciej korzysta z postaci uªamka dziesi tnego. Zawsze razem ze stop podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym warto± kapitaªu ro±nie o warto± stopy. Je±li z jakich± przyczyn (za chwil je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu ni» jest podany w zadaniu - mo»emy w bardzo prosty sposób go zmieni (razem ze stop ). Je±li mamy dan stop nominaln r o okresie OS 1 i chcemy si dowiedzie, jakiej stopie nominalnej o okresie OS 2 jest ona równa, obliczamy tzw. stop wzgl dn ( r). Twierdzenie 1. Je±li zdeniujemy iloraz m = OS 1 OS 2 r = r m. Jako,»e okresy ró»nych stóp potrzebnych w trakcie rozwi zywania ka»dego zadania s ró»ne, po obliczeniu (lub wypisaniu) nowej stopy procentowej zawsze zalecam obok zapisa jej okres,»eby si potem nie pomyli. Denicja 3. Najlepsz miar opªacalno±ci lokaty (i wi kszo±ci innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (r z, czasem r ef, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opªata za odroczenie pªatno±ci o jednostkowej warto±ci na ustalony okres, wyra»ona uªamkiem lub w procentach przez czas. Mo»na j obliczy jako stosunek caªo±ci odsetek uzyskanych w danym okresie do warto±ci pocz tkowej tej kwoty. Twierdzenie 2. Je±li kapitaª pocz tkowy na jakiej± lokacie wynosiª K 0, kapitaª ko«cowy wynosiª K k, a czas trwania tej lokaty to T (i wykluczamy dopªaty b d¹ wypªaty z lokaty w trakcie jej trwania), to: r z = I K 0 = K k K 0 K 0 ; i okres tej stopy zwrotu wynosi T. 1 to:

2 2 Ró»nica mi dzy denicjami nominalnej stopy procentowej i procentowej stopy zwrotu jest taka,»e procentowa stopa zwrotu uwzgl dnia, jak cz sto i wjaki sposób dopisujemy odsetki do kapitaªu (czyli model kapitalizacji ), a stopa nominalna nie. Dlatego tak naprawd zazwyczaj interesuje nas stopa zwrotu, ale tradycyjnie w ofertach takich jak lokata bankowa podawana jest stopa nominalna (najcz ±ciej roczna). II. Kapitalizacja: mechanizm, rodzaje i przyj te konwencje Denicja 4. Kapitalizacj nazywamy faktyczne dodawanie odsetek do kapitaªu. Dla danej lokaty (czy innej inwestycji), czas po którym odsetki si dopisuje do kapitaªu nazywamy okresem kapitalizacji (OK). Warto zwróci uwag,»e okres stopy jest konstruktem abstrakcyjnym, który mo»emy dostosowa do warunków zadania (za pomoc stopy wzgl dnej), ale okres kapitalizacji jest faktem, którego nie mo»emy zmienia, je±li tre± zadania na to nie pozwala. Konwencja. Je±li np. OK=miesi c (2 miesi ce, kwartaª) mówimy w skrócie,»e kapitalizacja jest miesi czna (odpowiednio: dwumiesi czna, kwartalna itp.). Je±li odsetki s naliczane na ko«cu okresu kapitalizacji, mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z doªu. Je±li odsetki s naliczane na pocz tku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z góry. Dzi± na lokatach bankowych (jak i w innych inwestycjach) znacznie rzadziej u»ywa si kapitalizacji z góry, która dodatkowo jest dziwaczna w zaªo»eniach i do± niepraktyczna w obliczeniach wi c w ramach tego kursu od tej pory b dziemy domy±lnie zakªada,»e mamy do czynienia z kapitalizacj z doªu. Denicja 5. Je±li dla danej nominalnej stopy procentowej r OK = OS to mówimy,»e kapitalizacja jest zgodna. Je±li OK OS to kapitalizacja jest niezgodna. Zmieniaj c okres stopy za pomoc stopy wzgl dnej mo»emy ka»de zagadnienie sprawadzi do kapitalizacji zgodnej. Wa»na konwencja. Wszystkie wzory jakie odt d podaj s prawdziwe tylko dla kapitalizacji zgodnej. Dlatego, by ich u»y, zawsze rozpoczynamy jakiekolwiek obliczenia od wyznaczenia stopy wzgl dnej dla uzgodnionego z okresem kapitalizacji okresu stopy. Je±li podczas danego czasu obowi zywania lokaty, kapitalizacja nast puje wielokrotnie, mo»emy mówi o dwóch modelach naliczania odsetek: prostym i zªo»onym, czyli kapitalizacji prostej i zªo»onej. Te modele ró»ni si w jednej podstawowej kwestii: w wypadku kapitalizacji prostej odsetki, które uzyskali±my w ramach jednej kapitalizacji nie s ju» pó¹niej kapitalizowane. Z kolei w wypadku kapitalizacji zªo»onej raz uzyskane odsetki podlegaj kolejnym kapitalizacjom. Konwencja. Je±li nie b dzie wyra¹nie napisane inaczej, w ramach tego kursu domy±lnie zakªadamy model kapitalizacji zªo»onej. Denicja 6. Oprocentowanie proste kapitaªu jest to powi kszenie warto±ci kapitaªu na zako«czenie kolejnego okresu kapitalizacji o odsetki naliczone od kapitaªu pocz tkowego. Odsetki uzyskane pomi dzy rozpocz ciem lokaty a danym okresem kapitalizacji nie podlegaj oprocentowaniu. Denicja 7. Oprocentowanie zªo»one (lub skªadane) to okre±lenie warto±ci przyszªej kapitaªu jako warto±ci pocz tkowej powi kszonej o skapitalizowane odsetki. W momencie kapitalizacji, oprocentowaniu podlegaj zarówno kapitaª, jak i dotychczas uzyskane odsetki. Twierdzenie 3. Je±li zaªo»ymy,»e K 0 jest kapitaªem pocz tkowym i mamy do czynienia z kapitalizacj zgodn, prost, przy stopie procentowej r, to po ka»dej kapitalizacji dopisujemy do K 0 odsetki w wysoko±ci I = K 0 r. Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwot : K N = K 0 (1 + Nr). Twierdzenie 4. Je±li zaªo»ymy,»e K 0 jest kapitaªem pocz tkowym i mamy do czynienia z kapitalizacj zgodn, zªo»on, przy stopie procentowej r, to ka»da kapitalizacja polega

3 w tym modelu na przemno»eniu kapitaªu posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany wspóªczynnikiem akumulacji). Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwot : 3 K N = K 0 (1 + r) N. Wzór powy»szy jest centralnym wzorem dla lokat (i ogólnie akumulacji kapitaªu) - na nim opiera si wi kszo± tego kursu. Kapitalizacja zªo»ona jest bardziej naturaln form w wi kszo±ci inwestycji, które nie s zale»ne od skali tzn. mo»na w nie zainwestowa dowoln kwot - takich wªa±nie jak lokaty. Wynika to z faktu,»e nie tylko wyj±ciowy kapitaª, ale i zysk po danym okresie kapitalizacji mo»na zainwestowa w t sam inwestycj. Kapitalizacja prosta jest cz sto u»ywana w wypadku inwestycji, które si nie skaluj tj. mo»na w nie inwestowa tylko okre±lonej wielko±ci kwoty. Tak wi c, o ile kapitaª wyj±ciowy mo»na z powrotem zainwestowa w taki sam instrument nansowy, to niekoniecznie b dzie to prawd w przypadku odsetek od wcze±niejszej inwestycji. Najlepszym przykªadem s inwestycje w ró»ne papiery dªu»ne (które b dziemy omawia ) o ustalonej z góry warto±ci - takie jak obligacje, weksle, czy bony skarbowe. W kontek±cie lokat, kapitalizacja prosta jest najcz ±ciej u»ywana w wypadku przedterminowanego zerwania lokaty. W wielu bankach klient mo»e te» wybra sposób przedªu»ania lokaty po zako«czeniu. W±ród opcji s przedªu» z odsetkami - co odpowiada modelowi kapitalizacji zªo»onej i przedªu» bez odsetek - co powoduje,»e kapitaª wzrasta wedle reguª kapitalizacji prostej. Przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), je±li tylko lokata trwa wi cej ni» jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja zªo»ona jest dla klienta bardziej opªacalna ni» prosta. Konwencja W zadaniach tego typu b dziemy zakªada dla uproszczenia (o ile nie b dzie napisane inaczej),»e w wypadku zerwania lokaty pomi dzy momentami kapitalizacji nie otrzymuje si»adnej dodatkowej rekompensaty za czas od ostatniej kapitalizacji. Co by si staªo, gdyby odsetki od kapitaªu byªy naliczane przez caªy czas, w niesko«czenie maªych odst pach - czyli formalnie, gdyby okres kapitalizacji d»yª do zera? W takiej sytuacji mówimy o kapitalizacji ci gªej. Twierdzenie 5. Je±li K 0 jest kapitaªem ulokowanym na lokacie o kapitalizacji ci gªej, nominalnej stopie procentowej r z OS = 1, to po czasie t na lokacie znajdzie si : K t = K 0 e rt. III. Porównywanie lokat Maj c dane dwie lokaty, chcemy powiedzie, na której z nich klient mo»e zarobi wi cej. W tym celu chcemy dla ka»dej lokaty wyznacza stop zwrotu o zadanym okresie. Oczywi±cie, przy tym samym okresie kapitalizacji, lepsza b dzie lokata która ma wy»sz nominaln roczn stop procentow. Zmiana okresu stopy, w wypadku podanych ró»nych okresów stóp, jest ªatwa. Dlatego jedyny problem mo»emy mie przy ró»nych okresach kapitalizacji. Zaªó»my,»e mamy dwie lokaty o kapitalizacji zªo»onej, dla których nominalna roczna stopa procentowa jest taka sama i równa r, lecz maj one ró»ne okresy kapitalizacji. Która z nich jest bardziej opªacalna dla klienta? Okazuje si,»e w tej sytuacji bardziej opªacalna jest lokata o krótszym okresie kapitalizacji (czyli o cz stszej kapitalizacji). Denicja 8. Mówimy,»e warunki oprocentowania lokaty I s równowa»ne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II s równowa»ne) w czasie T, b d cym wspóln wielokrotno±ci okresów kapitalizacji obydwu lokat, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi gnie t sam warto± co na lokacie II.

4 4 Denicja 9. Mówimy,»e warunki oprocentowania lokaty I s lepsze (bardziej opªacalne) ni» warunki oprocentowania lokaty II w czasie T, b d cym wspóln wielokrotno±ci okresów kapitalizacji obydwu lokat, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi gnie wi ksz warto± ni» na lokacie II. Okazuje si,»e dla kapitalizacji zªo»onej równowa»no± /wi ksza opªacalno± której± z lokat nie zale»y od czasu T (dla prostej mo»e zale»e!). Je±li jedna z tych wªasno±ci jest speªniona dla pewnego wielokrotno±ci OK tych lokat, jest te» speªniona dla wszystkich innych. Denicja 10. Stopa efektywna (równowa»na) r ef dla danej lokaty (lub innej inwestycji) to ±rednia stopa zwrotu uzyskiwana dªugoterminowo w zadanym okresie stopy OS przy danej kapitalizacji o okresie OK (niekoniecznie zgodnej). Jest to jednocze±nie stopa, dla której lokata o okresie kapitalizacji równym OS z poprzedniego zdania jest równowa»na danej lokacie. Obliczanie stopy efektywnej ró»nych lokat dla zadanego okresu stopy np. roku pozwala nam natychmiast porówna te lokaty ze wzgl du na opªacalno±. Warunki oprocentowania I i II s równowa»ne (I lepsze ni» II) wtedy i tylko wtedy, gdy r efi = r efii (r efi > r efii ) i okresy obu stóp efektywnych s takie same. Zatem, by porówna dwie lokaty (lub wi cej) wystarczy wybra jaki± okres stopy (np. rok), przeliczy ich nominalne stopy na stopy efektywne z tym samym okresem i porówna ich warto±ci. Ponadto, obliczenie stopy efektywnej przydaje si w zadaniach w których chcemy zmieni okres kapitalizacji lokaty, nie zmieniaj c jej opªacalno±ci. Zaªó»my,»e mamy lokat ze stop r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK. Chcemy j zmieni na równowa»n jej lokat o danym okresie stopy OS ef i okresie kapitalizacji OK ef. Jaka b dzie stopa r ef na tej lokacie? Zakªadamy,»e na obydwu lokatach kapitalizacja jest zgodna (OS ef = OK ef ) i ustalamy m = OK ef. OK Twierdzenie 6. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach: r ef = (1 + r) m 1. Jak kwestia wygl da w przeliczaniu stopy efektywnej pomi dzy dyskretn i ci gª kapitalizacj? Denicja 11. Mówimy,»e warunki oprocentowania lokaty I z kapitalizacj ci gª s równowa»ne warunkom oprocentowania lokaty II (w skrócie: lokaty I i II s równowa»ne) w czasie T, b d cym wielokrotno±ci okresu kapitalizacji lokaty II, je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi gnie t sam warto± co na lokacie II. Mówimy,»e warunki oprocentowania lokaty I z kapitalizacj ci gª s lepsze ( bardziej opªacalne) ni» warunki oprocentowania lokaty II w czasie T, b d cym wielokrotno±ci okresu kapitalizacji lokaty II je±li po czasie T ten sam kapitaª umieszczony na lokacie I osi gnie wi ksz warto± ni» na lokacie II. Jak w przypadku kapitalizacji dyskretnej, równowa»no± /opªacalno± nie zale»y od wyboru T. Zaªó»my,»e mamy lokat ze stop r o okresie OS i okresie kapitalizacji OK = OS. Chcemy j zmieni na równowa»n jej lokat kapitalizacji ci gªej. Jaka b dzie stopa r ef o tym samym okresie stopy OS na lokacie z kapitalizacj ci gª? Twierdzenie 7. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach: r ef = ln(1 + r). Zaªó»my na odwrót,»e mamy lokat ze stop r o okresie OS i kapitalizacji ci gªej. Chcemy j zmieni na równowa»n jej lokat o okresie kapitalizacji OK = OS. Jaka b dzie stopa r ef na lokacie z kapitalizacj dyskretn? Twierdzenie 8. Przy powy»szych zaªo»eniach i oznaczeniach: r ef = e r 1.

5 Zauwa»my, wzory z dwóch ostatnich twierdze«s swoimi odwrotno±ciami. Z praktyki wynika,»e najtrudniejsze jest zrozumienie, kiedy u»y stopy wzgl dnej, a kiedy efektywnej. Ogólna zasada jest taka: je±li w ramach zadania nale»y zmieni okres kapitalizacji, nie zmieniaj c jej opªacalno±ci (czy to dlatego,»e w tre±ci zadania jest mowa o takiej zmianie, czy te» dlatego,»e chcemy porówna dwie ró»ne lokaty) to obliczamy stop efektywn (lub równowa»n ). Je±li za± chcemy zmieni TYLKO okres stopy (a okres kapitalizacji ma zosta ten sam lub ma si zmieni, lecz z dopuszczeniem zmiany opªacalno±ci), obliczamy stop wzgl dn. Ponadto, stopy zwrotu (które porz dnie zdeniujemy na nast pnych wykªadach) s w sposób domy±lny stopami efektywnymi, wi c nie nale»y ich nigdy przelicza przez stopy wzgl dne. IV. Uwagi dodatkowe Okre±lenie stopy zwrotu z lokaty z kapitalizacj prost nie jest mo»liwe bez doprecyzowania jej czasu trwania. Dlatego nie deniujemy czego± takiego jak stopy efektywne dla kapitalizacji prostej. Zdarza si,»e umowa, jak jest lokata, zawiera w sobie jakie± inne opªaty ponoszone przez jedn ze stron, niewliczone w warunki oprocentowania (np. premie staªego klienta, opªata za ubezpieczenie). S one tak ró»ne,»e nie b dziemy si nimi zajmowa, z wyj tkiem jednej kwestii - podatku od zysków kapitaªowych (w Polsce - 19%). Konwencja Generalnie, w zadaniach b dziemy zakªada brak opodatkowania. S dwa typowe sposoby opodatkowania lokaty: albo zyski z niej s opodatkowane natychmiast po ka»dej kapitalizacji (wi kszo± lokat w Polsce) - model I, albo dopiero po zako«czeniu lokaty (niektóre konta oszcz dno±ci emerytalnych) - model II. W obydwu wypadkach b dzie nas interesowa stopa zwrotu netto (czyli po uwzgl dnieniu podatków) z danej lokaty. Zaªó»my,»e stopa zwrotu brutto (czyli przed uwzgl dnieniem podatków) z lokaty w jednym okresie kapitalizacji (czyli zgodna) wynosi r z. Wtedy, je±li stopa opodatkowania wynosi p i zaªo»ymy model opodatkowania I, to stopa zwrotu netto (r zn ) mo»e by obliczona ze wzoru: r zn = (1 p)r z. Je±li za± zaªo»ymy model opodatkowania II, to przy tych samych oznaczeniach, co na poprzednim slajdzie stopa zwrotu netto zale»y od N - liczby okresów kapitalizacji przed likwidacj lokaty i wynosi: r zn = ( ((1 + r z ) N 1)(1 p) ) 1 N. 5