Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Transkrypt

1 wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

2 Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

3 Plan prezentacji 1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

4 Ubieranie choinki Symbol czynno ci Czynno Czas wykonania [min] A Przyniesienie choinki z lasu 60 - B Osadzenie choinki w stojaku 10 A C Przygotowanie miejsca na choink 20 A D Ustawienie choinki 3 B E Przyniesienie z piwnicy/strychu ozdób 20 A F Powieszenie wiatełek 10 D,E G Powieszenie czerwonych bombek 10 F H Powieszenie złotych bombek 15 F I Umieszczenie czubka 2 G,H J Powieszenie ła cuchów 20 G,H K Nalanie wody do naczynia pod choink 1 D,E L Uło enie prezentów pod choink 5 I,J,K Czynno ci bezpo rednio poprzedzaj ce

5 Graf przedsi wzi cia wieloczynno±ciowego Šuki: czynno±ci. Wierzchoªki: kamienie milowe, pocz tki i ko«ce ªuków / czynno±ci. A jest poprzednikiem B. A i B s poprzednikami C.

8 A jest poprzednikiem B i C. Nie ma dwóch ªuków o tym samym pocz tku i ko«cu (wprowadzamy czynno± pozorn ). A B A B 0 Jeden wierzchoªek nieb d cy ko«cem»adnego ªuku: pocz tek projektu. Jeden wierzchoªek nieb d cy pocz tkiem»adnego ªuku: koniec projektu.

11 Ubieranie choinki graf A 60 B D 10 C 20 3 E 20 F 10 K 1 G 10 H 15 J 20 I 2 L 5

13 Wierzchoªek (zdarzenie) i czynno± wierzchoªek i zdarzenie polegaj ce na zako«czeniu ka»dej czynno±ci reprezentowanej przez ªuk (.,i) i osi gni cie stanu gotowo±ci do rozpocz cia ka»dej czynno±ci (i,.) wierzchoªek i nazywamy bezpo±rednim poprzednikiem zdarzenia j, gdy wyst puje ªuk (i,j) j nazywamy wtedy bezpo±rednim nast pnikiem i ªuk (i,j) reprezentuje czynno± o czasie trwania t ij

16 cie»ka krytyczna ±cie»ka z wierzchoªka i do m: ci g ªuków (i,j), (j,k),..., (l,m); i pocz tek, m koniec ±cie»ki czas przej±cia ±cie»ki suma czasów wykonania wszystkich czynno±ci, które tworz ±cie»k czas krytyczny projektu najdªu»szy czas przej±cia od zdarzenia pocz tkowego do zdarzenia ko«cowego przedsi wzi cia ±cie»ka krytyczna ±cie»ka od wierzchoªka pocz tkowego do wierzchoªka ko«cowego sieci, której czas przej±cia jest równy czasowi krytycznemu

20 cie»ka krytyczna: przykªad A 60 A,B,D,F,G,I,L A,C,D,F,G,I,L B D 10 C 20 3 E 20 F 10 K 1 G 10 H 15 J 20 A,E,F,G,I,L A,C,D,F,H,J,L: =133 A,E,F,H,I,L A,E,F,G,J,L A,E,F,H,J,L I 2 L 5

21 Najwcze±niejszy i najpó¹niejszy moment Najwcze±niejszy moment zdarzenia j: WT j najwcze±niejszy mo»liwy moment zako«czenia wszystkich czynno±ci zaprezentowanych przez ªuki (., j) WT j = 0 dla j=1 (pocz tek projektu) WT j = max {WT i + t ij }, gdzie i indeksuje zdarzenia bezpo±rednio poprzedzaj ce j, j = 2,..., n dla zako«czenia projektu to po prostu czas krytyczny projektu Najpó¹niejszy moment zdarzenia i: PT i najpó¹niejszy mo»liwy moment rozpocz cia wszystkich czynno±ci reprezentowanych przez ªuki (i,.) dla zako«czenia projektu to równie» czas krytyczny projektu PT n = WT n PT j = min {PT i t ij }, gdzie j indeksuje zdarzenia bezpo±rednio nast puj ce po i

22 Luzy i zapasy Luzem zdarzenia j nazywamy ró»nic mi dzy najpó¹niejszym a najwcze±niejszym momentem jego zaistnienia L j = PT j WT j liczba nieujemna, zero dla zdarze«krytycznych o ile jednostek czasowych mo»na opó¹ni rozpocz cie czynno±ci, których pocz tkiem jest zdarzenie j (ceteris paribus), bez naruszania czasu krytycznego projektu Zapas czasowy czynno±ci (i,j) ró»nica mi dzy najpó¹niejszym momentem zaistnienia zdarzenia j a najwcze±niejszym momentem zaistnienia zdarzenia i oraz czasem wykonania czynno±ci (i,j) Z ij = PT j WT i t ij liczba nieujemna, zero dla zdarze«krytycznych o ile jednostek czasowych mo»na przedªu»y czas wykonania czynno±ci (i,j) lub opó¹ni moment jej zako«czenia (ceteris paribus), bez uszczerbku dla czasu krytycznego projektu

23 Luzy i zapasy Luzem zdarzenia j nazywamy ró»nic mi dzy najpó¹niejszym a najwcze±niejszym momentem jego zaistnienia L j = PT j WT j liczba nieujemna, zero dla zdarze«krytycznych o ile jednostek czasowych mo»na opó¹ni rozpocz cie czynno±ci, których pocz tkiem jest zdarzenie j (ceteris paribus), bez naruszania czasu krytycznego projektu Zapas czasowy czynno±ci (i,j) ró»nica mi dzy najpó¹niejszym momentem zaistnienia zdarzenia j a najwcze±niejszym momentem zaistnienia zdarzenia i oraz czasem wykonania czynno±ci (i,j) Z ij = PT j WT i t ij liczba nieujemna, zero dla zdarze«krytycznych o ile jednostek czasowych mo»na przedªu»y czas wykonania czynno±ci (i,j) lub opó¹ni moment jej zako«czenia (ceteris paribus), bez uszczerbku dla czasu krytycznego projektu

24 Zadanie W projekcie ubierania choinki okre±l: najwcze±niejsze momenty zdarze«najpó¹niejsze momenty zdarze«luzy zdarze«zapasy czasowe czynno±ci

25 Luzy i zapasy c.d. o ile jednostek czasu mo»na opó¹ni zako«czenie czynno±ci (i,j)... bez naruszenia najpó¹niejszego momentu zdarzenia i? zapas warunkowy: ZW ij = PT j PT i t ij bez naruszenia najwcze±niejszego momentu zdarzenia j? zapas swobodny: ZS ij = WT j WT i t ij bez zmiany czasu krytycznego projektu, przy zaªo»eniu,»e zdarzenie i zaistnieje w momencie najpó¹niejszym, a zdarzenie j w momencie najwcze±niejszym? zapas niezale»ny: ZN ij = max {0, WT j PT i t ij }

29 Zale»no±ci mi dzy typami zapasów ka»dy z nich nieujemny i zerowy dla czynno±ci krytycznych zapas niezale»ny mniejszy lub równy warunkowemu i swobodnemu zapas czynno±ci wi kszy lub równy maksimum z zapasu warunkowego, swobodnego i niezale»nego Zadanie: okre±l zapasy warunkowe, niezale»ne i swobodne czynno±ci w projekcie ubierania choinki.

30 Zadanie

32 Problem 1: znalezienie ±cie»ki krytycznej zmienne decyzyjne: T i (moment zdarzenia i) funkcja celu i kryterium: T n min warunki ograniczaj ce: T 1 = 0 T j T i + t ij i P (j), j = 2,..., n

33 Problem 2: najwcze±niejsze momenty zdarze«zmienne decyzyjne: T i (moment zdarzenia i) funkcja celu i kryterium: T 1 + T T n min warunki ograniczaj ce: T 1 = 0 T j T i + t ij i P (j), j = 2,..., n

34 Problem 3: najpó¹niejsze momenty zdarze«zmienne decyzyjne: T i (moment zdarzenia i) funkcja celu i kryterium: T 1 + T T n max warunki ograniczaj ce: T 1 = 0 T n = PT n (czas krytyczny) T i T j t ij j N (i), i = 1,..., n 1

35 Zadanie Znajd¹ w Solverze czas krytyczny oraz najwcze±niejsze i najpó¹niejsze momenty zdarze«w projekcie ubierania choinki. Za pomoc formuª znajd¹ luzy i zapasy.

36 Analiza czasowo-kosztowa A mo»e bieg projektu da si przyspieszy przy poniesieniu dodatkowych nakªadów? c ij staªy koszt skrócenia czynno±ci (i,j) o jednostk czasu d ij maksymalna liczba jednostek czasu, o jakie da si skróci czynno± (i,j) x ij liczba jednostek czasu, o jakie rzeczywi±cie skrócimy czynno± (i,j) Wyró»niamy 2 podstawowe typy takich problemów decyzyjnych: 1 minimalizacja czasu krytycznego przy zadanym dodatkowym bud»ecie C 2 minimalizacja dodatkowych nakªadów przy zadanym skróceniu czasu krytycznego T

39 Problem 4: minimalizacja czasu przy dodatkowym bud»ecie zmienne decyzyjne: T i (moment zdarzenia i) oraz x ij (o ile skracamy czynno±ci) funkcja celu i kryterium: T n min warunki ograniczaj ce: T 1 = 0 T j T i + t ij x ij i P (j), j = 2,..., n Σc ij x ij C 0 x ij d ij dla ka»dego (i,j)

40 Problem 5: minimalizacja nakªadów przy zadanym skróceniu czasu zmienne decyzyjne: T i (moment zdarzenia i) oraz x ij (o ile skracamy czynno±ci) funkcja celu i kryterium: Σc ij x ij min warunki ograniczaj ce: T 1 = 0 T j T i + t ij x ij i P (j), j = 2,..., n T n T 0 x ij d ij dla ka»dego (i,j)

41 Zadanie Przygotowania do ±wi t si przedªu»aj i zale»y nam na skróceniu czasu ubierania choinki, by móc si zabra za sma»enie karpia. Do choinki mo»na zaanga»owa dziecko, które» da doªadowania komórki o 5 PLN za ka»de 10 minut pracy przy choince. Minuta pracy dziecka skraca czas wykonania czynno±ci przez dorosªego o 0,5 minuty, przy czym ka»d czynno± mo»na skróci co najwy»ej o 50% (gdy dorosªy i dziecko pracuj jednocze±nie). 1 ona nalega na ubranie choinki w co najwy»ej 1,5 godziny. Jak to zrobi najni»szym kosztem? 2 Po zakupach ±wi tecznych w portfelu zostaªo tylko 30 PLN. O ile da si za to maksymalnie skróci czas ubierania choinki?

42 Zadania

43

44 Praca domowa: zadania

45 Egzamin (wtorek), 8:30-10:30 W sesji egzaminacyjnej odbywa si centralny egzamin pisemny z przedmiotu. Do egzaminu dopuszczeni s wszyscy studenci, którzy uzyskali zaliczenie z wicze«(w przypadku pozostaªych studentów do protokoªu jest automatycznia wpisywana ocena niedostateczna). Egzamin trwa 120 minut i polega na rozwi zaniu 5 zada«. Za rozwi zanie ka»dego zadania mo»na uzyska od 0 do 4 punktów, a wi c ª cznie od 0 do 20 punktów. W czasie egzaminu student mo»e korzysta z wªasnor cznie napisanych wzorów na obu stronach kartki formatu A-4. Wzory winny by pozbawione jakichkolwiek obja±nie«i komentarzy sªownych. Student mo»e równie» korzysta z przyniesionych na egzamin ksi»ek. ZABRONIONE JEST KORZYSTANIE Z JAKICHKOLWIEK KSEROKOPII, W SZCZEGÓLNO CI Z KSEROKOPII KSI EK! Dopuszczalne jest korzystanie z kalkulatora wykonuj cego podstawowe dziaªania arytmetyczne. adne inne materiaªy pomocnicze oprócz ksi»ek (np. notatki z zaj ) nie s dopuszczalne. Nie jest dopuszczalne przekazywanie ksi»ek i kartek ze wzorami podczas egzaminu. Nie jest równie» dozwolone korzystanie z telefonów komórkowych w trakcie pisania egzaminu. Ocena ko«cowa z przedmiotu zale»y od sumy punktów: przyznanych studentowi przez prowadz cego wiczenia oraz z egzaminu. Punkty zdobyte przez studenta na wiczeniach s dodawane do punktów zdobytych na egzaminie wyª cznie w I lub II terminie sesji egzaminacyjnej. W przypadku zdawania egzaminu w innych terminach punkty przyznane z wicze«przepadaj. wyniki + oceny + ogl danie prac + feedback ws. wicze«: (czwartek), 18:30, sala 212 M