Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«"

Transkrypt

1 Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«2009 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

2 Spis tre±ci 1 Matematyka nansowa Model dyskretny akumulacji kapitaªu Procent prosty Procent skªadany Roczna efektywna stopa procentowa Dyskontowanie Warto± obecna i warto± przyszªa strumienia pieni dza Wewn trzna stopa zwrotu Ogólny plan spªaty kredytu Ci gªy model akumulacji kapitaªu Proces ci gªej kapitalizacji odsetek Ci gªy model akumulacji ze zmiennym w czasie nat»eniem oprocentowania Warto± ko«cowa zmiennego strumienia kapitaªu przy akumulacji ci gªej Inacja Ubezpieczenia na»ycie Tablice trwania»ycia Jednostajny rozkªad ±mierci Ubezpieczenia na»ycie Kontrakt ubezpieczeniowy ogólnego typu Renty Renta ogólnego typu Renta pªatna cz ±ciej ni» raz w roku Skªadki netto Rezerwy netto Rezerwy netto - przykªady Kontrakt ubezpieczeniowy ogólnego typu Zysk techniczny Skªadki i rezerwy brutto

3 Rozdziaª 1 Matematyka nansowa 1.1 Model dyskretny akumulacji kapitaªu Procent prosty Obliczanie odsetek dla bankowca, urz dnika skarbowego, ksi gowej itp., odbywa si w oparciu o schemat nazywany procentem prostym. Odsetki O obliczamy maj c podan roczn stop procentow r, okres t (podany w dniach), za który odsetki s naliczane oraz kwot P, od której liczymy odsetki wedªug wzoru (1.1.1) O = t r 365 P W powy»szej formule przyj li±my umownie,»e rok ma 365 dni (bez podziaªu na lata przest pne i nieprzest pne). Przykªad 1.1. Odsetki od kwoty 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% za okres 30 dni wynosz 0, 24 O = = 1, Natomiast odsetki za okres 31 dni wynosz 2,04 zª. Przy obliczaniu liczby dni bierze si pod uwag faktyczn liczb dni (z uwzgl dnieniem 29 lutego w latach przest pnych) Procent skªadany Kapitaª (ko«cowy) K b d cy sum kapitaªu pocz tkowego P oraz odsetek O wyra»a si jako K = P + O Odsetki O obliczamy w oparciu o stop procentow i oraz kapitaª pocz tkowy P jako iloczyn O = ip. Po podstawieniu dostajemy K = P + ip 3

4 Czyli (1.1.2) K = (1 + i)p Wspóªczynnik (1 + i) nazywany jest wspóªczynnikiem akumulacji. Najprostszy schemat akumulacji kapitaªu ilustrujemy na osi czasowej w postaci: i Rysunek 1.1.1: Akumulacja kapitaªu. Przykªad 1.2. Kapitaª pocz tkowy P = 1750 (zªotych) ulokowano na 5%. Ile wyniesie kapitaª wraz z odsetkami? Rozwi zanie: Odpowiadaj c na pytanie, standardowo obliczamy najpierw odsetki O = 0, = 87, 50, a nast pnie powi kszamy kapitaª pocz tkowy o odsetki, tzn , 50 = 1837, 50. Posªu»enie si formuª (1.1.2) pozwala (o ile posªugujemy si kalkulatorem) nieco szybciej uzyska wynik, bo obliczenie wspóªczynnika akumulacji 1 + i mo»na wykona "w pami ci": 1, = 1837, 50. Przykªad 1.3. Zainwestowano kapitaª pocz tkowy P = 1245 zªotych i w wyniku tej inwestycji uzyskano kapitaª ko«cowy K = 1295 zªotych. Obliczy stop zwotu dla tej inwestycji. Rozwi zanie: W równaniu (1.1.2) niewiadom jest stopa procentowa i, któr w tym kontek±cie nazywamy stop zwrotu (z inwestycji). Obliczamy najpierw wspóªczynnik akumulacji ze wzoru (1.1.2) 1 + i = K P = , Podana dokªadno± rozwi zania zdecydowanie przekracza zwykªe potrzeby. Zazwyczaj w zupeªno±ci wystarcza podanie stopy procentowej z dokªadno±ci do dwóch miejsc po przecinku. Odpowied¹ brzmi i = 4, 02%. W powy»szych przykªadach pomini to czynnik czasu. W przypadku lokat bankowych odsetki mog by traktowane jako wynagrodzenie otrzymywane w zamian za prawo dysponowania kapitaªem. Tak jak czynsz za wynajmowane mieszkanie jest opªat za prawo dysponowania, wykorzystywania mieszkania. Z oczywistych powodów wysoko± tej opªaty zale»y od wysoko±ci ulokowanego kapitaªu oraz od dªugo±ci 4

5 okresu lokaty. Analogicznie w przypadku wynajmowania mieszkania wysoko± opªaty zale»y od wielko±ci mieszkania (oraz innych czynników takich jak: lokalizacja, standard, itp.) oraz od dªugo±ci okresu wynajmu. W sytuacjach realnych jest bardzo istotne, czy osi gamy stop zwrotu 4, 02% w ci gu roku, czy w ci gu 3 miesi cy. Okres, którego dotyczy podana stopa procentowa nazywamy okresem bazowym. Je-»eli nie b dziemy podawa okresu, którego dotyczy podawana stopa procentowa - okresu bazowego, to okresem tym domy±lnie jest rok. W procesie akumulacji kapitaªu bardzo istotn rol odgrywa operacja kapitalizacji odsetek. Polega na powi kszeniu kapitaªu o odsetki i naliczania w nast pnym okresie odsetek od powi kszonego kapitaªu. Je»eli kapitaª pocz tkowy P jest ulokowany na i procent, to po pierwszym okresie bazowym kapitaª b dzie wynosiª (1 + i)p. Zakªadamy,»e po pierwszym okresie nast puje kapitalizacja odsetek. Zatem wielko±ci, od której nalicza si odsetki w drugim okresie jest (1 + i)p. Zatem kapitaª po drugim okresie wyniesie (1 + i) ((1 + i)p ) = (1 + i) 2 P Zakªadaj c,»e kapitatalizacja odsetek nast puje po ka»dym kolejnym okresie, kapitaª K n po n-tym okresie wyniesie (1.1.3) K n = (1 + i) n P Przykªad 1.4. Ulokowano kapitaª pocz tkowy P = 100 zªotych na lokacie oprocentowanej 10% (rocznie). Kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym roku. Ile wyniesie kapitaª wraz z odsetkami po drugim roku? Rozwi zanie: Zgodnie ze wzorem (1.1.3) obliczamy kapitaª po drugim roku K 2 K 2 = 1, = 121 Zauwa»my,»e stopa zwrotu w okresie dwóch lat wyniosªa 21%. Przy kapitalizacji odsetek po ka»dym okresie bazowym stóp procentowych nie dodajemy. Je»eli oprocentowanie w kolejnych okresach bazowych wynosi i 1, i 2,...,i n i kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym okresie, to kapitaª K n po n-tym okresie wyra»a si wzorem (1.1.4) K n = (1 + i 1 )(1 + i 2 )... (1 + i n )P Proces akumulacji mo»na prze±ledzi na Rysunku Powy»sz formuª ªatwo uzyska indukcyjnie wykorzystuj c zale»no±ci: K 1 = (1 + i 1 )P, K j+1 = (1 + i j+1 )K j. Procesy, których po ka»dym okresie nast puje kapitalizacja odsetek opisujemy ilo±ciowo mno» c przez siebie wspóªczynniki akumulacji. 5

6 i i i Rysunek 1.1.2: Proces akumulacji. Przykªad 1.5. Zastosujemy formuª (1.1.4) do odpowiedzi na pytanie - o ile procent wzrosªa cena akcji spóªki X w okresie trzech miesi cy je»eli w pierwszym miesi cu wzrosªa o 10%, w drugim o 5%, a w trzecim o 15%? Rozwi zanie: Oznaczamy wyj±ciow cen akcji symbolem P 0, a P i niech oznacza cen akcji po i-tym miesi cu. Wówczas P 3 = (1 + 0, 15)P 2 = (1 + 0, 15)(1 + 0, 05)P 1 = (1 + 0, 15)(1 + 0, 05)(1 + 0, 10)P 0 Zatem P 3 = 1, 15 1, 05 1, 10 P 0 Wspóªczynnik akumulacji w okresie trzech miesi cy wynosi zatem 1, Cena akcji wzrosªa zatem o 32,83% (w zaokr gleniu do dwóch miejsc po przecinku). Zauwa»my,»e dodaj c stopy procentowe 10%+5%+15%=30% popeªniamy bª d. Przykªad 1.6. W banku A oprocentowanie lokaty wynosi: w pierwszym roku 4% i w drugim roku 6%. W banku B oprocentowanie lokaty wynosi: w pierwszym roku 6%, w drugim roku 4%. W którym banku oprocentowanie lokaty dwuletniej jest korzystniejsze, je»eli kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dym roku? Rozwi zanie: Odpowied¹ na to pytanie brzmi: banki A, B oferuj identyczne oprocentowanie w wysokosci 10, 24% w okresie dwuletnim. Na podstawie reguªy (1.1.4) otrzymujemy: 1, 1024 = 1, 04 1, 06 = 1, 06 1, 04. Zadanie Jak nawy»sz kwot mo»na wpªaci na 2-miesi czn lokat oprocentowan 4,6 % w skali roku, tak aby nie zapªaci podatku od dochodów kapitaªowych (potocznie nazywanego podatkiem Belki)? Roczna efektywna stopa procentowa Stopa procentowa i podana dla okresu rocznego nabiera innego znaczenia przy ró»nych okresach kapitalizacji odsetek. Zilustrujemy ten fakt na przykªadach liczbowych. 6

7 Przykªad 1.7. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy miesi cznej kapitalizacji odsetek 0, 24 K = ( ) Posªuguj c si nawet najprostszym kalkulatorem mo»emy ªatwo obliczy,»e K =126,82 zª. Przykªad 1.8. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek 0, 24 K = (1 + 4 ) Podobnie jak powy»ej obliczamy K =126,25 zª. Przykªad 1.9. Policzmy kapitaª K po 12-tu miesi cach od kapitaªu P = 100 zª przy rocznej stopie procentowej 24% przy rocznej kapitalizacji odsetek Oczywi±cie K =124 zª. K = (1 + 0, 24 1 ) W ka»dym z powy»szych przykªadów mo»na zapyta o równowa»n stop procentow przy kapitalizacji odsetek po roku. W pierwszym przykªadzie stopa równowa»na równa si 26,82%, w drugim 26,25%, a w trzecim 24%. Mówimy,»e w pierwszym przykªadzie roczna efektywna stopa procentowa i eff = 26, 82%, w drugim i eff = 26, 25%, w trzecim i eff = 24%. W przypadku, gdy kapitalizacja odsetek nast puje n-krotnie w ci gu roku w równych odst pach czasu to kapitaª P w ci gu roku przy rocznej stopie procentowej i (n) wynosi (1.1.5) K = (1 + i (n) n )n P. Zatem roczna efektywna stopa procentowa i eff zadana jest przez równanie: równowa»na nominalnej stopie i (n) (1.1.6) 1 + i eff = (1 + i (n) n )n. Przykªad Poda roczn efektywn stop procentow dla lokaty kwartalnej oprocentowanej 12,52% w skali roku. Rozwi zanie: 0, i eff = (1 + ) i eff = 1, 1312 i eff = 13, 12% 7

8 Formuªa (1.1.6) mo»e po przeksztaªceniu sªu»y do obliczania nominalnej rocznej stopy procentowej i (n) równowa»nej stopie efektywnej i eff (1.1.7) i (n) = n((1 + i eff ) 1 n 1). Zadanie Bank zmieniª nominalne oprocentowanie lokaty z 8% na 8,2% wydªu»aj c jednocze±nie okres kapitalizacji odsetek z kwartaªu do póª roku. Czy zmiana warunków tej lokaty jest korzystniejsza dla klientów banku? Dyskontowanie Obliczanie warto±ci pocz tkowej kapitaªu P w oparciu o znajomo± stopy procentowej i oraz kapitaªu ko«cowego K nazywane jest dyskontowaniem. Proste przeksztaªcenie formuªy (1.1.2) prowadzi do wzoru (1.1.8) P = i K. Wspóªczynnik 1 1+i w (1.1.8) nazywany jest wspóªczynnikiem dyskontowania. Przykªad Poda wysoko± rocznej lokaty oprocentowanej 15% je»eli kapitaª wraz z odsetkami na koniec roku wyniósª 138 zª. Rozwi zanie: P = = , 15 W podobny sposób mo»na przeksztaªci formuª (1.1.4). Dostajemy wzór 1 (1.1.9) P = ( 1 + i )n K. Przykªad Jak kwot ulokowano na koncie oprocentowanym 10% rocznie, je»eli po 5 latach kapitaª wraz z odsetkami wynosi 209,37 zª. Rozwi zanie: 1 P = ( 1, 10 )5 209, 37 = 130. Przykªad W Polsce minimalna warto± nominalna bonu skarbowego wynosi 10 tys. zªotych i najcz ±ciej s one emitowane na okres 13 tygodni, 26 tygodni i 52 tygodni. Je±li inwestor kupiª bon skarbowy 13-tygodniowy po cenie 9847 zª, to wspóªczynnik dyskontowania kapitaªu ko«cowego K = zª. o warto±ci pocz tkowej P = 9847 zª. wynosi i = K P P = = 0,

9 Podstawow charakterystyk, która okre±la dochód z inwestycji w bon skarbowy, jest stopa rentowno±ci bonu skarbowego okre±lona wzorem: r = i 360 t = K P P 360 t, gdzie i jest wspóªczynnikiem dyskontowania kapitaªu ko«cowego (warto±ci nominalnej bonu) K o warto±ci pocz tkowej (cena bonu skarbowego) P, za± t jest liczb dni do wykupu bonu skarbowego. W naszym przykªadzie stopa rentowno±ci bonu skarbowego wynosi r = 0, = 6% Zadanie Oblicz stop rentowno±ci bonów skarbowych: 13-tygodniowy po cenie 9800 zª, 52-tygodniowy po cenie 9300 zª. Zadanie Jak cen zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgªosi bank w swojej ofercie, aby osi gn rentowno± tej inwestycji w skali roku na poziomie 8%? Warto± obecna i warto± przyszªa strumienia pieni dza Typowe operacje bankowe odbywaj si wieloetapowo. Przykªadem klasycznym jest spªata kredytu oraz systematyczne oszcz dzanie. Spªata odbywa si zazwyczaj w wielu ratach. Tak»e kredyt mo»e by udzielany stopniowo, w transzach. Z punktu widzenia kredytodawcy jak i kredytobiorcy operacja udzielenia i spªaty kredytu jest zatem ci giem wpªat oraz wypªat odbywaj cych si w ró»nych terminach. Zaªó»my»e, kredyt w wysoko±ci P udzielony jest w caªo±ci jednorazowo, a raty w wysoko±ci R 1, R 2,..., R n kredytu spªacane s w równych odst pach czasu, w których oprocentowanie wynosi i. Zaznaczamy nad osi czasow wpªaty (wielko±ci dodatnie), a pod osi wypªat (wielko± ujemna). i i i Rysunek 1.1.3: Spªata kredytu. Plan spªat musi prowadzi do sytuacji, w której po wpªaceniu ostatniej raty zadªu-»enie zmniejsza si do zera. Powszechnie stosowana jest przy spªacie kredytu zasada,»e z ka»dej raty w pierwszej kolejno±ci spªacane s odsetki, a dopiero pozostaªa cz ± raty przeznaczana jest na spªat zadªu»enia. Je»eli zadªu»enie po wpªacie k-tej raty 9

10 oznaczymy Z k oraz wyj±ciowe zadªu»enie Z 0 = P, to powy»sz zasad mo»emy zapisa nast puj co (1.1.10) Z k+1 = (1 + i)z k R k+1 Je»eli spªata zadªu»enia ma nast pi po wpªaceniu n-tej raty, to zadªu»enie Z n po wpªaceniu n-tej raty musi wynosi zero, tzn. Z n = 0. Przykªad Przedstawiamy plan spªat kredytu 1200 zª oprocentowanego 24% w skali roku i spªacanego w 12 ratach (Tabela 1.1.1). Ka»da rata skªada si z raty kapitaªowej 100 zª oraz odsetek od niespªaconej cz ±ci kredytu naliczonych za okres ostatniego miesi ca. Zastosowany przy tworzeniu planu spªat schemat obliczania Tabela 1.1.1: Plan spªaty kredytu. Numer raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty zª 24 zª 124 zª 1100 zª zª 22 zª 122 zª 1000 zª zª 20 zª 120 zª 900 zª zª 18 zª 118 zª 800 zª zª 16 zª 116 zª 700 zª zª 14 zª 114 zª 600 zª zª 12 zª 112 zª 500 zª zª 10 zª 110 zª 400 zª zª 8 zª 108 zª 300 zª zª 6 zª 106 zª 200 zª zª 4 zª 104 zª 100 zª zª 2 zª 102 zª 0 zª zadªu»enia po spªacie kolejnych rat nazywany jest retrospektywnym. Przykªadowo, zadªu»enie po wpªaceniu 5-tej raty wynosi 700 zªotych. Wielko± t otrzymali±my w tabeli w oparciu przebieg spªaty kredytu w okresie poprzedzaj cym interesuj cy nas moment. Z formuªy (1.1.10) wnioskujemy Z k = (1 + i)z k 1 R k = (1 + i) ((1 + i)z k 2 R k 1 ) R k = = (1 + i) 2 Z k 2 (1 + i)r k 1 R k = = (1 + i) 2 ((1 + i)z k 3 R k 2 ) (1 + i)r k 1 R k =... = (1 + i) k 1 ((1 + i)z 0 R 1 ) (1 + i) k 2 R 2... (1 + i) 2 R k 2 (1 + i)r k 1 R k, a wi c (1.1.11) Z k = (1 + i) k P (1 + i) k 1 R 1 (1 + i) k 2 R 2... (1 + i)r k 1 R k. 10

11 Formuªa (1.1.11) stanowi tak zwany retrospektywny sposób obliczania zadªu»enia Z k po wpªaceniu k-tej raty kredytu. Z warunku Z n = 0 otrzymujemy zale»no± (1 + i) n P = (1 + i) n 1 R 1 + (1 + i) n 2 R (1 + i) 2 R n 2 + (1 + i)r n 1 + R n Dziel c obie strony przez (1 + i) n dostajemy (1.1.12) P = i R ( 1 + i )2 R ( 1 + i )n R n Warunek wyst puj cy w równo±ci (1.1.12) jest warunkiem równowa»nym warunkowi Z n = 0. Zatem warunkiem spªaty kredytu w wyniku realizacji planu spªat jest równo± sumy rat kredytu zdyskontowanych na moment udzielenia kredytu oraz kwoty udzielonego kredytu. Wyra»enie wyst puj ce po prawej stronie równo±ci (1.1.12) nazywamy warto±ci obecn strumienia pieni dza R 1, R 2,... R n. Przykªad Kredyt 1500 zª oprocentowany 2% miesi cznie (tzn. 24% rocznie) spªacany jest w trzech ratach miesi cznych wynosz cych kolejno : 530 zª, 520 zª, 510 zª. Wykonuj c plan spªat mo»emy ªatwo si przekona,»e po wpªaceniu ostatniej raty zadªu»enie wyniesie 0 zª (Tabela 1.1.2). Plan spªat mo»emy tak»e zwerykowa Tabela 1.1.2: Plan spªaty kredytu. Numer raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty zª 30 zª 530 zª 1000 zª zª 20 zª 520 zª 500 zª zª 10 zª 510 zª 0 zª posªuguj c sie równo±ci (1.1.12). Suma zdyskontowanych rat kredytu wynosi ( ) 2 ( ) , , , , 58 = 1500, 1, 02 1, 02 czyli równa si kwocie udzielonego kredytu. Zale»no± (1.1.10) mo»emy równowa»nie wyrazi równo±ci (1.1.13) Z k = i (Z k+1 + R k+1 ) Korzystaj c z faktu,»e Z n = 0 oraz z (1.1.13) mo»emy kolejno obliczy Z n 1, Z n 2,..., Z 0. Mianowicie Z n 1 = i R n 11

12 I ogólnie Z n 2 = i (Z 1 n 1 + R n 1 ) = ( 1 + i )2 R n i R n (1.1.14) Z k = ( 1 + i )n k R n + ( 1 + i )n k 1 R n ( 1 + i )1 R k+1 Formuªa (1.1.14) stanowi tak zwany prospektywny sposób obliczania Z k - zadªu»enia po wpªaceniu k-tej raty kredytu. Zauwa»my,»e Z k jest sum zdyskontowanych na moment wpªacenia k-tej raty rat R k+1, R k+2,... R n. Przejd¹my do policzenia kapitaªu K zebranego w drodze systematycznego oszcz dzania. Przyjmujemy,»e wpªaty dokonywane s w równych odst pach czasu, w których oprocentowanie jest staªe i wynosi i. Kapitalizacja odsetek nast puje po ka»dej wpªacie. Wysoko± kolejnych wpªat równa si R 1, R 2,... R n. Oszcz dno±ci po dokonaniu k-tej wpªaty oznaczamy O k. Oczywi±cie O 1 = R 1 (1.1.15) O k+1 = (1 + i)o k + R k+1 Zatem O 2 = (1 + i)r 1 + R 2 Wnioskuj c indukcyjnie otrzymuje si O 3 = (1 + i) 2 R 1 + (1 + i) 1 R 2 + R 3 (1.1.16) O n = (1 + i) (n 1) R 1 + (1 + i) (n 2) R (1 + i)r n 1 + R n Zatem kapitaª K zgromadzony po dokonaniu n-tej wpªaty K = O n jest sum poszczególnych wpªat zakumulowanych na moment dokonania ostatniej wpªaty. Kapitaª K nazywany jest warto±ci przyszª strumienia pieni dza R 1, R 2,..., R n. Pomimo ró»nic w interpretacji strumienia pieni dza R 1, R 2,..., R n przy spªacie kredytu oraz w systematycznym oszcz dzaniu istnieje ±cisªy zwi zek mi dzy warto±ci obecn P dan przez (1.1.12) oraz warto±ci przyszª K dan przez (1.1.16) (1.1.17) K = (1 + i) n P Zatem strumie«pieni dza R 1, R 2,..., R n z jednej strony jest równowa»ny warto±ci pocz tkowej P, z drugiej warto±ci ko«cowej K. Nale»y pami ta,»e kwoty P i K s ró»nie datowane, co najlepiej wida na osi liczbowej (Rysunek 1.1.4). Moment datowania warto±ci obecnej P oddziela n przedziaªów czasowych od momentu datowania warto±ci przyszªej K, co pozwala pogl dowo wyja±ni zwi zek mi dzy P i K. Szczególnym przypadkiem strumienia pieni dza jest strumie«równych rat. Wyst puje cz sto zarówno w planach spªaty kredytu, jak i w systematycznym oszcz dzaniu. W przypadku równych rat mo»emy znacznie upro±ci formuª podaj ca warto± ko«cow i warto± obecn strumienia pieni dza. Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru na warto± ko«cow. Oznaczmy wielko± pojedynczej raty R, tzn. 12

13 i i i Rysunek 1.1.4: Strumie«pieni dza. R 1 = R 2 =... = R n = R. Wówczas zale»no± (1.1.16) mo»emy przeksztaªci do postaci K = R((1 + i) n 1 + (1 + i) n (1 + i) + 1) Stosuj c wzór na sum sko«czonego ci gu geometrycznego dostajemy (1.1.18) K = R (1 + i)n 1 i Warto± pocz tkow strumienia równych rat mo»na ªatwo wyrazi stosuj c (1.1.18) oraz (1.1.17) (1.1.19) P = R (1 + i)n 1 (1 + i) n i Przykªad Zastosujemy wzór (1.1.19) do policzenia kwoty udzielonego kredytu P, który oprocentowany jest w skali roku 12% i spªacany jest w 6 ratach miesi cznych po 150 zª. Rozwi zanie: P = 150 1, (1, 01) 6 0, 01 = 869, 3 Znaj c wysoko± udzielonego kredytu P ilo± rat n oraz oprocentowanie i (oprocentowanie w okresie dziel cym wpªat kolejnych rat) mo»emy przeksztaªci (1.1.19) do postaci (1.1.20) R = P (1 + i)n i (1 + i) n 1 Przykªad Policzy wysoko± raty kwartalnej R kredytu udzielonego w wysoko±ci zª., oprocentowanego rocznie 16% i spªacanego w o±miu ratach kwartalnych. Rozwi zanie R = (1, 04)8 0, 04 (1, 04) = 3713, 20

14 Przykªad Kredyt udzielony w wysoko±ci USD spªacany jest w 10- ciu równych ratach rocznych. Oprocentowanie roczne kredytu wynosi 5,2%. Poda zadªu»enie po wpªaceniu 8-mej raty. Rozwi zanie: Pierwszy sposób policzenia niespªaconej cz ±ci kredytu polega na sporz dzeniu tabeli z planem spªat. Nie jest to skomplikowane, ale je»eli nie posªugujemy si arkuszem kalkulacyjnym, to zabierze sporo czasu. Poni»ej przedstawiamy plan spªat wykonany w Excel'u (Tabela 1.1.3). Drugi sposób opiera si na formule prospektywnej (1.1.14). Tabela 1.1.3: Plan spªaty kredytu w równych ratach. Nr raty Zadªu»enie po wpªaceniu Odsetki Rata Zadªu»enie po poprzedniej raty wpªaceniu raty zª 5200 zª ,54 zª ,46 zª ,46 zª 4 790,42 zª ,54 zª ,34 zª ,34 zª 4 359,54 zª ,54 zª ,35 zª ,35 zª 3 906,26 zª ,54 zª ,07 zª ,07 zª 3 429,40 zª ,54 zª ,93 zª ,93 zª 2 927,75 zª ,54 zª ,15 zª ,15 zª 2 400,02 zª ,54 zª ,62 zª ,62 zª 1 844,84 zª ,54 zª ,92 zª ,92 zª 1 260,79 zª ,54 zª ,17 zª ,17 zª 646,37 zª zª ,54 zª 0 zª Zadªu»enie po wpªaceniu 8-mej raty jest równowa»ne dwóm pozostaªym do spªacenia ratom. Poniewa» rata R = 13076, 54, to Z 8 = 13076, 54 1, = 24245, 92 1, , 052 (W Excel'u u»yjemy funkcji PPMT(0,052;9;10; )+PPMT(0,052;10;10; )). Zadanie Kredyt udzielony w wysoko±ci zª spªacany jest 24 równych ratach miesi cznych. W momencie udzielenia kredytu oprocentowanie roczne wynosiªo 19,6%. Po wpªaceniu 16-tej raty oprocentowanie zmniejszyªo si do 18,9%. Poda wysoko± pierwszych 16-tu rat oraz ostatnich 8-miu. Zadanie Klient mo»e spªaca kredyt w systemie ratalnym co miesi c kwot 650 zª przez okres 5 lat. Oprocentowanie roczne kredytu wynosi 18%. Na jak kwot mo» zosta udzielony kredyt? Zadanie W systemie sprzeda»y ratalnej towar kosztuj cy 2559 zª mo»na naby pªac c w momencie zakupu 30% ceny towaru, a nast pnie wpªacaj c 10 rat miesi cznych po 200 zª ka»da. Dost pny kredyt bankowy w równych ratach oprocentowany jest 13,5% rocznie, ale bank pobiera 3% prowizji przy jego udzieleniu. Czy 14

15 bardziej opªaca si skorzysta z oferty agencji sprzeda»y ratalnej, czy wzi kredyt bankowy? Zadanie Jak kwot nale»y mie na rachunku bankowym, aby przez dwa lata móc pobiera z niego 1000 zª. na koniec ka»dego kwartaªu? Nominalne oprocentowanie rachunku wynosi 6% Wewn trzna stopa zwrotu Do analizy przepªywów pieni»nych stosowany jest powszechnie wska¹nik nazywany wewn trzn stop zwrotu, który b dziemy w skrócie nazywa IRR od nazwy angielskiej Internal Rate of Return. W szczególno±ci mo»na go stosowa do oceny kosztu kredytu, jak równie» efektywno±ci inwestycji. Przykªad Przeanalizujemy strumie«pieni dza zwi zany z kosztami budowy, a nast pnie modernizacji biurowca oraz zysków z wynajmu powierzchni biurowej i ze sprzeda»y budynku. W pierwszym roku realizacji inwestycji koszty wyniosªy zª, w drugim zª. W ci gu nast pnych 5-ciu lat zysk po opodatkowaniu z tytuªu wynajmu biur wynosiª rocznie zª. W kolejnym roku przeprowadzono modernizacj, której koszt przekroczyª o zª przychody z wynajmu. W trakcie kolejnych 4 lat zysk netto z wynajmu wynosiª zª rocznie. W ostatnim roku budynek sprzedano za sum zª. Oznacza b dziemy symbolem W k koszty lub zyski w k-tym roku inwestycji. Wydatki b dziemy brali ze znakiem minus, a zyski ze znakiem plus. Powy»sze dane zebrane s w Tabeli Wewn trzn stop zwrotu Tabela 1.1.4: Tabela przepªywów pieni»nych. Lp. W k Warto± zdyskontowana , , , , , , , , , , , ,06 nazywamy stop procentow i, przy której suma zdyskontowanych wpªat/wypªat z 15

16 uwzgl dnieniem znaku równa si zero. Moment, na który dyskontujemy mo»na usytuowa dowolnie. Najcz ±ciej sytuujemy go na osi czasowej w tym momencie, w którym odbywa si pierwszy przepªyw (wpªata lub wypªata). Obliczenie IRR wymaga zastosowania metod numerycznych. W praktyce mo»na wykorzysta funkcje wbudowane w arkusz kalkulacyjny Excel (funkcja IRR). W powy»szym przykªadzie wewn trzna stopa zwrotu wynosi 2,79%. Ostatnia kolumna w powy»szej tabeli podaje zdyskontowan warto± przepªywów pieni»nych. Zsumowanie kwot z tej kolumny powinno da w wyniku zero. W praktyce dostajemy kwot okoªo 130, co przy tej skali inwestycji jest wystarczaj co dobrym przybli»eniem. Formalnie IRR dla strumienia pieni dza (ang. Cash Flow) P 1, P 2,... P n deniujemy jako stop procentow i, przy której zachodzi równo± (1.1.21) P i P ( 1 + i )2 P ( 1 + i )n 1 P n = 0 Problem wyznaczenia IRR z matematycznego punktu widzenia sprowadza si do wyznaczenia pierwiastka wielomianu P 1 + P 2 x + P 3 x P n x n 1 = 0 Dla n 1 5 zadanie to mo»na rozwi zywa wyª cznie metodami numerycznymi, co w dobie powszechnego stosowania elektronicznych narz dzi obliczeniowych nie stanowi wi kszego problemu. Zastosujemy wska¹nik IRR do odpowiedzi na pytanie postawione w Zadaniu z poprzedniego paragrafu. W tym celu nale»y okre±li przepªywy pieni»ne w obu opcjach kredytowania zakupu towaru. Zakªadamy,»e kupuj cy dysponuje gotówk 767,70 zª (30% ceny towaru) niezb dn do zakupienia towaru na raty. Brakuj ca do peªnej ceny towaru kwota to 1791,30 zª. Aby uzyska tak kwot z banku, nale»y uwzgl dni pobieran 3% prowizj. Zatem nale»y wyst pi o kredyt w wysoko±ci 1846,70 zª. Przy oprocentowaniu rocznym 13,5% spªata tego kredytu nast pi w 10 ratach po 196,29 zª ka»da. W poni»szej Tabeli zestawiamy przepªywy pieni»ne w przypadku kredytowania zakupu przez agencj kredytow i przez bank. Zwró my uwag,»e pierwsza kwota (kredyt) jest w obu przypadkach brana ze znakiem minus. W wariancie pierwszym IRR wynosi 2,06% ( stopa miesi czna). Dla kredytu bankowego IRR wynosi 1,70% (stopa miesi czna). Zatem koszt kredytu udzielonego przez agencj mierzony (obiektywnie) roczn efektywn stop procentow wynosi 27,66%, natomiast dla kredytu bankowego roczna efektywna stopa procentowa wynosi 22,40%. Nale»y podkre±li,»e w wielu krajach, tak»e w Polsce jest obowi zek ustawowy informowania klienta o koszcie kredytu mierzonym roczn efektywn stop procentow. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania pozwala klientowi oceni ofert banku, poniewa» oprócz oprocentowania uwzgl dnia ona wszystkie obci zaj ce go koszty kredytu, np. prowizje. Na podstawie ustawy z dnia 20 lipca 2001 r. o kredycie 16

17 Tabela 1.1.5: Tabela przepªywów pieni»nych. Lp. System ratalny Kredyt bankowy , , , , , , , , , , , ,29 konsumenckim (Dziennik Ustaw z 2001 r. nr 100 poz. 1081) rzeczywista roczna stopa oprocentowania i obliczana jest zgodnie z nast puj cym wzorem: (1.1.22) Σ K=m K=1 przy nast puj cych oznaczeniach: A K (1 + i) t K = Σ K =m K =1 K - numer kolejnej wypªaty raty kredytu, K - numer kolejnej spªaty kredytu lub kosztów, A K - kwota wypªaty raty kredytu K, A K - kwota spªaty kredytu lub kosztów K, m - numer ostatniej wypªaty raty kredytu, m - numer ostatniej spªaty kredytu lub kosztów, A K (1 + i) t K, t K - okres, wyra»ony w latach lub uªamkach lat, mi dzy pierwsz wypªat i kolejnymi wypªatami, pocz wszy od 2 do wypªaty m, t K - okres, wyra»ony w latach lub uªamkach lat, mi dzy pierwsz wypªat kredytu i kolejnymi spªatami kredytu lub kosztów, pocz wszy od 1 do spªaty m. Ponadto wynik oblicze«i podaje si z dokªadno±ci do co najmniej jednego miejsca po przecinku, przy czym je»eli cyfra wyst puj ca po wybranym przez obliczaj cego miejscu po przecinku jest mniejsza ni» 5, cyfr t pomija si, za± gdy jest wi ksza albo równa 5, cyfr poprzedzaj c zwi ksza si o 1. 17

18 Przykªad Kredyt o wysoko±ci 1000 zª b dzie spªacony jedn rat w wysoko±ci 1250 zª po upªywie 1,5 roku. Wówczas przyjmujemy: m = 1, K = 1, A 1 = 1000, t 1 = 0, m = 1, K = 1, A 1 = 1250, t 1 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 1000 (1 + i) = (1 + i). 1,5 Rozwi zaniem tego równania jest i = 3 1, , , a zatem rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 16, 04%. Zaªó»my,»e istnieje jednostka czasu ω, zwana okresem bazowym taka,»e okresy wypªat t K i spªat t K (dla K = 0,...m, K = 0,...m ) kredytu stanowi caªkowit wielokrotno± okresu bazowego. Wówczas t K = n K ω, t K = n K ω, gdzie n K, n K s nieujemnymi liczbami caªkowitymi. Zatem równanie (1.1.22) mo»e by zapisane w postaci: (1.1.23) Σ K=m K=1 A K ((1 + i) ω ) n K + Σ K =m K =1 A K ((1 + i) ω ) n K = 0. Przyjmuj c (1 + i) ω = 1 + i, powy»sze równanie przyjmuje posta równania (1.1.21), tzn. i jest wewn trzn stop zwrotu dla odpowiedniego strumienia pieni dza. Przykªad W Przykªadzie 1.20 okresem bazowym jest póªroku (ω = 0, 5). St d mo»na obliczy wewn trzn stop zwrotu dla strumienia pieni dza -1000, 0, 0, 1250, która wynosi i = 7, 72% (w Excelu funkcja IRR(-1000,0,0,1250)). St d rzeczywista roczna stopa oprocentowania i = (1 + i ) 1/ω 1 = 1, = 0, = 16, 04%. Ostateczny wynik w arkuszu kalkulacyjnym Excel mo»emy otrzyma za pomoc funkcji EFFECT(2*IRR(-1000,0,0,1250);2). Zauwa»my,»e je»eli przyjmiemy za okres bazowy jeden miesi c (ω = 1 12 ), to rzeczywista roczna stopa oprocentowania dla strumienia pieni dza -1000, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1250 jest taka sama jak powy»ej i wynosi 16, 04%. Natomiast wewn trzna stopa zwrotu dla tego strumienia jest równa 1, 25%. Przykªad Kredyt z Przykªadu 1.20 zostaª wypªacony w dwóch ratach po 500zª na pocz tku i po upªywie póª roku. Wówczas przyjmujemy: m = 2, K = 1, A 1 = 500, t 1 = 0, K = 2, A 2 = 500, t 2 = 0, 5, m = 1, K = 1, A 1 = 1250, t 1 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 500 (1 + i) = 0 (1 + i) 0,5 (1 + i). 1,5 Rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 19, 45% (w Excelu: EFFECT(2*IRR(- 500,-500,0,1250);2)). 18

19 Przykªad Nadal rozwa»amy kredyt z Przykªadu Zakªadamy,»e na pocz tku bank pobraª prowizj w wysoko±ci 3% caªo±ci kredytu. Wówczas przyjmujemy: m = 1, K = 1, A 1 = 500, t 1 = 0, m = 2, K = 1, A 1 = 0, = 30, t 1 = 0, K = 2, A 2 = 1250, t 2 = 1, 5 i równanie (1.1.22) przyjmuje posta : 1000 (1 + i) = 30 0 (1 + i) (1 + i). 1,5 Rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 18, 42% (w Excelu: EFFECT(2*IRR(- 970,0,0,1250);2)). Przykªad Kredyt z Przykªadu 1.20 spªacamy przez 1,5 roku (18 miesi cy) co miesi c w wysoko±ci 1250 = 69, 44 zª. Wówczas rzeczywista stopa oprocentowania 18 tego kredytu wynosi 33, 89%. Przykªad Kredyt z Przykªadu 1.20 spªacamy przez 1,5 roku (18 miesi cy) co kwartaª w wysoko±ci 400 zª. Wówczas rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 20, 34%. Zadanie Jaka powinna by staªa rata kredytu z Przykªadu 1.20 spªacanego co kwartaª w staªej wysoko±ci tak, aby rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosiªa 16, 04%? Zadanie Bank udziela kredytu w wysoko±ci 3000 zª na okres 5 miesi cy i pobiera prowizj w wysoko±ci 5%. Kredyt spªacany jest w dwóch ratach po 1600 zª. po trzecim i pi tym miesi cu. Jaka jest rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu? Zadanie Czy w kredycie z Zadania korzystniejsza jest oferta, w której klient spªaca kredyt w jednej racie po 5 miesi cach w wysoko±ci 3250 zª? Zadanie Jaka jest prowizja banku w kredycie z Zadania , je±li rzeczywista stopa oprocentowania tego kredytu wynosi 24%? Ogólny plan spªaty kredytu Przyjmiemy,»e kredyt udzielony w wysoko±ci P spªacany jest w n ratach R 1, R 2,..., R n. Oprocentowanie kredytu jest zmienne i w kolejnych okresach wynosi i 1, i 2,..., i n. Oznaczymy zadªu»enie po wpªaceniu k-tej raty symbolem Z k, które obliczy si (1.1.24) Z k = (1 + i k )Z k 1 R k Schemat ten mo»emy zilustrowa na osi czasowej Wspóªczynnik dyskontowania w okresie, mi dzy spªat (k 1)-szej i k-tej raty oznaczamy v k, v k = i k 19

20 i 1 i 2 i n Rysunek 1.1.5: Ogólny plan spªaty kredytu. To»samo± (1.1.24) mo»emy zapisa w postaci (1.1.25) Z k 1 = v k Z k + v k R k Przyjmuj c,»e spªata kredytu nast puje po spªaceniu n-tej raty, tzn. Z n = 0 oraz korzystaj c z zale»no±ci (1.1.25) otrzymujemy (1.1.26) Z k 1 = v k R k + v k v k+1 R k v k v k+1... v n R n i w szczególno±ci (1.1.27) P = Z 0 = v 1 R 1 + v 1 v 2 R v 1 v 2... v n R n To»samo± (1.1.27) mo»na interpretowa jako równo± kwoty udzielonego kredytu P oraz jego sumy zdyskontowanych na moment udzielenia kredytu rat. Zadanie Udzielono kredytu na kwot zª w równych miesi cznych ratach na okres trzech lat. W pierwszym roku oprocentowanie kredytu wynosiªo 10%, w drugim 15%, za± w trzecim roku 20%. Ile wyniosªa rata kredytu? Czy korzystniej jest wzi kredyt ze staª roczn stop oprocentowania równ 15%? 1.2 Ci gªy model akumulacji kapitaªu Praktyczny problem wyceny warto±ci obligacji w dowolnym momencie mi dzy emisj, a wykupem prowadzi do modelu kapitalizacji odsetek w sposób ci gªy, nazywanego tak»e procesem ci gªej akumulacji. Proces ci gªej akumulacji charakteryzuje wielko± nazywana nat»eniem oprocentowania (ang. force of interest), która odgrywa analogiczn rol jak stopa procentowa przy kapitalizacji dyskretnej. Dla modelu ci gªego akumulacji kapitaªu wyprowadzony jest caªkowy wzór na warto± ko«cow ci gªego strumienia pieni dza Proces ci gªej kapitalizacji odsetek Roczna obligacja o warto±ci nominalnej 100 zª jest oprocentowana 19.2% rocznie. Niech w(t) oznacza warto± obligacji w chwili t, a czas t wyra»ony jest w latach, 20

21 tzn. w(0) oznacza warto± obligacji w chwili emisji (w(0) = 100) oraz w(1) oznacza warto± obligacji w chwili wykupu, czyli po roku (w(1) = 119, 2). Naszym celem jest okre±lenie uczciwej ceny (ang. fair value) obligacji w dowolnym momencie t (0, 1), czyli miedzy emisj, a wykupem. Zacznijmy od wyznaczenia w( 1 ). W pierwszej 2 chwili mogªoby si wydawa,»e skoro odsetki za okres roku wynosz 19,2 zª, to za okres póªroczny powinny wynosi 9,6 zª. Przyjmijmy,»e w( 1 ) = 109, 6. Stopa zwrotu 2 i 1 osi gni ta w pierwszej poªowie roku wynosi i 1 = 9, 6%, bo 1 + i 1 = 109, = 1, 096 a stopa zwrotu i 2 osi gni ta w drugiej poªowie roku równa si i 2 = 8, 76%, bo 1 + i 2 = 119, 2 109, 6 = 1, 0876 Zatem inwestor, który kupiª obligacj w poªowie roku za cen 109,6 zª, uzyskaªby ni»sza o prawie 1% stop zwrotu. Uczciwa cena powinna gwarantowa obu inwestorom t sam stop zwrotu, tzn. w(1/2) w(0) = w(1) w(1/2) Nie jest trudno policzy,»e powy»szy warunek oznacza w(1/2) = 109, 18. W dalszej cz ±ci powy»sze pytanie o uczciw cen uogólnimy na dowolny moment t (0, 1). Jest to w istocie pytanie o przebieg funkcji w(t) w przedziale (0, 1). Uczciwo± ceny polega ma na tym, aby wzrost warto±ci obligacji w czasie od t do t + t dawaª t sam stop zwrotu co wzrost warto±ci obligacji w czasie od t do t + t, tzn. (1.2.1) w(t + t) w(t) = w(t + t) w(t ) dla dowolnych t, t (0, 1) takich,»e t + t, t + t (0, 1). Wªasno± wyra»on formuª (1.2.1) b dziemy nazywa zasad fair value. Oznacza to,»e warto± wyra»enia ( ) w(t + t) ln w(t) nie zale»y od wyboru t. Pozwala nam to okre±li funkcj δ( ) wzorem ( ) w(t + t) (1.2.2) δ( t) = ln w(t) dla t (0, 1 t). Zauwa»my,»e funkcja δ( ) ma dwie wªasno±ci (1.2.3) δ(0) = 0 21

22 oraz (1.2.4) δ( t 1 + t 2 ) = δ( t 1 ) + δ( t 2 ) Wªasno± (1.2.4) wynika z równo±ci w(t + t 1 + t 2 ) w(t) = w((t + t 2) + t 1 ) w(t + t 2 ) w(t + t 2) w(t) oraz wªasno±ci funkcji logarytmicznej (ln(a b) = ln a + ln b). Z wªasno±ci (1.2.3) i (1.2.4) (oraz ci gªo±ci) wynika,»e δ( ) jest funkcj liniow, tzn. istnieje wspóªczynnik a taki,»e δ( t) = a t Dla t = 1 mamy a = δ(1) Natomiast δ(1) mo»na wyznaczy znaj c w(1) oraz w(0) ( ) w(1) δ(1) = ln w(0) Poniewa» δ( t) = δ(1) t, to przyjmuj c w (1.2.2) t = 0 dostajemy St d e δ( t) = w( t) w(0) (1.2.5) w( t) = w(0)e δ(1) t W rozwa»anym przykªadzie w(0) = 100 oraz ( ) 119, 2 δ(1) = ln = ln(1, 192) 0, Mo»emy zatem sprawdzi,»e w(1/2) = 100e 0, , 18 Funkcja w(t) zadana wzorem (1.2.5) okre±laj ca uczciw cen zadana jest w istocie dwoma parametrami: w(0) oraz δ(1). Wielko± w(0) jest pocz tkow warto±ci P zainwestowanego kapitaªu. Natomiast δ(1) (od tej chwili oznaczany krótko δ) mo»emy równowa»nie wyrazi jako (1.2.6) δ = ln(1 + i) 22

23 bo w(1) w(0) = 1 + i W rozwa»anym przykªadzie i = 19, 2%. Parametr δ dany przez (1.2.6) nazywamy nat»eniem oprocentowania (ang. force of interest) i. Zasada fair value (1.2.1) oznacza,»e mo»emy poprawnie okre±li stop zwrotu i( t) w okresie t ze wzoru 1 + i( t) = w(t + t) w(t) W szczególno±ci, dla t = 1 n oraz k < n mamy Wnioskuj c indukcyjnie dostajemy 1 + i( 1 n ) = w( k+1 n ) w( k n ) w(1) = (1 + i( 1 n ))n w(0) Zatem warto± ko«cow w(1) otrzymujemy kapitalizuj c n-krotnej odsetki po ka»dym okresie dªugo±ci 1 przy stopie procentowej i( 1 ). Stopa i(1) jest zatem roczn efektywn stop procentow, i(1) = i eff, odpowiadaj c rocznej stopie nominalnej n i( 1 ) n n n oraz n-krotnej kapitalizacji w ci gu roku w równych odst pach czasu. Poniewa» to 1 + i eff = (1 + i( 1 n ))n i( 1 n ) = (1 + i eff) 1 n 1 Je»eli i (n) oznacza roczn nominaln stop procentow odpowiadaj c n-krotnej kapitalizacji odsetek w ci gu roku równowa»n stopie efektywnej i eff, to St d (porównaj (1.1.3)) i( 1 n ) = i (n) n i (n) = (1 + i eff) 1 n 1 1 n Zauwa»my,»e δ = ln(1 + i eff ) jest granic ci gu i (n) (sprawd¹ to!). Zatem δ mo-»emy traktowa jako nominaln stop procentow przy ci gªej kapitalizacji odsetek równowa»n stopie efektywnej i eff. 23

24 Przykªad Poda uczciw warto± (fair value) bonu skarbowego 26 tygodniowego w dniu 31 grudnia, który zostaª zakupiony 15 listopada za cen 90,91 zª. Warto± nominalna bonu to 100 zª. Rozwi zanie: Przyjmujemy,»e okresem jednostkowym (bazowym) jest okres inwestycji, czy dni. Od 15 listopada do 31 grudnia mija 46 dni, czyli okresu bazowego. Stopa 182 zwrotu i w okresie bazowym dana jest przez Czyli 1 + i = , 91 δ = ln( , 91 ) Formuªa (1.2.5) w nowych oznaczeniach ma posta St d w(t) = w(0)e δt w( 46 ) = 93, Czyli uczciwa cena bonu w dniu 31 grudnia powinna wynosi 93,13 zª. Zadanie Oblicz warto± kapitaªu 1000 zª. po trzech latach, je±li nominalna stopa procentowa wynosi 18% i okres kapitalizacji odsetek jest: a. roczny, b. póªroczny, c. miesi czny, d. ci gªy. Zadanie Jak zmieni si warto± obligacji w chwili t, gdy zwi kszymy dwukrotnie nat»enie oprocentowania? Ci gªy model akumulacji ze zmiennym w czasie nat»eniem oprocentowania W poprzednim paragrae opisali±my warto± ko«cow kapitaªu przy staªym w czasie nat»eniu oprocentowania δ. Teraz przyjmiemy,»e nat»enie oprocentowania jest funkcj zale»n od czasu. Zacznijmy od przypadku, gdy funkcja δ(t) jest przedziaªami staªa. Przedziaª [0, T ] dzielimy na odcinki o ko«cach 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n = T. W przedziale [t i 1, t i ] siªa stopy procentowej jest staªa i równa si δ i. Niech w(t) oznacza zakumulowany kapitaª pocz tkowy w(0) w chwili t. Ze wzoru (1.2.5) dostajemy w(t i ) = w(t i 1 )e δ(t i t i 1 ) 24

25 Wnioskuj c indukcyjnie dostajemy w(t ) = w(t n ) = w(t n 1 )e δ n(t n t n 1 ) = w(t n 2 )e δ n 1(t n 1 t n 2 ) e δ n(t n t n 1 ) =... Zatem w(0)e δ 1(t 1 t 0 ) e δ 2(t 2 t 1 )...e δ n(t n t n 1 ) (1.2.7) w(t ) = w(0)e δ 1(t 1 t 0 )+δ 2 (t 2 t 1 )+...+δ n(t n t n 1 ) Poniewa» caªka z funkcji staªej δ(t) = δ i na przedziale [t i 1, t i ] równa si dªugo±ci przedziaªu pomno»onej przez δ i, tzn. ti t i 1 δ(t)dt = δ i (t i t i 1 ) to (1.2.8) T 0 δ(t)dt = δ 1 (t 1 t 0 ) + δ 2 (t 2 t 1 ) δ n (t n t n 1 ) Wzór (1.2.7) mo»emy przeksztaªci do postaci (1.2.9) w(t ) = w(0)e T 0 δ(t)dt Tak»e w przypadku, gdy funkcja δ(t) nie jest przedziaªami staªa to formuªa (1.2.9) wyra»a warto± ko«cow kapitaªu. Gdy δ(t) jest funkcj ci gª to dla odpowiednio drobnego podziaªu funkcja δ(t) jest na odcinkach [t i 1, t i ] bliska staªej δ i = δ(t i ). Zatem suma wyst puj ca po prawej stronie we wzorze (1.2.8) jest dobrym przybli»eniem caªki T δ(t)dt. Czytelnik znaj cy teori caªki Riemanna rozpozna sumy 0 Riemanna we wzorze (1.2.8). Znaj c warto± ko«cow kapitaªu w(t ) oraz funkcj δ(t) na przedziale (0, T ) mo-»emy wyrazi warto± pocz tkow wzorem (1.2.10) w(0) = w(t )e T 0 δ(t)dt. Zadanie Oblicz warto± kapitaªu 1000 zª. po póª roku inwestycji, je±li okresem bazowym jest rok oraz nat»enie oprocentowania wyra»one jest wzorem δ(t) = t, t [0, 1]. Jakie powinno by staªe nat»enie oprocentowania, aby po roku inwestycji otrzyma tak sam warto± ko«cow kapitaªu? Warto± ko«cowa zmiennego strumienia kapitaªu przy akumulacji ci gªej Kolejnym krokiem w kierunku stworzenia modelu, który byªby na tyle bogaty, aby znajdowa zastosowanie do opisu rzeczywistych procesów nansowych jest uwzgl dnienie dopªywu, b d¹ odpªywu kapitaªu. W modelu dyskretnym zasilanie zewn trzne 25

26 oznaczaªo kolejne wpªaty (b d¹ wypªaty). W modelu ci gªym strumie«pieni dza opisuje zmienna w czasie pr dko± przepªywu. Pr dko± przepªywu wyra»amy w jednostkach pieni»nych na jednostk czasu, np. zªoty/rok. Je»eli wpªaty odbywaj si ze staª pr dko±ci p to kwota wpªacona w czasie t równa si p t. Przyjmijmy,»e w czasie od t i 1 do t i przepªyw pieni dza odbywa si ze staª pr dko±ci p i oraz siªa stopy procentowej jest w tym okresie staªa i równa si δ i. Kwota przepªywu w przedziale czasu [t i 1, t i ] równa si p i (t i t i 1 ). Niech w(t) oznacza kapitaª w chwili t. Przyjmiemy dla uproszczenia,»e kwota przepªywaj ca w czasie [t i 1, t i ] zasila kapitaª jednorazowo w momencie t i 1. Zatem... St d w(t 1 ) = (w(t 0 ) + p 1 (t 1 t 0 ))e δ 1(t 1 t 0 ) w(t 2 ) = (w(t 1 ) + p 2 (t 2 t 1 ))e δ 2(t 2 t 1 ) w(t n ) = (w(t n 1 ) + p n (t n t n 1 ))e δn(tn t n 1) w(t ) = w(0)e δ 1(t 1 t 0 )+δ 2 (t 2 t 1 )+...+δ n(t n t n 1 ) + p 1 e δ 1(t 1 t 0 )+...+δ n(t n t n 1 ) (t 1 t 0 )+ p 2 e δ 2(t 2 t 1 )+...δ n(t n t n 1 ) (t 2 t 1 ) +... p n e δn(tn t n 1) (t n t n 1 ) Wyra»enie po prawej stronie w powy»szej równo±ci jest sum Riemanna caªki w nast puj cym wzorze (1.2.11) w(t ) = w(0)e T 0 δ(t)dt + T 0 p(t)e T t δ(s)ds dt Wzór (1.2.10) jest przypadkiem szczególnym wzoru (1.2.11). Wystarczy wzi przepªywy zerowe, p = 0. Przykªad Zakªadamy,»e pr dko± przepªywu jest staªa p(t) p oraz nat»enie oprocentowania tak»e jest staªe δ(t) δ. Jaka jest warto± ko«cowa strumienia wpªat dokonanych w czasie [0, T ]? Rozwi zanie: Ze wzoru (1.2.11) Czyli Po obliczeniu caªki dostajemy w(t ) = T 0 pe T t δds dt T w(t ) = p e (T t)δ dt 0 w(t ) = p et δ 1 δ 26

27 W szczególno±ci dla T = 1 w(1) = p i δ Wniosek Kapitaª w wysoko±ci 1 oprocentowany w sposób ci gªy z nat»eniem oprocentowania δ jest równowa»ny po czasie 1 jednostajnemu strumieniowi wpªat z pr dko±ci p dan wzorem p = (1 + i) δ i, gdzie i = e δ 1 jest efektywn stop zwrotu odpowiadaj c oprocentowaniu ci gªemu z nat»eniem δ. Zadanie Fundusz inwestycyjny zaªo»ono w chwili t = 0 z wpªat pocz tkow równ 100 zª. Stan funduszu w chwili t wynosi w(t). Na rachunek dokonywane s w sposób ci gªy wpªaty z roczn intensywno±ci p(t) = 2 + t. Ci gªe nat»enie oprocentowania ±rodków na rachunku wynosi δ(t) = t. Ile wynosi stan funduszu w chwili t = 1? 1.3 Inacja W latach 90-tych XX wieku wyst powaªa w Polsce wysoka, dwucyfrowa inacja. Staªy wzrost cen powodowaª znaczne zmniejszanie si siªy nabywczej pieni dza. Problem ten zostaª w Polsce opanowany i obecnie inacja w skali roku nie przekracza 2%-3%. Jednak»e nawet tak nisk inacj nale»y uwzgl dnia w przypadku analizujemy zjawiska i zagadnienia, których czas trwania przekracza 5-10 lat. Ubezpieczenia na»ycie, ubezpieczenia emerytalne, czy te» kredyty hipoteczne maj dªugoterminowy horyzont czasowy. Rachunek nansowy uwzgl dniaj cy inacj opiera si na poj ciu realnej stopy procentowej. Istot tego poj cia ilustruje nast puj cy pogl dowy przykªad. Przykªad Zaªó»my,»e ulokowano równowarto± 100 kwintali»yta na lokacie rocznej, której oprocentowanie wynosiªo 26%. Przyjmijmy,»e cena kwintala»yta w momencie zaªo»enia lokaty wynosiªa 100 zª, a po roku wzrosªa o 20 % do 120 zª. Je»eli inacj rozumie b dziemy jako wzrost ceny»yta, to w ci gu roku inacja wyniosªa 20%. Elementarne obliczenia prowadz do wniosku,»e po roku kapitaª wraz z odsetkami wyniesie zª. Jest to równowarto± 105 kwintali»yta wedªug ceny kwintala»yta 120 zª. Licz c w jednostkach obiektywnych - kwintalach»yta - stopa zwrotu z tej inwestycji wynosi zatem 5%. Zale»no± mi dzy stop inacji i i = 20%, stop efektywn i = 26% oraz stop rzeczywist i r = 5% okre±la tzw. wzór Fishera (1.3.1) 1 + i = (1 + i i ) (1 + i r ) Chc c zatem okre±li realn stop zwrotu i r dla inwestycji, której efektywna stopa zwrotu wynosi i oraz stopa inacji w czasie trwania inwestycji wynosi i i, korzystamy 27

28 ze wzoru (1.3.2) 1 + i r = 1 + i 1 + i i Wyja±nienia wymaga jeszcze kwestia rozumienia i obliczania stopy inacji. W Polsce instytucj, która oblicza stopy inacji oraz podaje je do publicznej wiadomo±ci jest Gªówny Urz d Statystyczny. Punktem wyj±cia jest przyj cie koszyka dóbr. Je»eli W p oznacza ª czny koszt nabycia wybranego koszyka dóbr na pocz tku rozwa»anego okresu oraz W k oznacza ª czny koszt nabycia tego samego koszyka dóbr na ko«cu rozwa»anego okresu, to wska¹nik inacji 1 + i i wyra»a si jako 1 + i i = W k W p W Polsce podstawowym wska¹nikiem inacji jest wska¹nik cen podstawowych towarów i usªug konsumpcyjnych. Wyst puje on w ró»nych wariantach: ±redniorocznej, grudzie«do grudnia, miesi c do miesi ca, dla gospodarstw domowych pracowników, dla gospodarstw domowych pracowników u»ytkuj cych gospodarstwo rolne, itd. Przy analizowaniu konkretnego zjawiska nale»y starannie dobra wska¹nik uwzgl dniaj c, o ile to mo»liwe, algorytm jego obliczania przez GUS. Instytucje nansowe oferuj swoje produkty zazwyczaj na terenie caªego kraju i dla ró»nych grup klientów. Z tego wzgl du nie jest zazwyczaj mo»liwe uwzgl dnianie ró»nych koszyków dóbr do obliczania wska¹nika inacji przy tworzeniu lub analizowaniu produktów. Tabela 1.3.1: Stopy inacji w Polsce w oparciu o wska¹nik cen towarów i usªug konsumpcyjnych ,3 32,2 27,8 19,9 14,9 11,8 7, ,0 5,4 1,9 0,8 3,3 2,0 0,9 Wysoka i zmieniaj ca si inacja wpªywa na wysoko± i zmienno± oprocentowania depozytów i kredytów bankowych. Z oczywistych powodów oprocentowanie depozytu musi przewy»sza stop inacji. W przeciwnym wypadku oszcz dzanie wi zaªoby si ze strat, co w rezultacie oznaczaªoby zanik depozytów bankowych. Podstawowym ¹ródªem nansowania kredytów s depozyty bankowe. Zatem oprocentowanie kredytów tak»e musi by wy»sze od stopy inacji. Przy udzielaniu kredytu nale»y przedstawi plan jego spªaty okre±laj cy wysoko± i termin wpªaty kolejnych rat. Jest to praktycznie niewykonalne w warunkach niepewno±ci w odniesienie do wysoko±ci oprocentowania. Dªugoterminowe kredyty s podstawowym ¹ródªem nansowania budownictwa mieszkaniowego (kredyty hipoteczne). Ich brak w latach 90-tych byª przyczyn wieloletniego zastoju tej bran»y. Dla zilustrowania trudno±ci z zaplanowaniem spªat kredytu w warunkach wysokiej i zmiennej inacji rozwa»my nast puj cy przykªad. 28

29 Przykªad Przyjmijmy,»e kredytu w wysoko±ci zªotych udzielono 1 stycznia 1993 roku. Spªata odb dzie si w 10 ratach rocznych. Oprocentowanie kredytu jest zmienne. Stopa oprocentowania w ka»dym roku jest ustalana w oparciu o stop inacji oraz stop realn równ 5 %. Przyjmijmy,»e spªata odbywa si przy staªej racie kapitaªowej. Plan spªat wygl daªby nast puj co: Porównuj c wysoko± Tabela 1.3.2: Plan spªaty kredytu przy staªej racie kapitaªowej. Rok Stopa inacji Oprocentowanie Zadªu»enie na Odsetki Rata kredytu pocz tku roku 1 35,3% 42,07% ,00 zª 8 413,00 zª ,00 zª 2 32,2% 38,81% ,00 zª 6 985,80 zª 8 985,80 zª 3 27,8% 34,19% ,00 zª 5 470,40 zª 7 470,40 zª 4 29,9% 36,40% ,00 zª 5 095,30 zª 7 095,30 zª 5 14,9% 20,65% ,00 zª 2 477,40 zª 4 477,40 zª 6 11,8% 17,39% ,00 zª 1 739,00 zª 3 739,00 zª 7 7,3% 12,67% 8 000,00 zª 1 013,20 zª 3 013,20 zª 8 10,0% 15,50% 6 000,00 zª 930,00 zª 2 930,00 zª 9 5,4% 10,67% 4 000,00 zª 426,80 zª 2 426,80 zª 10 1,9% 7,00% 2 000,00 zª 139,90 zª 2 139,90 zª rat kredytu ze ±rednim wynagrodzeniem w gospodarce narodowej, które w roku 1993 wynosiªo 320 zª, a w roku 2002 wynosiªo 2098 zª (1706 zª bez skªadki na ubezpieczenie spoªeczne pªaconej przez pracownika) widzimy,»e w pierwszym roku spªaty kredytu roczna rata to ponad 26,6 miesi czne wynagrodzenia przeci tne, a w ostatnim roku spªaty to tylko 1,3 przeci tnych wynagrodze«. Alternatywnym planem spªat jest zaplanowanie rat w wielko±ciach realnych (sta- ªych), a nast pnie ich coroczna waloryzacja o wska¹nik inacji. Zaªó»my,»e spªata kredytu udzielonego w wysoko±ci P zaplanowana jest w ratach r 1, r 2,..., r n. Zakªadamy,»e oprocentowanie kredytu jest staªe oraz równe realnej stopie procentowej i r. Oznaczamy zadªu»enie po wpªaceniu kolejnych rat z 1, z 2,..., z n. Przyjmujmy,»e z 0 = k. Zatem z k = (1 + i r ) z k 1 r k dla k = 1, 2,..., n. Równowa»nie mo»emy zapisa t równo± jako z k 1 = vz k + vr k Zakªadamy,»e spªata kredytu nast puje po wpªaceniu ostatniej raty kredytu, tzn. z n = 0. Zachodzi zatem (1.3.3) P = vr 1 + v 2 r v n r n, gdzie v = 1 1+i jest wspóªczynnikiem dyskontowania. 29

30 Zaªó»my,»e stopy inacji w kolejnych okresach wynosz ii 1, ii 2,..., ii n. Przyjmijmy,»e oprocentowanie efektywne kredytu jest zmienne i wynosi w kolejnych okresach ie 1, ie 2,...,ie n, gdzie 1 + ie k = (1 + i r ) (1 + ii k ) dla k = 1, 2,..., n Przyjmijmy,»e faktycznie spªacane raty kredytu R 1, R 2,..., R n s zwaloryzowanymi o wska¹nik inacji ratami wst pnie wyliczonymi r 1, r 2,..., r n. Czyli (1.3.4) R k = (1 + ii 1 )(1 + ii 2 )... (1 + ii k )r k Zauwa»my,»e v k r k = v 1 v 2... v k R k gdzie v s = ie s =. Zatem (1+i r)(1+ii s) (1.3.5) P = v 1 R 1 + v 1 v 2 R v 1 v 2... v n R n Zatem spªata kredytu nast puje po wykonaniu przedstawionego planu spªat. Pozostaje pytanie o dostosowanie tak skonstruowanego planu spªat do mo»liwo- ±ci nansowych kredytobiorcy. W tym celu przyjmiemy identyczne jak poprzednio warunki oprocentowania kredytu, kwot kredytu i liczb rat. Przyjmiemy,»e spªata odbywa si w realnie równych ratach kapitaªowych. Wyj±ciowy plan spªat zawiera kolumna druga, w której raty zostaªy obliczone przy zaªo»eniu staªego oprocentowania w wysoko±ci 5%. Faktycznie pªacone raty s ju» zwaloryzowane o narastaj cy wska¹nik inacji podaje kolumna 5. Tabela 1.3.3: Plan spªaty kredytu w realnie równych ratach kapitaªowych. Rok Rata Oprocentowanie Wska¹nik Rata zwalo- Zadªu»enie k nominalna r k efektywne ie k inacji ryzowana R k faktyczne Z k ,00zª 42,07% 135,3% 4 059,00zª ,00 zª ,00zª 38,81% 178,9% 5 187,13zª ,00 zª ,00zª 34,19% 228,6% 6 400,56zª ,66 zª ,00zª 36,40% 296,9% 8 017,39zª ,81 zª ,00zª 20,65% 341,2% 8 870,80zª ,85 zª ,00zª 17,39% 381,4% 9 536,11zª ,45 zª ,00zª 12,67% 409,3% 9 822,95zª ,54 zª ,00zª 15,50% 450,2% ,03zª ,38 zª ,00zª 10,67% 474,5% ,67zª ,75 zª ,00zª 7,00% 483,5% ,48zª 9 490,61 zª 11 0,00 zª Zaproponowany plan spªat obarczony jest pewnymi wadami. Patrz c na wysoko± faktycznego zadªu»enia widzimy,»e przez pierwszych 5 lat ro±nie ono pomimo regularnego pªacenia rat. Wzrost wynika oczywi±cie ze sªabn cej siªy nabywczej waluty 30

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia - O±rodek Ksztaªcenia Zabrania si kopiowania i rozpowszechniania niniejszego regulaminu przez inne podmioty oraz wykorzystywania go w dziaªalno±ci innych podmiotów. Autor regulaminu zastrzega do niego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Oprocentowanie konta 0,10%

Oprocentowanie konta 0,10% KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 )

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 ) Załącznik do uchwały zarządu nr 204 /2015 z dnia 30.12.2015 r. wchodzi w życie z dniem 01.01.2016. r. Tabela kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany Zadanie 1 Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH W BS W WOLBROMIU

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH W BS W WOLBROMIU Załącznik nr 1 do Uchwały nr 15/10/2016 Zarządu Banku Spółdzielczego w Wolbromiu z dnia 24.02.2016r. ( obowiązuje od 01.03.2016 r.) TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH W BS W WOLBROMIU I. Wkłady

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na WIBOR

Kontrakty terminowe na WIBOR Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które Oddział Powiatowy ZNP w Gostyninie Uprawnienia emerytalne nauczycieli po 1 stycznia 2013r. W związku napływającymi pytaniami od nauczycieli do Oddziału Powiatowego ZNP w Gostyninie w sprawie uprawnień

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Prosty okres zwrotu (PP)

Prosty okres zwrotu (PP) Prosty okres zwrotu (PP) Zadanie 1 Określ okres zwrotu dla projektu, którego finansową charakterystykę ujęto w poniższej tabeli. T NI -1 850 100 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 KE 120 500 126 525 132

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T.

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. 1 1 Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. Skrzypek MODEL NAJLEPSZYCH PRAKTYK SYMULACJE KOMPUTEROWE Kraków 2011 Zaproszenie

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego 1.Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy lub pośrednika kredytowego KREDYTODAWCA: POLI INVEST Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością

Bardziej szczegółowo

FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014

FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014 FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014 Wst p Niniejsze opracowanie prezentuje prognoz Rachunku zysków i strat oraz bilansu maj tkowego Spó ki Fundusz Zal kowy KPT na lata 2009-2014. Spó

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

ZASADY REKLAMOWANIA USŁUG BANKOWYCH

ZASADY REKLAMOWANIA USŁUG BANKOWYCH Załącznik do uchwały KNF z dnia 2 października 2008 r. ZASADY REKLAMOWANIA USŁUG BANKOWYCH Reklama i informacja reklamowa jest istotnym instrumentem komunikowania się z obecnymi jak i potencjalnymi klientami

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik do uchwały Zarzadu z dnia 29-01-2016 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska 2016 1 Spis treści:

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy

Bardziej szczegółowo

Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność. Polecenie 5. Zadaniem controllingu jest pomiar wyniku finansowego

Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność. Polecenie 5. Zadaniem controllingu jest pomiar wyniku finansowego Polecenie 1. Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością jest podmiotem w pełni bezosobowym. Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność Polecenie 3.W WZA osobą najważniejszą

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ?

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? Za pośrednictwem platformy inwestycyjnej DIF Freedom istnieje wiele sposobów inwestowania w ropę naftową. Zacznijmy od instrumentu, który jest związany z najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym

Bardziej szczegółowo

Regulamin programu "Kredyt Hipoteczny Banku BPH. Obowiązuje od dnia: 26.11.2014 r.

Regulamin programu Kredyt Hipoteczny Banku BPH. Obowiązuje od dnia: 26.11.2014 r. Regulamin programu "Kredyt Hipoteczny Banku BPH Obowiązuje od dnia: 26.11.2014 r. 1 Rozdział I Postanowienia ogólne 1 Zakres Przedmiotowy Niniejszy Regulamin określa zasady ustalania warunków cenowych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy

Bardziej szczegółowo

Umowa kredytu. zawarta w dniu. zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika Powiatu.

Umowa kredytu. zawarta w dniu. zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika Powiatu. Umowa kredytu Załącznik nr 5 do siwz PROJEKT zawarta w dniu. między: reprezentowanym przez: 1. 2. a Powiatem Skarżyskim reprezentowanym przez: zwanym dalej Kredytobiorcą, przy kontrasygnacie Skarbnika

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 19 września 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I półroczu 2014 r. 1 W końcu czerwca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych

Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych (obowiązuje od 1 stycznia 2014 r.) 1/6 Rozdział I. Oprocentowanie Rachunku Oszczędnościowo-Rozliczeniowego RACHUNEK OSZCZĘDNOŚCIOWO- ROZLICZENIOWY

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU

WSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

ZMIANY W EMERYTURACH Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH OD DNIA 01.01.2013R.

ZMIANY W EMERYTURACH Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH OD DNIA 01.01.2013R. ZMIANY W EMERYTURACH Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH OD DNIA 01.01.2013R. 1 Proces wydłużenia wieku emerytalnego Ustawa z dnia 11 maja 2012r. o zmianie ustawy o emeryturach i rentach z Funduszu Ubezpieczeń

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Nowa Ruda

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Nowa Ruda Załącznik Nr 3 do Uchwały nr 106/XIII/15 Rady Gminy Nowa Ruda z dnia 29 grudnia 2015 roku Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Nowa Ruda Ustawa z dnia 27 sierpnia 2009 roku o finansach

Bardziej szczegółowo

Inflacja zjada wartość pieniądza.

Inflacja zjada wartość pieniądza. Inflacja, deflacja Inflacja oznacza wzrost cen. Inflacja jest wysoka, gdy ceny kupowanych dóbr i towarów rosną szybko; gdy ceny rosną powoli, wówczas inflacja jest niska. Inflacja jest to trwały wzrost

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 18 czerwca 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 W końcu marca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300?

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Zadania powtórzeniowe I Adam Narkiewicz Makroekonomia I Zadanie 1 (5 punktów) Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Przypominamy

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W NOWYM DWORZE MAZOWIECKIM

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W NOWYM DWORZE MAZOWIECKIM Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 40/2016 Zarządu Banku Spółdzielczego w Nowym Dworze Maz. z dnia 06.04.2016 r. TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W NOWYM DWORZE MAZOWIECKIM Tabela 1. Rachunki

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r.

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Spis treści: 1. Wstęp... 3 2. Fundusze własne... 4 2.1 Informacje podstawowe... 4 2.2 Struktura funduszy własnych....5

Bardziej szczegółowo

3. Gdyby w gospodarce kraju X funkcja inwestycji (4) miała postać I = f (R)

3. Gdyby w gospodarce kraju X funkcja inwestycji (4) miała postać I = f (R) 1. W ostatnich latach w Polsce dochody podatkowe (bez cła) stanowiły A. Około 60% dochodów budżetu B. Około 30% dochodów budżetu C. Około 90% dochodów budżetu D. Około 99% dochodów budżetu E. Żadne z powyższych

Bardziej szczegółowo

Analiza CVP koszty wolumen - zysk

Analiza CVP koszty wolumen - zysk Analiza CVP koszty wolumen - zysk Na podstawie: W.F. Samuelson, S.G. Marks, Ekonomia Menedżerska, PWE, Warszawa 2009 1 Próg rentowności model w ujęciu księgowym 2 Analiza koszty wolumen zysk- CVP Cost

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste poziom Arkusz podstawowy

Liczby rzeczywiste poziom Arkusz podstawowy Liczby rzeczywiste poziom Arkusz podstawowy I Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 6. (6 Zadanie. (6 Źródło: CKE 5 (PP), zad. 6. Dane s zbiory liczb rzeczywistych: A : B : 8 6 Zapisz w postaci przedziaów

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Co ma najwyższy potencjał zysku w średnim terminie? Typy inwestycyjne na 12 miesięcy Subfundusz UniStrategie Dynamiczny UniKorona Pieniężny

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W NIECHOBRZU

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W NIECHOBRZU Załącznik nr 1 do uchwały nr 5/I/2013 Zarządu Banku Spółdzielczego w Niechobrzu z dnia 22.01.2013 r. BANK SPÓŁDZIELCZY W NIECHOBRZU. TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W NIECHOBRZU

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

Informacja. Nr 56. Wydatki budżetu państwa w 1992 r. na cele związane z budownictwem i gospodarką mieszkaniami. Małgorzata Wiśnicka-Hińcza

Informacja. Nr 56. Wydatki budżetu państwa w 1992 r. na cele związane z budownictwem i gospodarką mieszkaniami. Małgorzata Wiśnicka-Hińcza KANCELARIA SEJMU BIURO STUDIÓW I EKSPERTYZ WYDZIAŁ ANALIZ EKONOMICZNYCH I SPOŁECZNYCH Wydatki budżetu państwa w 1992 r. na cele związane z budownictwem i gospodarką mieszkaniami Lipiec 1992 Małgorzata

Bardziej szczegółowo

Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień 2011r.

Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień 2011r. Załącznik nr 17/XXXVIII/11 do Uchwały Zarządu Banku z dnia 22.12.2011r. Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy. Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj

Bardziej szczegółowo

TABELA PROWIZJI I OPŁAT BROKERSKICH ZA WIADCZENIE USŁUG BROKERSKICH PRZEZ DOM MAKLERSKI PENETRATOR SA

TABELA PROWIZJI I OPŁAT BROKERSKICH ZA WIADCZENIE USŁUG BROKERSKICH PRZEZ DOM MAKLERSKI PENETRATOR SA TABELA PROWIZJI I OPŁAT BROKERSKICH ZA WIADCZENIE USŁUG BROKERSKICH PRZEZ DOM MAKLERSKI PENETRATOR SA. DLA KLIENTÓW, KTÓRZY PODPISALI Z DOMEM MAKLERSKIM PENETRATOR SA UMOW O WIADCZENIE USŁUG BROKERSKICH

Bardziej szczegółowo