Zastosowania matematyki

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowania matematyki"

Transkrypt

1 Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126

2 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 2 / 126

3 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 3 / 126

4 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 4 / 126

5 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 5 / 126

6 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 6 / 126

7 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 7 / 126

8 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 8 / 126

9 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 9 / 126

10 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 10 / 126

11 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 11 / 126

12 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 12 / 126

13 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 13 / 126

14 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 14 / 126

15 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 15 / 126

16 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 16 / 126

17 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 17 / 126

18 Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono go o 20%? 6% + 20% 6% = = , 012 = = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = = , 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 18 / 126

19 Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono go o 20%? 6% + 20% 6% = = , 012 = = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = = , 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 19 / 126

20 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 20 / 126

21 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 21 / 126

22 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 22 / 126

23 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 23 / 126

24 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 24 / 126

25 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 25 / 126

26 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 26 / 126

27 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 27 / 126

28 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 28 / 126

29 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 29 / 126

30 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 30 / 126

31 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 31 / 126

32 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 32 / 126

33 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 33 / 126

34 Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = czyli stopa procentowa jest równa 18%. = / 126

35 Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = czyli stopa procentowa jest równa 18%. = / 126

36 Nominalna stopa procentowa Stopa nominalna r n, to stopa podawana przez banki lub inne instytucje nansowe, bez uwzgl dnienia takich czynników jak inacja, deacja, ryzyko, niepewno± itp. 36 / 126

37 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 37 / 126

38 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 38 / 126

39 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 39 / 126

40 Zasada Fischera Hipoteza Fishera - wy»sza inacja prowadzi do odpowiednio wy»szych nominalnych stóp procentowych st d r real = rn i 1 + i r n = r real (1 + i) + i Irving Fisher 40 / 126

41 Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = = 2.754% 41 / 126

42 Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = = 2.754% 42 / 126

43 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 43 / 126

44 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 44 / 126

45 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 45 / 126

46 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 46 / 126

47 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 47 / 126

48 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 48 / 126

49 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 49 / 126

50 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 50 / 126

51 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 51 / 126

52 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 52 / 126

53 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 53 / 126

54 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 54 / 126

55 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 55 / 126

56 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 56 / 126

57 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 57 / 126

58 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 58 / 126

59 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 59 / 126

60 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 60 / 126

61 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 61 / 126

62 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 62 / 126

63 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126

64 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126

65 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126

66 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126

67 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 67 / 126

68 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 68 / 126

69 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 69 / 126

70 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 70 / 126

71 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 71 / 126

72 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 72 / 126

73 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 73 / 126

74 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 74 / 126

75 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 75 / 126

76 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 76 / 126

77 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 77 / 126

78 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 78 / 126

79 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 79 / 126

80 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 80 / 126

81 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 81 / 126

82 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 82 / 126

83 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 83 / 126

84 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 84 / 126

85 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 85 / 126

86 Przykªad Obliczmy odsetki proste od po»yczki 15 tys zª, udzielonej na okres od 5 marca do 18 sierpnia przy rocznej stopie 11.5%. I = P v rt = % t = t = 1725 t Liczba dni pomi dzy 5.03 a wynosi w roku kalendarzowym 166 w roku bankowym 163 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k = zª = zª liczba lat t b = zª = zª 86 / 126

87 Stopa podokresowa Podokresem oprocentowania nazywamy dowolny okres b d cy ustalon cz ±ci roku, stop podokresow nazywamy stop procentow ustalon dla tego podokresu. Oznaczmy k - liczba podokresów, których ª czna dªugo± jest równa dªugo±ci roku r k - stopa podokresowa m k - czas oprocentowania wyra»ony w podokresach Odsetki w podokresie obliczmy ze wzoru I = P v r k m k Warto± kapitaªu ko«cowego liczymy ze wzoru F v = P v (1 + r k m k ) Najcz stsze podokresy póªrocze k = 2 kwartaª k = 4 miesi c k = 12 tydzie«k = 52 dzie«k = / 126

88 Przykªad Odsetki za kredyt w wysoko±ci zª, wynosz 18454zª kwartalnie. Oblicz stop kwartaln tego kredytu. k = 4, I = 1845zª, P v = 90000zª, m 4 = 1, I = P v r 4m 4 r 4 = I = 1845 = = 2.05% P v m / 126

89 Zasada równowa»no±ci stóp procentowych Stopy procentowe s równowa»ne, je±li przy ka»dej z nich kapitaª pocz tkowy P v generuje w czasie t odsetki I o identycznej warto±ci. Mno» c podokresow stop r k przez odpowiadaj cy jej parametr k, otrzymamy równowa»n roczn stop r. Dziel c roczn stop r przez k, otrzymamy podokresow stop równowa»n dla podokresu, którego dªugo± jest równa 1/k roku. 89 / 126

90 Przykªad 2 Pewien klient ulokowaª w banku kwot 2600zª. Po jakim czasie otrzyma on odsetki w wysoko±ci 390zª, je»eli stopa procentowa wynosi 1.25% kwartalnie? roczna stopa procentowa wynosi obliczamy czas trwania lokaty t t = r = 1.25% 4 = 5% I P v r = % = = = 3 90 / 126

91 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 91 / 126

92 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 92 / 126

93 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 93 / 126

94 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 94 / 126

95 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 95 / 126

96 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 96 / 126

97 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 97 / 126

98 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 98 / 126

99 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 99 / 126

100 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 100 / 126

101 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 101 / 126

102 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 102 / 126

103 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 103 / 126

104 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 104 / 126

105 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 105 / 126

106 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126

107 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126

108 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126

109 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126

110 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126

111 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126

112 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«

Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze« Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 )

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 ) Załącznik do uchwały zarządu nr 204 /2015 z dnia 30.12.2015 r. wchodzi w życie z dniem 01.01.2016. r. Tabela kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik do uchwały Zarzadu z dnia 29-01-2016 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska 2016 1 Spis treści:

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Santander Consumer Bank S.A.

Santander Consumer Bank S.A. Santander Consumer Bank S.A. Stosowane stawki oprocentowania środków na rachunkach bankowych - depozyty; terminy kapitalizacji odsetek Aktualna oferta depozytowa Banku LOKATA DIRECT+ Oprocentowanie, wg

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany Zadanie 1 Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na WIBOR

Kontrakty terminowe na WIBOR Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Oprocentowanie konta 0,10%

Oprocentowanie konta 0,10% KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Analiza instrumentów pochodnych

Analiza instrumentów pochodnych Analiza instrumentów pochodnych Dr Wioletta Nowak Wykład 2-3 Kontrakt forward na przyszłą stopę procentową Kontrakty futures na długoterminowe instrumenty procentowe Swapy procentowe Przykład 1 Inwestor

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Uniwersytet Szczeciński 7 grudnia 2017 r. Wartość pieniądza w czasie, siła procentu składanego, oprocentowanie rzeczywiste, nominalne i realne

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy. Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH

REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH Tekst jednolity -Załącznik do Zarządzenia Członka Zarządu nr 53/2002 z dnia 04.03.2002 B a n k Z a c h o d n i W B K S A REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH Poznań, 22

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych

Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych (obowiązuje od 1 stycznia 2014 r.) 1/6 Rozdział I. Oprocentowanie Rachunku Oszczędnościowo-Rozliczeniowego RACHUNEK OSZCZĘDNOŚCIOWO- ROZLICZENIOWY

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

1. Oprocentowanie LOKATY TERMINOWE L.P. Nazwa Lokaty Okres umowny Oprocentowanie w skali roku. 9 miesięcy 2,30%

1. Oprocentowanie LOKATY TERMINOWE L.P. Nazwa Lokaty Okres umowny Oprocentowanie w skali roku. 9 miesięcy 2,30% Duma Przedsiębiorcy 1/5 TABELA OPROCENTOWANIA AKTUALNIE OFEROWANYCH LOKAT BANKOWYCH W PLN DLA OSÓB FICZYCZNYCH PROWADZĄCYCH DZIAŁALNOŚĆ GOSPODARCZĄ (Zaktualizowana w dniu 27 kwietnia 2015 r.) 1. Oprocentowanie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Zagregowany popyt i wielkość produktu

Zagregowany popyt i wielkość produktu Zagregowany popyt i wielkość produktu Realny PKB Burda & Wyplosz MACROECONOMICS 4/e Fluktuacje cykliczne Rys.4.01 (+) odchylenie Trend długookresowy Faktyczny PKB (-) odchylenie 0 Czas Oxford University

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

1. Oprocentowanie LOKATY TERMINOWE L.P. Nazwa Lokaty Okres umowny Oprocentowanie w skali roku. 4. Lokata CLOUD-BIZNES 4 miesiące 3,00%/2,00% 1

1. Oprocentowanie LOKATY TERMINOWE L.P. Nazwa Lokaty Okres umowny Oprocentowanie w skali roku. 4. Lokata CLOUD-BIZNES 4 miesiące 3,00%/2,00% 1 Duma Przedsiębiorcy 1/6 TABELA OPROCENTOWANIA AKTUALNIE OFEROWANYCH LOKAT BANKOWYCH W PLN DLA OSÓB FICZYCZNYCH PROWADZĄCYCH DZIAŁALNOŚĆ GOSPODARCZĄ (Zaktualizowana w dniu 24 kwietnia 2015 r.) 1. Oprocentowanie

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA. OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym w Nowym Sączu

BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA. OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym w Nowym Sączu Załącznik do Uchwały Nr 13 z dnia 05.03.2015 r. Zarządu Banku Spółdzielczego w Nowym Sączu BANK SPÓŁDZIELCZY W NOWYM SĄCZU TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH dla klientów indywidualnych w Banku

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik nr 1 do uchwały Zarzadu nr 24/Bs/2012 z dnia 27-11-2012 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska

Bardziej szczegółowo

6. " 8& #% " L przedstawiono dwa. Wariant 1. % R k 5 & 6!! stopie oprocentowania i =,.%!*! Wariant 2. % V k 5 & 6!! stopie oprocentowania j = -.%!*!

6.  8& #%  L przedstawiono dwa. Wariant 1. % R k 5 & 6!! stopie oprocentowania i =,.%!*! Wariant 2. % V k 5 & 6!! stopie oprocentowania j = -.%!*! Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 6. " 8& #% " L przedstawiono dwa "%% Wariant 1 9%")% - *% % R k 5 & 6!! stopie oprocentowania i =,.%!*! R R 1 k P R k 1 Q1 dla k {2, 3,..., 20} Wariant 2 9%")% - *% %

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym

Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Wykład 5, 6 Renata Karkowska, Wydział Zarządzania 1 Wykład 5 - cel 5. Tradycyjne i awangardowe miary efektywności portfelowej Pojęcie benchmarku,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik nr 1 do uchwały Zarzadu z dnia 05-03-2015 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska 2015 1 Spis

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Załącznik nr 1 do uchwały Zarzadu nr 26/BS/2014 z dnia 14-10-2014 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Skrypt 4. Liczby rzeczywiste: Opracowanie L5

Skrypt 4. Liczby rzeczywiste: Opracowanie L5 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 4 Liczby rzeczywiste: 26.

Bardziej szczegółowo

ZESTAWIENIE INFORMACJI O WARUNKACH SPŁATY KREDYTÓW HIPOTECZNYCH WYRAŻONYCH W CHF (02.11.2015-06.11.2015)

ZESTAWIENIE INFORMACJI O WARUNKACH SPŁATY KREDYTÓW HIPOTECZNYCH WYRAŻONYCH W CHF (02.11.2015-06.11.2015) ZESTAWIE INFORMACJI O WARUNKACH SPŁATY KREDYTÓW HIPOTECZNYCH WYRAŻONYCH W CHF (02.11.2015-06.11.2015) Informacje prezentowane w zestawieniu dotyczą wyłącznie okresu 02.11.2015-06.11.2015. Nie obejmują

Bardziej szczegółowo

czyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M).

czyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M). akroekonomia I, wiczenia 8-9 Jan Hagemejer odel IS-L Wst p Do tej pory analiza polityki gospodarczej abstraowaªa od sfery monetarnej. Analizowali±my wyª cznie polityk skaln. Co wi cej, uznawali±my,»e wszystkie

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo