W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

Transkrypt

1 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna setna pewnej wielko±ci. To po prostu skrócony zapis uªamka 1. Przykªady: 1% = 1, 15% = 15 1 = 15 30% = 0, 30, = 0, 15, liczba 20 stanowi 20% liczby : 20 = 20% liczby = 0, 2. W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: znajdowanie procentu danej liczby, obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, znajdowanie liczby, której dany procent jest inn liczb. 2.2 Znajdowanie procentu danej liczby Aby obliczy p% liczby x, zamieniamy p% na uªamek (zwykªy: mno»ymy przez x. Przykªady. 25% liczby 150 = = = 37, 5; 4 37% liczby 11 = 0, = 4, 07; 4, 05% liczby 24 = 0, = 0, 972; 600% liczby 13 = = 6 13 = 78. p lub dziesi tny: 0, 01p) i 2.3 Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba Aby obliczy, jakim procentem liczby a jest liczba b, nale»y pomno»y uªamek b przez %. a Przykªad. Jakim procentem liczby a jest liczba b, je±li: (a) a = 20, b = 4; (b) a = 5000, b = 9; (c) a = 21, b = 63. Rozwi zanie.

2 (a) (b) (c) b % = 4 % = 4 5% = 20%, zatem liczba 4 stanowi 20% liczby 20; a 20 b % = 9 % = 9 % = 0, 18%, zatem liczba 9 stanowi 0,18% liczby 5000; a b 63 % = % = 3 % = 300%, zatem liczba 63 stanowi 300% liczby 21. a Znajdowanie liczby, której dany procent jest inn liczb Najªatwiej zobaczy, o co chodzi na przykªadzie. Przykªad. Znajdziemy liczb x, tak»e: (a) 55% liczby x jest równe 44; (b) 0,2% liczby x jest równe 3. Rozwi zanie. (a) (b) Rozwi zujemy równanie: 55% liczby x = 44, 0, 55 x = 44, x = 44, 0,55 x = 80. Rozwi zujemy równanie: 0,2% liczby x = 3, 0, 002 x = 3, x = 3, 0,002 x = Poj cie punktu procentowego Gdy rozpatrujemy zmian pewnej wielko±ci, która sama jest wyra»ona w procentach, mo»e doj± do pewnych nieporozumie«. Zobaczmy to na przykªadzie. Przykªad. Inacja wynosiªa 5%, a nast pnie wzrosªa o 20%. Ile teraz wynosi inacja? Rozwi zanie. Poniewa» inacja wzrosªa o 20%, jej obecna warto± stanowi %+20% z warto±ci 5%, to znaczy: (% + 20%) liczby 5 = 120% liczby 5 = 1, 2 5 = 6(%). Mogªoby si wydawa,»e inacja, wzrastaj c o 20%, powinna teraz wynosi 25%. Ale jest to bª dne rozumowanie. Aby unikn nieporozumie«, wprowadza si poj cie punktu procentowego. Jest to ró»nica mi dzy dwiema warto±ciami danej wielko±ci podanymi w procentach. Na przykªad: inacja, wzrastaj c z poziomu 5% do poziomu 6%, zwi kszyªa si o 1 punkt procentowy (ale nie o 1 procent); inacja, wzrastaj c z poziomu 5% do poziomu 25%, zwi kszyªa si o 20 punktów procentowych (ale nie o 20 procent).

3 2.6 Przykªadowe zadania Rozwi»my jeszcze kilka przykªadowych zada«na procenty. Zadanie 1. Maksymalna dªugo± nart skoczka narciarskiego wynosi 146% jego wzrostu, przy czym otrzymany wynik zaokr gla si do 1 cm. Jak najwi ksz dªugo± mog mie narty skoczka, który ma 169 cm wzrostu? Rozwi zanie. Obliczamy i zaokr glamy do peªnych centymetrów: 146% liczby 169 = 1, = 246, 74 (cm) 246, Odpowied¹. Narty skoczka mog mie maksymalnie 247 cm dªugo±ci. Zadanie 2. Na wycieczk pojechaªo 7 dziewczyn, które stanowiªy 43,75% liczby wszystkich uczestników wycieczki. Ile osób pojechaªo na wycieczk? Rozwi zanie. Oznaczmy liczb osób, które pojechaªy na wycieczk przez x. Rozwi zujemy równanie: 43, 75% liczby x = 7 Odpowied¹. Na wycieczk pojechaªo 16 osób. 43, 75 x = 7 x = , 75 = 16 Zadanie 3. Pan Marek zªo»yª w banku 2400 zª na trzymiesi czn lokat o staªym oprocentowaniu. Odsetki po trzech miesi cach wyniosªy 19,20 zª. Jakie byªo oprocentowanie tej lokaty w skali roku? Rozwi zanie. Po roku odsetki wyniosªyby 4 19, 20 = 76, 80 (zª), zatem oprocentowanie lokaty w skali roku jest równe: 76, 80 % = 3, 2% 2400 Odpowied¹. Oprocentowanie lokaty w skali roku jest równe 3,2%. Zadanie 4. Oprocentowanie trzymiesi cznej lokaty spadªo z poziomu 8% do poziomu 6%. O ile procent spadªo oprocentowanie tej lokaty? O ile punktów procentowych spadªo? Rozwi zanie. 8% 6% = 2%, zatem oprocentowanie spadªo o 2 punkty procentowe. 2 8 % = 25%, zatem oprocentowanie spadªo o 25%. Odpowied¹. Oprocentowanie lokaty spadªo o 25%, czyli o 2 punkty procentowe.

4 Zadanie 5. Ze kg mleka o zawarto±ci 3,8% tªuszczu odci gni to 10 kg ±mietanki zawieraj cej 20% tªuszczu. Ile procent tªuszczu zawiera odtªuszczone mleko? Rozwi zanie. Mleko przed odtªuszczeniem zawieraªo 3,8 kg = 3, 8 kg tªuszczu. Po odci gni ciu ±mietanki ubyªo 20% z 10 kg, czyli 2 kg tªuszczu. Zatem obecnie odtªuszczone mleko zawiera 1,8 kg tªuszczu. Ponadto masa odtªuszczonego mleka jest równa 90 kg (odj li±my 10 kg ±mietanki od kg mleka). Zatem odtªuszczone mleko zawiera tªuszczu. 1, 8 90 % = 2% Odpowied¹. Odtªuszczone mleko zawiera 2% tªuszczu. Zadanie 6. Janek hoduje rybki akwariowe. Rok temu rybki»yworodne stanowiªy 20% liczby wszystkich rybek w akwarium Janka. Obecnie liczba rybek»yworodnych jest o 50% wi ksza, a liczba rybek jajorodnych zwi kszyªa si o 18,75%. Jaki procent wszystkich rybek stanowi obecnie rybki»yworodne? Rozwi zanie. Oznaczmy przez x liczb wszystkich rybek w akwarium rok temu. Wtedy liczba rybek»yworodnych wynosiªa 0, 2x, a wi c liczba rybek jajorodnych wynosiªa x 0, 2x = 0, 8x. Teraz liczba rybek»yworodnych jest równa (% + 50%) 0, 2x = 1, 5 0, 2x = 0, 3x, natomiast liczba rybek jajorodnych wynosi teraz 118, 75% 0, 8x = 1, , 8x = 0, 95x. Zatem liczba wszystkich rybek jest równa obecnie 0, 3x+0, 95x = 1, 25x, czyli rybki»yworodne stanowi 0,3x % = 24% 1,25x liczby wszystkich rybek. Odpowied¹. Obecnie rybki»yworodne stanowi 24% wszystkich rybek. 2.7 Zadania do rozwi zania Mam nadziej,»e powy»sze przykªady pozwoliªy Ci zrozumie poj cie procentu. W celu utrwalenia zdobytej wiedzy rozwi» poni»sze zadania. 1. Oblicz (a) 24% liczby 120; (b) 0,8% liczby 2,5; (c) 250% liczby 8; (d) jakim procentem liczby 400 jest liczba 76; (e) jakim procentem liczby 35 jest liczba 1050; (f) jakim procentem liczby 16 jest liczba 0,01; (g) o ile procent liczba 50 jest wi ksza od liczby 40; (h) o ile procent liczba 40 jest mniejsza od liczby 50; (i) liczb, której 24% jest równe 17,28; (j) liczb, której 150% jest równe 90.

5 2. W sonda»u z grudnia 2009 poparcie spoªeczne dla Donalda Kaczy«skiego wynosiªo 40%. Sonda» ze stycznia 2010 wykazaª,»e poparcie to zmalaªo o 5 punktów procentowych. Ile wynosiªo poparcie dla Donalda Kaczy«skiego w styczniu 2010 i o ile procent zmalaªo w stosunku do grudnia 2009? 3. Pogªowie wielbª dów na ±wiecie wynosi 19,4 mln sztuk, z czego 6,1 mln to wielbª dy»yj ce w Somalii. Jaki procent ±wiatowego pogªowia wielbª dów»yje w Somalii? Wynik zaokr glij do dziesi tej cz ±ci procentu. 4. Pan Kowalski wpªaciª 5000 zª na póªroczn lokat o rocznym oprocentowaniu 4,4%. Wiedz c,»e banki potr caj 19-procentowy podatek od odsetek, oblicz, o jak kwot powi kszyª si stan konta pana Kowalskiego po 6 miesi cach od momentu zaªo»enia lokaty. 5. W 210 kg nasion zanieczyszczenia stanowi 8%. Ile kg zanieczyszcze«nale»y usun, aby nasiona zawieraªy 3,4% zanieczyszcze«? 6. Ewa w w dniu imienin dostaªa od kole»anek dwie czekolady o ró»nych masach. Jeszcze tego samego dnia zjadªa caª mniejsz czekolad. Nast pnego dnia zjadªa 40% wi kszej czekolady i zauwa»yªa,»e zjadªa o 20% wi cej czekolady ni» dnia poprzedniego. Wyznacz stosunek mas czekolad. 7. Litr benzyny przed zmianami cen kosztowaª 4,20 zª. Po pierwszej zmianie cen podro»aª o 20%, za± po drugiej zmianie jego cena zmalaªa o 20%. Ile kosztowaª litr benzyny po drugiej zmianie cen? Czy jego cena zmieniªa si w porównaniu z cen przed zmianami? Je±li tak, to o ile procent? Po tej lekcji powiniene± umie : posªugiwa si poj ciem procentu w rozwi zywaniu zada«; rozumie poj cie punktu procentowego i odró»nia je od poj cia procentu. Je±li masz jeszcze jakie± trudno±ci, po wicz wi cej lub zapisz si na kurs. Szczegóªy znajdziesz na stronie W razie jakichkolwiek pyta«lub w tpliwo±ci dotycz cych przerabianego materiaªu wy±lij maila na adres biuro@torus.edu.pl lub zadzwo«pod numer Zawsze mo»esz liczy na nasz pomoc. Nast pna lekcja: Pot gi. Odpowiedzi do zada«: 1. (a) 28,8; (b) 0,02; (c) 20; (d) 19%; (e) 3000%; (f) 0,0625% (g) 25%; (h) 20%; (i) 72; (j) %; 12,5% ,4% ,10 zª kg.

6 6. 1: ,032 zª; cena zmniejszyªa si o 4%.

7 Regulamin 1. Wªa±cicielem wszelkich praw autorskich jest Akademia Matematyki TORUS, prowadzona przez rm LEMONET Šukasz Kidzi«ski, zarejestrowan w Brwinowie przy ul. K pi«skiej 14a Brwinów, zwan dalej TORUS. 2. TORUS zobowi zuje si dystrybuowa niniejsz publikacj, zwan dalej Kursem. Kurs rozpowszechniany jest w±ród osób zapisanych do mailingu poprzez stron zwanych dalej U»ytkownikami. 3. Jedynym ±rodkiem dystrybucji Kursu jest mailing na stronie internetowej 4. Kurs rozpowszechniany jest na bezpªatnej licencji, która pozwala na nieograniczone korzystanie z kursu wyª cznie przez U»ytkowników. 5. Kurs mo»e by kopiowany i rozpowszechniany wyª cznie przez TORUS. Rozpowszechnianie kursu bez wiedzy lub zgody wªa±ciciela podlega karze grzywny zgodnie z Kodeksem Cywilnym. 6. TORUS zastrzega sobie prawo do wprowadzenia zmian w regulaminie. 7. TORUS nie gwarantuje przesªania kopii kursu w przypadku powstaªej awarii pliku Kursu lub utracenia go w inny sposób przez U»ytkownika. 8. TORUS doªo»yª wszelkich stara«, by Kurs byª wolny od wirusów, ale nie odpowiada za wszelkie szkody wynikªe podczas jego u»ytkowania.