Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

Transkrypt

1 Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać w postaci p q i wówczas: A. q p brzmi: Jeżeli n jest równa 2 i jest liczbą nieparzystą to n nie jest liczbą pierwszą; B. p q brzmi: n jest liczbą pierwszą i n jest różną od 2 liczbą parzystą ; C. Udowadniając twierdzenie nie wprost wyjdziemy z założenia, że: n jest liczbą pierwszą i n jest różna od 2 i n nie jest liczbą nieparzystą i dojdziemy do sprzeczności; D. Udowadniając twierdzenie przez zaprzeczenie wyjdziemy z założenia, że: n jest różną od 2 liczbą parzystą i dojdziemy do wniosku, że n nie jest liczbą pierwszą Zadanie 2. Na 11 półkach układamy 157 książek. Z zasady szufladkowej wiemy, że: A. na każdej półce jest co najmniej jedna książka; B. na każdej półce jest co najmniej 14 książek; C. istnieje półka, na której jest co najmniej 15 książek; D. istnieją co najmniej 3 półki zawierające co najmniej 15 książek każda; E. jeśli na jednej półce nie ma książek, to na każdej innej jest co najmniej 15 książek; F. jeśli na jednej półce nie ma książek, to na pewnej półce jest co najmniej 16 książek; G. jeśli na jednej półce nie ma książek, to istnieje 7 półek zawierających co najmniej 16 książek każda; Zadanie 3. Mamy 150 studentów informatyki. 60 z nich lubi wykłady z Matematyki Dyskretnej. Tyle samo lubi wykłady z Teorii Mnogości i 50 studentów lubi wykłady z Analizy. 20 studentów lubi wszystkie trzy z tych wykładów. Nie ma studenta, który lubi dokładnie dwa z tych trzech wykładów. Wtedy: A. 20 studentów nie lubi żadnego z tych wykładów. 1

2 B. Wykład z Analizy lub z Teorii Mnogości lubi 90 studentów. C. 20 studentów lubi wykład z Analizy i wykład z Matematyki Dyskretnej. D. 130 studentów lubi co najmniej jeden z tych trzech wykładów. Zadanie 4. Uniwersytet w Matlandii ma trzy wydziały: W1, W2, W3. Z W1 do W2 (i z W2 do W1) można dotrzeć na cztery sposoby (tramwajem nr 1, tramwajem nr 2, autobusem nr 10 lub pieszo). Z W2 do W3 (i z W3 do W2) można dotrzeć na 3 sposoby (tramwajem nr 3, autobusem nr 12, autobusem nr 11). Z W1 do W3 można dotrzeć tylko przez W2. Zakładamy, że tylko w W2 można się przesiadać: A. Z W1 do W3 można dotrzeć na sposoby. B. Jeśli założymy, że nie idziemy pieszo, to z W1 do W3 możemy dotrzeć na sposoby. C. z W1 do W3 i z powrotem, zakładając, że przez W2 przechodzimy dokładnie 2 razy, można dotrzeć na sposobów. D. z W1 do W3 i z powrotem, zakładając, że przez W2 przechodzimy dokładnie 2 razy i z żadnego środka transportu nie skorzystamy 2 razy pod rząd, można dotrzeć na sposobów. Zadanie 5. Dana jest 20-osobowa klasa ( ) A. mamy podziałów (nieuporządkowanych) tej klasy na dwie połowy po 10 uczniów; B. mamy ( ) )( 9 podziałów tej klasy na dwie grupy o liczebnościach 11 i 9; C. mamy 20! podziałów tej klasy na trzy grupy o liczebnościach 11, 5 i 4; 11!5!4! D. mamy 20 ( ) 19 9 wyborów 10-osobowej delegacji z tej klasy z wyróżnionym liderem; E. mamy ( ) wyborów 10-osobowej delegacji z tej klasy z wyróżnionym liderem; Zadanie 6. Mamy do dyspozycji po 15 kul w kolorach: niebieski, biały, czerwony oraz 5 ponumerowanych pudełek. Kule w tym samym kolorze sa nierozróżnialne. Do każdego z pudełek wkładamy dokładnie jedną kulę. Wtedy: A. jest 3 5 różnych ułożeń kul w pudełkach B. jest 5 3 różnych ułożeń kul w pudełkach C. jeżeli ponumerujemy kule (staną się one rozróżnialne), to jest 45 5 różnych ułożeń kul w pudełkach 2

3 D. jeżeli ponumerujemy kule (staną się one rozróżnialne), to jest (15) 5 różnych ułożeń kul w pudełkach Zadanie 7. Podzbiorów zbioru {1, 2,..., 20}, które nie zawierają ani 8, ani 18 mamy A ; B. ( ) ; C. tyle samo co ciągów binarnych długości 18; D. tyle samo co podzbiorów zbioru {1, 2,..., 20}, które zawierają co najmniej jeden z elementów 8 i 18; E. tyle samo co podzbiorów zbioru {1, 2,..., 20}, które zawierają zarówno element 8 jak i element 14; F ( ) Zadanie 8. Wykorzystując litery ze zbioru X = {A, B, C, D, E, F, G, H, I}, można utworzyć A. 5 9 różnych słów (mających lub nie mających sensu) długości 5, w których litery mogą się powtarzać. B słów (mających lub nie mających sensu) długości 5, w których A występuje co najmniej raz i litery mogą sie powtarzać. C słów (mających lub nie mających sensu) długości 9, w których A występuje co najmniej raz i litery mogą sie powtarzać. D. (9) 5 (8) 5 słów długości 5, zawierających literę A i w których litery nie mogą sie powtarzać. E słów (mających lub nie mających sensu) długości 5, zawierających literę A, które nie mogą mieć B na żadnym z pierwszych dwóch miejsc i litery nie mogą sie powtarzać. Zadanie 9. 17! 2!6!8! jest: A. liczbą podziałów zbioru 17 elementowego na 4 niepuste podzbiory o mocy kolejno: 1, 2, 6, 8; B. liczbą permutacji z powtórzeniami pseudozbioru: {A, A, B, B, B, B, B, B, C, C, C, C, C, C, C, C} 3

4 C. współczynnikiem wielomianowym wielomianu (a + b + c + d) 17 przy czynniku a 1 b 2 c 6 d 8 D. współczynnikiem wielomianowym wielomianu (a + b + c + d) 17 przy czynniku a 8 b 6 c 1 d 2 E. współczynnikiem wielomianowym wielomianu (a + b + c + d) 17 przy czynniku a 8 b 6 c 0 d 2 Zadanie osób podróżujących windą 12-piętrowego budynku może ją opuścić na (winda może się zatrzymać na każdym piętrze i każda osoba opuszcza windę dokładnie jeden raz) 12! A. sposobów; 7! B. ( ) 12 5 sposobów; C sposobów; D sposobów; Zadanie 11. Rozwiązań równania x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, gdzie x 1, x 2, x 3, x 4 są liczbami całkowitymi nieujemnymi oraz dodatkowo x 2 2, mamy: A. ( ) ( ) ; B. ( ) C. ( ) ( ) ( ) ; D ; Zadanie 12. Dany jest ciąg a 1, a 2, a 3,..., gdzie a n+1 = 2 n+2 n a n dla n 1 oraz a 1 = 1. Wtedy A. dla każdego n 1 mamy a n = 2 n 2 (n+1)! (n 1)! ; B. dla każdego n 1 mamy a n = 2 n 2 n(n + 1); C. dla każdego n 1 mamy a n = 2 n 1( ) n+1 2 ; 4

5 D. W dowodzie indukcyjnym punktu A stwierdzenie: k 2 (k + 1)! a k = 2 (k 1)!, k 1 jest poprawnym założeniem indukcyjnym dla n = k E. Jeżeli w dowodzie indukcyjnym punktu B stwierdzenie: a k 1 = 2 k 3 (k 1)k, k 2 jest założeniem indukcyjnym dla n = k 1, to stwierdzenie: a k = 2 k 2 k(k + 1), k 2 jest poprawnie sformułowaną tezą indukcyjną dla n = k. F. W dowodzie kroku indukcyjnego użyjemy najpierw zależności rekurencyjnej a następnie założenia indukcyjnego. G. W dowodzie kroku indukcyjnego użyjemy najpierw założenia indukcyjnego a następnie zależności rekurencyjnej. Zadanie 13. Dany jest ciąg spełniający zależność rekurencyjną a n = 4a n 1 + b a n 2, n 2, dla którego a 0 = 0, a 1 = 1. Wtedy: A. równanie charakterystyczne powyższej zależności to x 2 4x b = 0; B. równanie charakterystyczne powyższej zależności to x 2 = 4x + b; C. równanie charakterystyczne powyższej zależności to x 2 = 4x b; D. równanie charakterystyczne powyższej zależności to bx 2 + 4x 1 = 0; E. jeżeli b = 4 to a n = (C 1 + C 2 n)2 n gdzie C 1 i C 2 spełniają układ równań: (C C 2 ) 1 = 0 (C C 2 ) 2 = 1 F. jeżeli b = 4 to a n = C 1 ( 2) n + C 2 2 n gdzie C 1 i C 2 spełniają układ równań: C 1 + C 2 = 0 ( 2) C C 2 = 1 5

6 G. jeżeli b = 3 to a n = (C 1 + C 2 n) 3 n gdzie C 1 i C 2 spełniają układ równań: (C C 2 ) 1 = 0 (C C 2 ) 3 = 1 H. jeżeli b = 3 to a n = C 1 3 n + C 2 1 n gdzie C 1 i C 2 spełniają układ równań: C C 2 = 1 C C 2 = 4 Zadanie 14. Dany jest ciąg spełniający zależność rekurencyjną dla którego a 0 = 1, a 1 = 1. Wtedy: a n = 4a n 1 + 5a n n+1, n 2, A. jego rozwiązanie szczególne ma postać: 25 6 n 5n ; B. jego rozwiązanie szczególne ma postać: 2 3 ( 1)n n ; C. jego rozwiązanie szczególne ma postać: A n 5 n, gdzie A jest stałą, którą obliczamy z warunków początkowych; D. a n = C 1 ( 1) n + C 2 5 n n 5n gdzie C 1 i C 2 spełniają układ równań: ; C 1 + C 2 = 1 C 1 + 5C = 1 6 6