RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

2 Wybrane przykłady krzywych płaskich

3 Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej zwanej cykloidą. (Nazwa krzywej pochodzi od Galileusza )

4 Cykloida (c. d.) Równania parametryczne cykloidy mają postać x(t) = a(t sin t), y(t) = t(1 cos t)) Otrzymujemy je przyjmując za parametr t kąt jaki tworzą: promień okręgu prostopadły do prostej ( SR ) i promień poprowadzony do wskazanego punktu okręgu ( SP ). W trójkącie PQS: SP = a, kąt = t. Stąd SQ = acost, PQ = asint y a SQ a SP cost Ponieważ OR = PR = at a(1 cost) a y P S Q x = OR PQ = a(t sint). O x R Cykloida jest oczywiście różniczkowalna w sposób ciągły, ale nie jest regularna: r(t) = 0 gdy t jest całkowitą wielokrotnością liczby 2.

5 Ewoluta cykloidy cykloida ewoluta cykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny

6 Wybrane przykłady krzywych Epicykloida Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim styczny zewnętrznie. Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną epicykloidą. okrąg stały okrąg ruchomy epicykloida

7 Wybrane przykłady krzywych Epicykloida (c. d.) Kształt epicykloidy zależy od stosunku długości promieni obu okręgów k a b

8 Przykłady epicykloid Wybrane przykłady krzywych k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 2.1 = 21/10 k = 3.8 = 19/5 k = 5.5 = 11/2 k = 7.2 = 36/5 Epicykloidy, są szczególnym przypadkiem epitrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet.

9 Wybrane przykłady krzywych k = 2

10 Ewoluta epicykloidy epicykloida ewoluta epicykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny

11 Wybrane przykłady krzywych Hipocykloida Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim styczny wewnętrznie. Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną hipocykloidą. okrąg stały okrąg ruchomy hipocykloida

12 Wybrane przykłady krzywych ASTEROIDA x a cos y a sin 3 3 t t okrąg o promieniu a okrąg o promieniu 4a asteroida

13 Przykłady hipocykloid k=3 k=4 - astroida k=5 k=6 k=2,1 k=3,8 k=5,5 k=7,2 Hipocykloidy, są szczególnym przypadkiem hipotrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet.

14 Ruleta, to krzywa którą wyznacza punkt leżący na krzywej toczącej się bez poślizgu po innej krzywej. Przykład rulety jest nią cysoida Dioklesa parabola stała parabola ruchoma ruleta cysoida Dioklesa

15 Konstrukcja cysoidy Dioklesa Krzywe na płaszczyźnie Dany jest okrąg K, o promieniu a i prosta l styczna do okręgu w punkcie A. Z punktu O, będącego końcem średnicy OA okręgu, prowadzimy sieczną przecinającą okrąg w punkcie M 1 i i prostą l w punkcie M 2. Jeżeli na siecznej odłożymy od punktu M 2 odcinek MM 2 = OM 1, to koniec M tego odcinka, dla różnych siecznych, zakreśli krzywą zwaną cysoidą Dioklesa. Rownania okręgu K i prostej l mają postać: K : x l : 2 x 2a 0 Przyjmując za parametr t współczynnik kierunkowy siecznej wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia siecznej, a następnie równania parametryczne cysoidy 2at x 1 t 2at y 1 t 2ax y t R MM 2 = OM 1

16 Obwiednia rodziny krzywych Niech F(x, y, C) = 0 będzie równaniem rodziny krzywych, F jest klasy C 1, C parametrem. Definicja Krzywa K nazywamy obwiednią rodziny krzywych, jeżeli spełnia warunki: krzywa K jest styczna do wszystkich krzywych rodziny, każdy punkt krzywej K jest punktem styczności z pewną krzywą rodziny, żaden łuk krzywej K nie zawiera się w żadnej krzywej rodziny. Umowa: Obwiednią (zdegenerowaną) nazywamy punkt, przez który przechodzą wszystkie krzywe rodziny.

17 krzywe rodziny obwiednia

18 Cykloida jest obwiednią rodziny swoich stycznych oraz okręgów krzywiznowych

19 Twierdzenie Jeśli istnieje obwiednia rodziny krzywych F(x, y, C) = 0, to spełnia ona układ równań 0 ),, ( 0 ),, ( C C y x F C y x F (Dla wyznaczenia równania obwiedni należy wyeliminować z układu parametr C) Uwaga Rozwiązanie powyższego układu równań jest tzw. krzywą wyróżnikową, która nie musi być obwiednią, ale np. zbiorem punktów osobliwych danej rodziny gdy 0 y F x F. Krzywe na płaszczyźnie

20 Przykłady Krzywe na płaszczyźnie Rodzina okręgów danych równaniem 2 2 ( x C) y 1, C R Obwiednia - proste y = 1, oraz y = - 1 Rodzina okręgów danych równaniem ( x C) ( y C) C, CR Obwiednia - osie układu współrzędnych Rodzina okręgów danych równaniem 2 2 ( x cosc) ( y sin C) 1, CR Obwiednia - okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 2. Rodzina prostych normalnych do krzywej K Obwiednia ewoluta krzywej K

21 Zadanie Wykazać, że obwiednią rodziny prostych y - 2Cx + C 2 = 0 jest parabola y = x 2

22 Obwiednią wszystkich położeń prostej ślizgającej się dwoma ustalonymi punktami, odległymi od siebie o a, po osiach układu współrzędnych jest asteroida.

23 Obwiednią do rodziny elips x C y (1 C) 2 1 jest również asteroida.

24 DODATEK

25 Epitrochoida Epitrochoida krzywa zakreślona przez punkt pozostający w stałym położeniu względem koła toczącego się po pewnym nieruchomym okręgu. Równania parametryczne epitrochoidy Krzywe na płaszczyźnie gdzie: R - promień nieruchomego okręgu r - promień toczącego się koła h - odległość punktu od środka koła o promieniu r Jeśli h = r to krzywa przyjmuje postać epicykloidy Jeśli h > r to krzywą nazywamy również epicykloidą wydłużoną Jeśli h < r to krzywą nazywamy również epicykloidą skróconą Jeżeli stosunek R/r jest liczbą niewymierną, otrzymujemy krzywą otwartą. okrąg stały okrąg ruchomy epitrochoida

26 Trójkąt Reuleaux krzywa składająca się z łuków okręgów o środkach i końcach w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jest to figura o stałej szerokości, czyli taka, w której odległość pomiędzy równoległymi prostymi podpierającymi nie zależy od kierunku tych prostych. Pole powierzchni trójkąta wynosi i jest najmniejsze spośród wszystkich figur o stałej szerokości równej d (największe pole powierzchni ma koło). Franz Reuleaux

27 Trójkąt Reuleaux (brzeg pomarańczowego obszaru) czyli część wspólna okręgów o promieniach d i środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku d.

28 Sinik Wankla ~ epitrochoida R/r = 2 wirnik w kształcie zbliżonym do trójkąta Reuleaux (o lekko "spłaszczonych" krawędziach) mimośrodowo umieszczony w korpusie o epitrochoidalnym przekroju

29 Sinik Wankla

30 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ