ODWZOROWANIA JEDNO- I WIELOWARTOŚCIOWE. PODOBIEŃSTWA, RÓŻNICE I PROBLEMY Z TEGO WYNIKAJĄCE.

Transkrypt

1 Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii Uniwersytet Zielonogórski ODWZOROWANIA JEDNO- I WIELOWARTOŚCIOWE. PODOBIEŃSTWA, RÓŻNICE I PROBLEMY Z TEGO WYNIKAJĄCE. Joachim Syga III Konferencja Zastosowań Matematyki w Technice, Informatyce i Ekonomii Gliwice, 19 września 2013

2 Plan referatu: 1. Przykłady i nawiązania. 2. Równania i inkluzje. 3. Problemy.

3 1. Przykłady i nawiązania Sterowanie rakietą. m t ẍ t + m t ẋ t = u t g x t0 = 0 x tk = h tk t 0, t k, t [0, T ] ; t 0 < t k h t położenie rakiety przeciwnika m t masa antyrakiety x t położenie antyrakiety u t siła ciągu antyrakiety

4 m t ẍ t + m t ẋ t = u t g x t0 = 0 x tk H tk t 0, t k, t [0, T ] ; t 0 < t k gdzie H t = ɛ K(h t, ɛ)

5 m t ẍ t + m t ẋ t U t x t0 = 0 x tk = h tk t 0, t k, t [0, T ] ; t 0 < t k gdzie U t = s (u t,s g)

6 m t ẍ t + m t ẋ t U t x t0 = 0 x tk H tk t 0, t k, t [0, T ] ; t 0 < t k gdzie U t = s (u t,s g) oraz H t = ɛ K(h t, ɛ)

7 Zastosowanie w finansach. (Ω, F, {F t } t 0, P ) ξ t = ξ 0 + t 0 θ s da s + t 0 γ s ds s ; t [0, T ] (θ, γ) strategia inwestora A proces cen obligacji S proces cen akcji A t = exp{rt}, r = const S t = S 0 exp{ 1/2α 2 t + αw t }

8 t ξ t = ξ 0 + f s dz s ; t [0, T ] 0 f s = (θ s, γ s ) Z s = (0, S s ) + (A s, 0) = M s + A s ξ t ξ 0 + t 0 F s dz s ; t [0, T ] gdzie F (t, ω) = u f(t, ω, u)

9 2. Równania i inkluzje ẋ(t) = f(x(t)) ẋ(t) F (x(t)) dx t = f(x t )dt + g(x t )dw t dx t = h(x t )dz t dx t F (x t )dz t

10 ẋ(t) = f(x(t)) ẋ(t) F (x(t)) dx t = f(x t )dt + g(x t )dw t dx t = h(x t )dz t K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewski (1965) C. Castaing (1967) J.P.Aubin, A. Cellina (1984) dx t F (x t )dz t

11 ẋ(t) = f(x(t)) ẋ(t) F (x(t)) dx t = f(x t )dt + g(x t )dw t dx t = h(x t )dz t K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewski (1965) K. Itô (1946) P.A.Meyer (1967) C. Castaing (1967) I.I. Gihman, A.V. Skorohod (1972) J.P.Aubin, A. Cellina (1984) P. Protter (1977) dx t F (x t )dz t

12 ẋ(t) = f(x(t)) ẋ(t) F (x(t)) dx t = f(x t )dt + g(x t )dw t dx t = h(x t )dz t dx t F (x t )dz t M. Kisielewicz (1993) N.U. Ahmed (1994) M. Michta (1995) M. Motyl (1995) J.P. Aubin, G. Da Prato (1998)

13 3. Problemy. Równania Wypukłość Inkluzje jest Zwartość trzeba założyć jest Domkniętość trzeba założyć jest Ograniczoność trzeba założyć jest trzeba założyć

14 Równania Inkluzje Wybór jednego rozwiązania problem selekcji nie ma Ciągłość jest określona jednoznacznie różne przypadki ciągłości

15 Ciągłość Równania Inkluzje Definicja Heinego Dolna półciągłość (lsc) Definicja Cauchy ego Górna półciągłość (usc) Definicja Heinego lub Cauchy ego Łącznie lsc i usc = Ciągłość

16 Definicja 1 Multifunkcję F nazywamy górnie półciągłą (usc) w punkcie x 0, jeżeli U F (x0 ) V x 0 : F (V x0 ) U F (x0 ). Definicja 2 Multifunkcję F nazywamy dolnie półciągłą (lsc) w punkcie x 0, jeżeli x n x 0 y 0 F (x 0 ) y n F (x n ) : y n y 0. Inaczej: Definicja 3 Multifunkcję F nazywamy dolnie półciągłą (lsc) w punkcie x 0, jeżeli U-otwartego: F (x 0 ) U V x0 : x V x0 F (x) U.

17 Definicja 4 Selekcją (selektorem) multifunkcji F nazywamy dowolną funkcję f taką, że dla dowolnych x Dom(F ) f(x) F (x). Definicja 5 Selekcją minimalną multifunkcji F : H clh convh, gdzie H- przestrzeń Hilberta, nazywamy funkcję f : H H określoną wzorem f(x) = mf (x), gdzie mf (x)- element o minimalnej normie ze zbioru F (x). Twierdzenie 1 Niech F : H clh convh będzie multifunkcją ciągłą, wtedy minimalna selekcja mf ( ) jest ciągła.

18 Definicja 6 Selekcją barycentryczną multifunkcji F : R n compr n convr n nazywamy funkcję f : x B(F (x) + B ɛ), gdzie B(K) = 1 µ(k) K Id(x)dµ oraz µ- miara w Rn. Twierdzenie 2 Jeżeli F spełnia warunek Lipschitza, to selekcja barycentryczna też spełnia warunek Lipschitza. Uwaga 1 Jeżeli multifunkcja F jest górnie półciągła, to nie ma ciągłej selekcji. Uwaga 2 Istnieją multifunkcje lipschitzowskie, które nie mają selekcji lipschitzowskiej.

19 Definicja 7 Niech F będzie multifunkcją. ɛ-selekcją dla F nazywamy funkcję f ɛ taką, że x dist(f ɛ (x), F (x)) ɛ. Definicja 8 Niech F będzie multifunkcją. Selekcją przybliżoną (graficzną) dla F nazywamy funkcję f taką, że x graphf(x) graphf (x) + ɛb. Twierdzenie 3 Niech X będzie przestrzenią metryczną, Y - przestrzenią Banacha F : X convy będzie multifunkcją dolnie półciągłą, wtedy ɛ > 0 F posiada ciągłą ɛ-selekcję. Twierdzenie 4 Jeżeli F jest górnie półciągła i ma wartości wypukłe, to istnieje ciągła selekcja przybliżona (graficzna) dla F. Uwaga 3 Przy odpowiednich założeniach można budować lipschitzowską selekcję graficzną.

20 Twierdzenie 5 (K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewski) Niech X będzie przestrzenią mierzalną, Y przestrzenią polską multifunkcja F : X cl(y ) będzie mierzalna, wtedy F ma mierzalną selekcję. Twierdzenie 6 (Michaela) Niech X będzie przestrzenią metryczną, Y przestrzenią Banacha, multifunkcja F : X conv(y ) cl(y ) będzie dolnie półciągła, wtedy F ma ciągłą selekcję.

21 (*) ẋ(t) F (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0 Twierdzenie 7 Niech Ω będzie zbiorem otwartym w przestrzeni R R n, F : Ω clr n convr n będzie multifunkcją dolnie półciągłą, wtedy istnieje przedział (t 0 δ, t 0 + δ) oraz funkcja x(t) klasy C 1, która spełnia (*) na przedziale (t 0 δ, t 0 + δ). Twierdzenie 8 (o rozwiązaniu minimalnym) Niech Ω będzie zbiorem otwartym w przestrzeni R R n, F : Ω clr n convr n będzie multifunkcją ciągłą, wtedy istnieje przedział (t 0 δ, t 0 + δ) oraz funkcja x(t) klasy C 1, która spełnia (*) na przedziale (t 0 δ, t 0 + δ) oraz x(t) = mf (t, x(t)). Twierdzenie 9 (o rozwiązaniu...) Niech F : będzie..., wtedy istnieje rozwiązanie klasy C 1 inkluzji (*) spełniające dodatkowo....

22 Literatura [1] Aase K.K., Guttrup P., Estimation in models for security prices, Scand. Actuarial J., 3/4: , [2] J.-P. Aubin, H. Frankowska, Set-valued analysis, Birkhäuser, Boston [3] J.-P. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions, Springer-Verlag, Berlin [4] Kisielewicz M., Differential Inclusions and Optimal Control, Kluwer Acad. Publ. and Polish Sci. Publ., Warszawa - Dordrecht - Boston - London, [5] M. Kisielewicz, M. Michta, M. Motyl, Set Valued Approach to Stochastic Control. Part I (Existence and Regularity Properties), Dynamic Systems and Applications 12 (2003), [6] Z. Wyderka, Teoria sterowania optymalnego, Dynamic of Continuous, Uniwersytet Śląski, Katowice 1987.