O zbiorach małych w polskich grupach abelowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O zbiorach małych w polskich grupach abelowych"

Transkrypt

1 O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

2 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

3 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

4 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

5 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

6 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

7 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

8 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

9 Wstęp [Ch] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), Christensen zdefiniował zbiory zerowe Haara w polskich grupach abelowych (ośrodkowa, zupełna metryczna grupa abelowa) w taki sposób, że w grupach lokalnie zwartych pojęcie to jest równoważne definicji zbioru miary Haara zero. [D] U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Darji zdefiniował zbiory I kat. Haara w polskich grupach abelowych, które są tożsame ze zbiorami pierwszej kategorii Baire a w grupach lokalnie zwartych. X jest polską grupą abelową HN X := {A X : A jest zbiorem zerowym Haara} HM X := {A X : A jest zbiorem I kat. Haara} M X := {A X : A jest zbiorem I kat. Baire a} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

10 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

11 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

12 Wstęp Definicja (Darji [D]) Zbiór A X nazywamy I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest I kat. w K dla wszystkich x X. Twierdzenie 1 (Christensen [Ch]) Rodzina HN X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HN X jest rodziną zbiorów miary Haara zero. Twierdzenie 1* (Darji [D]) Rodzina HM X jest σ-ideałem w X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to HM X = M X ; w przeciwnym razie HM X M X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

13 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór {x X : (A + x) A HN X } jest otoczeniem zera w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

14 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

15 Twierdzenia typu Piccard Twierdzenie 2 (Christensen [Ch]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A HN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HN X } [J1] E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), Twierdzenie 2* (J. [J1]) Dla każdego borelowskiego zbioru A HM X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

16 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

17 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

18 Twierdzenia typu Piccard [G] Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), Twierdzenie 3 (Gajda [G]) Dla każdego n N oraz zbioru uniwersalnie mierzalnego A HN X zbiór {x X : (A + kx) HN X } jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} Twierdzenie 3* (J. [to appear]) Dla każdego n N oraz zbioru borelowskiego A HM X zbiór {x X : jest otoczeniem zera w X. k { n,,...,n} (A + kx) HM X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

19 Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

20 Twierdzenia typu Piccard [ChF] J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), Twierdzenie 4 (Christensen & Fischer [ChF]) Niech A HN X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HN X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

21 Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

22 Twierdzenia typu Piccard [J2] E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). Twierdzenie 4* (J. [J2]) Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Wtedy N {(x 1,..., x N ) X N : A (A + x i ) HM X } i=1 jest otoczeniem zera w X N dla dowolnego N N. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

23 Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

24 Inne podobieństwa Wniosek Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to każdy zbiór σ-zwarty jest zbiorem zerowym Haara oraz zbiorem I kat. Haara. Fakt Każdy zbiór zawierający pewne przesunięcie każdego zbioru zwartego nie jest zbiorem zerowym Haara ani zbiorem I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

25 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

26 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

27 Inne podobieństwa [MS] E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), [M] E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), Twierdzenie 5 (Matou sková & Stegall [MS], Matou sková [M]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest zbiorem zerowym Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami zerowymi Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

28 Inne podobieństwa Twierdzenie 5* (J. [to appear]) Każda ośrodkowa nierefleksywna przestrzeń Banacha zawiera pewnien domknięty zbiór wypukły o pustym wnętrzu, który nie jest I kat. Haara. W każdej ośrodkowej superrefleksywnej przestrzeni Banacha domknięte, nigdziegęste zbiory wypukłe są zbiorami I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

29 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

30 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

31 Inne podobieństwa [MZ] E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. Twierdzenie 6 (Matou sková & Zelený [MZ]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HN X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. Twierdzenie 6* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, to istnieją takie domknięte zbiory A, B HM X, że zbiór (A + x) B jest zwarty dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

32 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

33 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

34 Inne podobieństwa [D1] P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), Twierdzenie 7 (Dodos [D1]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X (tzn. F + G F ), który nie jest zbiorem zerowym Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru zerowego Haara. Twierdzenie 7* (J. [J2]) Jeśli X nie jest lokalnie zwarta, a G jest σ-zwartą podgrupą grupy X, to istnieje taki G-niezmienniczy zbiór F σ w X, który nie jest zbiorem I kat. Haara, ani też dopełnieniem do żadnego zbioru I kat. Haara. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

35 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

36 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

37 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

38 Inne podobieństwa [B] T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep 2015 Niech I będzie ideałem zbiorów A X o następującej własności: istnieje taki zbiór zwarty K X, że zbiór K (x + A) jest I kat. w K dla każdego x X. Twierdzenie 8 (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór zerowy Haara należy do I. Twierdzenie 8* (Banakh [B]) Każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

39 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

40 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

41 Uwagi końcowe Definicja Christensena [Ch] Zbiór A X jest zerowy Haara jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A oraz borelowska miara probabilistyczna µ na X, że µ(x + B) = 0 dla każdego x X. Definicja Darji ego [D] Zbiór A X jest I kat. Haara jeśli istnieje zbiór borelowski B A, przestrzeń metryczna zwarta K i funkcja ciągła f : K X, że f 1 (B + x) M K dla każdego x X. To znaczy, że każdy zbiór zerowy Haara ma tylko jeden parametr poświadczający miarę testującą; każdy zbiór I kat. Haara ma dwa parametry poświadczające poświadczającą przestrzeń oraz poświadczającą funkcję. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

42 Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

43 Uwagi końcowe Proposition 1 (J. [to appear]) Zbiór borelowski B X jest I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka ciągła funkcja f : 2 ω X, że f 1 (B + x) jest zbiorem I kat. w 2 ω dla każdego x X. Zatem każdy zbiór I kat. Haara ma w rzeczywistości tylko jeden parametr poświadczający funkcję poświadczającą. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

44 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

45 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

46 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

47 Uwagi końcowe [D2] P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), P(X ) przestrzeń wszystkich miar probabilistycznych na X ; przestrzeń polska z metryką Lévy ego ρ zdefiniowaną wzorem ρ(µ, ν) := inf{δ 0 : µ(a) ν(a δ ) + δ i ν(a) µ(a δ ) + δ}, gdzie A δ := {x X : d(x, A) δ}. Dla każdego zbioru uniwersalnie mierzalnego A X T (A) := {µ P(X ) : µ(x + A) = 0 dla każdego x X }. Twierdzenie (Dodos [D2]) Jeśli A HN X jest uniwersalnie mierzalny, to: T (A) jest gęsty w P(X ); jeśli A jest σ-zwarty, P(X ) \ T (A) jest zbiorem I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

48 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

49 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

50 Uwagi końcowe [D3] P. Dodos, The Steinhaus property and Haar-null sets, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), Definicja (Dodos [D3]) Zbiór A X jest gen. zbiorem zerowym Haara, jeśli P(X ) \ T (A) jest I kat. w P(X ). Twierdzenie (Dodos [D3]) GHN HN Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. zbiorem zerowym Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

51 Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

52 Uwagi końcowe Definicja (Banakh [B]) Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli L(A) := {K exp(x ) : x X K (x + A) M K } jest dopełnieniem do zbioru I kat. w exp(x ), gdzie exp(x ) jest przestrzenią wszystkich niepustych zbiorów zwartych w X z topologią Vietorisa. Twierdzenie (Banakh [B]) Jeśli A X jest analityczny, ale nie jest gen. I kat. Haara, to A A jest II kat. w X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

53 Uwagi końcowe Jeśli I jest ideałem takich zbiorów A X, że: to: istnieje zbiór zwarty K X, dla którego K (x + A) M K dla każdego x X, I HM X ; każdy domknięty zbiór I kat. Haara należy do I. Nie wiemy, czy ogólnie I HM X, a więc czy L(A) dla dowolnego zbioru I kat. Haara A X (dwa problemy Darji ego). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

54 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

55 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

56 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

57 Uwagi końcowe C(2 ω, X ) przestrzeń funkcji ciągłych f : 2 ω X ; przestrzeń polska. Dla każdego zbioru borelowskiego A X W (A) := {f C(2 ω, X ) : f 1 (x + A) M 2 ω dla każdego x X }. Definicja Zbiór A X jest gen. I kat. Haara, jeśli C(2 ω, X ) \ W (A) jest I kat. w C(2 ω, X ). Problem 1* Niech A X będzie zbiorem borelowskim, który nie jest gen. I kat. Haara. Czy A A jest II kat. w X? Problem 2* Niech A HM X będzie zbiorem borelowskim. Czy to prawda, że: W (A) jest gęsty w C(2 ω, X ); jeśli A jest σ-zwarty, to jest gen. I kat. Haara? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

58 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

59 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

60 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

61 Uwagi końcowe Proposition 2 (folklor) Niech A X będzie zbiorem uniwersalnie mierzalnym. Jeśli A HN X, to dla każdej lokalnie zwartej grupy L i każdej funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) jest miary dodatniej Haara w L dla pewnego x 0 X. Proposition 2* (J. [to appear]) Niech A X będzie zbiorem borelowskim. Zbiór A nie jest zbiorem I kat. Haara wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej L i funkcji ciągłej g : L X zbiór g 1 (A + x 0 ) nie jest I kat. w L dla pewnego x 0. Problem Co z implikacją przeciwną w Proposition 2? Jeśli implikacja ta nie jest prawdziwa... E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

62 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

63 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

64 Uwagi końcowe Definicja (J. [to appear]) Zbiór A X nazywamy Darji null jeśli istnieje uniwersalnie mierzalny zbiór B A, lokalnie zwarta grupa K oraz ciągła funkcja f : K X, że zbiór f 1 (B + x) jest miary Haara zero w K dla każdego x X. Proposition (J. [to appear]) Rodzina DN X zbiorów zerowych Darji ego w X jest σ-ideałem oraz DN X HN X. Jeśli ponadto X jest lokalnie zwarta, to DN X = HN X. Twierdzenie (J. [to appear]) Dla każdego uniwersalnie mierzalnego zbioru A DN X zbiór jest otoczeniem zera w X. {x X : (A + x) A DN X } E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

65 Uwagi końcowe T. Banakh, The closed Steinhaus properties of σ-ideals on topological groups, arxiv: v1 [math.gn] 30 Sep J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israel J. Math. 13 (1972), J.P.R. Christensen, P. Fischer, Small sets and a class of general functional equations, Aequationes Math. 33 (1987), U.B. Darji, On Haar meager sets, Topology Appl. 160 (2013), Z. Gajda, Christensen measurability of polynomial functions and convex functions of higher orders, Ann. Polon. Math. 47 (1986), P. Dodos, Dichotomies of the set of test measures of a Haar null set, Israel J. Math. 144 (2004), E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

66 Uwagi końcowe P. Dodos, On certain regularity properties of Haar-null sets, Fund. Math. 181 (2004), E. Jabłońska, Some analogies between Haar meager sets and Haar null sets in abelian Polish groups, J. Math. Anal. Appl. 421 (2015), E. Jabłońska, A theorem of Piccard s type in abelian Polish groups, Anal. Math. 42 (2016), (in print). E. Matou sková and C. Stegall, A characterization of reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 124, E. Matou sková, Convexity and Haar null sets, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), E. Matou sková, M. Zelený, A note on intersections of non Haar null sets, Colloq. Math. 96 (2003), 1-4. E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica / 22

Konstrukcja przestrzeni metrycznej sztywnej i κ-superuniwersalnej

Konstrukcja przestrzeni metrycznej sztywnej i κ-superuniwersalnej Konstrukcja przestrzeni metrycznej sztywnej i κ-superuniwersalnej Wojciech Bielas 24 września 2014 r. Przestrzeń Urysohna W 1927 roku opublikowana została praca w której P. Urysohn skonstruował zupełną

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym

Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym zbiorze. [1] T. Banakh, O. Chervak, T. Martynyuk, M. Pylypovych,

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta

Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej Poznań, 13.05.2017 r. Pojęcia wstępne u - funkcja użyteczności u : R R, u - ciągła, ściśle

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta

O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta Krzysztof RYKACZEWSKI Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu SNA 2011 Toruń, 10 września 2011

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo 2007

DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo 2007 DENJOY DAWNIEJ I DZIŚ P. Walczak, Będlewo 2007 1. Klasycznie: przykład i twierdzenie Denjoy on S 1. 2. Ogólnie: pewne działania grupy Z d na S 1. 3. Szkic dowodu: wędrówki losowe po grupach. 4. Wymiar

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH

MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Zadania z Koncentracji Miary I

Zadania z Koncentracji Miary I Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

O geometrii zbiorów wypukłych

O geometrii zbiorów wypukłych MATEMATYKA STOSOWANA 5, 2004 Maria Moszyńska (Warszawa) O geometrii zbiorów wypukłych Geometria opisuje obiekty spotykane w życiu codziennym, przyrodzie, medycynie, technice. Oczywiście, opisuje je, abstrahując

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza rzeczywista Kod

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

KRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego

KRATY BANACHA. Marek Kosiek. Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego KRATY BANACHA Marek Kosiek Wykład monograficzny dla studentów Uniwersytetu Jagiellońskiego Spis treści Rozdział 1. Kraty wektorowe i operatory dodatnie 5 1. Kraty wektorowe 5 2. Operatory dodatnie 7 3.

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna

Twierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna Artur Ulikowski Politechnika Gdańska 10 marca 2009 o liczbach pierwszych Legendre, badając rozkład liczb pierwszych, postawił następującą hipotezę: Niech π(x)

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK. Adam Kwela KOMBINATORYCZNE I DESKRYPTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW NA ZBIORACH PRZELICZALNYCH

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK. Adam Kwela KOMBINATORYCZNE I DESKRYPTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW NA ZBIORACH PRZELICZALNYCH INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK Adam Kwela KOMBINATORYCZNE I DESKRYPTYWNE WŁASNOŚCI IDEAŁÓW NA ZBIORACH PRZELICZALNYCH Rozprawa doktorska przygotowana pod kierunkiem prof. dr. hab. Piotra

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste

Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Miara i całka skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste c Grzegorz Plebanek (2009) wersja γ (2013) Spis treści 0 Wiadomości wstępne 1 0.1

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Rynek, opcje i równania SDE

Rynek, opcje i równania SDE Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż

Bardziej szczegółowo

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 3W E, 3C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 3W E, 3C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Teoria miary i całki Measure and Integration Theory Kod przedmiotu: Poziom

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii continuów

Wybrane zagadnienia teorii continuów Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna I*

Analiza Funkcjonalna I* Analiza Funkcjonalna I* Rafał Latała 22 stycznia 2012 Skrypt ten zawiera notatki do wykładu z Analizy Funkcjonalnej I* przeprowadzonego na Wydziale Matematyki, Mechaniki i Informatyki Uniwersytetu Warszawskiego

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna Wykłady

Analiza funkcjonalna Wykłady Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.. Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Analiza funkcjonalna

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013 Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2015)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2015) Prace Koła Mat. Uniw. Ped. w Krak. 2 (2015), 45-56 edagogicznego w Krakowie PKoło Matematyków Uniwersytetu Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2015) Aurelia Bartnicka 1 Dynamika

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH

WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH UNIWERSYTET JAGIELLO SKI WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT MATEMATYKI WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH DOMINIK MIELCZAREK Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Grzegorza Lewickiego

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Kierunek matematyka Praca dyplomowa magisterska Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Promotor: dr Paweł Gładki

Bardziej szczegółowo