Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
|
|
- Roman Andrzejewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 1 / 16
2 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 2 / 16
3 Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
4 Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
5 Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? P(końcowa wartość portfela roszczenie) = max (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
6 Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? P(końcowa wartość portfela roszczenie) = max Ta sama struktura w przypadku grupy 1000 ubezpieczonych, z których każdy po przeżyciu 20 lat dostanie wypłatę max(s , 0). (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
7 Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
8 Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
9 Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. Będziemy przyjmować, że stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 0 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
10 Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. Będziemy przyjmować, że stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 0 Wiedza zwykłego inwestora jest modelowana przez F. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
11 Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
12 Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
13 Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
14 Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} Przykład: G=X T+ɛ, G = 1 {XT+ɛ>100}, G = 1 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
15 Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} Przykład: G=X T+ɛ, G = 1 {XT+ɛ>100}, G = 1 Wówczas dla prawie wszystkich ω istnieje pochodna Radona-Nikodyma p g (ω) P[G A F T ](ω) = p g (ω)p[g dg] P p.w. ω Ω A (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
16 Definicja P F Symbolem P F będziemy oznaczać zbiór wszystkich równoważnych miar martyngałowych dla filtracji F. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 6 / 16
17 Definicja P F Symbolem P F będziemy oznaczać zbiór wszystkich równoważnych miar martyngałowych dla filtracji F. Przykładowy element P F Zdefiniujmy miarę P za pomoca równości d P ( { dp := exp m σ W T 1 m ) 2 T} 2 σ Wówczas P P F (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 6 / 16
18 Definicja P G P G będzie oznaczać zbiór równoważnych miar martyngałowych dla filtracji G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 7 / 16
19 Definicja P G P G będzie oznaczać zbiór równoważnych miar martyngałowych dla filtracji G. Lemat (Amendinger, 1999) Niech miara R będzie dana formuła R(A) := A d P dp F T p G dp. Wtedy F T jest niezależne od σ(g) w mierze R, ponadto R = P na F T i R = P na σ(g), a zatem R P G (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 7 / 16
20 Strategia samofinansujaca Strategia samofinansujaca (V 0, ξ) jest zdefiniowana przez G 0 -mierzalna zmienna losowa V 0 0 P-p.w. interpretowana jako kapitał poczatkowy oraz poprzez G-prognozowalny proces ξ będacy integrandem względem X. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 8 / 16
21 Strategia samofinansujaca Strategia samofinansujaca (V 0, ξ) jest zdefiniowana przez G 0 -mierzalna zmienna losowa V 0 0 P-p.w. interpretowana jako kapitał poczatkowy oraz poprzez G-prognozowalny proces ξ będacy integrandem względem X. Strategia dopuszczalna Strategię samofinansujac a (V 0, ξ) nazywamy dopuszczalna, jeśli odpowiadajacy jej proces bogactwa V zdefiniowany przez V t = V 0 + t 0 ξ s dx s t [0, T], P p.w. spełnia warunek V t 0, P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 8 / 16
22 Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
23 Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 Niech (D i ) i=1,...n będa F T -mierzalnymi zmiennymi losowymi i 0 D 1 < D 2 <... < D n P-p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
24 Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 Niech (D i ) i=1,...n będa F T -mierzalnymi zmiennymi losowymi i 0 D 1 < D 2 <... < D n P-p.w. Będziemy rozważać firmę ubezpieczeniowa, która w chwili T będzie musiała wypłacic kwotę D E. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
25 Produkt ubezpieczeniowy typu equity linked n = 3 D 1 = 0 D 2 = max(x 20, 50000) D 3 = 3 2 max(x 20, 50000) (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 10 / 16
26 Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
27 Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n w F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
28 Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n w F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Twierdzenie (Klusik & Palmowski, 2008) Niech sekwencja zbiorów (A i ) i=1,2,...n oznacza rozwiazanie Drugiego Problemu. Strategia super replikujaca roszczenie 1 A D E E jest rozwiazaniem Głównego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
29 Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 12 / 16
30 Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Można zauważyć, że dla każdej równoważnej miary martyngałowej Q P G mamy: E Q [1 AE D E G 0 ] E Q [ max i=1,2,...,n 1 Ai D i G 0 ] = E R [ max 1 Ai D i G 0 ] i=1,2,...,n (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 12 / 16
31 Lemat (Klusik & Palmowski, 2008) Dla α = (α 1,..., α n ) i sekwencji zbiorów (A i ) i=1,2,...n zdefinujmy miarę R α formuła dr α dp = dr dp [ n j=1 1 {max i(d i 1 Ai )=D j 1 Aj } [ 1 {E j} 1 p j α j (1 p j ) + α j 1 {E=j} ] ] Wtedy R α P G. Ponadto: lim iα i 1 pi E Rα [1 AE D E G 0 ] = E R [max(1 Ai D i ) G 0 ] i (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 13 / 16
32 Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
33 Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Trzeci Problem Znaleźć sekwencję zbiorów A 1 A 2... A n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem [ n ] E R G0 1 Ai D i Ṽ 0 i=1 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
34 Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Trzeci Problem Znaleźć sekwencję zbiorów A 1 A 2... A n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem [ n ] E R G0 1 Ai D i Ṽ 0 i=1 Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Niech (A i ) i=1,2,...n będzie rozwiazaniem Trzeciego Problemu. Wówczas (A i ) i=1,2,...n jest rozwiazaniem także Drugiego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
35 Twierdzenie(Klusik & Palmowski 2008) Niech C i = (D i D i 1) dr dp dla i > 2 oraz C 1 = D 1 dr dp i à n = {p n kc n > 0} à n 1 = {p n 1 kc n Ãn (p n kc n ) > 0} à n 2 = {p n 2 kc n Ãn 1 (p n 1 kc n Ãn (p n kc n )) > 0} i A i := j i à j Załóżmy, że G 0 -mierzalna zmienna losowa k jest wybrana w taki sposób, że E R [ n i=1 D i 1 A i G 0 ] = Ṽ 0. Wówczas sekwencja A i, i = 1, 2..., n jest rozwiazaniem Trzeciego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 15 / 16
36 Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Zdefiniujmy rozszczenie warunkowe H H = n i=1 D i 1 A i gdzie A i sa zdefiniowane jak w poprzednim twierdzeniu. Rozważmy strategię (Ṽ 0, ξ) będac a idealnym zabezpieczeniem (perfect hedge) dla H,tj.: H = E R [H G 0 ] + T ξ s dx s = Ṽ T ξ s dx s Wówczas (Ṽ 0, ξ) jest super replikujac a strategia 1 A D E E a więc jest rozwiazaniem Głównego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 16 / 16
37 Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Zdefiniujmy rozszczenie warunkowe H H = n i=1 D i 1 A i gdzie A i sa zdefiniowane jak w poprzednim twierdzeniu. Rozważmy strategię (Ṽ 0, ξ) będac a idealnym zabezpieczeniem (perfect hedge) dla H,tj.: H = E R [H G 0 ] + T ξ s dx s = Ṽ T ξ s dx s Wówczas (Ṽ 0, ξ) jest super replikujac a strategia 1 A D E E a więc jest rozwiazaniem Głównego Problemu. Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( T V 0 + P 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 16 / 16
Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński
czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1.
1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu
Bardziej szczegółowor u du. Proces wartości aktywów firmy V. Proces bariery v wykorzystywany do zdefiniowania defaultu. moment defaultu τ.
Wprowadzenie Mamy ustalone T > 0 horyzont, (Ω, F, P) z F filtracja, F = {F t } t [0,T ] oraz Proces chwilowej stopy procentowej r = (r t ) t [0,T ], tzn. rachunek bankowy spełnia ODE: db t = B t r t dt,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe
Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014
Bardziej szczegółowoProblem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego
Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólna praca z I. Czarna Zagadnienia aktuarialne: teoria i praktyka, Wrocław Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 90...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji, dla której zachodzi prawo Hardy ego- Weinberga dla loci o dwóch allelach A i a proporcja osobników o genotypie AA wynosi
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoXLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoWstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka
Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoDetekcja rozkładów o ciężkich ogonach
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoSkładki i rezerwy netto
ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2015 Biomatematyka
Biomatematyka Rozpatrzmy chorobę, która rozprzestrzenia się za pośrednictwem nosicieli, u których nie występują jej symptomy. Niech C(t) oznacza liczbę nosicieli w chwili t. Zakładamy, że nosiciele są
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowoTeoria ze Wstępu do analizy stochastycznej
eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoWłasność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky
Własność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky ego Marek Kałuszka Michał Krzeszowiec Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia
Bardziej szczegółowo1. Przyszła długość życia x-latka
Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2
JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowo