O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta
|
|
- Marta Lewandowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O problemie sterowania aproksymacyjnego dla semiliniowych inkluzji różniczkowych w przestrzeniach Hilberta Krzysztof RYKACZEWSKI Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu SNA 2011 Toruń, 10 września 2011 Krzysztof RYKACZEWSKI 1/23
2 Sformułowanie problemu Załóżmy, że H jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Problem: { y (t) Ay(t) + F ( t, y(t) ) + Bu(t), dla t J := [0, T ], T > 0, y(0) = x 0 H. (1) Krzysztof RYKACZEWSKI 2/23
3 Sformułowanie problemu Definicja 1. Przez rozwiązanie inkluzji (1) rozumiemy łagodne rozwiązanie, tj. y C(J, H) będące postaci t t y(t) = y(t; u) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + S A (t s)bu(s) ds, (2) 0 0 gdzie f (t) F ( t, y(t) ), dla p.w. t J, oraz u L 2 (J, U). Krzysztof RYKACZEWSKI 3/23
4 Historia i motywacja Przypadek hiperboliczny: [OZ09] (α) A: D(A) H H jest domkniętym operatorem generującym C 0 półgrupę liniowych ograniczonych operatorów S = { S A (t) := e At} t 0. (ψ0) F : J H H ma zwarte i wypukłe wartości; (ψ1) F (, x): J H ma mierzalny selektor dla każdego x H; (ψ2) dla p.w. t J multifunkcja F (t, ): H H jest u.s.c.; (ψ3) dla każdego ograniczonego podzbioru Ω H istnieje funkcja µ Ω L 1( J, [0, + ) ) taka, że χ H ( F (t, Ω) ) µω (t)χ H (Ω); (3) (β) B : L 2 (J, U) H jest ciągłym liniowym operatorem. Krzysztof RYKACZEWSKI 4/23
5 Historia i motywacja Definicja 2. Powiemy, że układ (1) jest całkowicie sterowany na odcinku J, jeśli dla każdego x 0, x 1 H istnieje u L 2 (J, U) takie, że łagodne rozwiązanie problemu (1) spełnia y(0; u) = x 0, y(t ; u) = x 1. Twierdzenie 3 ([OZ09]). Jeśli liniowa cześć zagadnienia (1) jest całkowicie sterowalna, to całkowicie sterowalny jest też układ zaburzony. Przypadek paraboliczny: [DM02], [M08] Krzysztof RYKACZEWSKI 5/23
6 Uwaga 4. Triggiani pokazał [T77, T80], że jeśli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha i B jest zwartym operatorem, lub S A (t) jest zwarty dla każdego t J, to problem (1) nie jest nigdy całkowicie sterowalny. Definicja 5. Układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na odcinku J jeśli dla każdego x 0 H mamy R(T, x 0 ) = H, gdzie R(T, x 0 ) := {y(t ; u) u L 2 (J, U), y(0; u) = x 0 } jest zbiorem osiągalnym dla układu (1) z stanu początkowego x 0 w czasie końcowym T. Krzysztof RYKACZEWSKI 6/23
7 Uwaga 4. Triggiani pokazał [T77, T80], że jeśli H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha i B jest zwartym operatorem, lub S A (t) jest zwarty dla każdego t J, to problem (1) nie jest nigdy całkowicie sterowalny. Definicja 5. Układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na odcinku J jeśli dla każdego x 0 H mamy R(T, x 0 ) = H, gdzie R(T, x 0 ) := {y(t ; u) u L 2 (J, U), y(0; u) = x 0 } jest zbiorem osiągalnym dla układu (1) z stanu początkowego x 0 w czasie końcowym T. Krzysztof RYKACZEWSKI 6/23
8 Założenia Liniowa część: (A) A: D(A) H H jest domkniętym operatorem generującym zwartą C 0 półgrupę liniowych ograniczonych operatorów S = { S A (t) } t 0, tzn. dla każdego t > 0 operator S A (t) L(H) jest zwarty. Wielowartościowe zaburzenie F : J H H (por. [GK] i [OZ09]): (F0) F ma słabo zwarte i wypukłe wartości; (F1) F (, x): J H ma mierzalny selektor dla każdego x H; (F2) dla p.w. t J multifunkcja F (t, ): H H jest u.h.c.; (F3) dla każdego ograniczonego podzbioru Ω H istnieje funkcja µ Ω L 1( J, [0, + ) ) taka, że F (t, x) = sup z F (t,x) z µ Ω (t), dla p.w. t J, x Ω; (4) (B) B : L 2 (J, U) H jest ciągłym liniowym operatorem. Krzysztof RYKACZEWSKI 7/23
9 Rodzaje ciągłości Odwzorowanie φ jest górnie półciągłe (lub u.s.c.) jeśli zbiór φ 1 (A) := {x X φ(x) A } jest domknięty dla każdego domkniętego podzbioru A Y ; odwzorowanie φ jest dolnie półciągłe (lub l.s.c.) jeśli zbiór φ 1 (U) = {x X φ(x) U } jest otwarty dla każdego otwartego podzbioru U Y. Odwzorowanie φ: X H jest górnie hemiciągłe (lub u.h.c.), jeśli dla każdego p H funkcja X x σ φ(x) (p) := sup y φ(x) p, y R {+ } jest górnie półciągła (jako rozszerzona funkcja rzeczywista). Krzysztof RYKACZEWSKI 8/23
10 Operator Nemitskĭı ego P F : C(J, H) L 1 (J, H): P F (y) = { f L 1 (J, H) f (t) F ( t, y(t) ), dla p.w. t J }. (5) Łatwo widać, że P F (y) jest wypukły dla każdego y C(J, H). Udowodnimy teraz kilka prostych własności operatora P F. Lemat 6 (por. [GK]). Niech y C(J, H) i F : J H H spełnia (F0) (F3). Wtedy istnieje przynajmniej jedna całkowalna w sensie Bochnera selekcja f F (, y( ) ). Innymi słowy, operator Nemitskĭı ego ma niepuste wartości. Fakt 7 (por. [GK]). Operator P F jest ciągowo u.h.c. o słabo zwartych wartościach. Krzysztof RYKACZEWSKI 9/23
11 Wygodnym jest w tym miejscu wprowadzić dwa pomocnicze operatory i założenia na nie. H T 0 = T 0 S A (T s)bb S A(T s) ds : H H, R(α, H T 0 ) = (αi + H T 0 ) 1 : H H. Krzysztof RYKACZEWSKI 10/23
12 Jest znanym fakt [DM02], że warunek (HBA) αr(α, H T 0 ) 0, gdy α 0+ w silnej topologii operatorowej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy { y (t) = Ay(t) + Bu(t), y(0) = x 0 (6) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 11/23
13 Rozwiązanie problemu Istnienie sterowalności aproksymacyjnej jest równoważne rozwiązywalności natępującego układu równań: u(t) = u α x 1,f (t) = B S A(T t)r(α, H T 0 )p(f ), (7) t t y(t) = y α (t) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + S A (t s)bux α 1,f (s) ds, (8) 0 0 gdzie T p(f ) = x 1 S A (T )x 0 S A (T s)f (s) ds i f P F (y). 0 Krzysztof RYKACZEWSKI 12/23
14 W tej części prezentacji będziemy starali się rozwiązać problem (1) za pomocą teorii punktów stałych odwzorowań wielowartościowych. W tym celu dla α > 0 definiujemy operator S α : L 1 (J, H) C(J, H) za pomocą wzoru ( S α f ) t (t) = S A (t)x 0 + S A (t s)f (s) ds + 0 t 0 S A (t s)bu α x 1,f (s) ds, dla f L 1 (J, H). Krzysztof RYKACZEWSKI 13/23
15 Problem punktu stałego Rozważmy operator Γ α : C(J, H) C(J, H) dany wzorem Γ α (y) = { z C(J, H) z(t) = ( S α f ) (t), dla f P F (y) }, dla α > 0. (9) Wnisek 8 (por. [OZ09]). Operator Γ α = S α P F jest u.s.c. i ma zwarte wartości, dla α > 0. Pokażemy, że operatory Γ α mają punkty stałe. Krzysztof RYKACZEWSKI 14/23
16 Możemy teraz sformułować główny rezultat. Twierdzenie 9. Załóżmy, że założenia (A), (B), (F0), (F1) oraz (F2) są spełnione. Ponadto załóżmy, że mamy (F3 ) istnieje N L 1( J, [0, + ) ) takie, że sup F (t, x) N(t) dla p.w. t J. (10) x H Wówczas jeśli aproksymacyjnie sterowalny jest układ liniowy, to układ (1) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 15/23
17 Niech J = [0, T ] i W = [0, π]. Mamy model układu sterowania zdefiniowany na J W : y(t,z) t = 2 y(t,z) z + φ ( t, z, y(t, z), v(t, z) ) + Bu(t, z), 2 t J, z W, y(0, z) = y 0 (z), na {0} W, y(t, z) = 0 na J W, (11) gdzie u( ) L 2 (J, U). Intensywność źródeł może być sterowana za pomocą mierzalnej funkcji v : J L 2( W, R ), która spełnia warunek sprzężenia zwrotnego v(t) V ( y(t, ) ), t J, gdzie V : L 2( W, R ) L 2( W, R ) jest odwzorowaniem u.s.c o wypukłych i słabo zwartych wartościach, które jest globalnie ograniczone: dla każdego y L 2 (W, R), gdzie Q > 0. V (y) Q, Krzysztof RYKACZEWSKI 16/23
18 Definiujemy nieskończenie wymiarową przestrzeń U { } U = u = u n e n (θ) un 2 < L 2 (W, R), n=2 n=2 2 gdzie e n (θ) = π sin(nθ), 0 θ π, n = 1, 2,.... Norma w U jest zdefiniowana jako u = n=2 u2 n. Absolutne sterowanie jest zdefiniowane przez operator B : U L 2( W, R ) z przestrzeni Hilberta U dany wzorem (Bu)(θ) = 2u 2 e 1 (θ) + u n e n (θ), dla u = u n e n U. n=2 n=2 Krzysztof RYKACZEWSKI 17/23
19 Zakładamy, że funkcja φ spełnia następujące warunki: (φ1) φ(,, y, v): W R R jest mierzalna dla każdych y, v R, (φ2) φ(t, z, y, v) α(t, z) + β(t, z) v dla każdych y, v R, gdzie α, β L 2( J W, [0, ) ), (φ3) (y, v) φ(t, z, y, v) jest ciągła dla każdych t J, z W, (φ4) v φ(t, z, y, v) jest wypukła dla każdych z W, t J, y R. Krzysztof RYKACZEWSKI 18/23
20 Możemy teraz przepisać nasz problem jako problem sterowania inkluzją ewolucyjną w przestrzeni Hilberta H. { y (t) Ay(t) + F ( t, y(t) ) + Bu(t), t J, (12) y(0) = y 0. Odwzorowanie F spełnia założenie (F3 ). Podobnie można pokazać, że F (t, ) jest mierzalna dla p.w. t J i F (, x) jest u.h.c. dla wszystkich x H (zob. [G06]). Krzysztof RYKACZEWSKI 19/23
21 Jako warunek wystarczający dla układu liniowego, żeby był aproksymacyjnie sterowalny sformułujmy Twierdzenie 10. Jeśli mamy, że B S A(t)x = 0 na J x = 0, to układ liniowy (13) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Z Twierdzenia 10, układ liniowy odpowiadający problemowi (12) jest aproksymacyjnie sterowalny. Twierdzenie 11. y (t) = Ay(t) + Bu(t) (13) Przy założeniach (φ1) (φ4) układ (11) jest aproksymacyjnie sterowalny na J. Krzysztof RYKACZEWSKI 20/23
22 Bibliografia I Aubin, J.-P., Ekeland, I., Applied nonlinear analysis. Wiley, New York. Carmichael, N., Quinn, M. D., Distributed Parameter Systems Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 75. Springer-Verlag, Berlin, Ch. Fixed point methods in nonlinear control, pp Dauer, J. P., Mahmudov, N. I., Approximate controllability of semilinear functional equations in Hilbert spaces. J. Math. Anal. Appl. 273, Diestel, J., Remarks on weak compactness in l 1 (µ, x). Glasgow Math. J. 18, Gabor, D., Kryszewski, W., to appear. The generalized Krasnosel ski formula and bifurcation problem. George, R. J., Approximate controllability of nonautonomous semilinear systems. Nonlinear Anal. 24, Górniewicz, L., Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Topological Fixed Point Theory and Its Applications. Springer-Verlag, Berlin. Krzysztof RYKACZEWSKI 21/23
23 Bibliografia II Kamenskiĭ, M., Obukhovskiĭ, V., Zecca, P., Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach space. Walter de Gruyter. Mahmudov, N. I., Approximate controllability of evolution systems with nonlocal conditions. Nonlinear Analysis 68, Obukhovskiĭ, V., Zecca, P., Controllability for systems governed by semilinear differential inclusions in a Banach space with a noncompact semigroup. Nonlinear Anal. 70 (9), Pazy, A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Applied Mathematical Sciences. Vol. 44. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo. Triggiani, R., A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces. SIAM J. Control Optimization 15 (3), Triggiani, R., Addendum: A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces. SIAM J. Control Optim. 18 (1), Krzysztof RYKACZEWSKI 22/23
24 Dziękuję za uwagę! Krzysztof RYKACZEWSKI 23/23
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoODWZOROWANIA JEDNO- I WIELOWARTOŚCIOWE. PODOBIEŃSTWA, RÓŻNICE I PROBLEMY Z TEGO WYNIKAJĄCE.
Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii Uniwersytet Zielonogórski ODWZOROWANIA JEDNO- I WIELOWARTOŚCIOWE. PODOBIEŃSTWA, RÓŻNICE I PROBLEMY Z TEGO WYNIKAJĄCE. Joachim Syga III Konferencja Zastosowań
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoTyp potęgowy Szlenka
Uniwersytet Śląski w Katowicach Letnia Szkoła Instytutu Matematyki Podlesice, 22 26 września 2014 r. Motywacja Pytanie (Banach Mazur, Księga Szkocka, Problem 49) Czy istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoFiltry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoJak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoOperatorowe wersje twierdzenia Radona-Nikodyma
Operatorowe wersje twierdzenia Radona-Nikodyma Zakład Równań Funkcyjnych Letnia Szkoła Instytutu Matematyki UŚ, 22-26 września 2014r. skalarne twierdzenie Radona-Nikodyma Załóżmy, że X = (X, A) jest przestrzenia
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoO zbiorach małych w polskich grupach abelowych
O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoRynek, opcje i równania SDE
Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoteoria i przykłady zastosowań
: teoria i przykłady zastosowań Katedra Sterowania i Pomiarów Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: emirsaj@zut.edu.pl Zielona Góra, 22 listopada 21 Spis treści 1 O jakie równanie
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoZastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji
Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji Marek A. Kowalski Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoWojciech Kryszewski. Sterowanie Optymalne. Wykład monograficzny
Wojciech Kryszewski Sterowanie Optymalne Wykład monograficzny Wydział FTIMS Politechnika Łódzka Łódź 214 c Copyright by Wojciech Kryszewski Politechnka Łódzka Skład komputerowy L A TEX w wykonaniu autora
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoDOKTOR HONORIS CAUSA UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO. Profesor dr hab. Lech Górniewicz
DOKTOR HONORIS CAUSA UNIWERSYTETU ZIELONOGÓRSKIEGO Profesor dr hab. Lech Górniewicz CZŁONKOSTWO W TOWARZYSTWACH I KOMITETACH NAUKOWYCH ŻYCIORYS NAUKOWY SPECJALNOŚĆ NAUKOWA MATEMATYKA topologia; analiza
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoZałącznik 2 Autoreferat
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI STOSOWANEJ Autoreferat przedstawiający opis dorobku i osiągnięć naukowych, w szczególności określonych w art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 roku o stopniach
Bardziej szczegółowoJak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta
Jak wyznaczyć premię za ryzyko? kilka słów o modelu Arrowa - Pratta Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej Poznań, 13.05.2017 r. Pojęcia wstępne u - funkcja użyteczności u : R R, u - ciągła, ściśle
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoOptymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoAnaliza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowo