Układy dynamiczne na miarach. Wykłady

Transkrypt

1 Układy dynamiczne na miarach Wykłady

2 nr 95

3 Andrzej Lasota Układy dynamiczne na miarach Wykłady Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2008

4 Redaktor serii: Matematyka Roman Ger Recenzent Józef Myjak Z maszynopisu dla Wydawnictwa Uniwersytetu Śląskiego przygotował Doktor Henryk Gacki

5 Spis treści Przedmowa Wprowadzenie Rozdział 1. Miary Podstawowe pojęcia, oznaczenia i fakty Twierdzenie Riesza Skorochoda Słaba zbieżność ciągów miar Twierdzenie Aleksandrowa Metryki w przestrzeni miar Słaba zbieżność miar a zbieżność ich nośników Rozdział 2. Multifunkcje Przegląd podstawowych faktów dotyczących multifunkcji oraz multifunkcji mierzalnych Twierdzenia Kuratowskiego Rylla-Nardzewskiego Multifunkcje półciągłe z dołu Repetytorium topologiczne Twierdzenia Michaela Rozdział 3. Operatory Markowa Podstawowe pojęcia i ich własności Operatory Fellera Podstawowe wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa Operatory przejścia Nośniki funkcji przejścia Własności wiążące operatory Markowa i nośniki funkcji przejścia

6 Rozdział 4. Stabilność zbiorów i operatorów Markowa Semistabilność i asymptotyczna stabilność zbiorów Kryteria semistabilności i asymptotycznej stabilności Metryka Wassersteina Dodatkowe wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa Procesy Markowa Rozdział 5. Dodatek Zupełność przestrzeni miar skończonych Preliminaria topologiczne Bibliografia

7 Przedmowa Układy dynamiczne na miarach to zapis wykładów zmarłego w grudniu 2006 roku matematyka Andrzeja Lasoty. Profesor A. Lasota był nie tylko wybitnym uczonym profesorem Uniwersytetu Śląskiego, członkiem rzeczywistym Polskiej Akademii Nauk, czynnym członkiem Polskiej Akademii Umiejętności, doctorem honoris causa Uniwersytetu Śląskiego, by wspomnieć kilka zaszczytnych wyróżnień lecz także znakomitym wykładowcą, wychowawcą wielu pokoleń polskich matematyków. Swych uczniów hojnie obdarzał nowymi pomysłami i matematycznymi ideami, zachęcając tym samym do precyzji i klarowności wywodu. Każdą z uprawianych przez siebie dziedzin matematyki: teorię równań różniczkowych, teorię prawdopodobieństwa czy zastosowań matematyki, ubogacił głębokimi wynikami, które, co zgodnie przyznają wnikliwi czytelnicy prac Profesora, cechuje prostota i pomysłowość. Ogromna kultura osobista i inteligencja jak celnie zauważył w swej recenzji w związku z przyznaniem Profesorowi A. Lasocie tytułu doctora honoris causa Uniwersytetu Śląskiego Profesor Stanisław Łojasiewicz pozwoliły Mu dostrzec proste rozwiązania problemów, z którymi zmagali się matematycy na całym świecie. Stylu pracy Profesora, a więc połączenia klarowności wykładu z ogromną pomysłowością, doświadczą czytelnicy Układów dynamicznych na miarach. Wykłady Profesora przyciągały liczne rzesze studentów i doktorantów Uniwersytetu Śląskiego, a dziś za sprawą Jego uczniów: Doktor J. Jaroszewskiej i Doktora H. Gackiego, którzy podjęli się trudu przygotowania niniejszego skryptu do druku, będą mogły trafić do szerszego kręgu odbiorców. Gorąco Im dziękuję za podjęcie inicjatywy wydania wykładów Profesora A. Lasoty. Serdeczne podziękowania kieruję także na ręce Pana prof. dr. hab. Romana Gera za życzliwość i pomoc, które doprowadziły do realizacji tego przedsięwzięcia. 7 Tomasz Szarek

8 Wprowadzenie Niniejszy podręcznik omawia związki dynamiki miar i zbiorów. Przykłady podejmowanej tematyki ilustruje następująca tabela. ZBIORY zbieżność Kuratowskiego multifunkcje mierzalne multifunkcje mierzalne półciągłe z dołu multifunkcje semistabilne twierdzenia o selekcji Kuratowskiego Rylla- -Nardzewskiego twierdzenia o selekcji Michaela teoria Oxtoby ego MIARY zbieżność słaba mierzalne operatory Markowa (regularne) operatory Markowa Fellera stabilne operatory Markowa (kontrprzykłady) Materiał podzielony został na pięć rozdziałów. Pierwszy rozdział omawia słabą zbieżność ciągów miar, zbieżność ciągów zbiorów, a także relacje między asymptotycznym zachowaniem ciągów miar i ciągów ich nośników. Drugi rozdział porusza tematykę związaną z multifunkcjami. Formułujemy w nim kryteria istnienia selekcji spełniających pewne dodatkowe warunki. Trzeci rozdział jest wprowadzeniem do teorii operatorów Markowa, natomiast w czwartym podjęto problematykę semistabilności i asymptotycznej stabilności multifunkcji oraz asymptotycznej stabilności operatorów Markowa. 9

9