Rynek, opcje i równania SDE

Transkrypt

1 Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

2 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż 2 Osiągalność i zupełność 3 Opcje 4 Bibliografia Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

3 Rynek Definicja 1.1 Rynkiem nazywamy (n+1)-wymiarowy proces Ito X (t) = (X 0 (t), X 1 (t),..., X n (t)); 0 t T, adaptowalny do filtracji F (m) t, o postaci oraz dx 0 (t) = ρ(t, ω)x 0 (t)dt; X 0 (0) = 1 dx i (t) = µ i (t, ω)dt + m σ ij (t, ω)db j (t) = j=1 = µ i (t, ω)dt + σ i (t, ω)db(t); X i (0) = x i (1) gdzie σ i = (σ i1, σ i2,..., σ im ); 1 i n N. Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

4 Rynek Definicja 1.1 Rynkiem nazywamy (n+1)-wymiarowy proces Ito X (t) = (X 0 (t), X 1 (t),..., X n (t)); 0 t T, adaptowalny do filtracji F (m) t, o postaci oraz dx 0 (t) = ρ(t, ω)x 0 (t)dt; X 0 (0) = 1 dx i (t) = µ i (t, ω)dt + m σ ij (t, ω)db j (t) = j=1 = µ i (t, ω)dt + σ i (t, ω)db(t); X i (0) = x i (1) gdzie σ i = (σ i1, σ i2,..., σ im ); 1 i n N. Definicja 1.2 Rynek {X (t)} t [0,T ] nazywamy unormowanym, jeśli X 0 (t) 1 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

5 Portfel inwestycyjny Definicja 1.3 Portfelem inwestycyjnym (w skrócie portfelem) dla rynku {X (t)} t [0,T ] nazywamy (n+1)-wymiarowy progresywnie mierzalny proces θ(t, ω) = (θ 0 (t, ω), θ 1 (t, ω),..., θ n (t, ω)); 0 t T Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

6 Portfel inwestycyjny Definicja 1.3 Portfelem inwestycyjnym (w skrócie portfelem) dla rynku {X (t)} t [0,T ] nazywamy (n+1)-wymiarowy progresywnie mierzalny proces θ(t, ω) = (θ 0 (t, ω), θ 1 (t, ω),..., θ n (t, ω)); 0 t T Definicja 1.4 Wycenę portfela θ(t) w chwili t definiujemy następująco n V (t, ω) = V θ (t, ω) = θ(t) X (t) = θ i (t)x i (t) i=0 gdzie oznacza standardowy iloczyn skalarny w R n+1. Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

7 Samofiansujący się portfel Definicja 1.5 Portfel θ(t) nazywamy samofinansującym jeśli T n m n { θ 0 (s)ρ(s)x 0 (s) + θ i (s)µ i (s) + [ θ i (s)σ ij (s)] 2 }ds < p.n. 0 i=1 j=1 i=1 oraz t V (t) = V (0) + θ(s) dx (s) (dv (t) = θ(t) dx (t)) dla t [0, T ] 0 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

8 Samofiansujący się portfel Definicja 1.5 Portfel θ(t) nazywamy samofinansującym jeśli T n m n { θ 0 (s)ρ(s)x 0 (s) + θ i (s)µ i (s) + [ θ i (s)σ ij (s)] 2 }ds < p.n. 0 i=1 j=1 i=1 oraz V (t) = V (0) + Uwaga 1.6 t 0 θ(s) dx (s) (dv (t) = θ(t) dx (t)) dla t [0, T ] Dla dowolonych θ 1 (t, ω),..., θ n (t, ω) istnieje (θ 0 (t, ω) takie, że portfel θ(t, ω) = (θ 0 (t, ω), θ 1 (t, ω),..., θ n (t, ω)) jest samofinansujący się. Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

9 Strategia oswojona Definicja 1.7 Samofinansującą strategię θ(t) spełniającą (1.5) nazywamy oswojoną jeśli proces wyceny portfela V θ (t) jest (t, ω) - prawie napewno ograniczony z dołu. Czyli dla prawie wszystkich (t, ω) [0, T ] Ω, istnieje K = K(θ) >, taka, że V θ (t, ω) K (2) Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

10 Arbitraż Definicja 1.8 Oswojoną strategią θ(t) na rynku {X (t)} t [0,T ], nazywamy arbitrażem, jeśli spełnione są warunki V θ (0) = 0 V θ (T ) 0 prawie napewno P[V θ (T ) > 0] > 0 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

11 Instrument finansowy Definicja 2.1 Instrumentem finansowym nazywamy ograniczoną z dołu F (m) T -mierzalną zmienną losową F (ω) L 2 (Q). Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

12 Instrument finansowy osiągalny Definicja 2.2 Mówimy, że instrument finansowy F (ω) jest osiągalny (na rynku {X (t)} t [0,T ] ) jeśli istnieje oswojona strategia θ(t) i rzeczywista liczba z taka, że T F (ω) = Vz θ (T ) = z + θ(t)dx (t) 0 prawie napewno i takie, że t V θ (t) = z + 0 i=1 ξ(s) n θ i (s)σ i (s)d B(s) dla t [0, T ] jest Q-martyngałem. Jeśli takie θ(t) istnieje to nazywamy ją strategią hedgingową dla F Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

13 Rynek zupełny Definicja 2.3 Rynek {X (t)} t [0,T ] nazywamy zupełnym, jeśli każdy instrument finansowy jest osiąglany. Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

14 Europejska opcja kupna Definicja 3.1 Europejską opcją kupna nazywamy F (ω) = (X i (t, ω) K) + dla pewnego i {1, 2,..., n} i pewnego K > 0. Opcja kupna daje właścicielowi prawo kupna (lecz nie obowiązek) do kupna jednej jednostki instrumentu bazowego przy cenie K (cena wykonania) w chwili T. Jeśli X i (T, ω) > K, to właściciel opcji otrzymuje X i (T, ω) K w chwili T. Jeśli X i (T, ω) K, to właściciel nie wykona swoich opcji i jego wypłata równa się 0. Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

15 Europejska opcja sprzedaży Definicja 3.2 Analogicznie europejską opcja sprzedaży daje właścicielowi prawo (lecz nie obowiązek) do sprzedaży jednej jednostki instrumentu bazowego przy cenie K (cena wykonania) w chwili T. Opcja sprzedaży daje właścicielowi wypłatę F (ω) = (K X i (t, ω)) + Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

16 Twierdzenie Black-Scholes Twierdzenie 3.3 Niech X (t) = (X 0 (t), X 1 (t)) jest modelem rynku typu Black-Scholes: dx 0 (t) = ρx 0 (t)dt X 0 (t) = 1 dx 1 (t) = αx 1 (t)dt + βx 1 (t)db(t) X 1 (0) = x 1 > 0 gdzie ρ, α, β 0 są stałymi. Wtedy cena p opcji europejskiej w chwili 0, z funkcją wypłaty F (ω) = (X 1 (T, ω) K) + gdzie K > 0 jest ceną wykonania opcji, równa się p = x 1 Φ(η β T ) Ke ρt Φ(η 1 2 β T ) η = β 1 T 1/2 (ln x 1 K + ρt ) oraz Φ jest gęstością rozkładu N(0, 1). Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

17 Ilustracja geometrycznego ruchu Browna źródło: F. C. Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Applications, Imperial College Press Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

18 Ilustracja geometrycznego ruchu Browna cd. źródło: F. C. Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Applications, Imperial College Press Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16

19 Bibliografia Opracowano na podstawie: Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equations, Springer Literatura pomocnicza: S. Dineen, Probability Theory in Finance, AMS F. C. Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Applications, Imperial College Press J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka Finansowa, WNT Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień / 16