Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.
|
|
- Julian Domagała
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem profesora dra hab. Zbigniewa Peradzyńskiego Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Sierpień 2014
2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy
3 Streszczenie W pracy przedstawiono praktyczne zastosowanie zasady maksimum Pontriagina. Twierdzenie wykorzystane jest do przedstawienia optymalnego sposobu inwestowania w rozwój firmy tak, by w określonym horyzoncie czasowym uzyskać maksymalny dochód. Słowa kluczowe teoria sterowania, zasada maksimum Pontriagina 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 34. Ordinary Differential Equations 34H. Control Problems 34H05. Control Problems Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim Optimal investing in company s development. An application of control theory.
4
5 Spis treści Wprowadzenie Przedstawienie problemu Wyprowadzenie modelu Pojęcia i twierdzenia Definicje Twierdzenia Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego Zasada Maksimum Pontriagina Rozwiązanie problemu Istnienie sterowania optymalnego Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Rozwiązanie problemu Istnienie sterowania optymalnego Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Wnioski Bibliografia
6
7 Wprowadzenie Optymalne inwestowanie jest zagadnieniem, które wzbudza zaciekawienie każdego przedsiębiorcy. Jest to istotne zagadnienie w prowadzeniu firmy. Od tego może zależeć sukces, bądź upadek przedsiębiorstwa. Mnie również zainteresował powyższy problem. W tej pracy rozważę zastosowanie do niego zagadnienia z teorii sterowania. Teoria sterowania jest to interdyscyplinarna dziedzina matematyki i inżynierii zajmująca się analizą i modelowaniem obiektów oraz różnych procesów. W swojej pracy dążę do zaprezentowania optymalnego inwestowania przedsiębiorstwa w określonym horyzoncie czasowym. W tym celu rozpatruję różne czynniki wpływające na dochód firmy. Tworzę przykładowy model przedsiębiorstwa, a następnie badam korelację pomiędzy kolejnymi zmiennymi. Świadomie upraszczam badane zjawisko w celu koncentracji na kwestiach zasadniczych. W moich rozważaniach staram się wyznaczyć taką strategii inwestowania, by przy zadanych ograniczeniach finansowych w końcowym momencie czasu otrzymać maksymalny dochód. Poprzez analizę kolejnych zależności pomiędzy zmiennymi występującymi w przyjętym modelu wyprowadzam układ liniowych równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu oraz zatrudnienia. Do uzyskania interesujących mnie wyników wykorzystuję Zasadę Maksimum Pontriagina. W ten sposób problem sprowadza się do maksymalizacji funkcji hamiltonowskiej. Przeprowadzając analizę rozwiązania, znajduję optymalne sterowanie, którego istnienie sprawdzam z twierdzenia o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia w postaci Mayera. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W pierwszym rozdziale przedstawiam rozważane problemy oraz wyprowadzam matematyczny model przedsiębiorstwa. W drugim wprowadzam konieczne do uzyskania rozwiązania definicje oraz twierdzenia. Następne dwa rozdziały obejmują rozwiązanie problemów. W ostatnim rozdziale zawarłam wnioski dotyczące strategii inwestowania w przedstawionym modelu firmy. 5
8
9 Rozdział 1 Przedstawienie problemu Wybieram sposób inwestycji tak, by w określonym przedziale czasowym otrzymać maksymalny dochód. Chcę zmaksymalizować Y (T ) - całkowity dochód przedsiębiorstwa w określonym przedziale czasowym [0, T ]. Moim sterowaniem jest intensywność inwestowania - u(t). Wartości sterowań należą do pewnego zbioru zwartego U. Zadaniem do rozwiązania jest znalezienie sterowania optymalnego u dla zasady maksimum sformułowanej w postaci max φ(x(t, u)). u U W swojej pracy rozważam dwa problemy. Pierwszy problem dotyczy optymalnego inwestowania w celu otrzymania możliwie największej wartości dochodu w końcowym momencie czasu. W drugim zaś wprowadzam dodatkowy warunek na całkowitą wartość inwestycji. W obu przypadkach mam ustalony czas końcowy T. Wyprowadzam matematyczny model przykładowego przedsiębiorstwa. Rozważam zmienne wpływające na dochód firmy, a następnie analizując zależności pomiędzy nimi, otrzymuję układ liniowych równań różniczkowych, którym posługuję się w dalszej części pracy. Do rozwiązania problemów korzystam z pomocniczej funkcji H(x, p, u, t) = p f(t, x, u), zwanej Hamiltonianem. Posługuję sie również twierdzeniami związanymi z teorią sterowania Wyprowadzenie modelu Rozważę matematyczny model przedsiębiorstwa z następującymi zmiennymi: Y (t) - dochód firmy, C(t) - wielkość wydatków na konsumpcję, I(t) - tempo (intensywność) inwestycji, P (t) - tempo produkcji, G(t) - wielkość innych wydatków, N(t) - ilość pracowników. Wszystkie zmienne zależą od czasu t. Zakładam, że t należy do przedziału [0, T ]. Poprzez konsumpcję mam na myśli pensje oraz fundusz socjalny, a poprzez inne wydatki wielkość 7
10 kosztów utrzymania firmy. Wprowadzam następujące uproszczenia modelu: gdzie 1. Zakładam, iż następuje całkowita wyprzedaż wyprodukowanych dóbr. W ten sposób nie muszę przejmować się problemem magazynowania. 2. Firma ponosi koszty utrzymania stałe, zoptymalizowane, niezależne od wielkości produkcji. Wyprowadzę teraz zależności pomiędzy wyżej wymienionymi zmiennymi. Tempo produkcji zależy od efektywności pracy, stąd mam zależność: P (t) = a N(t), (1.1) a to wydajność siły roboczej. Również na wielkość konsumpcji wpływa ilość pracowników, zatem gdzie C(t) = b N(t), (1.2) b to stałe ustalone koszty utrzymania pracowników. Przyrost dochodu w czasie zależy od produkcji, wydatków, konsumpcji oraz inwestycji w następujący sposób: dy (t) = P (t) C(t) G(t) I(t). (1.3) dt Na tempo wzrostu produkcji w czasie postuluję następujące równanie: gdzie dp (t) dt = c I(t) d P (t), (1.4) c to efektywnosc inwestycji, d to współczynnik amortyzacji. Amortyzacja jest to proces utraty wartości majątku trwałego w wyniku zużycia fizycznego powstałego wskutek eksploatacji lub z powodu postępu technologicznego związanego na przykład z pojawieniem się na rynku urządzeń, bądź maszyn bardziej wydajnych. Wprowadzam również założenia: 1. a > b - w przeciwnym przypadku doszłyby do bankructwa firmy. 2. c > d - w przeciwnym przypadku byłby spadek tempa produkcji, co również doprowadziłoby do bankructwa. 3. a, b, c, d > 0 - naturalne założenie, iż te wartości są dodatnie. 8
11 Następnie przechodzę do przekształceń i działań matematycznych powyżej wyprowadzonych równań. Różniczkując równanie (1.1) względem t otrzymuję: dp (t) dt = a dn(t) dt + N(t) da dt. (1.5) Przyrównując równania (1.4) i (1.5) otrzymuję: Uwzględniając (1.1) uzyskuję: c I(t) d P (t) = a dn(t) dt c I(t) d a N(t) = a dn(t) dt + N(t) da dt. + N(t) da dt. Przekształcając powyższą równość mogę wyprowadzić następujące równanie na przyrost zatrudnienia: dn(t) dt = c a I(t) d N(t) N(t) a da dt. Wprowadzam kolejne uproszczenie modelu. Zakładam, że wydajność i efektywność siły pracowniczej jest stała w czasie oraz dopasowana do potrzeb przedsiębiorstwa. A zatem niech a będzie stałe, zoptymalizowane. Wtedy da dt = 0 i otrzymuję zależność: dn(t) dt = c I(t) d N(t). a Wracam teraz do równania (1.3) i wstawiam zależności (1.1) i (1.2). Otrzymuję równanie dla dynamiki dochodu postaci dy (t) dt = a N(t) b N(t) G(t) I(t). W tym miejscu pomijam wartość G(t), gdyż wcześniej założyłam, iż jest dane, zoptymalizowane. Można więc przeskalować dochód t Y (t) Y (t) 0 G(s)ds, co pozwala formalnie wyeliminować G(t) po prawej stronie równania. Otrzymuję ostatecznie następujący liniowy układ równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu oraz przyrost zatrudnienia w czasie: Ẏ = (a b) N(t) I(t) Ṅ = c a I(t) d N(t) (1.6) Sterowaniem są inwestycje I(t), a dokładniej intensywność inwestycji (środki na jednostkę czasu), zaś celem maksymalny dochód w końcowym czasie, czyli max Y (T ). Zakładam, że w czasie t 0 = 0 mam daną ilość pracowników N(0) = N 0 oraz wartość początkową dochodu 9
12 Y (0) = Y 0. Nakładam również naturalny warunek, że pułap inwestycji jest ograniczony. Zatem I(t) należy do przedziału [0, I 0 ], gdzie I 0 > 0 ustalone. Rozważam następujące problemy: Problem 1: Problem optymalnego sposobu inwestowania tak, by w ustalonym końcowym momencie czasie uzyskać możliwie największą wartość dochodu przedsiębiorstwa, czyli max Y (T ). I(t) [0,I 0 ] Problem 2: Można rozważyć również inne zagadnienie, wprowadzając dodatkowy warunek na całkowitą wartość inwestycji, czyli T 0 I(t) dt = J, gdzie I(t) [0, I 0 ]. W następnej części pracy wprowadzę definicję i twierdzenia ułatwiające rozwiązanie przedstawionych problemów. 10
13 Rozdział 2 Pojęcia i twierdzenia Celem tego rozdziału jest podanie najważniejszych definicji i kluczowych twierdzeń, których będę używać w dalszej części niniejszej pracy Definicje Rozważam zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), (2.1) x(0) = x 0, gdzie x 0 R n, x : [0, T ] R oraz u U jest sterowaniem dopuszczalnym. Sterowanie jest to funkcja mierzalna u : R R m o wartościach w zadanym zbiorze U. Zbiór U będę nazywać zbiorem wartości sterowań. Zazwyczaj zakłada się, że U jest zwartym podzbiorem R m. Zatem zbiór sterowań dopuszczalnych to zbiór postaci U = {u : R R m ; u mierzalna; u(t) U dla każdego t}. Definicja Dla zadanego sterowania u U rozwiązanie (2.1) nazywa się trajektorią odpowiadającą sterowaniu u i oznacza się x(t) = x(t, x 0, u( )). Będę potrzebować również następujących definicji: Definicja Zbiorem prędkości będę nazywać zbiór postaci: F (t, x) = {y : y = f(t, x, u) dla pewnego u U}. Definicja Funkcjonał kosztu jest to funkcjonał V : R R n postaci V = T 0 L(t, x(t), u(t))dt + φ(t, x(t )), gdzie x(t) jest trajektorią odpowiadającą sterowaniu u(t) U. Całkowy wyraz, czyli L(t, x(t), u(t)) jest nazywany kosztem bieżącym, zaś φ(t, x(t )) jest kosztem końcowym. 11
14 W mojej pracy interesuje mnie funkcjonał kosztu w postaci zagadnienia Mayera, czyli zadany wzorem V = φ(t, x(t )). Istotą zagadnienia sterowania w ogólnym sformułowaniu jest znalezienie takiego sterowania, dla którego odpowiednia trajektoria po pewnym czasie T będzie znajdować się w zbiorze docelowym. Zbiór docelowy to domknięty podzbiór S R R n. Zagadnienie sterowania optymalnego polega na tym, by doprowadzić układ do celu, wybierając odpowiednie sterowanie dopuszczalne w taki sposób, by po czasie T wartość funkcjonału kosztu była możliwie najmniejsza. Poprzez zmianę znaku funkcjonału kosztu na przeciwny można badać wartość funkcjonału zysku. Wtedy poszukiwana jest wartość możliwie największa. Zagadnieniem w mojej pracy jest właśnie znalezienie maximum dla funkcjonału zysku. Pomocnym narzędziem przy znajdywaniu rozwiązania optymalnego jest funkcja Hamiltona: H(x, p, u, t) = p f(t, x, u). Z funkcją Hamiltona związane są następujące równania Hamiltona: ṗ = H x, ẋ = H p. Równania Hamiltona pojawiły się w hamiltonowskim sformułowaniu mechaniki. Okazuje się, że są one ważne również w teorii sterowania. Druga para równań (dla ẋ) to, jak łatwo zauważyć, równanie (2.1), zaś pierwsze (dla ṗ) to równania na tzw. zmienne sprzężone, pojawiające się w sformułowaniu Zasady Maksimum Pontriagina. Kolejne istotne pojęcie jakie wprowadzę to zagadnienie optymalizacyjne w postaci Mayera. Jest ono postaci max φ(t, x(t, u)), (2.2) u U,T 0 z warunkiem początkowym oraz końcowym x(0) = x (T, x(t )) S, czyli wartość funkcjonału kosztu φ zależy tylko od końcowego czasu T i punktu trajektorii x(t ). Jeżeli czas końcowy jest ustalony to zagadnienie można zapisać w postaci max φ(x(t, u)), u U z warunkiem początkowym oraz końcowym x(0) = x x(t ) S. 12
15 2.2. Twierdzenia W tym rozdziale sformułuję dwa ważne twierdzenia z teorii sterowania Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego Rozwiązywany przeze mnie problem jest w postaci Mayera. Wprowadzę zatem następujące twierdzenie: Twierdzenie [BP, tw , Istnienie sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera] Załóżmy, że: 1. zbiór wartości sterowań U R m jest zwarty, 2. funkcja f : [0, ) R n U R n jest ciągła względem wszystkich zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły względem x R n, 3. dla dowolnego (t, x, u) funkcja f spełnia f(t, x, u) C(1 + x ), 4. zbiór prędkości F (t, x) = {f(t, x, u) : u U} jest wypukły dla wszystkich t [0, T ], x R n, 5. funkcja φ jest ciągła, 6. zbiór docelowy S jest domknięty i zawarty w pewnym pasie [0, T ] R n, 7. istnieje trajektoria x spełniająca warunki początkowe i końcowe x(0) = x,(t, x(t )) S, wówczas istnieje sterowanie optymalne dla zagadnienia max φ(t, x(t, u)). u U,T Zasada Maksimum Pontriagina Teraz przechodzę do opisania najważniejszego twierdzenia, z którego będę korzystać. Pozwala ono na znalezienie sterowania optymalnego poprzez podanie warunków spełnianych przez to sterowanie. Załóżmy, iż czas końcowy T jest ustalony (a więc S = {T } R n ). Podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, tutaj również zagadnienie jest w postaci Mayera. Oznacza to, że szukam max φ 0(x(T, u)) (2.3) u U dla układu opisanego przez układ równań różniczkowych ẋ = f(t, x(t), u(t)), z warunkami początkowymi dla sterowań należących do U, czyli x(0) = x, u(t) U dla prawie wszystkich t. 13
16 Dodatkowo, aby mogła zachodzić teza Zasady Maksimum Pontriagina, funkcja f oraz zbiór U muszą spełniać poniższe warunki: Założenia 1 Zbiór Ω R R n jest otwarty, funkcja f = f(x, t, u) jest ciągła na Ω U oraz różniczkowalna w sposób ciągły względem x i t. Funkcja φ 0 jest różniczkowalna w sposób ciągły. Twierdzenie [BP, 6.1.1, Zasada Maksimum Pontriagina, ustalony czas końcowy] Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3). Ponadto, niech u : [0, T ] U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu. Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p( ) taki, że z warunkiem ṗ(t) = H x (x, p, u, t), p(t ) = x φ 0 (x(t, u )). Co więcej, jeśli oznaczyć to rozwiązanie przez p (t) to zachodzi: dla prawie każdego t [0, T ]. H(x, p, u, t) = max ω U H(x, p, ω, t) Dodatkowo w zagadnieniu mogą być zadane więzy φ i (x(t, u)) = 0 i = 1,..., k. (2.4) Wtedy Zasadę Maksimum Pontriagina można sformułować następująco: Twierdzenie [BP, 6.3.1, Zasada Maksimum Pontriagina z zadanymi więzami] Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3) z dodatkowym założeniem, iż wszystkie funkcje φ i dla i = 1,..., k są różniczkowalne w sposób ciągły. Ponadto, niech u : [0, T ] U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu. Dodatkowo zakłada się że wektory φ i = ( φ i t, φ i x 1... φ i x n ), dla i = 1, 2,..., n są liniowo niezależne w punkcie x (T ). Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p( ) taki, że i zachodzi ṗ(t) = H x (x, p, u, t) H(x, p, u, t) = max ω U H(x, p, ω, t) dla prawie każdego t [0, T ]. Co więcej, istnieją stałe λ 0,..., λ k, gdzie λ 0 0, takie że (p 1,..., p n )(T ) = k i=0 λ i ( φ i x 1,..., φ i x n ). 14
17 Można również przytoczyć ogólną Zasadę Maksimum Pontraigina dla nieustalonego czasu końcowego T oraz z zadanymi więzami. Nie będę jednak jej formułować, gdyż na potrzeby niniejszej pracy wystarczą przytoczone powyższe dwie wersje twierdzenia. 15
18
19 Rozdział 3 Rozwiązanie problemu 1 Zajmuję się zagadnieniem maksymalizacyjnym dochodu przedsiębiorstwa, czyli max Y (T ). I(t) U Parametrem sterującym są inwestycje - oznaczę je zatem u(t). Moje zadanie polega na znalezieniu sterowania u(t) opisującego sposób optymalnego inwestowania w celu zmaksymalizowania dochodu w określonym czasie [0, T ]. Mam więc zagadnienie w postaci Mayera z funkcją φ = Y (T ). W poprzednim podrozdziale ukazałam mój problem jako układ liniowych równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu i zatrudnienia w czasie. Mianowicie otrzymałam: Ẏ = (a b) N(t) I(t) Ṅ = c a I(t) d N(t) (3.1) Dla ułatwienia zapisu wprowadzę oznaczenia: niech Y := x 1, N := x 2, a b := α, c a d := γ. Z rozważań przy wyprowadzania modelu wynikają następujące założenia: := β, x 1, x 2, α, β, γ > 0. Otrzymuję przeformułowany układ {ẋ1 = α x 2 u ẋ 2 = β u γ x 2 (3.2) W poprzedniej części pracy nałożyłam również warunki początkowe N 0, Y 0. Oznaczę je kolejno x 1 0, x2 0. Przypominam również, że t [0, T ], gdzie T jest ustalone. Dla sterowania u mam ograniczenia 0 u I 0. Rozwiązuję problem gdzie w moim zadaniu max φ(x(t, u)), u U φ(x 1, x 2 ) := x 1. 17
20 3.1. Istnienie sterowania optymalnego Sprawdzam założenia twierdzenia Zbiór wartości sterowań U jest oczywiście zwarty jako domknięty i ograniczony. Funkcje f 1 (t, x 1, x 2, u) = α x 2 u oraz f 2 (t, x 1, x 2, u) = β u γ x 2 są ciągłe względem wszystkich zmiennych oraz mają ciągłe pochodne cząstkowe, a zatem są różniczkowalne w sposób ciągły. Czyli jest spełnione założenie 2. Ponadto f 1 (t, x 1, x 2, u) oraz f 2 (t, x 1, x 2, u) spełniają ograniczenia z punktu 3 założeń twierdzenia. Wypukłość zbioru prędkości wynika z liniowości równań f 1 oraz f 2 względem sterowania u. Funkcja φ jest postaci x 1, więc oczywiście jest ciągła. Kolejnym założeniem jest istnienie trajektorii x spełniającej warunki początkowe. Niech zatem u I 0, czyli inwestujemy przez cały czas. Wtedy istnieje trajektoria na całym odcinku [0, T ] spełniająca warunki początkowe i osiągająca zbiór docelowy S = {T } R 2. Zatem są spełnione wszystkie założenia twierdzenia, stąd istnieje sterowanie optymalne dla zadanego zagadnienia Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Tworzę Hamiltonian utworzonego wcześniej układu równań H(p 1, p 2, t, x 1, x 2 ) = p 1 (α x 2 u) + p 2 (β u γ x 2 ). Korzystam z własności, że ṗ = H x. Otrzymuję Wiem również, że stąd w tym zadaniu Skoro ṗ 1 = H = 0 x 1 to p 1 jest stałe, a ponieważ p 1 (T ) = 1 to ṗ 2 = H (3.3) = p 1 α + γ p 2 x 2 p(t ) = x φ(x(t, u)), p(t ) = ( φ x 1, φ x 2 ) = (1, 0). ṗ 1 = 0 p
21 Rozwiążę teraz równanie na ṗ 2. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne ṗ 2 = p 1 α + γ p 2. Wiem już, że p 1 = 1, a zatem ṗ 2 = α + γ p 2. ( ) Sprowadzam równanie do postaci jednorodnej ṗ 2 = γ p 2. Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, a zatem rozwiązuję je rozdzielając zmienne. Mam więc dp 2 p 2 = γ. Całkuję obustronnie i otrzymuję Rozwiązując dalej otrzymuję, że ln p 2 = γ t + C, gdzie C - pewna stała. p 2 = e γt C 1, gdzie C 1 R. Od tej pory niech C 1 = C. Wracam do równania niejednorodnego ( ). Aby je rozwiązać weźmy rozwiązanie szczególne. Biorąc pod uwagę fakt, że prawa strona rozwiązywanego równania jest stałą, przewiduję rozwiązanie szczególne w postaci funkcji stałej. Niech zatem p 2 = R, gdzie R - dowolna stała. Wtedy ṗ 2 = 0 i wstawiając do ( ) otrzymuję 0 = γ R α z czego wynika, że Zatem R = α γ. p 2 = e γt C + α γ. ( ) Pozostało jeszcze do znalezienia stała C. Korzystając z warunku p 2 (T ) = 0 i przyrównując do p 2 (T ) = e γt C + α γ otrzymuję czyli e γt C + α γ = 0, C = α γ e γt. Wstawiając wyliczone C do ( ) otrzymuję ostatecznie, że p 2 (t) = e γt (e γt ( α γ )) + α γ = α γ eγ(t T ) + α γ = α γ (1 e γ(t t) ). 19
22 Szukam sterowania optymalnego u U. Z Zasady maksimum Pontriagina dla ustalonego punktu końcowego (2.2.2) wynika, że p 1 (α x 2 u ) + p 2 (β u α x 2 ) = max ω U {p 1(α x 2 ω) + p 2 (β ω α x 2 )} = α x 2 p 1 α p 2 x 2 + max ω U {ω( p 1 + p 2 β)}. ω należy do przedziału [0, I 0 ], więc żeby zmaksymalizować powyższe wyrażenie to należy przyjąć ω = 0 gdy p 1 + p 2 β < 0 oraz ω = I 0 gdy p 1 + p 2 β > 0. Wiem już też, że p 1 jest stałe. Z kolei p 2 jest malejące, ponieważ jego pochodna p 2 = α + γ p 2 jest ujemna, co można łatwo zobaczyć wstawiając wyliczone p 2 i stosując odpowiednie działania. Zatem wynika z tego, że p 1 + p 2 β = 0 zachodzi tylko w jednym punkcie, mianowicie czyli p 2 β = p 1, p 2 β = 1. W tym przypadku sterowanie może przyjąć dowolną wartość ze zbioru [0, I 0 ]. Ponadto, skoro p 2 jest monotoniczne, to ω zmienia wartość co najwyżej raz. W związku z tym sterowanie jest postaci 0 gdy p 2 β < 1 u = [0, I 0 ] gdy p 2 β = 1 (3.4) I 0 gdy p 2 β > 1 Znajdę teraz punkt przełączenia t, czyli muszę rozwiązać równanie p 2 β = 1. Wstawiając wyliczone p 2 oraz stosując odpowiednie przekształcenia otrzymuję, iż t = T + ln(1 γ α β ) γ (3.5) Punkt przełączenia istnieje, gdy zachodzi warunek 0 < t < T, czyli po wstawieniu wyliczonego t, gdy 0 < γ α β < 1 e γt (3.6) Zauważam też, że p 2 β jest funkcją malejącą. Z powyższego wynika, że jeżeli zachodzi warunek (3.6) to sterowanie optymalne jest postaci: u = { I0 dla 0 t < t 0 gdy t t T (3.7) gdzie t jest takie jak w (3.5). 20
23 Natomiast, jeżeli t < 0 (czyli ma miejsce warunek 1 e γt < γ α β < 1) to zachodzi p 1 + p 2 β < 0 i wtedy sterowaniem optymalnym jest ω = 0. Tak samo dzieje się, w przypadku gdy γ α β > 1. Podsumowując, jeśli spełniony jest warunek (3.6) to sterowanie optymalne jest postaci (3.7). W przeciwnym przypadku nie istnieje punkt przełączenia i rozwiązaniem optymalnym jest u = 0 dla t [0, T ]. (3.8) 21
24
25 Rozdział 4 Rozwiązanie problemu 2 W tym przypadku również rozważam problem maksymalizacji dochodu przedsiębiorstwa, przy czym zakładam dodatkowe ograniczenie na całkowitą wartość inwestycji w czasie [0, T ]. Niech u będzie zdefiniowane jak w poprzednim problemie oraz niech t [0, T ], gdzie T jest ustalone. Rozważam również wyprowadzony wcześniej układ równań na przyrost dochodu i zatrudnienia w czasie ze zmiennymi opisanymi jak poprzednio, czyli: {ẋ1 = α x 2 u z warunkami początkowymi: ẋ 2 = β u γ x 2 { x1 (0) = x 1 0 x 2 (0) = x 2 0 Założenia na powyższe zmienne również się nie zmieniają, a zatem: x 1, x 2, α, β, γ > 0. Oprócz tego wprowadzam ograniczenie na całkowitą wartość inwestycji w czasie: T 0 u dt = J, dla u U. Z powyższego ograniczenia mogę wyprowadzić więzy w postaci takiej jak w twierdzeniu 2.2.3, czyli φ i (x(t, u)) = 0. W tym celu wprowadzam dodatkową zmienną x 3 = u x 3 (0) = 0 x 3 (T ) = J (4.1) Wtedy zachodzi ograniczenie powyższej postaci. 23
26 Zatem dla omawianego problemu otrzymuję układ równań: ẋ 1 = α x 2 u ẋ 2 = β u γ x 2 z 3 = u (4.2) z warunkami początkowymi: oraz z warunkiem końcowym x 1 (0) = x 1 0 x 2 (0) = x 2 0 x 3 (0) = 0 x 3 (T ) = J. Do rozwiązania mam problem max φ 0(x(T, u)), u U z zadanymi więzami gdzie w tym zadaniu φ i (x(t, u)) = 0, φ 0 = x 1 oraz φ 1 = x 3 J Istnienie sterowania optymalnego Dla tego problemu również sprawdzam założenia twierdzenia Zbiór wartości sterowań U nie zmienił się, więc założenie zwartości tego zbioru jest spełnione. Funkcje f 1 (t, x 1, x 2, x 3, u) = α x 2 u, f 2 (t, x 1, x 2, x 3, u) = β u γ x 2 oraz f 3 (t, x 1, x 2, x 3, u) = u są ciągłe względem wszystkich zmiennych oraz różniczkowalne w sposób ciągły. Ponadto f 1 (t, x 1, x 2, x 3, u), f 2 (t, x 1, x 2, x 3, u) oraz f 3 (t, x 1, x 2, x 3, u) spełniają ograniczenia z punktu 3 założeń twierdzenia. Wypukłość zbioru prędkości wynika, tak samo jak przy poprzednim problemie, z liniowości równań f 1, f 2, f 3 względem sterowania u. Funkcja φ 0 jest postaci x 1, więc oczywiście jest ciągła. Założenie istnienia trajektorii x spełniającej warunki początkowe jest również spełnione. Niech u I 0. W takim przypadku dostaję, iż T 0 u dt = T 0 I 0 dt = I 0 T. 24
27 Równocześnie mam warunek, że więc T 0 u dt = J, I 0 T = J. Stąd wynika, iż aby istniało rozwiązanie musi zachodzić warunek I 0 T J. W przeciwnym przypadku nie byłoby możliwe w przeznaczonym czasie [0, T ] zainwestowanie całej kwoty J. Założenia twierdzenia są spełnione, zatem mogę przyjąć istnienie sterowania optymalnego dla zadanego zagadnienia Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Tworzę Hamiltonian wyprowadzonego w tym problemie układu równań H(p 1, p 2, t, x 1, x 2, x 3 ) = p 1 (α x 2 u) + p 2 (β u γ x 2 ) + p 3 u. Korzystam z warunku, że czyli otrzymuję ṗ(t) = H x (x, p, u, t). ṗ 1 = H = 0 x 1 ṗ 2 = H = p 1 α + γ p 2 x 2 ṗ 3 = H = 0 x 3 (4.3) Wynika z tego, że p 1 oraz p 3 są stałe. Zastosuję teraz własność, iż istnieją stałe λ 0,..., λ k, gdzie λ 0 0, takie, że Z powyższego uzyskuję, że czyli (p 1,..., p n )(T ) = k i=0 λ i ( φ i x 1,..., φ i x n ). p p 2 (T ) = λ λ 1 0, p p 1 (T ) = λ 0 p 2 (T ) = 0 p 3 (T ) = λ 1 25
28 Wiem już, iż p 1 oraz p 3 są stałe. Z połączenia tego faktu z wyliczonymi warunkami końcowymi wynika, że p 1 λ 0 oraz p 3 λ 1. Pozostaje tylko do wyliczenia p 2, czyli mam do rozwiązania następujące równanie różniczkowe: p 2 = p 1 α + γ p 2. Po wstawieniu wyliczonego p 1 uzyskuję równanie p 2 = λ 0 α + γ p 2. Przy rozwiązywaniu równania skorzystam z obliczeń z rozdziału 3.2. Rozwiązaniem postaci jednorodnej p 2 = γ p 2 jest p 2 = e γt C, gdzie C R - pewna stała. Wracam do równania niejednorodnego i tak jak wcześniej przewiduję rozwiązanie szczególne w postaci funkcji stałej. Robiąc analogiczne obliczenia otrzymuję, iż Pozostało jeszcze do znalezienia C. Korzystam z warunku i przyrównuję do Stąd otrzymuję, że p 2 = e γt C + α λ 0. ( ) γ p 2 (T ) = 0 p 2 (T ) = e γt C + α λ 0. γ C = α λ 0 γ e γt. Wstawiając wyliczone C do ( ) otrzymuję ostatecznie, że p 2 (t) = e γt (e γt ( α λ 0 )) + α λ 0 γ γ = α λ 0 γ (1 e γ(t t) ). Przejdę teraz do znalezienia sterowania optymalnego u. Z Zasady maksimum Pontriagina dla ustalonego punktu końcowego z zadanymi więzami (2.2.3) wynika, że p 1 (α x 2 u ) + p 2 (β u γ x 2 ) + p 3 u = max ω U {p 1(α x 2 ω) + p 2 (β ω γ x 2 ) + p 3 ω} = α x 2 p 1 γ x 2 p 2 + max ω U {ω( p 1 + p 2 β + p 3 )}. Po wstawieniu wyliczonych wartości na p 1, p 2 oraz p 3 otrzymuję: λ 0 α x 2 λ 0 α x 2 (1 e γ(t t) ) + max {ω(λ 1 λ 0 + α β λ 0 (1 e γ(t t) ))}. ω U γ 26
29 Do zmaksymalizowania mam wyrażenie: ω{λ 1 λ 0 + α β λ 0 γ (1 e γ(t t) )}. Po wykonaniu odpowiednich przekształceń, pamiętając, że λ 0 > 0, doprowadzam je do postaci Wprowadzam oznaczenie: niech ω{1 + γ α β (λ 1 λ 0 1) e γ(t t) }. σ = 1 + γ α β (λ 1 λ 0 1). Ponieważ ω należy do przedziału [0, I 0 ], zatem, żeby zmaksymalizować rozważane wyrażenie należy przyjąć ω = 0, gdy σ e γ(t t) < 0 oraz ω = I 0 gdy σ e γ(t t) > 0. W związku z tym sterowanie optymalne jest postaci u = { 0 gdy σ e γ(t t) < 0 I 0 gdy σ e γ(t t) > 0 (4.4) Punkty przełączenia t (σ) wyznaczam z warunku σ e γ(t t) = 0, skąd t (σ) = T + ln(σ) γ. (4.5) Zauważam, że przełączenie ma miejsce w przypadku gdy 0 < t < T. Dostrzegam też, że σ e γ(t t) jest funkcją malejącą, więc istnieje co najwyżej jeden punkt przełączenia. Zatem sterowanie optymalne w tym przypadku jest postaci: u = { I0 dla 0 t < t 0 gdy t < t < T (4.6) gdzie t jest takie jak w (4.5). W punkcie t = t sterowanie u może przyjąć dowolną wartość ze zbioru [0, I 0 ] (ale to nie ma wpływu na rozwiązanie). Wynik zależy od stałej σ, która z kolei zależy od niewiadomej λ 1 λ 0. Można ją, podobnie jak σ, wyliczyć z więzów, ponieważ T u dt = J. Jednocześnie czyli T 0 0 u dt = t 0 T I 0 dt + t 0 dt, J = I 0 t + 0 (T t ) = I 0 t. gdzie t jest takie jak w (4.5). Tak więc równanie na σ ma postać: I 0 (T + ln(σ) γ ) = J. 27
30 Z powyższego równania można łatwo wyliczyć, iż σ = e γ( J I 0 T ). Oczywiście jak już zaznaczyłam w poprzednim podrozdziale, aby istniało rozwiązanie musi zachodzić I 0 T J. Co gwarantuje (w przypadku ostrej nierówności) istnienie punktu przełączenia, jako, że ln(σ) = γ( J I 0 T ) występujący w (4.5) jest wtedy ujemny. Więc jeśli I 0 T > J to istnieje punkt przełączenia. Z powyższych rozważań wynika zatem ostatecznie, iż jeśli jest spełnione założenie I 0 T > J to sterowanie optymalne jest postaci takiej jak w (4.6), gdzie t wynosi t = T + γ( J I 0 T ) γ = J I 0. Czyli punkt przełączenia zależy tylko od wartości J I 0. 28
31 Rozdział 5 Wnioski Z powyższych rozważań można wyciągnąć wnioski dotyczące sposobu inwestowania dla przedstawionych problemów. W pierwszym problemie strategia optymalnego inwestowania zależy od wydajności siły roboczej (współczynnik a), kosztów utrzymania pracowników (współczynnik b), efektywności inwestycji (współczynnik c) oraz od współczynnika amortyzacji (współczynnik d). Te wielkości z kolei, tak jak przedstawiłam to w mojej pracy, mają wpływ na ilość pracowników, tempo produkcji oraz w efekcie na wielkość dochodu firmy. Optymalne rozwiązanie zależy od wartości d (a b) c a. Jeżeli zachodzi d (a b) c a < 1 e dt to optymalne jest inwestowanie możliwego pułapu inwestycji na jednostkę czasu (czyli wartości I 0 ) od samego początku do pewnego momentu t (określonego w (3.5)), zależnego od wszystkich wymienionych wyżej czynników oraz czasu końcowego T, zaś po tym momencie zaprzestanie inwestowania. Natomiast w przeciwnym przypadku optymalnie jest nie inwestować przez pełen okres czasu [0, T ]. Zatem dla określenia optymalnego sposobu zarządzania inwestycjami istotna jest każda wielkość przedstawiona w rozważanym modelu przedsiębiorstwa, jak również długość okresu czasu. W drugim problemie strategia, dzięki której można osiągnąć maksymalną wartość dochodu, jest zależna tylko od wielkości pułapu inwestycji na jednostkę czasu (wartość I 0 ) oraz całkowitej wartości kwoty, którą należy zainwestować w określonym czasie [0, T ] (czyli ograniczenia J). Jeżeli jest spełniony warunek I 0 T > J to należy inwestować do momentu t = J I 0, natomiast po tym okresie czasu należałoby zrezygnować z lokowania pieniędzy. Gdy zaś I 0 T = J to warto jest inwestować z największą możliwą intensywnością (czyli I 0 ) przez całkowity przedział czasowy [0, T ]. Reasumując, strategie takie, jak określone powyżej, odpowiednio dla konkretnych przypadków pozwolą na otrzymanie możliwie największego dochodu przedsiębiorstwa w określonym horyzoncie czasowym. Należy jednak pamiętać, że są to rozważania teoretyczne, a model przedsiębiorstwa jest uproszczony, dlatego wyniki mogą częściowo odbiegać od rzeczywistych. 29
32
33 Spis literatury [BP] A. Bressan, B. Piccoli, Introduction to the Mathematical Theory of Control, American Institute of Mathematical Sciences, Springfield, MO, 2007 [CD] J. Czekaj, Z. Dresler, Zarządzanie finansami przedsiębiorstw - Podstawy teorii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoOptymalne zarządzanie rozwojem stacji telewizyjnej. Zastosowanie teorii optymalnego sterowania
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Aleksandra Brodecka Nr albumu: 339134 Optymalne zarządzanie rozwojem stacji telewizyjnej. Zastosowanie teorii optymalnego sterowania Praca
Bardziej szczegółowoZasada maksimum Pontriagina
25.04.2015 Abstrakt Wiele zagadnień praktycznych dotyczących układów dynamicznych wymaga optymalizacji pewnych wielkości. Jednakże zwykła teoria gładkich układów dynamicznych zajmuje się jednak tylko opisem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.
Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoistocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy
MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoZamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych
Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu, dotychczas korzystali z niego wyłącznie
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoOptymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Leszczyński Nr albumu: 320155 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Praca licencjacka na kierunku
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoFakty wstępne Problem brachistochrony Literatura. Rachunek wariacyjny. Bartosz Wróblewski
26.10.13 - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się znajdowaniem ekstremów i wartości stacjonarnych funkcjonałów. Powstał jako odpowiedź na pewne szczególne rozważania w mechanice teoretycznej. Swą
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)
dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowo6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.
Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo