Wydział Inżynierii Śrdwiska Pliechnika Warszawska Prblemy skali w zagadnieniach ceny paramerów hydrgelgicznych dla przeb mdelwania przepływów wód pdziemnych Marek Nawalany, Grzegrz Sinicyn
Plan prezenacji Pcząki prblemu skali Skala i skale w hydrgelgii Od skali pru d skali próbki Od skali próbki d skali blku Wybrane aspeky numeryczne Pdsumwanie
Pcząki prblemu skali Rzdz. XI, Księga Rdzaju/Γένεσις Wieża Babel Pieer Bruegel, Anwerpia, 1563 Zagadnienie skali w mechanice budwli
Skala Przyjęcie skali mdelwania znacza sfrmułwanie generalnych i aksjmaycznych załżeń c d rzciągłści przesrzennej i czaswej raz ciągłści/granularnści sysemu i jeg dynamiki w związku z rzważaniem pewneg prblemu lub zagadnienia
Skala w hydrgelgii Przyjęcie skali mdelwania w hydrgelgii ma sens jedynie w pwiązaniu z pewnym prblemem lub zagadnieniem i znacza sfrmułwanie załżeń c d: rzciągłści przesrzennej i gemerii sysemu hydrgelgiczneg ciągłści/granularnści nauralnych i cywilizacyjnych bieków w sysemie rzciągłści czaswej j. kresu) rzważań ciągłści/granularnści dynamiki zmiennych nauralnych i cywilizacyjnych rzważaneg sysemu
Skale w hydrgelgii.. Z pwdów uyliarnych w hydrgelgii rzważa się 5 skal: skala mikr skala prów rzędu 10-6 -10-2 m) skala mez skala badań labraryjnych/ próbki rzędu 10-1 -10 0 m) skala makr skala ypwych blków mdeli przepływu wód pdziemnych rzędu 10 1-10 2 m) skala lkalna skala warswy wdnśnej rzędu 10 2-10 3 m) skala reginalna skala kilku warsw wdnśnych rzędu 10 3-10 5 m)
Mywacja Wyznaczenie paramerów mdeli pisujących przepływ przez śrdki prwae w skali adekwanej dla mdelwanych zjawisk ma pdsawwe znaczenie dla pwdzenia prcesu mdelwania. Skala makr skala blku mdelwania Skala mez skala próbki labraryjna) Skala mikr skala prów
Skale w hydrgelgii nieliniwy Mywacja Skala prwa Skala labraryjna Skala blku mdelwania mikrskala mezskala makrskala Przepływ pisywany równaniami Skesa lub Naviera-Skesa Mdel Darcy lub mdel nieliniwy Skalwany mdel Darcy lub mdel nieliniwy isna jakściwa zmiana widzenia śrdka zmiana rzdzielczści widzenia śrdka MPWP, r.
mikr --> mez Hipeza Cninuum Jakb Bear,1972) REV Reference Elemenary Vlume) dla danej zmiennej G α kreślnej w fazie i dla usalneg punku x jes akie czenie punku x, kula/kska wkół x), kóre gwaranuje, że G x, ) 1 x', ) d x' w pewnym przedziale zmiennści) nie zależy d bjęści,dla T). x) G
mikr --> mez
mikr --> mez Przykład. Współczynnik prwaści bjęściwej G α ) n = /
mikr --> mez Opis mikrskpwy równania N-S v) 0 v [ v v)] p g S v, + w. pcząkwy + w. brzegwe., ) *1) *2) 7 zmiennych: vx, v y, vz, p,,, 4 równania: *1) + *2) => kniecznść rzech ddakwych równań knsyuywnych B p,,,...) G p,,,...) H p,,,...) 1 1 1
PRAWO CIĄGŁOŚCI Opis mezskalwy równanie ciągłści 0 v) '... 1 / ) d x x 0 ' ) 1 ' 1 ) ) d x v d x x x v) ) ' ) 1 ) v d x v x d x d x x x ' 1 ' 1 ) ) mikr --> mez
mikr --> mez Opis mezskalwy równanie pędu v [ v v)] p g S v,, ) / 1 x)... d x' v ) v v) ΨN/m 3 ) siła na jednskę bjęści działająca na ciecz
mikr --> mez P przekszałceniach raz wykrzysując praw ciągłści rzymujemy v [ v v )] / Pdsawienie psaci F / [ v Dla małych prędkści Re << 1) zachdzi: v p v)] g prwadzi d r.pędu p g F LHS 0 raz F= βv => v p g) PRAWO DARCY!
mikr --> mez mikr mez Dla przepływów jednfazwych, jeśli praw ciągłści raz praw Darcy v v spełnia v
Makrskpwe praw przepływu wód pdziemnych v) n q) v p g) v n g k p / g z) ϕ ϕ q k S s k ) w. p. w. b.
mez - - > makr Przypmnienie: skala mez skala makr skala ypwa dla badań labraryjnych rzędu 0,1 1,0m) skala ypwa dla blków mdeli przepływu w. pdz. rzędu 10 100m) Isne załżenie przy przejściu d skali mez d skali makr: w skali blku związek pmiędzy gradienem wyskści hydraulicznej jak przyczyną) a przepływem właściwym jak skukiem) ma psać idenyczną z prawem Darcy bwiązującym w skali próbki.
mez - - > makr Z eg załżenia wynika, że pszukuje się blkweg współczynnika filracji K b x), kóry w dwlnym punkcie x pwinien spełniać blkwe praw Darcy, j. 1/ V ) V q x ) dx K b x)1/ V ) V x ) dx lub równważnie q x) K x) x) b *)
mez - - > makr Własnści blkweg wsp. filracji K b x): a) K b x) nie jes równy średniej arymeycznej współczynnika filracji w skali próbki) w blku b) K b x) zależy d gemerii pla przepływu c) K b x) jes ensrem nawe jeśli w skali próbki współczynnik filracji jes skalarem d) K b x) niekniecznie musi być ensrem symerycznym nawe jeśli w skali próbki współczynnik filracji jes ensrem symerycznym
mez - - > makr M. Nawalany Biuleyn PIG 388,1999, 179-190) wykazał, że *) => K b x) x) k k' ' czyli K b x) zależy d rzwiązania równania przepływu na pzimie próbki a ym samym d warunków brzegwych na granicach blku. Sąd pmysł medy deerminisycznej
mez - - > makr by zasswać w przypadku dwuwymiarwym) dwa różne układy warunków brzegwych i = 1,2) na granicach blku i wyliczyć 4 elemeny ensra K b x) z 4 równań q x i K bxx / x i K bxy / y i q y i K byx / x i K byy / y i
Wybrane aspeky numeryczne A.Trykzk, 2014) hmgenized K md) Kxx=Kyy pper and lwer bunds 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 10 100 1000 10000 100000 number f ndes CN-FEM unif. mesh) CN-FEM nn-unif.) exac sluin MH-FEMunif. mesh) MH-FEM nn-unif.)
mez - - > makr Szczególny przypadek a) przepływ przez blk jes jednrdny, b) wsp. filracji w skali próbki jes izrpwy: - dla przepływu 1-wymiarweg: K - dla przepływu 2-wymiarweg: K - dla przepływu 3-wymiarweg: K 1 b x) {1/ V ) [ k x')] dx V b '} x) exp{1/ V ) ln k x')) dx'} 1/ 3 b x) {1/ V ) [ k x')] dx V V '} 1 3
mez - - > makr schas.) Medy schasyczne np. Gelhar, 1993) wyznaczają związek pmiędzy plem lswym kx) w skali próbki a lswym ensrem K b Liczne badania erenwe pwierdzają, że w wielu syuacjach a) w skali próbki zmienna lswa Yx) = ln [kx)] ma rzkład Gaussa z warścią czekiwaną E[Yx)] raz f. kwariancji C Y, b) średnia gem. pla lsweg Y wynsi K g a wariancja σ Y 2, c) ple lswe Y jes izrpwe, d) ple przepływu jes jednrdne, e) rzmiary blku są większe niż długść krelacji
mez - - > makr schas.) Przy ych dść resrykcyjnych załżeniach) - dla przepływu 1-wymiarweg: K x) b K g exp 2) - dla przepływu 2-wymiarweg: K x) b K g - dla przepływu 3-wymiarweg: 2 y / K x) b K g exp1 2 y / 6)
Pdsumwanie Jak już wiemy jak przejść d skali mez d skali makr przejścia d skal wyższych lkalnej i reginalnej ) mżna zrealizwać analgicznie.
Wydział Inżynierii Śrdwiska Pliechnika Warszawska Prblemy skali w zagadnieniach ceny paramerów hydrgelgicznych dla przeb mdelwania przepływów wód pdziemnych Marek Nawalany, Grzegrz Sinicyn