Title: O pewnym równaniu różniczkowym z odchylonym argumentem. Author: Jan Błaż

Transkrypt

1 Tile: O pewnym równaniu różniczkwym z dchylnym argumenem Auhr: Jan Błaż Ciain syle: Błaż Jan. (1969). O pewnym równaniu różniczkwym z dchylnym argumenem. "Prace Naukwe Uniwersyeu Śląskieg w Kawicach. Prace Maemayczne" (Nr 1 (1969), s )

2 P R A C E N A U K O W E U N IW E R S Y T E T U Ś L Ą S K IE G O W K A T O W IC A C H N R 2 P R A C E M A T E M A T Y C Z N E I, 1969 Ja n B ł a ż O pew nym rów naniu różniczkw ym z dchylnym argum enem 1. Przedmiem mich rzważań będzie równanie różniczkw-funkcjnalne, psaci (1) ę'() = F (, {<p}f+<!() dla > ę () = ( dla < w kórym ó() znacza funkcję rzeczywisą, nieujemną, ciągłą dla ^O, 4( jes daną funkcją ciągłą i graniczną dla r< ; symblem {<p}(+a(() znaczamy u funkcję <p(ś)e$>, (gdzie . Przez F (, {ę>}(+i{1)) rzumieć będziemy funkcjnał, kreślny dla wszelkich par (, ę ) e (fi, +)x<p. W równaniu (1) dane są: funkcje <5(, () raz funkcjnał F (, {ę})~, niewiadmą jes funkcja ę(), kóra ma być klasy C 1 dla / ^ i m a spełniać w ym przedziale równanie (1). Oprócz równania (1) rzparywać będziemy równanie kszału <Pm( = ^ ( M śpmw ) dla <K<JW (2 ) <Pm( = <Pm( M ) dla ^ M <Pm ( = ( dla «S W dalszym ciągu wykażemy wierdzenia isnieniu i jednznacznści rzwiązań ych równań w pewnej klasie <P* funkcji i pkażemy, że rzwiązanie ę ( e <f** równania (1) jes granicą, przy M - > +, ciągu rzwiązań ę M( c równań ypu (2). W pracy wykrzysuję idee prf. A. B i e l e c k ie g, kóry badał wszechsrnnie równania liniwe ypów (1) i (2) i kóremu dziękuję za udsępnienie mi swych wyników. Przed sfrmułwaniem załżeń wprwadzimy jeszcze pewne znaczenia. Przez <f> znaczać będziemy zbiór funkcji ę( e <P, zlkalizwanych d przedziału <, + ); symblem },+a(()) pisać będziemy F (, (p). 2. Odnśnie funkcji, wysępujących w równaniu (1), przyjmujemy nasępujący układ załżeń.

3 Z a ł ż e n ia (Z). 1 Jeśli >, ę e, F(, ę ) = ę () e <P. 2 Jeśli <p e, ij/ e, (p(s)=ij/(s) dla s ^ + S ( ), F (, cp)=f(, \p). 3 Isnieje funkcja L(), ciągła i nieujemna dla, aka, że dla każdej pary (/, ę), (, ) ilczynu <, + ) x zachdzi nierównść \F (, < p)-f (, 4 Isnieje sała k, k > 1, aka że dla ^ O jes \F (, ) \ś k L ( ). 5 Zachdzi nierównść +HO k f L(s)ds s u p - = ^ < 1. *) k 6 Funkcja pcząkwa () jes ciągła i graniczna dla : 7 Sała p spełnia nierównść {(Q < i dla «. r, + l 1 - q 3. Twierdzenie isnieniu rzwiązania równania (1). Oznaczmy przez * zbiór funkcji ę (/) e, spełniających warunek (3) IMI = sup \<p \: < p = cns, ( -. + ) k / L(s)ds e gdzie i +1 jl (s)d s dla ^ O, J L (s)ds = 1 dla <, i rzważmy ransfrmację T, kreślną w zbirze wzrem (4) ( = 7» = ()+ J F (s, (p)ds dla f(f) dla s;. Pkażemy, że przy załżeniach (Z) zachdzi inkluzja T(*)cz* raz że ransfrmacja T jes zbliżająca. *) Załżenie zaprpnwał prf. A. Bie l e c k i.

4 Isnie, niech ę e $*, wedy dla jes zaś dla l<żkoi = If (1 rzymujemy szacwania \$ (1 < li ()1 + i \F (s, ę ) - F (s, )1 ds + } F (s, ) ds < O 1+ J M OM Ś+ads + k $ L (s)d sś O s +a() k J L(u)du <fl + \\ę \\il ( s ) e ds + k $ L ( s ) d s ^ *+ «<*> k i L(s)ds e k J L(«)du * L(s)ds <Jj + IM s u p Jfe L (s)e ds + e < s» k, S L(s)ds k f L(s)ds k S L(s)ds k f L(s)* i niech ę T((p), \j/ = T(ij/). Wedy dla jes czywiście <p(/) $ (/) = ; dla /> mamy zaś szacwanie! -1^1 j +ł(5) ds < Sąd * J L(j)di s g «(L(u)du, su p----- J lcl(s)e d s< g ^ k ll<p-</'ikg <Z>-</'ll, ^ (,1 ). Z pwyższych rzważań i z wierdzenia Banacha punkcie sałym wynika nasęp pujące T w ie r d z e n ie \. Jeżeli spełnine są załżenia ( Z ), równanie (1 ) psiada w klasie <P* dkładnie jedn rzwiązanie. Rzwiązanie jes granicą ciągu klejnych przybliżeń {(pn()}, gdzie ę n() = T(cpn_ x), <p() = cp &$*. 4. Twierdzenie isnieniu rzwiązania równania (2). Przyjmijmy znaczenia, wprwadzne w punkcie 1 pracy, z ym, że zamias zbiru m, zlkalizwanych d przedziału <, + ). Wreszcie przez <P M rzumieć będziemy zbiór funkcji ę ( ) e $ *, spełniających ddakwy warunek ę M() = ę M(M ) dla ^ M, z nrm ą, kreślną związkiem (3). 2 P r a c e m a e m a y c z n e I,

5 Rzważamy ransfrmację TM, kreślną na zbirze <PM wzrem 5()+ S F (s,(p M)ds dla <Pm( ~ Tm((Pm) {( )+ JP (s, M 5 ( dla <. Pdbnie ja k pprzedni dwdzi się nasępująceg wierdzenia: T wierdzenie 2. Jeżeli są spełnine załżenia (Z), w klasie $*M isnieje dkładnie jedn rzwiązanie równania (2). Rzwiązanie jes granicą przy v~* ciągu klejnych przybliżeń gdzie <Pm ( = W M~ >), ę M ( ) = ę M e ^ M. 5. Rzwiązanie równania (1) jak granica ciągu rzwiązań równań psaci (2). Niech {Mi} znacza rsnący ciąg liczb ddanich, aki że lim A /f= + i niech ę Mi() znacza jedyne rzwiązanie równania = F ( >(Pm,) dla (6) (pml() = <Pm,(M,) dla > M <Pm,( = 5 ( dla <, i W dalszym ciągu, dla prsy znaczeń, będziemy pisać <PM,(=^i(» i= 1,2,... Niech {^i(;)(} znacza dwlny pdciąg ciągu {«A»(}, 7 = 1»2,... Pkażemy, że ciąg {iaic/>(} jes wspólnie graniczny i jednakw ciągły w każdym przedziale dmknięym <,b }, < b< + ; (dla jes czywise). Rzważmy w ym celu ciąg {«/'j'u)(}» v =, 1, 2,..., klejnych przybliżeń rzwiązania i/hu)( równania (6), kreślny wzrami (7) ( 5 (, ^ ) ( = U(), >, 5() + F (s, d s, Mi(j) 5()+ j F {s,\i/vnj))ds, ^ M iu) 5(» «. Wykażemy wpierw indukcyjnie, że dla f e (, + ) zachdzi nierównść (8) * S L(s)Js M I u A O e p e v =, 1, 2,...

6 Jes czywise dla ; przyjmijmy więc, że <, + ). Wedy k i L(s)ds \ K j M = l ( ) l Załóżmy, że dla ^ O zachdzi nierównść (8); wedy zgdnie z (7) rzymamy Wu>1(l< IC ( ) + \ \ F ( s, r (j)) - F ( s, ) \d s + \ \ F ( s, ) \d s ^ ^ 7 + J f-cs) l Ai(j)L+i(s) ds + k J L (s)c/s^ c + <S(s) k i L(u)du I < ł / + j L ( s ) p e ' ds + k J L (s )d s^ +<<) k S L(s)ds, g e I * J L(u)du k S L(s)ds <» /+ s u p p kl (s)e d s+ e <» k». fc! L(s)ds k s L(s)ds k f L(s)ds k J L(s)ds < v + q p e + e <(rç + g p + l ) e +, rzymujemy nierównść (9) l^i(»(oi < pe + h k i L(s)ds z kórej wynika wspólna granicznść funkcji *Pi<j){),j= 1,2,... w przedziale <, by. Dla wykazania jednakwej ciągłści funkcji *A/)( w przedziale <, by przyjmijmy, że liczby raz + h należą d przedziału <, by (jednakwa ciągłść funkcji ipi(jf) dla jes czywisa). Wedy l+ * +h \ M + h ) - M Û \ < \ i F ( s,^ i)) d s < i \ F ( s, i(j))-f ( s, ) \d s l + + ' j F (s, ) d s < J* L ( s ) ^ U) ;+a(j)ds + f c 'j L (s )d s< il(6 ) f, r f gdzie yl(ó) jes pewną niemalejącą funkcją zmiennej b. N a mcy wierdzenia Arzeli dla przedziałów prawsrnnie warych, z ciągu l"/'/o)(} mżna wybrać pdciąg {<A,())(}. k = 1,2,..., niemal jednsajnie zbieżny d pewnej funkcji </»*(/): 1p*() = lim \l/iu m () (niemal jednsajnie dla e(, + )), k-* przy czym 1p*()= ^() dla f<.

7 Pkażemy, że funkcja ÿ*(f) spełnia równanie (1); niech e <, 7">, gdzie T jes dwlnie dużą liczbą ddanią. Wedy A = ^*( 5() f F(s, ^ * )d s < i/r* ( -^ iaw)(l + O + I P (s > (s >^ł(>(*)))lds^ ^*( fri/(*))(l + I ^ ( s)l^* ^JO(*»lï+a(j)^s ^ i < i/r*( Ai(*))(l+ L J ^* iai(j(k)) s+i(j) d s, gdzie Z, jes sałą ddanią, spełniającą dla e <, 7"> n i e r ó w n ś ć P n i e w a ż ciąg {^iu(ł»(} j es jednsajnie zbieżny w przedziale <, T*>, gdzie T* = max (f+ 5(). d funkcji i/^*(), więc dla dsaecznie dużych k będzie (6<,r> A < e + sl T = e ( l + L T ), przy czym e jes dwlnie małą liczbą ddanią. Pnieważ pnad sała T była dwlna, więc A = w całym przedziale ( -, + ). Zaem ( 1 ) r a ) = ()+ jf (s,ia * )d s dla,. <5( dla ^ O, c znacza, że funkcja jes rzwiązaniem równania (1). Z nierównści (9) wynika, że i j e s elemenem zbiru <P*. Pnieważ, zgdnie z wierdzeniem 1, funkcja ę ( ) była jedynym, w klasie <P*, rzwiązaniem eg równania, zaem (11) ^ * ( = -5(- Pkazaliśmy więc, że z każdeg pdciągu ciągu {</'i(} mżna wybrać pdciąg, zbieżny zawsze d ej samej funkcji ę(), e (, + ). Zaem również ciąg {^(f)} jes niemal jednsajnie zbieżny w przedziale (, +) d funkcji <p(): (12) lim ^i() = ę (), f e ( - c, --). i~ * c Tym samym udwdniliśmy nasępujące T w ierd zen ie 3. Jeżeli są spełnine załżenia (Z), rzwiązanie <p() równania (1) jes granicą niemal jednsajnie zbieżneg ciągu {(PM,(.)} rzwiązań równań (6). 6. Uwagi kńcwe. Wzmcnijmy załżenia (Z), dyczące funkcjnału F{, ę), przyjmując nasępujące Z a ł ż e n ia (H ). 1 Spełnine są załżenia (Z).

8 2 Funkcjnał F (, ę ) jes niemalejący względem zmiennej ę, znaczy, jeśli u (s)^v(s) dla s ^ + ó (), F(, u ) ^ F (, v ). 3 Zachdzi nierównść F (, Ç *)^ dla ^ O, gdzie ih() dla {*( - f i () dla. Wedy m a miejsce nasępujące wierdzenie: T wierdzenie 4. Jeśli są spełnine załżenia (//), rzwiązanie ę M() równania (2) ma nasępujące własnści a) ę M{) nie maleje względem zmiennej, ^ O ; P) <Pm(J) n e maleje względem zmiennej M, zn. jeśli < M ^ N, ę M()^<pN(), ^O. D w ó d. Niech {(ph{)}, v =, 1,2, będzie ciągiem klejnych przybliżeń rzwiązania (pm() równania (2), zn. < ( = m dla < m ) dla >, a ) + i F{S, ^ M)ds dla < +1( = m + 1 F i s ^ ^ d s dla ^ M «dla. Krzysając z załżeń 2 i 3 (H) ław dwieść indukcyjnie, że ciąg {<p«(} jes niemalejący względem v, przy każdym usalnym. Sąd i z równści ę M{ = *( wnsimy, że lim <Pm( = <Pm( > ^ * ( - v-> Zaem, wbec załżeń 2 i 3 {FI), mamy (13) q>'{) = F(, <pm) ^ F (, * )>, dla ^ O, skąd wynika własnść a). Dla wykazania własnści fi) zauważmy wpierw, iż jeśli (pm e <P*M, <pn e 4>J,, m (<<Pn( dla r >, F (, ę M)>, przy czym < M ^N i jeśli ę M() = TM{(pM), (Pn(= Tn{<Pn)> gdzie ransfrmacja TM{ćpM) jes kreślna wzrem (5) (analgicznie kreślamy ransfrmację TN{łpN)), dla e{, +) zachdzi nierównść (14) < ( < < P n(- Isnie, dla, jes ę M()= ę N()= ę(); niech O ^^M wedy, na mcy załżenia 2 {H), będzie < ( - < ( = j {F(s, cpn) F(s, <pm)}ds^.

9 Niech eraz wedy M <Pn(~<Pm( =if(s, (pn)ds J F (s, ę M) d s ^ J F (s, ę N) d s - J F (s, <pm)ds = = J {F(s, ę N) - F ( s, ę M)} d s^o. Wreszcie dla ^ N będzie N V M - V M = 1 F (s, ę N) ds J F (s,cpm) d s ^ N > J {^(S, ^ W) - F ( s, ^ M)} d s>, c kńczy dwód nierównści (14). Niech eraz ę N() i <pm() znaczają rzwiązania dpwiednich równań (2) (ypu (M) i (IV))» gdzie M ^ N i niech {ę>]i(} i {<Pm(}» v =, 1,2,..., będą dpwiednimi ciągami klejnych przybliżeń ych rzwiązań. Pnieważ ę ^ ( O ^ ^ W ^ jk O» więc wbec nierównści (14) dla e(, +) rzymujemy nierównść Indukcyjnie dwdzi się, że PmW = Tm((Pm) < Tn((Ph) = <pi(f). (15) <Pm(^<Pw(. v =, 1,2,, I e ( -, --). Przechdząc w nierównści (15) d granicy, przy v-», rzymujemy nierównść ç>m(<<pn(» sfrmułwaną w brębie własnści fi). Tym samym dwód wierdzenia 4 zsał zakńczny. Równania liniwe, psaci (16) ę'() = ę ( + h ), ^so, <p() = l, < ń = cns, raz (17) ę'm() = <pm(+ h), O^^M, ę M() = (pm(m) dla ^M, cpm() = 1, badał wszechsrnnie prf. A. B i e l e c k i, kóry był łaskaw udsępnić mi swe wyniki. Wyniki Jeg uzyskamy u z wierdzeń 1 4, przyjmując w szczególnści ó() = h, F (,{q j}+ m ) = {ę}+h, * ( = 1. W rzważanym przypadku będą bwiem spełnine załżenia (Z) i (//), jeśli przyjąć za prf. A. B ie le c k im, iż M

10 ÜBER EINE DIFFERENTIALG LEICH UNG MIT VERCHIEBENEM A R G U M EN T Z u s a m m e n fa ssu n g In der vrliegenden N e beweisen wir einen Exisenzsaz und einen Saz über die Eindeuigkei der Lôsungen der Differenialgleichungen (1) und (2), in welchen <5( eine reelle, nichnegaive und im Inervall <, --) seige Funkin bezeichne und 1 ( f ) eine gegebene, seige und im Inervall (,> besclirânke Funkin is. D as Symbl {ç>}+a<() bezeichne eine seige Funkin 93 (s), die im Inervall s e (, f+<5(f)> definier is und im Inervall (, > die Ideniâ 93(s)= I (s) erfull. Wir bezeichnen mi die Menge der reellen und fur e (, + ) seigen Funkinen 93(f), s dab 93( = ^ ( fur f < gil, und m i F (f, (<?3}<+a(i)) ein fur aile Paaren (, <p) e <, +)xd> definieres Funkinal. In der Gleichungen (1) und (2) sind die Funkinen <5(, 1 ( und der Funkinal F (, d) gegeben; wir suchen die Funkin 93(f). Uner ensprechenden Vraussezungen beweisen wir, dab es in der Klassed>* (der Funkinen 93(f), welche die Bedingung (3) erfiillen) genau eine Inegralkurve der Differenialgleichung (1) gib (Saz 1). Der Saz 2 beriff der Exisenz und der Eindeuigkei der Lôsungen der Differenialgleichung (2). AuBerdem beweisen wir (Saz 3), dab die Funkinenflge {93Mf( } (der Lôsungen der Differenialgleichungen (6 )) zur Lôsung 93(f) der Differenialgleichung (1) gleichmabig im Inervall (, + ) knvergier. Oddan d Redakcji 1 sierpnia 1969 r.