F A L E I A K U S T Y K A

F A L E I A K U S T Y K A Niektóre powody dla których warto zafascynować się tym rodzajem ruchu: podobnie jak ruch drgający jest powszechny i to zarówno w wielu działach fizyki, jak i w życiu codziennym, ma zastosowanie praktyczne, np. dzisiejszy przekaz informacji odbywa się poprzez fale elektromagnetyczne, jest łatwy do zaobserwowania a poza tym istnieje wiele efektownych doświadczeń demonstrujących ten rodzaj ruchu, Określenie ruchu falowego jest bardzo proste... Ruchem falowym - nazywamy rozchodzące się w ośrodku sprężystym zaburzenie (fala mechaniczna) LUB układ prostopadłych do siebie pól: elektrycznego i magnetycznego (fala elektromagnetyczna)... wymaga jednak kilku uwag: fale mechaniczne mogą rozchodzić się jedynie w ośrodku sprężystym, natomiast fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się również w próżni, zaburzenie inicjujące rozchodzenie się fali może mieć różńą formę: pojedynczego impulsu, harmoniczną (zmiana zaburzenia w czasie opisana jest funkcją sinus) tym przypadkiem będziemy się zajmować najczęściej, inną (np. zaburzenie prostokątne), fala przenosi energię bez przenoszenia masy, w przypadku fal mechanicznych należy pamiętać, że amplituda zaburzenia nie może wywołać takiego naprężenia które przekroczy zakres sprężystości ośrodka, ponadto dla fal mechnicznych założymy, że w ośrodku nie ma tłumienia tzn. nie następuje zamiana energii drgań na energię wewnętrzną, Opis ruchu falowego nie jest prosty, co wynika przede wszystkim z faktu, że nawet dla najprostszego przypadku będziemy mieli do czynienia z funkcją dwóch zmiennych a takie to funkcji nie są omawiane w programie matematyki. 1

Wprowadźmy najpierw kilka podstawowych pojęć: 1. Źródło fali miejsce gdzie nastąpiło zaburzenie ośrodka, 2. Powierzchnia falowa zbiór cząsteczek ośrodka mających tą samą fazę drgań (będących w tym samym momencie drgań) na rysynku są to koncentryczne okręgi 3. Czoło fali najbardziej odległa od źródła powierzchnia falowa 4. Promień fali prosta prostopadła do powierzchni falowej; przechodząca przez źródło fali Powyższe pojęcia można zobrazować wrzucając np. kamień do wody; otrzymamy wówczas charakterystyczne koncentryczne okręgi powierzchnia falowa promien fali czolo fali zrodlo fali Teraz można już zdefiniować wielkości opisujące propagację (rozchodzenie się) fali: 1. Amplituda fali (A) określa maksymalne wychylenie cząsteczek ośrodka z położenia równowagi, jest to jednocześnie amplituda zaburzenia, 2. Częstotliwość fali (f) częstotliwość drgań ośrodka, jest to jednocześnie częstotliwość zaburzenia 3. Długość fali (λ) odległość między dwoma sąsiednimi (najbliższymi sobie i identycznymi) powierzchniami falowymi, λ 2

4. Prędkość fali (v) określona następująco: λ = v t v = λ T v = λf 5. Natężenie fali (I) określone następująco: I = < P > S [I] = W m 2 Gdzie:< P > średnia moc fali,s powierzchnia prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali Gdy fala rozchodzi się we wszystkie strony to powierzchnia S = 4Πr 2 i wówczas natężenie wynosi: I = < P > 4Πr 2 I 1 r 2 Można pokazać, że dla fal mechanicznych natężenie obliczmy następująco: I = 1 2 vρω2 A 2 Gdzie: v prędkość fali w ośrodku, ρ gęstość ośrodka, ω prędkość kątowa, A amplituda fali. W zależności od kształtu czoła fali wyróżniamy: 1. Fale płaskie czołem fali jest prosta lub odcinek 2. Fale koliste czołem fali jest okrąg 3. Fale kuliste czołem fali jest kula, 4. Fale trójkątne i stożkowe czołem fali jest trójkąt lub stożek, fale takie powstają gdy zaburzenie ma większą prędkość niż prędkość fali w ośrodku (fale uderzeniowe, np. gdy samolot przekracza prędkość dźwięku czy motorówka jak szybko płynie po wodzie), W zależności od geometrii fali wyróżniamy: 1. Fale jednowymiarowe np. fala w sznurze 3

2. Fale dwuwymiarowe np. fala na wodzie 3. Fale trójwymiarowe np. fala uderzeniowa Podstawowa klasyfikacja fal rozróżnia fale w zależności od orientacji kierunku zaburzenia względem kierunki rozchodzenia się i mamy: 1. fale podłużne gdy kierunek zaburzenia jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali, 2. fale poprzeczne gdy kierunek zaburzenia jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, Niektóre przykłady ruchu falowego w życiu codziennym: fale na wodzie po wrzuceniu kamienia (wbrew pozorom szczegółowy opis tej fali jest bardzo trudny) fala meksykańska na stadionie, fale elektromagnetyczne (np. telefonu komórkowego, kuchenki mikrofalowej, sieci Wi-Fi. Przykłady te zostały podane nieprzypadkowo; częstotliwość fali jest w nich podobna i wynosi około 2.4GHz) fale dźwiękowe, Prędkość fal w różnych ośrodkach W napiętych sznurach i prętach prędkość (u) rozchodzenia się fal poprzecznych zależy od siły napinającej strunę (F ) oraz od gęstości liniowejρstruny, to znaczy od masy struny przypadającej na jednostkę długości. Zależność tę zapisuje się wzorem: u = F Prędkość podłużnej fali sprężystej rozchodzącej się wzdłuż pręta zależy od modułu Younga (E) materiału pręta oraz od jego gęsości (d) w sposób następujący: ρ E u = d Fale podłużne w cieczach i gazach rozchodzą się z prędkością zależną od 4

ściśliwości ośrodka (κ) i jego gęstości (d) w sposób następujący: u = 1 κd Zjawisko Dopplera Dotyczy każdego rodzaju fal. Polega ono na zmianie rejstrowanej przez obserwatora częstotliwości (a zarazem długości) fali, gdy jej źródło i obserwator poruszają się względem siebie, zmiana ta jest następująca: zwiększenie się częstotliwości fali gdy żródło i obserwator zbliżają się do siebie zmniejszenie się częstotliwości fali gdy źródło i obserwator oddalają się od siebie Omawianą zmianę częstotliwości można zilustrować graficznie: λ (1) (2) (3) v=0 z o z v o z v o Spoczywające źródło fali (z) emituję falę o długości λ i taka też długość fali (o częstotliwości f = v λ ) odbierana jest przez obserwatora (o) (Rys. 1) Gdy obserwator i źródło zbliżają się do siebie (Rys. 2) następuje zagęszczenie powierzchni falowych co obserwator (o) zarejstruje jako zmniejszenie się długości fali (i zwiększenie się jej częstotliwości bo f = v λ ) Gdy obserwator i źródło fali oddalają się od siebie (Rys. 3) następuje rozrzedzenie powierzchni falowych co obserwator (o) zaobserwuje jako zwiększenie się długości fali (i zmniejszenie się jej częstotliwości bo f = v λ ) Oraz wyprowadzić: W przypadku gdy źródło i odbiornik spoczywają (rys. 1) odbierana długość fali λ jest równa długości fali emitowanrj przez źródło λ. Niech teraz źródło zbliża się do obserwatora z prędkością v z (rys. 2) wówczas rejstrowana przez obserwatora długość fali jest mniejsza o drogę jaką fala 5

przebędzie w czasie równym okresowi emitowanej fali (T), czyli: λ = λ v z T Gdzie v z jest prędkością źródła fali Podstawiając za λ = v f f, λ = v f f, T = 1 f otrzymamy: v f = v f f f v z f Gdzie v f jest prędkością rozchodzenia się fali w ośrodku Obliczając z powyższego równania f otrzymamy: f = f v f v f v z ( ) Przeprowadzając powyższe rozumowanie dla przypadku gdy źródło oddala się od obserwatora (rys. 2) otrzymamy: f = f v f v f + v z ( ) Łącząc ze sobą wzory ( ) i ( ) otrzymamy i uwzględniając fakt że obserwator porusza się z prędkością v o otrzymujemy ostateczny wzór opisujący prawo Dopplera: f = f v f ± v o v f v z Wzór ten należy czytać następująco: znaki górne (w liczniku + a w mianowniku ) wstawiamy gdy źródło i odbiornik zbliżają się do siebie, natomiast znaki dolne (w liczniku a w mianowniku +) wstawiamy gdy źródło i odbiornik oddalają się od siebie. Niektóre zastosowania zjawiska Dopplera: Pomiar prędkości np. samochodu w radarach policyjnych, Pomiar prędkości krwi np. w tętnicach szyjnych, Analiza widma światła odległej galaktyki i określenie jej prędkości ucieczki Płaska fala harmoniczna 6

Przechodzimy teraz do matematycznego opisu ruch falowego, aby zbytnio nie komplikować zagadnienia rozważymy najprostszy przypadek; falę jednowymiarową w której zaburzenie jest drganiem sinusoidalnym (y(t) = A sin(ωt)). Fale taką można wytworzyć np. w sznurze przywiązanym z jednej strony do ściany. Kolejne etapy propagacji tej fali są przedstawione na rysunku: t=0 1 t= T 4 x t= 1 2 T 3 t= 4 t= T T x= λ t= t= 5 4 3 2 T T t= 7 4 T t= 2T x= 2λ t Widać tu kolejne etapy tworzenia się płaskiej fali harmonicznej. Wyrażenie które opisze wychylenie cząstek ośrodka (w naszym wypadku może być to np. sznur lub struna) zależy zarówno od położenia, jak i od czasu (jest więc w najprostszym wypadku funkcją dwóch zmiennych); jest to tzw. funkcja falowa fali płaskiej. Opisuje ona wychylenie cząstek ośrodka w czasie t i w odległości x od żródła fali. Aby wyznaczyć jej postać zauważmy, że zaburzenie falowe poruszając się z prędkością v dotrze do danego punku ośrodka x po czasie t = x v a zatem drganie punków odległych o x od źródła będzie opóźnione o ten czas i wygląda następująco: x = Asin(ω(t t)). 7

Korzystając z definicji prędkości fali (v = λ T ) i z definicji prędkości kątowej ω = 2Π T mamy że: ω t = 2Π T x v = 2Π T x λ T = 2Π λ x = kx Zatem ostatecznie równanie falowe będzie mieć postać: dla fal biegnących zgodnie z dodatnim kierunkiem osi 0X y(t,x) = Asin(ωt kx) dla fal biegnących przeciwnie do dodatniego kierunku osi 0X y(t,x) = Asin(ωt + kx) gdzie: A amplituda fali, Zasada superpozycji odnosi się do przypadku gdy w ośrodku rozchodzą się przynamniej dwie fale zakładamy, że wychylenie ośrodka wywołane tymi falami są na tyle małe, że nie został przekroczony zakres sprężystości ośrodka Wypadkowe wychylenie danej cząstki ośrodka w którym rozchodzą się fale jest sumą wychyleń wywołanych przez każdą z tych fal osobno. Zasada superpozycji gwarantuje nam, że na propagacje danej fali nie mają wpływu inne fale rozchodzące się w tym samym ośrodku. Zjawiska falowe Dla opisu zjawisk falowych koniecznym jest poznanie mechanizmu powstawania tzw. fal elementarnych pokazuje go Zasada Huygensa: Każda cząstka ośrodka do której dochodzi fala staje się źródłem elementarnej fali kolistej. Elementarne fale koliste nakładając się na siebie dająć falę wypadkową, którą obserwujemy Do zjawisk falowych będziemy zaliczali: 8

1. Dyfrakcja, 2. Interferencja, 3. Polaryzacja, Ad.1 Dyfrakcja Dyfrakcja polega na uginaniu się fal na przeszkodach których rozmiary porównywalne są z długością fali. Mechanizm dyfrakcji możemy przedstawić następująco. Zgodnie z zasadą Huygensa każda cząstka ośrodka do której dotarła fala staje się źródłem kulistej fali elementarnej, fale te nakładają się na siebie w wyniku interferencji dając nowe czoło fali. Umieszczenie przeszkody powoduje taką modyfikację nakładania się fal elementarnych, że powstają charakterystyczne ugięcia. Można przedstawić to na następującym rysunku: Zależność intensywności uginania się fal w zależności od rozmiaru przeszkody (a) w stosynku do długości fali (λ) ilustruje następujący rysunek: (1) (2) W przypadku gdy a λ 1 (rys. 1) następuje silne ugięcie, natomiast gdy a λ >> 1 (rys. 2) ugięcie jest małe lub do pominięcia. Ad.2 Interferencja Zjawisko interferencji ma miejsce wówczas gdy w danym ośrodku rozchodzą się 9

przynajmniej dwie fale i polega ono na nakładaniu się tych fal w wyniku czego w rozważanym ośrodku można wyróżnić: maksima miejsca których wychylenie jest największe, minima miejsca w których wychylenie jest najmniejsze, Aby wyznaczyć tzw. warunek wzmocnienia i osłabiebia fali rozważmy dwie fale płaskie o jednakowych amplitudach i częstotliwościach, rozchodzące się w tą samą stronę których źródła są przesunięte o x. Można to sobie wyobrazić w następującym doświadczeniu. k k m m x x Nad kuwetą z wodą zawieszone są dwa jednakowe wahadła sprężynowe odległe od siebie o x których masy drgające mogą uderzać w wodę w kuwecie powodując powstawanie fali płaskiej. Wypadkowe wychylenie w punkcie odległym o x będzie superpozycją wychyleń spowodowanych przez rozchodzące się fale czyli: y 1 (t,x) = Asin(ωt kx), y 2 (t,x) = Asin(ωt k(x + x)). y(t,x) = y 1 (t,x)+y 2 (t,x) = A(sin(ωt kx)+sin(ωt kx k x)) Korzystając ze wzoru na sumę sinusów: ( ) ( ) α + β α β sin(α) + sin(β) = 2sin cos 2 2 otrzymamy, że: ( ) ( ) 2ωt 2kx k x k x y(t,x) = 2Asin cos 2 2 10

Upraszczając i grupując w odpowiedni sposób powyższy wzór, mamy: ( ) ( k x y(t,x) = 2Acos sin ωt kx k x ) A sin(ωt kx) 2 2 Widać, że suma dwóch fal rozchodzących się w ośrodku również ma postać fali a jej amplituda A ma postać: ( ) k x A = 2Acos 2 Korzystając z faktu, że funkcja cosinus przyjmuje wartości maksymalne (1 lub 1) dla k x 2 = nπ otrzymujemy warunek na tzw. maksima interferencyjne: x = 2nΠ k = 2nΠ 2Π λ = nλ Natomiast wiedząc, że cosinus jest równy zero dla k x 2 = Π 2 wyznaczyć minima interferencyjne: x = 2 k Π 2 ( ) 2n + 1 = Π 2Π λ ( ) 2n + 1 = λ 2 + nπ możemy ( ) 2n + 1 Bardzo ciekawym przypadkiem interferencji jest nakładanie się dwóch tych samych fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Z taką sytuacją będziemy mieli najczęściej do czynienia gdy dana fala odbije się od przeszkody i wracając z powrotem nałoży się na falę wysyłaną. W takim przypadku nakładające się fale będą miały postać: y 1 (t,x) = Asin(ωt kx) i y 2 (t,x) = Asin(ωt + kx) Dodając te fale i korzystając, jak poprzednio, ze wzoru na sumę sinusów, otrzymamy: ( ) ( ) 2ωt 2kx y(t,x) = Asin cos 2 2 Po uproszczeniu i pogrupowaniu otrzmamy bardzo ciekawą rzecz: y(t,x) = Acos(kx)sin(ωt) 11

Okazuje się bowiem że uprościł się czynnik propagacyjny (ωt kx) i zamiast biegnącej fali otrzymujemy drganie o modulowanej amplitudzie: A = Acos(kx)( ) Jest to tzw. fala stojąca która ma mastępujący wygląd: wezel strzalka Przerywane linie pokazują zmiany amplitudy w czasie przy rozchodzeniu się fali stojącej, widać więc że występują w niej miejsca których amplituda drgań jest maksymalna; są to strzałki i miejsca które nie drgają w ogóle; są to węzły. Korzystając ze wzoru ( ) możemy wyznaczyć położenia strzałek z warunku cos(x) = 1 dla x = nπ czyli: kx = nπ 2Π λ x = nπ x = nλ 2 oraz położenia węzłów, z warunku: cos(x) = 0 dla x = Π 2 + nπ czyli: kx = Π 2 + nπ 2Π λ x = 1 2 Π(2n + 1) x = (2n + 1)λ 4 Wyznaczmy jeszcze odległości między sąsiednimi strzałkami: x s (n + 1) x s (n) = (n + 1) λ 2 nλ 2 = λ 2 pomiędzy sąsiednimi węzłami: x w (n + 1) x w (n) = (2(n + 1) + 1) λ 4 (2n + 1)λ 4 = λ 2 12

jest to zgodne z tym co widzimy na rysunku. Można jeszcze wyznaczyć odległość między sąsiednią strzałką i węzłem: x w (n) x s (n) = (2n + 1) λ 4 nλ 2 = λ 4 co również jest zgodne z tym co widzimy na rysunku przedstawiającym fale stojącą. Korzystając z faktu że odległość między sąsiednimi węzłami czy strzałkami jest stała można np. zaprojektować doświadczenie w którym poprzez pomiar odległości między sąsiednimi strzałkami w rurze Kunta wyznaczamy prędkość dżwięku. Klasycznym przypadkiem demonstracji zjawiska interferencji jest obserwacja fali płaskiej na wodzie docierającej do układu dwóch szczelin. Cząsteczki cieczy w szczelinach stają się żródłem dwóch fal kolistych (zasada Huygensa), a ponieważ pobudzająca te drgania fala dotarła do obu szczelin jednocześnie to fale wysyłane przez szczeliny mają tą samą częstotliwość i fazę początkową (mówimy o nich że są spójne lub koherentne) i zjawisko interferencji jest łatwe do zaobserwowania. Opisane powyżej rozchodzenie się fal da się przedstawić na rysunku: Zaś schematyczny rysunek promieni obydwu fal jest następujący: 13

(1) r 1 α P d (2) α α r 2 r2 r 1 Punkt P znajduje się dużo dalej większej niż odległość między źródłami fal zatem powstały trójkąt jest w przybliżeniu równoboczny. Z trygonometrii: r 2 r 1 d = sin(α) r 2 r 1 = dsin(α) A zatem z warunek wzmocnienia interferencyjnego: d sin(α) = kλ a osłabienia interferencyjnego: dsin(α) = (2k + 1) λ 2 Zjawisk dyfrakcji i interferencji nie można traktować osobno. Aby mogło zajść dyfrakcyjne ugięcie fali elementarne fale kuliste muszą przecież ze sobą interferować aby dać wypadkowe czoło nowej fali. Podobnie aby mogło dojść do interferencji fal np. na 2 szczelinach musi nastąpić najpierw dyfrakcyjne ugięcie fal. Ad.3 Polaryzacja Zjawisko polaryzacji mimo iż możliwe do zaobserwowania dla fal mechanicznych dotyczy przede wszystkim fal elektromagnetycznych i dlatego bardziej szczegółowo omówimy je w rozdziale Światło Polaryzować możemy tylko fale poprzeczne w których drgania ośrodka odbywają się nie w jednej a w kilku płaszczyznach. Zjawisko polaryzacji polega na wyborze z kilku kierunków drgań fali jednego, przyrząd który owo wybieranie zapewnia nazywa się polaryzatorem Dla lepszego zrozumienia istoty zjawiska polaryzacji możemy posłużyć się szczotką do butelek, ponieważ pokazuje nam ona przykład fali niespolaryzowanej. 14

Gdy jednak włożymy taką szczotkę do pionowej szczeliny to jej odkształcony wygląd pokaże nam falę spolaryzowaną. fala niespolaryzowana fala spolaryzowana AKUSTYKA Akustyka to dział fizyki zajmujący się opisem zjawisk dźwięku tzn. zarówno od strony formalnej, obiektywnej jako pewnwgo rodzaju fali, jak i subiektywnej czyli sposobu w jaki człowiek odbiera dźwięki Fala dźwiękowa to podłużna fala mechaniczna będąca zbiorem zagęszczeń i rozrzedzeń; tzw. fala ciśnienia, rozchodząca się w ośrodkach sprężystych. W zależności od jej częstotliwości wyróżniamy: Infradźwięki gdy częstotliwość jest mniejsza niż 20Hz, jako ciekawostkę można podać że fale sejsmiczne są infradźwiękami, Dźwięki słyszalne o częstotliwościach od 20Hz do 20kHz, na te częstotliwości reaguje ucho człowieka, Ultradźwięki o częstotliwościach powyżej 20kHz W dalszych rozważaniach mówiąc o dźwięku będę miał na myśli dźwięki słyszalne. Prędkość fali dźwiękowej w powietrzu wynosi: 340 m s ciśnienia. i zależy od temperatury i Źródłem dźwięku może być każdy układ zdolny do wytworzenia fali dźwiękowej; w zależności od ich pochodzenia źródła dźwięku dzielimy na: Naturalne wytwarzane przez naturę Sztuczne wytwarzane przez działalność człowieka W zależności od sposobu w jaki dźwięk jest wytwarzany możemy wyróżnić takie źródła dźwięku jak np: 15

Ciała wykonujące drgania (np. menbrany, pręty) Rezonatory układy w których powstaje fala stojąca (np. rura organów) Układy obracające się (np. syrena alarmowa) Układy wykonujące ruch nieuporządkowany (np. wybuch) Wprowadzając wielkości opisujące dźwięk należy pamiętać że fala dźwiękowa rejstrowana jest przez zmysł słuchu człowieka i z powodu skomplikowanej i do dziś nie do końca rozumianej budowy ucha człowieka, dany dźwięk może być różnie odbierany przez różnych ludzi. Istnieje satem subiektywny opis dźwięku; który jest jednak powiązany z opisem obiektywnym. Jedną z ciekawszych rzeczy w akustyce jest zatem próba opisu odczuć człowieka wielkościami fizycznymi. Ponadto okazuje się, że rozpiętość czy to częstotliwości słyszalnych, czy to obbieranych przez człowieka natężeń jest tak duża (ucho to bardzo precyzyjny instrument pomiarowy ), że stosowanie zwykłej skali liniowej na wykresach w akustyce jest niemożliwe (nie da się przecież tak dobrać skalę wykresu aby zaznaczyć na nim np. liczby 20 i 20000 w prezyzyjny sposób). Rozwiązaniem tego problemu jest skala logarytmiczna na której równe odstępy na osi odpowiadają kolejnym potęgom liczby np. 10; przykład takiej skali (dla częstotliwości pasma akustycznego) przedstawiono na poniższym rysunku: 1 10 100 1000 10000 100000 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Przedstawiono na nim też liczby od 1 do 10 widać, że skala ta nie jest liniowa; w sklepach papierniczych można kupić też tzw. papier logarytmiczny na którym naniesiona jest skala logarytmiczna. Podstawowe wielkości OBIEKTYWNE opisujące dźwięk to: 1 Natężenie dźwięku i poziom natężenia dźwięku, 2 Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość, 3 Charakter zaburzenia które spowodowało powstanie dźwięku i widmo dźwięku. Wielkościami SUBIEKTYWNYMI jakimi człowiek opisuje dźwięk są: 16

1 Głośność dźwięku, 2 Wysokość dźwięku, 3 Barwa dźwięku. Przy czym wprowadzone przeze mnie oznaczenia numeracji pokazują powiązania pomiędzy tymi wielkościami, które można również przedstawić w formie tabeli: Obiektywne: Natężenie, poziom natężenia Częstotliwość, okres, długość fali Charakter zaburzenia, widmo Subiektywne: Głośność Wysokość Barwa Ad 1. Natężenie fali dźwiękowej poziom natężenia fali dźwiękowej powiązana z nimi głośność. Natężenie fali dźwiękowej definiuje się zupełnie analogicznie jak natężenie dowolnej fali; nie będziemy zatem powtarzali poprzedniej definicji natomiast co jest najciekawsze, okazuje się, że ucho człowieka nie jest jednakowo wrażliwe na wszystkie częstotliwości z zakresu dźwięków słyszalnych; największą czułość wykazuje ucho dla dźwięków o częstotliwości 3kHz, dla dźwięków ze skrajów pasma (tj. 20Hz i 20kHz) czułość ta jest najmniejsza. Krzywą czułości ucha przedstawia poniźszy rysunek: W I, Najmniejsza wartość natężenia dźwięku odbierana przez m 2 1 10 człowieka dla częstotliwości 3kHz wynosi: I 0 = obszar slyszalnosci 10 12 W m 2 jest to tzw. próg słyszalności. Próg bólu 10 12 czyli natężenie dźwięku które zaczyna wywoływać ból to 3000 f,hz I max = 10 1 W m 2 Natężenie dźwięku jest bodźcem, który wywołuje u człowieka odczucie głośności; ogólna zasada mówi, że odczucie jest proporcjonalne do logarytmu bodźca; zatem wprowadza się: 17

Poziom natężenia fali (obiektywna) definiwanana jako: A = 10log( I I 0 ) gdzie I 0 = 10 12 Jednostką poziomu natężenia fali akustycznej jest decybel (db) Możemy przejść teraz do próby wprowadzenia subiektywnej wielkości głośności. Aby to uczynić wybieramy najpierw pewną ilość zdrowych (w sensie niegłuchych) ludzi; tzw. próbę statystyczną; dla uproszczenia niech ludzie ci będą tej samej narodowości. Każdy w tej próbie zostaje poddany badaniu które polega na tym że najperw słyszy dźwięk o częstotliwości 3kHz i pewnym poziomie natężenia (na początku jest to próg słyszalności; 0dB), następnie zmieniana jest częstotliwość i zadaniem człowieka jest taka zmiana poziomu natężenia dźwięku aby jego głośność była taka sama jak początkowa. Opisany eksperyment powtarza się dla wyższych poziomów natężenia dźwięku a następnie uśrenia się wyniki po wszyctkich uczestnikach próby i otrzymuje się tzw. izofony krzywe o stałej głośności; przedstawiono je na poniższym rysunku: W I, m 2 3kHz Krzywe te określają głośność, ponieważ mając dźwięk o danym natęzeniu (a co za tym idzie i poziomie natężenia) oraz częstotliwości można jednoznacznie odczytać pomiędzy jakimi izofonami znajduje się ten dźwięk i tym samym określić jego głośność. Dla uproszczenia daną izofonę opisuje się obrazowo, np. 0dB cichy szept, 10dB cicha rozmowa itd. Zatem dla danego dźwięku który znajduje się pomiędzy izofonami 0db i 10dB można powiedzieć, że jego głośność jest: pomiędzy cicym szeptem a cichą rozmową. Poniższy przykład doskonale pokaże charakter skali decybelowej. Wiedząc, że jeden silnik wytwarza hałas o poziomie natężenia 100dB, oblicz 18 f

jaki poziom hałasu wytworzy 10 takich samych silników (ustawionych oczywiście w tej samej odległości od obserwatora i przy pominięciu zjawiska odbicia i interferencji) Rozwiązanie: Przyjmując poziom słyszalności 10 12 W m2 obliczymy najpierw natężenie dźwięku emitowanego przez jeden silnik: A 1 = 10log( I 1 10 12) 100 = 10log( I 1 10 12) 10 = log( I 1 10 12) Korzystając teraz z definicji logarytmu (log a (b) = x a x = b) 10 10 = I 1 10 12 I 1 = 10 2 W m 2 Natężenie hałasu wywołanego przez 10 silników jest oczywiście 10 razy większe czyli: I 10 = 10 I 1 = 10 1 10 2 = 10 1 W m 2 Korzystając z definicji poziomu natężenia obliczamy poziom natężenia odpowiadający temu natężeniu: A 10 = 10log( I 10 10 1 10 12) = 10log( 10 12) = 10log(1011 ) = 110dB Widać więc, że 10 krotne zwiększenie natężenia dźwięku spowodowało wzrost poziomu natężenia tylko o 10dB. Jako ciekawostkę (mającą jednak ogromne zastosowanie komercyjne) można podać to że ucho ma swoją bezwładność przy rejstrowaniu dźwięków o dużej głośności tj. jeżeli po dźwięku głośnym pojawi się cichy to przez pewien czas ucho nie będzie w stanie go rejstrować. Ta cecha ucha została przede wszystkim wykorzystana do stworzenia formatu muzyki.mp3. Ad 2. Częstotliwość dźwięku, okres drgań fali dźwiękowej i jej długość oraz powiązana z nimi wysokość dźwięku. Częstotliwość, okres i długość fali zdefiniowana była przy omawianiu fal. Wysokość dźwięku powiązana jest z częstotliwoścą w bardzo prosty sposób: 19

na dźwięki o dużej częstotliwości człowiek mówi że są wysokie, na dźwięki o średniej częstotliwości człowiek mówi że są średnie, na dzwięki o małej częstotliwości człowiek mówi że są niskie, Ad 3. Charakter zaburzenia, widmo dźwięku i związana z nimi barwa. W zależności od sposobu powstawania dźwięku różny może być charakter zaburzenia które dany dźwięk spowodowało; inaczej wygląda bowiem zaburzenie powodujące dźwięk cymbałów (pobudzony do drgań pręt) a inaczej zaburzenie powodujące dźwięk (drganie powietrza w piszczałce). W ilościowej analizie dzwięku pomocne jest następujące twierdzenie Fouriera: Dowolny przebieg okresowy, da się przedstawić jako superpozycję (złożenie) wielu przebiegów okresowych, sinusoidalnych Twierdzenie Fouriera daje nam możliwość złożenia z kilku przebiegów sinusoidalnych przebiegu niesinusoidalnego, okresowego lub rozbicia dowolnego przebiegu na sumę przebiegów sinusoidalnych. Zależność amplitudy tych przebiegów od ich częstotliwości to widmo dźwięku. Natomiast to w jaki sposób człowiek odbiera dane widmo dźwięku nazywamy barwą dźwięku. Dzięki barwie dźwięku możemy np. zidentyfikować znanego nam wcześniej rozmówcę, czy odróżnić brzmienie dwóch instrumentów, nawet pomimo iż wysokość wytwarzanych przez nie dźwięków jest jednakowa. Ze względu na charakter widma dźwięku wyróżniamy: 1. Tony fale dźwiękowe harmoniczne tj. takie których przebieg jest sinusoidalny. Tonom można przypisać charakterystyczną dla nich częstotliwość drgań 2. Dźwięki fale dźwiękowe okresowe ale niesinusoidalne. Dają się przedstawić jako złożenie układu drgań sinusoidalnych. 3. Szmery nieokresowe fale dźwiękowe o różnych częstotliwościach Ad. 1 Ton Fala dzwiękowa jest prostą falą harmoniczną; tj. dźwięk charakteryzuje JEDNA częstotliwość rozchodzącego się w przestrzeni drgania a zależność zaburzenia od czasu jest sinusoidalna. Widmo takiej fali (to może być wyświetlane np. w 20

odtwarzaczu dźwięku typu Winamp), czyli zależność amplitudy zaburzenia od częstotliwości składa się z jednej składowej. Obydwa wykresy mają następującą postać: x A0 T=1/f0 Wielkości fizyczne opisujące dźwięk dla tonu mają postać: t A0 A f0 f Częstotliwość tonu (obiektywna) będąca częstotliwością zaburzenia rozchodzącej się fali. Wysokość tonu (subiektywna) powiązana z częstotliwością następująco. Ton wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski. Widmo tonu (obiektywna) określa zawartość częstotliwości tworzących ton, a ponieważ jest tylko jedna częstotliwość to określenie widma jest trywialne; składa się z tylko jednego piku o wysokości równej amplitudzie. Barwa tonu (subiektywna) określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera dane widmo tonu. Z uwagi że widmo takie składa się tylko z jednej częstotliwości nie ma sensu określać barwy tonu. Ad. 2 Dżwięk Fala dźwiękowa jest złożeniem (superpozycją) skończonej lub nieskończonej ilości tonów; tj. dźwięk charakteryzuję zbiór wielu częstotliwości rozchodzących się drgań w których zależności zaburzenia od czasu są sinusoidalne. Wypadkowe zaburzenie takiej fali NIE JEST sinusoidalne ale JEST okresowe. Widmo takiej fali, czyli zależności amplitud zaburzeń od częstotliwości składa się z wielu składowych. Na poniższych wykresach przedstawiono przykład dźwięku składającego się z dwóch tonów. 21

X 1 X 1 i X 2 t t X 2 X 1 + X 2 t A t Wielkości opisujące dźwięk dla dźwięku mają postać: f Częstotliwość dźwięku (obiektywna) będąca NAJMNIEJSZĄ częstotliwością zaburzenia rozchodzącej się fali, nazywana jest też częstotliwością podstawową widma. Częstotliwości będące wielokrotnością częstotliwości podstawowej nazywają się wyższymi harmonicznymi, Wysokość dźwięku (subiektywna) powiązana z częstotliwością następująco. Dźwięk wysoki ma częstotliwość większą niż ton niski, ale w przypadku dźwięku o jego wysokości cecyduje częstotliwość podstawowa, Widmo dźwięku (obiektywna) określa zawartość częstotliwości tworzących dźwięk, składa się z kilku(nastu) pików o wysokościach równych amplitudzie poszczególnych przebiegów sinusoidalnych na które można (tw. Fouriera) rozbić dźwięk, Barwa dźwięku (subiektywna) określa w jaki sposób ucho człowieka odbiera dane widmo dźwięku. Zależy zarówno od ilości występujących w widmie składowych i ich częstotliwości, jak i od ich amplitud. Przykładowo dźwięk saksofonu mający w widmie dużo nieparzystych harmonicznych, odbierany jest jako metaliczny. Ad. 3 Szmer lub szum Jest to dźwięk nie posiadający jednoznacznie określonego widma (np. niektóre 22

składowe pojawiają się i znikają w sposób losowy). Przykładami takiego szmeru jest np. dźwięk uderzających o brzeg fal, czy szum morza. Trochę bardziej uporządkowaną formą szumu (szmeru) może być dźwięk wytworzony przez człowieka i przeznaczony np. do badania urządzeń akustycznych; jest to: szum biały sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) ale z równymi natężeniami (energiami), szum różowy sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do jej wartości, szum czerwony sygnał w który zawiera wszystkie częstotliwości akustyczne niekoherentnie (fazy początkowe zmieniają się losowo) i w którym natężenie danej częstotliwości widma jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu jej wartości, Wielkości fizyczne opisujące szum nie są możliwe do określenia z uwagi na, opisany powyżej, charakter tej fali akustycznej. Można co najwyżej mówić o barwie szumu i o jego głośności ale i te wielkości będą opisywane (bo są przecież subiektywne) niejednoznacznie. Fala dźwiękowa, podobnie jak każda podlega zjawiskom falowym takim jak: dyfrakcja, interferencja, odbicie i załamanie, czy rezonans. Ponadto długości fal dźwiękowych wynoszą od 2cm do 20m, dlatego też zjawiska te są łatwo obserwowalne. Zajmniemy się następującymi zjawiskami związanymi z dźwiękiem: 1. Echo 2. Pogłos 3. Dudnienie 4. Rezonans akustyczny Ad.1 Zjawisko echa polega na takim odbijaniu się dźwięku od przeszkód, że odczuwamy dwukrotne lub wielokrotne słyszenie tego samego dźwięku. Stanie się tak, gdy przeszkoda odbijająca dźwięk będzie dostatecznie daleko (minimum to około 23

30m). Klasycznym przykłądem echa jest wrażenie jakie uzyskamy krzycząc w kierunku oddalonego lasu. Zjawisko echa wykorzystujemy w urządzeniach do pomiaru odległości (echosonda, sonar) Ad.2 Gdy opóźnienie odbitego dźwięku jest małe to ucho człowieka nie jest w stanie (jak w przypadku echa) rozróżniać dźwięków odbitych od wysyłanych ale powstaje wrażenie przedłużania się czasu trwania dźwięku, efekt ten nazywamy pogłosem. Pogłos występuje najczęściej w zamkniętych pomieszczeniach (aule, sale koncertowe) i może być zjawiskiem korzystnym (w przypadku sal koncertowych, gdzie ponad 80% docierającego do ucha dżwięku jest efektem pogłosu) lub niekorzystnym (w przypadku auli wykładowej aby zrozumieć mowę pogłos musi być jak najmniejszy) Ad.3 Gdy nakładają się dwie fale dźwiękowe których częstotliwości są bliskie sobie powstaje fala o częstotliwości będącej średnią arytmetyczną częstotliwości fal składowych (z uwagi na bliskośc częstotliwośco obu fal, średnia jest równa częstotliwości jednej z nakładających się fal). Amplituda tej wypadkowej fali zmienia się z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości nakładających się fal (więc bardzo małą, bo przecież częstotliwości obu fal są prawie takie same). Matematycznie będzie wyglądać to tak; dwie fale docierające do danego punktu wywołuą jego drgania: x 1 (t) = Asin(ω 1 t) x 2 (t) = Asin(ω 2 t) Wypadkowe wychylenie będzie sumą obu wychyleń składowych: x = x 1 + x 2 = Asin(ω 1 t) + Asin(ω 2 t) = 2Asin( ω 1 + ω 2 2 t)sin( ω 1 ω 2 t) 2 Mamy zatem drganie składające się z modulowanej amplitudy A i częstotliwości ω ω 1 ω 2 (x(t) = A sin(ω t)) co można przedstawić na wykresie: 24

2A x ωt Ad. 4 Rezonans akustyczny zjawisko polegające na pobudzeniu do drgań danego ciała przez padającą na nie falę akustyczną której częstotliwość jest równa częstotliwości drgań własnych rozważanego ciała. Następuje wówczas charakterystyczne wzmocnienie padającej fali Rezonans akustyczny wykorzystywany jest najczęściej w instrumentach muzycznych w których fala akustyczna powstaje jako fala stojąca w rezonatorach (przedstawiono je na poniższych rysunkach) a następnie może być wzmacniana w tzw. pudle rezonansowym (np. gitara) (1) (2) (3) (4) (5) (6) Doskonałym przykładem pokazującym zastosowanie rezonatorów jest następujący przykład: Wyznacz częstotliwość podstawową i trzy harmoniczne rury organów o długości 10m. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 340 m s Na rysunku przedstawiono klejne fale stojące mogące pojawiać się w rurze organów (zamkniętej z jednej strony i otwartej z drugiej) 25

(1) (2) (3) (4) L 1 λ 3 λ 4 4 5 λ 4 7 λ 4 Z rysunku widać, że kolejne harmoniczne powstające w takiej ruche da się opisać następującym wzorem rekurencyjnym: L = 2n + 1 λ czyli λ = 4 L dla n = 0,1,2,3,... 4 2n + 1 Podstawiając teraz za L = 10m zaś za n = 0 (częstotliwość podstawowa), n = 1,2,3 (wyższe harmoniczne) otrzymujemy kolejne dłogości fal: λ 0 = 40m λ 1 = 40 3 m λ 2 = 8m λ 3 = 40 7 m otrzymujemy częstotliwości poszczegól- I wreszcie korzystając ze wzoru: f = v λ nych harmonicznych: λ 0 = 40m λ 1 = 40 3 m λ 2 = 8m λ 3 = 40 7 m 26