Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3. Cel ćwiczenia ĆWICZENIE Sygnały i systemy dyskretne Współcześnie do przenoszenia i przetwarzania informacji używa się głównie sygnałów dyskretnych gdyż przetwarzanie sygnałów dyskretnych (z użyciem komputerów a zwłaszcza wyspecjalizowanych komputerów jakimi są procesory sygnałowe) jest bardziej efektywne niż bezpośrednia obróbka sygnałów analogowych. Systemy w których są przetwarzane sygnały dyskretne nazywają się systemami dyskretnymi. Niniejsze ćwiczenie jest poświęcone badaniu podstawowych parametrów sygnałów dyskretnych oraz systemów dyskretnych DLS (dyskretnych liniowych stałych w czasie tj. opisywanych równaniami różnicowymi liniowymi o stałych w czasie współczynnikach). 2. Wprowadzenie Sygnał dyskretny jest zdefiniowany jako ciąg liczb - próbek { [ n] } { L x x L} x x =. Badając systemy dyskretne posługujemy się następującymi testowymi sygnałami dyskretnymi: - impuls jednostkowy (delta Kroneckera) δ [] n = - skok jednostkowy dla n = dla n () dla n u [] n = (2) dla n < - funkcja rampy r [] n = n u[] n (3) - impuls prostokątny n dla n M rect = (4) 2M dla n > M - impuls trójkątny n n dla n M tri = M (5) M dla n > M
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 2/3 Program MATLAB daje bardzo duże możliwości modelowania sygnałów. Sygnał można przedstawić jako tablicę MATLABa lub funkcję złożoną z funkcji wbudowanych do MATLABa na przykład: a) Ciąg czterech impulsów prostokątnych trwających po trzy próbki zapiszemy jako tablicę MATLABa: { x[] n } = [ ] L = K =. b) Skok u[n]: *u. c) Sinus corporal: sinc (.2* n). d) Sinusoida rzeczywista: 3 cos( 2 pi. n + pi / 3) ; przyczynowa: 3 cos(2 pi. n + pi / 3). * u. e) Sinusoida zespolona: 2 exp( j (2 pi.5 n + pi / 6) ). f) Pseudoprzypadkowy szum gaussowski o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji: randn ( 2 L + ). g) Sygnał świergotowy (ang. chirp) z liniowo zmieniającą się częstotliwością jest następującą 2 funkcją: cos( 2π f t + πµ t ). Wykres tej funkcji jest kosinusoidą o stałej amplitudzie ale kosinusoidą coraz gęstszą na osi czasu w miarę jak w funkcji czasu rośnie liniowo częstotliwość chwilowa f () t = f + µ t. W przypadku sygnału świergotowego dyskretnego o przykładowo częstotliwości chwilowej f [ n] =.5 +. 5n będzie to następująca funkcja MATLABa: cos( 2 pi. 5 n + pi.5 n. n). Wykres tego sygnału świergotowego pokazano na rys.. Z wykresu można oszacować częstotliwość chwilową. Na przykład w chwili czasu t = częstotliwość chwilowa powinna mieć wartość.5 = 2. I rzeczywiście na wykresie jeden okres przebiegu wokół zera wynosi około 2. Rys.. Sygnał świergotowy [ ] ( ) h) Sygnał z modulacją amplitudy AM ma postać następującej funkcji A+ ms() t cos 2πf t. Jest to kosinusoidalna fala nośna o częstotliwości z obwiednią zmieniającą się wokół amplitudy A w takt sygnału modulującego s t na głębokość równą współczynnikowi głębokości modulacji < m (często wyrażanemu w procentach). Oglądając wykres sygnału AM łatwo można określić wartość współczynnika głębokości f ( )
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 3/3 modulacji m dzieląc różnicę maksimum i minimum obwiedni przez 2A. Sygnał AM jest demodulowany synchronicznie poprzez pomnożenie przez falę nośną A A π 2 (6) 2 [ + ms() t ] cos( 2 f ) cos( 2πf ) = [ + ms() t + ms() t cos( 2π 2 f ) + cos( 2π f )] i odfiltrowanie składowej.5ams() t. Przykładem sygnału dyskretnego AM jest następujący sygnał przedstawiony jako funkcja MATLABa: ( +.75 cos(. n )). cos(. 5 n). Sygnałem modulującym jest kosinusoida o częstotliwości znacznie mniejszej niż częstotliwość fali nośnej a głębokość modulacji wynosi 75 %. Na rys. 2 pokazano sygnał z modulacją AM i postać sygnału w demodulatorze synchronicznym. Rys. 2. Modulacja AM: a) sygnał z modulacją AM; b) sygnał w demodulatorze h) Sygnał z modulacją częstotliwości FM ma postać następującej funkcji cos[ 2πf t + 2π f s() t dt]. Jest to kosinusoida o stałej amplitudzie i częstotliwości chwilowej () t f + f s() t f = zmieniającej się wokół częstotliwości fali nośnej f z dewiacją częstotliwości f w takt sygnału modulującego s ( t). Jeżeli sygnał modulujący jest kosinusoidalny s () t = cos( 2πf m t) z f m << f to sygnał FM ma postać następującą cos[ 2πf t + β sin( 2πf m t) ] gdzie parametr β = f f m nazywa się indeksem modulacji FM. Sygnał FM jest demodulowany poprzez różniczkowanie (dla sygnału dyskretnego odpowiednikiem różniczkowania będzie różnica wsteczna) d dt [ 2πf t 2π f s() t dt] = 2πf () t sin 2πf t + 2π f s() t [ ] cos + dt (7)
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 4/3 które doprowadza do powstania sygnału AM-FM z obwiednią zmieniającą się w takt sygnału modulującego f t f + f s t. Z tego sygnału AM-FM można odzyskać sygnał s( t) () () = modulujący w taki sam sposób jak to miało miejsce powyżej dla sygnału AM. Przykładem sygnału dyskretnego FM jest następujący sygnał przedstawiony jako funkcja MATLABa: cos(.4 n + 2 *sin(. * n))). Sygnałem modulującym jest kosinusoida cos(.* n ) a indeks modulacji ma wartość β = 2. Wykres sygnału FM i sygnału AM-FM w demodulatorze pokazano na rys. 3 (zamiast funkcji diff bierzemy w interfejsie graficznym różnicę wsteczną). Rys. 3. Modulacja FM: a) sygnał FM; b) sygnał AM-FM w demodulatorze Sygnały dyskretne będziemy badali posługując się interfejsem graficznym sygndys. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 4. Badany sygnał dyskretny wybieramy z zagłębionego (rozwijanego) menu gdzie mamy do wyboru takie sygnały jak: delta Kroneckera skok jednostkowy rampa prostokąt trójkąt MATLAB. W przypadku wybrania sygnału MATLAB automatycznie otwiera się pole edycyjne. W polu edycyjnym można wpisać tablicę MATLABa lub funkcję MATLABa w której może wystąpić nazwa n (zmienna n = L :: L ) nazwa L (zakres zmienności) nazwa u (skok jednostkowy u [] n ). Dla zaakceptowanego przyciskiem Enter sygnału są obliczane takie jego parametry jak: suma suma bezwzględna energia. Długość sygnału można regulować zmieniając suwakiem zmienną L = lub wpisując wartość L w polu edycyjnym obok suwaka. Można dokonać zawinięcia i (lub) sprzężenia sygnału. Na sześciu wykresach zostają wykreślone: sygnał x n (część rzeczywista sygnału to niebieskie o a część urojona to czerwone x ) []
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 5/3 część parzysta sygnału x e [] n część nieparzysta sygnału [ n] akumulata n autokorelacja l. S [] [] r xx x o różnica wsteczna [ n] D Rys. 4. Okno interfejsu graficznego sygndys Przykład. Informatycy mają najczęściej do czynienia z gotowymi sygnałami dyskretnymi (taką postać mają dane w dziedzinie ekonomii bankowości statystyki). Dla informatyka sygnał jest wektorem lub macierzą. Z takim sygnałem będziemy mieli do czynienia w tym przykładzie. Zamodelujemy przepływ towaru w sztukach przez magazyn w ciągu 6 dni. Przy zerowym stanie początkowym do magazynu wpłynęło na początek sztuk w następnych dwóch dniach ubyło 28 sztuk i 32 sztuki w następnym dniu wpłynęło sztuk w następnych dwóch dniach ubyło 53 sztuki i 7 sztuk. Informacja o przepływie towaru jest []} n = { 28 32 53 7} =23 zawarta w sygnale { x n 4 5 który w interfejsie graficznym sygndys zostanie wpisany jako tablica MATLABa: -28-32-53-7 ; L = 5 (tak jak to pokazano na rys. 4). Stan końcowy magazynu to suma próbek równa 8. Liczba sztuk towaru która przeszła przez magazyn świadczy o wielkości obciążenia pracą personelu i równa się sumie bezwzględnej próbek wynoszącej tutaj 32. Zmiany stanu magazynu w kolejnych dniach oddaje wykres akumulaty { S n } = { 72 4 4 87 8 a szybkość zmian stanu magazynu oddaje wykres [] } n= 2345 { [ n] } = { 4 32 53 46} 234 5 różnicy wstecznej D 28 n=. Akumulata nie może tutaj przyjąć wartości ujemnej gdyż oznaczałoby to pobranie z magazynu towaru którego tam nie było. Ostatnia próbka akumulaty ma wartość równą sumie próbek sygnału.
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 6/3 Składowa parzysta i nieparzysta sygnału x[ n] = x [ n] x [ n] oraz autokorelacja [ l] to odpowiednio: e + o r xx { xe[] n } = { 3.5 26.5 5 6 4 4 6 5 26.5 3.5} { xo [] n } = { 3.5 26.5 5 6 4 4 6 5 26.5 3.5} { r [] l } = { 7 54 5478 33 24666 33 5478 54 7} xx Te wyniki nie mają jednak swojej praktycznej interpretacji w tym przykładzie. Podobnie nie ma w tym przykładzie interpretacji energia sygnału równa tutaj E x = 24666 chociaż warto zauważyć że zgodnie z teorią równa się ona wartości funkcji autokorelacji w zerze E =. Obliczając ręcznie autokorelację najwygodniej jest posłużyć się mnożeniem w x r xx [] słupku współczynników x i i współczynników x i zapisanych w odwrotnej kolejności. Przykład 2. Zbadamy właściwości dyskretnego sygnału sinusoidalnego x [] n = sin( 2 * pi *.5* n). Przy długości L = 3 wyniki obliczeń uzyskane przy pomocy interfejsu graficznego sygndys są takie jak na rys. 5. Rys. 5. Wyniki obliczeń dla sygnału sinusoidalnego Wartość średnia sygnału równa się sumie wartości próbek podzielonej przez liczbę próbek. Dla sinusoidy powinna to być wartość. W tym przykładzie uzyskano wartość 7.6695e 7 8. Wartość średnią obliczono dla wycinka sinusoidy składającego się z
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7/3 trzech okresów ale pozostaje ona słuszna dla pełnej sinusoidy gdyż pełna sinusoida powstaje poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy. Energia sygnału podzielona przez czas trwania sygnału (liczba próbek minus jeden) 2 daje wartość skuteczną sinusoidy podniesioną do kwadratu 3 6 = ( 2). Wartość skuteczną obliczono dla wycinka sinusoidy wybranego tak że pełna sinusoida powstaje poprzez okresowe powtarzanie wycinka sinusoidy (najkrótszy wycinek sinusoidy jaki można było tutaj wybrać to pół okresu sinusoidy). Sinusoida jest funkcją nieparzystą a więc jej część parzysta oczywiście równa się zeru (rozkład sygnału parzystego lub nieparzystego na część parzystą i nieparzystą nie ma sensu). Pierwsza pochodna sygnału sinusoidalnego jest kosinusoidą d[ sin( 2π.5n) ] dn =.π cos(2π.5n) i taką właśnie postać ma różnica wsteczna D [ n] pokazana na rys. 5. Całka sygnału sinusoidalnego równa się kosinusoidzie wziętej ze znakiem minus sin( 2π.5n ) dn = cos( 2π. 5n) + C i taką właśnie postać ma akumulata S[] n (ze.π stałą C = ). Funkcja autokorelacji ma w zerze wartość równą energii sygnału E r [] = 3. r xx [] l [ ] Autokorelacja jest miarą podobieństwa sygnału x n do siebie samego przy przesunięciu o l. Oczywiście najbardziej są podobne do siebie sygnał i sygnał przesunięty przy zerowym przesunięciu l = (są wtedy identyczne) i parzysta funkcja autokorelacji osiąga w zerze maksimum. Jeżeli jednak sygnał x n jest okresowy z okresem T to maksima funkcji autokorelacji będą się także powtarzały z okresem T. W naszym przykładzie sinusoida ma okres T = f = 2 i z takim też okresem powtarzają się maksima funkcji autokorelacji. Maksima mają malejące wartości gdyż nie jest badana pełna sinusoida ale sinusoida obcięta do trzech okresów. Sygnały dyskretne są przetwarzane w systemach dyskretnych. Najłatwiej jest opisać system dyskretny podając jego równanie różnicowe. System dyskretny liniowy stały w czasie (DLS) z sygnałem wejściowym x [ n] i sygnałem wyjściowym y[] n ma równanie różnicowe liniowe ze stałymi współczynnikami o następującej postaci (opartej na różnicach wstecznych) [] n + a y[ n ] + K + a y[ n N] = b x[ n] + b x[ n ] + K + b x[ n M ] a y a (8) N Równanie to rozwiązuje się przy zadanych warunkach początkowych y[ ] y[ 2] K y[ N ] np. metodą rekurencyjną dla n = 2 K. Parametr N jest rzędem równania różnicowego. Metoda rekurencyjna rozwiązania równania różnicowego (8) polega y n z poniższej zależności na rekurencyjnym wyznaczaniu kolejnych wartości próbek [ ] y a a N M [] n = y[ n ] + y[ n N ] + x[] n + x[ n ] + K + x[ n M ] [ ] M x = xx K a b b b a a a a n = 2 K (9)
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8/3 W trakcie obliczeń indeksy rosną od w górę czyli n = 2 K gdyż z założenia system jest systemem przyczynowym. W przypadku systemu nieprzyczynowego należałoby jeszcze wykonać obliczenia dla indeksów ujemnych w porządku malejącym n = 2 K. W badaniach systemów DLS wykorzystamy interfejs graficzny systdys. Wygląd okna tego interfejsu pokazano na rys. 6. Przyczynowe pobudzenie x[ n] wybieramy z zagłębionego menu: delta skok rampa prostokąt trójkąt MATLAB. Po wybraniu opcji MATLAB pojawia się pole edycyjne w którym można wpisać tablicę MATLABa lub funkcję MATLABa w której może wystąpić nazwa zmiennej n ( N n L ) nazwa L ( L ) nazwa u (skok jednostkowy u [ n] ). Długość sygnału jest zmieniana suwakiem w zakresie L = lub wpisywana w pole edycyjne. System opisujemy wpisując w trzech polach edycyjnych odpowiednio: współczynniki a a K równania różnicowego (współczynnik musi być różny od zera) współczynniki b b równania a an [ ] [ ] [ ] K różnicowego warunki początkowe y y 2 L y N (jeżeli wpisano zbyt mało warunków początkowych to zostaną one automatycznie uzupełnione zerami a jeżeli wpisano zbyt dużo warunków początkowych to nadmiarowe zostaną odrzucone). Na czterech wykresach zostają wykreślone kolejno: pobudzenie x [ n] (część rzeczywista sygnału jest wykreślona niebieskimi symbolami o a część urojona sygnału jest wykreślona czerwonymi y n y n + n y w n symbolami x ) odpowiedź całkowita [ ] = w[ ] y s [ ] odpowiedź wymuszona [ ] y s [] n h[] n odpowiedź swobodna. Aby otrzymać odpowiedź impulsową należy zadać pobudzenie delta przy zerowych warunkach początkowych. Aby otrzymać odpowiedź skokową g [n] należy zadać pobudzenie skok przy zerowych warunkach początkowych. b M Rys. 6. Okno interfejsu graficznego systdys
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 9/3 Przykład 3. Jest dany system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z zadanymi różnymi od zera warunkami początkowymi) [] n.25y[ n 2] = x[] n +.5x[ n ] y[ ] = y[ 2] = 2 y () pobudzony sygnałem { x[] n } = { } n= 2. Obliczona rekurencyjnie z równania różnicowego odpowiedź całkowita systemu jest następująca { y[] n } 3 = 2 7 4 5 8 7 6 5 32 7 64 K n= 2 K () Obliczone rekurencyjnie odpowiedź wymuszona i swobodna to odpowiednio 3 3 9 3 9 yw n = K (2) 2 4 8 6 32 { []} n= 2 K { y s [] n } = 2 4 8 6 32 64 L n= 2 K (3) Jak widać zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź całkowita równa się sumie odpowiedzi własnej i swobodnej. Obliczone rekurencyjnie odpowiedzi impulsowa i skokowa to odpowiednio 3 3 3 h = K (4) 2 4 8 6 32 { [] n } { [] n } n= 2 K 5 25 5 5 g = K (5) 2 4 8 6 32 n= 2 K Widzimy że zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi odpowiedź impulsowa równa się różnicy wstecznej odpowiedzi skokowej odpowiedź skokowa równa się akumulacie odpowiedzi impulsowej a próbki o indeksie są sobie równe h [ ] = g[ ] =. System jest BIBO stabilny gdyż jego odpowiedź impulsowa zmierza wykładniczo do zera a więc w przypadku systemu DLS jest bezwzględnie sumowalna. Wyniki obliczeń komputerowych (rys. 6) potwierdzają poprawność obliczeń ręcznych. Wyniki te uzyskano wprowadzając do interfejsu graficznego systdys pobudzenie MATLAB - L = 8 współczynniki równania różnicowego A=-.25 współczynniki równania różnicowego B=.5 warunki początkowe 2. Przykład 4. W tym przykładzie przeanalizujemy system dyskretny bankowy. Klient ma konto bankowe o bieżącym stanie y [ n] z miesięczną stopą procentową % ( r =.) na które wpłaca co miesiąc depozyt lub wybiera pieniądze (przykładowo wpłaca co miesiąc 2 zł z wyjątkiem czwartego miesiąca kiedy zamiast wpłaty wypłacono 5 zł). Schemat
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3 blokowy systemu oszczędzania i jego równanie różnicowe pokazano na rys. 7. Wyniki obliczeń komputerowych uzyskane z użyciem interfejsu graficznego systdys są takie jak na rys. 8. Należy zwrócić uwagę że system jest niestabilny (przy n oszczędności rosną liniowo do nieskończoności nie wykreślona tutaj odpowiedź impulsowa nie jest bezwzględnie sumowalna). Trzeba jednak pamiętać że system modeluje tylko nominalną wartość oszczędności. Aby modelować wartość realną oszczędności należałoby rozbudować model systemu i uwzględnić w nim wszystkie mechanizmy rządzące rynkiem jak inflacja dewaluacja itp. x[] n = 2u[] n 7δ [ n 3] y[ n] = x[ n] + ( + r) y[ n ] + r y[ n ] Opóźnienie T= miesiąc Rys. 7. Schemat blokowy systemu gromadzenia oszczędności Rys. 8. Wyniki obliczeń dla systemu gromadzenia oszczędności
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie /3 3. Wykonanie ćwiczenia. Zamodeluj dowolny praktyczny sygnał niosący informację dyskretną. Może to być sygnał podobny do sygnału w przykładzie z przepływem towaru przez magazyn. Inny przykład to modelowanie przepływu pieniędzy na koncie bankowym w kolejnych miesiącach. Przy zerowym początkowym stanie konta na początku wpłynęło 5 zł w następnych dwóch miesiącach wpłynęło po 3 zł w kolejnych dwóch miesiącach wypłacono 2 zł i 7 zł a w następnych trzech miesiącach wpłynęło 4 zł zł i 2zł. Zastosuj interfejs graficzny sygndys. Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale którym jesteś w stanie nadać praktyczną interpretację. 2. Wybierz dowolny sygnał dyskretny którego próbki nie muszą mieć praktycznego znaczenia ale dla którego jesteś w stanie zinterpretować dostatecznie wiele parametrów i wyników operacji na sygnale (jak w przykładzie 2). Zastosuj interfejs graficzny sygndys. Odrysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale które jesteś w stanie zinterpretować. 3. Wybierz sygnał świergotowy lub sygnał z modulacją AM lub sygnał z modulacją FM. Zamodeluj sygnał w interfejsie graficznym sygndys. Przerysuj sygnał. Przepisz te wartości parametrów i przerysuj te wyniki operacji na sygnale które jesteś w stanie zinterpretować (m.in. oszacuj wartości średnią i skuteczną sygnału). W przypadku sygnału świergotowego oszacuj częstotliwość chwilową na początku i końcu sygnału (licząc próbki od jednego przejścia sygnału przez zero do drugiego przejścia przez zero) i porównaj z teoretycznymi wartościami częstotliwości chwilowych f ( t) = f + µ t. W przypadku sygnału AM lub FM przeprowadź demodulację. 4. Wybierz dowolne równanie różnicowe systemu DLS z przyczynowym pobudzeniem (podobne do tego z przykładu 3 może to być np. równanie z zadania egzaminacyjnego). Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż że wyniki obliczeń komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych. 5. Wybierz dowolny praktyczny system DLS (podobnie jak w przykładzie 4). Przykładem takiego systemu dyskretnego jest system sprzedaży skryptu. Uczelnia przyjmuje każdego roku studentów na I rok studiów. Każdy student musi mieć skrypt z matematyki. Studenci ci rocznie kupują y[] n nowych skryptów oraz odkupują część używanych skryptów od starszych kolegów. Średnio jedna czwarta studentów odsprzedaje używane skrypty na koniec roku. Trwałość skryptu jest taka że może on być używany tylko trzykrotnie (może być odsprzedany dwukrotnie). Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu i jego równanie różnicowe pokazano na rys. 9. Ten system jest systemem stabilnym i nakład skryptu stabilizuje się na określonym poziomie ok. 762 która to wartość będzie jednym z wyników analizy.
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 2/3 [] n = u[] n x n 4 Opóźnienie T= rok y + 6 [] = y[ n ] y[ n 2] x[ n] y [ n ] Opóźnienie y[ n 2] T= rok 4 6 Rys. 9. Schemat blokowy systemu sprzedaży skryptu Przeanalizuj system za pomocą interfejsu graficznego systdys. Pokaż że wyniki obliczeń komputerowych są takie same jak obliczeń ręcznych. 4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany. Kasjerka rozpoczyna pracę mając w kasie x [ ] = zł. Kolejni klienci wpłacają lub pobierają pieniądze: x [ ] = 2 zł x [ 2] = 5 zł x [ 3] = 3 zł x [ 4 ] = zł (dalej zera przerwa śniadaniowa). a) Wykreśl część parzystą i nieparzystą sygnału przesuniętego y[] n = x[ n +]. Czy y n y n y n? Czy jest prawdą że y n = y n y n? [] + o [] [] [ ] e[ ] o [ ] D [] n S [ n] sygnału x [ n] e = b) Wykreśl różnicę wsteczną i akumulatę. Zinterpretuj wykresy. Kiedy w kasie było najwięcej a kiedy najmniej pieniędzy? c) Oblicz sumę sumę bezwzględną energię sygnału x [ n]. Ile ostatecznie było pieniędzy w kasie i ile pieniędzy przeszło przez ręce kasjerki? r l. Jakie są właściwości tej funkcji? Jakie jest r l? d) Wykreśl funkcję autokorelacji [ ] xx 2. Wykreśl sygnał nieprzyczynowy { x[ n] } = { + j + 2j3 + 3 j 4 + 4 j} 2. Oblicz i wykreśl: część symetryczną i antysymetryczną sprzężoną sygnału różnicę wsteczną akumulatę funkcję autokorelacji. Oblicz sumę sumę bezwzględną energię wartość średnią wartość skuteczną sygnału przedłużonego okresowo. 3. Jest dany przyczynowy system DLS rzędu N = 2 opisany równaniem różnicowym (z zadanymi różnymi od zera warunkami początkowymi) y [] n 5y[ n 2] = x[] n y[ ] = 2 y[ 2] = 2 z pobudzeniem { [] n } = { 2} n x. Oblicz rekurencyjnie i narysuj odpowiedzi: wymuszoną = swobodną całkowitą impulsową skokową. Narysuj schemat blokowy systemu. 4. Pracownik pobiera w fabryce części do zmontowania odbiorników radiowych dziennie. Po dwóch dniach kontrola techniczna zwraca mu do ponownego zmontowania % odbiorników radiowych a i spośród tych naprawionych odbiorników następnego dnia wraca do poprawki 5% odbiorników radiowych. Na jakim poziomie ustabilizuje się liczba odbiorników radiowych przechodzących dziennie przez ręce pracownika? yy []
Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 3/3 [] n = u[] n x y + 2 [] n = y[ n 2] + y[ n 3] x[ n] Opóźnienie T = 2 dni y [ n 2] y[ n 3] Opóźnienie T = dzień 2 Rys.. Schemat blokowy systemu montażu odbiorników radiowych