SPIS TREŚCI. WSTĘP... 4.. WAśNOŚĆ PROBLEMATYKI BĘDĄCEJ PRZEDMIOTEM PRACY....4.. CELE PRACY....4.3. ZAKRES PRACY...4.4. WYKORZYSTANE ŹRÓDŁA....5. OBLICZENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH... 6.. MACIERZOWE RÓWNANIE RUCHU KONSTRUKCJI...6.. GENERACJA MACIERZY RÓWNANIA RUCHU....7.3. TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH...9.4. WYZNACZANIE ODPOWIEDZI UKŁADU....9 A. Drgana własne netłumone....9 B. Drgana wymuszone netłumone....0 C. Drgana własne przy uwzględnenu tłumena...0 D. Drgana wymuszone przy uwzględnenu tłumena....0.5. POWROTNA TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH....0 3. METODY OBLICZEŃ BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI [STA9], [SIE0]... 3.. METODA CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ...4 3.. METODA ANALOGII RAMOWEJ...6 3.3. MES.... 4. OBLICZENIA BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI NA POSTAWIE MODELU CIĄGŁEGO KONSTRUKCJI.... 4 4.. METODA CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ DLA PŁASKIEGO UKŁADU DWÓCH ŚCIAN USZTYWNIAJĄCYCH [STA9]...4 4... Wyprowadzene równań róŝnczkowych....4 4... Ogólne rozwązane głównych równań...8 4..3. Rozwązane dla standardowego przypadku obcąŝena...9 4.. OBLICZENIA STATYCZNE WG METODY CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ SFORMUŁOWANIE OGÓLNE. 36 4.3. OBLICZENIA DYNAMICZNE WG METODY DYSKRETNO-CIĄGŁEJ (HYBRYDOWEJ) [???]. 45 5. BUDYNKI PODDANE ANALIZIE [BAL03B].... 48 5.. BUDYNKI O RZUCIE ZBLIśONYM DO PROSTOKĄTA....50 5... Budynek nr....5 5... Budynek nr....53 5..3. Budynek nr 3....54 5..4. Budynek nr 4....55 5..5. Budynek nr 5....56 5..6. Budynek nr 6....57 5..7. Budynek nr 7....58 5..8. Budynek nr 8....59 5..9. Budynek nr 9....60 5..0. Budynek nr 0...6
5.. BUDYNKI O RZUCIE ZBLIśONYM DO KWADRATU...6 5... Budynek nr....6 5... Budynek nr....63 5..3. Budynek nr 3....64 5..4. Budynek nr 4....65 5..5. Budynek nr 5....66 5..6. Budynek nr 6....67 6. PROGRAM ETABS V 8..3.... 68 6.. OPIS PROGRAMU [ETB]....68 6.. OGÓLNE CECHY PROGRAMU [ETB]....70 6.3. TWORZENIE MODELU BUDYNKU....70 7. PROGRAM BW DLA WINDOWS.... 7 7.. PRZYGOTOWANIE DANYCH (BUDOWA MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI I DZIAŁAJĄCYCH NA NIĄ OBCIĄśEŃ) PRZY WYKORZYSTANIU PREPROCESORA POL-3....7 7.. JĄDRO OBLICZENIOWE PROGRAMU BW DLA WINDOWS [WDO93C]...76 7.3. ANALIZA WYNIKÓW PRZY WYKORZYSTANIU POSTPROCESORA BW-VIEW [???]....80 8. CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI... 83 8.. ZASTOSOWANIE CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH...83 8.. WZORY APROKSYMACYJNE CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH....83 8... Wzory podające perwszy okres drgań osobno dla kerunku poprzecznego podłuŝnego budynku....83 Wzory pochodzące z norm sejsmcznych [UBC] [TSC]....83 Wzory przedstawone przez Ceselsk R., Kuźnar K., Macąg E. Tatara T. w pracy [CIE9]....84 Wzory przedstawone przez Goel R.K. Chopra A.K. w pracy [GOE98]....85 Wzory przedstawone przez L-Hyung Lee, Kug-Kwan Chang Young-Soo Chun w pracy [LEE00]...86 8... Wzory podające perwszy okres drgań dla całego budynku....86 Wzory przedstawone przez Jeary A. P. w pracy [JEA86]....86 Wzory przedstawone przez Kowalską A. w pracy [KOW03]....86 Wzory przedstawone przez Can Balkaya Erol Kalkan w pracy [BAL03A]....87 Wzory przedstawone przez Can Balkaya Erol Kalkan w pracy [BAL04]....87 Wynk oblczeń z programu ETABS...88 8.3. WYNIKI WŁASNYCH OBLICZEŃ PRZY WYKORZYSTANIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS. 89 8.4. PORÓWNANIE WYNIKÓW WŁASNYCH OBLICZEŃ PRZY WYKORZYSTANIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS Z DOSTĘPNYMI WZORAMI APROKSYMACYJNYMI...9 8.4.. Wynk uzyskane z wzorów na perwszy okres drgań osobno dla kerunku poprzecznego podłuŝnego budynku....9 8.4.. Wynk uzyskane z wzorów na perwszy okres drgań dla całego budynku...08 9. ODPOWIEDŹ DYNAMICZNA BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI NA WPŁYWY SEJSMICZNE I PARASEJSMICZNE.... 6 0. PODSUMOWANIE.... 0
0.. WYNIKI OSIĄGNIĘTE W PRACY....0 0.. UWAGI KOŃCOWE ORAZ PROBLEMY OTWARTE (WYMAGAJĄCE ROZWIĄZANIA)....0. LITERATURA.... 3
. WSTĘP... WaŜność problematyk będącej przedmotem pracy. Współcześne powstające konstrukcje budowlane, take jak budynk wysoke, mosty, komny, fundamenty pod maszyny, maszty, dachy wspornkowe tp. mogą być poddawane znacznym drganom. Drgana te, mogą meć wpływ na stan uŝytkowana budowl poprzez zmnejszene komfortu pracujących w nch ludz lub mogą nawet osągnąć pozom zagraŝający bezpeczeństwu konstrukcj. Dynamczne efekty spowodowane przez trzęsena zem, watr, pracę maszyn, ruch kolejowy drogowy, wybuchy w kamenołomach, fale morske są węc waŝne w procese projektowana konstrukcj mają wpływ na ch bezpeczeństwo trwałość. Wpływ drgań na konstrukcję przejawa sę główne jako dodatkowe napręŝena, które sumują sę z napręŝenam od dzałających na konstrukcję obcąŝeń statycznych. Ponadto, jako skutek drgań, pojawają sę dodatkowe efekty zwązane ze zmęczenem materału. ObcąŜene dynamczne mogą węc powodować negatywne efekty w budowlach róŝnego typu, a nawet doprowadzać do ch znszczena. Współczesna dynamka budowl wykorzystuje narzędza badawcze, take jak metoda elementów skończonych metoda elementów brzegowych, które pozwalają na lepsze zrozumenu zachowana sę złoŝonych konstrukcj, a takŝe ułatwają ch optymalzację w procese projektowana ocenę stanów nebezpecznych... Cele pracy. W nnejszej pracy zajęto sę problemem szacowana częstośc drgań własnych odpowedz dynamcznych budynków wysokch usztywnonych konstrukcjam ścanowym z nadproŝam, poddanych wymuszenom sejsmcznym parasejsmcznym. Problematyka dokładnego oszacowana częstośc drgań własnych jest kluczowym zagadnenem w trakce projektowana budynków wysokch. Wyznaczene częstośc postac drgań własnych jest perwszym krokem podczas wyznaczana dynamcznej odpowedz konstrukcj metodą superpozycj postac drgań. Znajomość wartośc częstośc drgań własnych jest równeŝ wymagana przy określanu zastępczych obcąŝeń statycznych od watru. W procese projektowana waŝne jest, aby moŝlwe jak najdokładnej oszacować własnośc dynamczne konstrukcj na wstępnych etapach projektowana konstrukcj. Wówczas, gdy ne są jeszcze sprecyzowane wymary wszystkch elementów konstrukcj, zapadają podstawowe decyzje, które w efekce przesadzają o walorach techncznych ekonomcznych budowl. Istotnym jest węc, aby na tych wczesnych etapach projektowana dysponować w marę dokładnym oszacowanam np. częstośc drgań własnych. Wybór jak najlepszych oszacowań częstośc drgań własnych, z lcznych proponowanych w lteraturze przedmotu wzorów, był węc zasadnczym celem nnejszej pracy. Celem dodatkowym było oszacowane odpowedz dynamcznej budynków ścanowych na wpływy sejsmczne /lub parasejsmczne..3. Zakres pracy. W pracy analze poddano 6 budynków zaprojektowanych w technolog Ŝelbetowej monoltycznej, jako konstrukcje ścanowe, kształtowane z uŝycem form przestawnych. Technologa ta jest szeroko stosowana, zarówno na śwece jak w Polsce, ne tylko ze względu na wysoką zdolność tego rodzaju budynków do przenoszena obcąŝeń dynamcznych, ale równeŝ na szybkość łatwość budowy. 4
W celu przeprowadzena analz zapoznano sę z programam do oblczeń budynków wysokch usztywnonych konstrukcjam ścanowym z nadproŝam. Następne przeprowadzono weryfkację wzorów aproksymacyjnych przyblŝających częstośc drgań własnych budynków wysokch usztywnonych konstrukcjam ścanowym z nadproŝam. Przeprowadzono równeŝ oszacowana odpowedz dynamcznych budynków wysokch usztywnonych konstrukcjam ścanowym z nadproŝam, poddanych wymuszenom sejsmcznym zadanym wg normy europejskej Eurocode 8 ( EC8)..4. Wykorzystane źródła. Praca powstała z nspracj główne dwoma artykułam: [BAL03A] oraz [BAL03B] do nch główne sę odnesono. Korzystano równeŝ z opracowań artykułów nt. perwszego okresu drgań, takch jak: [CIE9], [GOE98], [JEA86], [KOW03], [LEE00]. Wykorzystano równeŝ nne źródła, dotyczące problematyk budynków Ŝelbetowych (główne o konstrukcj ścanowej z nadproŝam), których pełne zestawene znaleźć moŝna w rozdzale pośwęconym lteraturze. Zacytowano je w dalszych rozdzałach. Jeśl chodz o programy komputerowe to do oblczeń korzystano główne z programów: BW dla Wndows oraz ETABS. Wykorzystane materały źródłowe zacytowane są w rozdzałach 6 7. 5
. OBLICZENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH... Macerzowe równane ruchu konstrukcj. Na wstępe przedstawmy równana ruchu konstrukcj w forme macerzowej. MoŜna w tym celu wykorzystać dyskretny zbór welkośc charakteryzujących sły, przemeszczena, prędkośc tp. Przemeszczena konstrukcj u mogą być wyraŝone przez skończoną lczbę przemeszczeń wybranych z pewnego dowolnego zboru punktów konstrukcj u. ZaleŜność mędzy tym przemeszczenam moŝe być przedstawona dla małych przemeszczeń w postac równana macerzowego [Prz68]: u = a u (.) gdze: a = a ( x, y, z) Wykorzystując zaleŝnośc mędzy przemeszczenam odkształcenam moŝna wyrazć odkształcena e w postac: e = b u (.) gdze: b = b ( x, y, z) Macerz b moŝna otrzymać przez zróŝnczkowane macerzy a. ZaleŜność (.) obowązuje dla zagadneń statycznych. Dla problemów dynamcznych przy przyjęcu dostateczne duŝego zboru współrzędnych tworzących wektor u otrzymuje sę dobrą aproksymację rzeczywstych przemeszczeń konstrukcj. Równane pracy wrtualnej dla zagadneń dynamcznych ma postać T δ U = δw u u&& ρ δ dv (.3) gdze: V δu T = δe σ dv - wrtualna energa odkształcena V T T T δ = δu φ ds + δu X dv + δu P - wrtualna praca sł dla W S V zagadnena statycznego φ - wektor sł powerzchnowych, X - wektor sł masowych (objętoścowych), P - wektor zewnętrznych sł węzłowych na przemeszczenach u. Na podstawe zaleŝnośc (.) (.) moŝna zapsać δu = a δu (.4) δe = b δu (.5) Wprowadzając powyŝsze zwązk (.4) (.5) do równana (.3) wykorzystując prawo Hooke'a w postac: σ = χ e (.6) gdze: σ - wektor napręŝeń χ - macerz spręŝystośc otrzymujemy następującą zaleŝność: 6
T T T T T T T T T δu b χ b u dv = δu a φ ds + δu a X dv + δu P ρ δu a V S V V 7 u&& dv (.7) PonewaŜ przemeszczena wrtualne są nezaleŝne oraz: u & = a u& (.8) równane (.7) moŝna przepsać w postac: M u& + K u = P (.9) gdze: M = ρ a a T dv - macerz bezwładnośc (mas) równowaŝnego układu V dyskretnego T K = b χ b dv - macerz sztywnośc równowaŝnego układu V dyskretnego, T T P = P + a φ ds + a X dv. S V W rzeczywstych konstrukcjach część energ ulega rozproszenu (dyssypacj), dlatego do równana (.9) mus być wprowadzona sła tłumena. W odróŝnenu od sztywnośc bezwładnośc, tłumene ne zaleŝy tylko od cech konstrukcj. Oprócz tłumena wewnętrznego, które zaleŝy od cech samej konstrukcj, występować moŝe tłumene zewnętrzne pochodzące od otaczającego materalnego medum. Mechanzm tłumena jest najczęścej opsywany w jeden z następujących sposobów [PRZ68, RUB70]: a) tłumene wskotyczne, b) tłumene strukturalne, c) tłumene ujemne, d) tłumene coulombowske (tarce suche). JeŜel do dalszych rozwaŝań wykorzysta sę powszechne przyjmowane załoŝene, Ŝe występujące sły tłumące są proporcjonalne do prędkośc (tzn. załoŝene o tłumenu wskotycznym), równane (.9) otrzyma postać M u& + C u& + K u = P (.0) gdze: C - macerz tłumena równowaŝnego układu dyskretnego. Otrzymane równane róŝnczkowe (.0) opsuje w ogólnym przypadku ruch drgający układu dyskretnego. Rozwązanem tego równana jest wektor u ( t), który moŝna wyznaczyć na drodze całkowana bezpośrednego lub, przy pewnych ogranczenach, przez tzw. superpozycję postac drgań (metodą modalną) [ARG77]. Dla układów o nezbyt duŝych lczbach stopn swobody bardzej ekonomczna jest metoda superpozycj postac drgań [BOS77]... Generacja macerzy równana ruchu. Wykorzystując podejśce metody elementów skończonych występujące w równanu (.0) macerze M, C, K wektor P dla konstrukcj tworzy sę na podstawe ch odpowednków dla poszczególnych elementów. Odpowedn tok postępowana wynka z następujących rozwaŝań. Przeprowadzając rozumowane analogczne jak w poprzednm podpunkce, jednak teraz dla kaŝdego elementu oddzelne, otrzymuje sę dla konstrukcj złoŝonej z n elementów n równań macerzowych, które zapsać moŝna w następującej postac: M d + C d& + K d = P,, K, n (.) gdze:
d - przemeszczena węzłów -tego elementu merzone w układze lokalnym tego elementu, M, C, K - macerze mas, tłumena sztywnośc elementu, P - sły węzłowe dzałające na element w układze lokalnym tego elementu. Przy oznaczenu przez s lczby stopn swobody elementu, -te równane macerzowe (.) przedstawa sobą układ s równań. Kedy sły obcąŝające element ne dzałają na przemeszczenach d, kaŝda z sł P, mus zostać oblczona odpowedno do wartośc wrtualnej pracy wykonanej przez dzałające sły na przemeszczenu d = przy d = 0 dla kaŝdego k j. Z warunku zgodnośc przemeszczeń konstrukcj jej poszczególnych elementów wynkają zaleŝnośc: d = B u =,, K n (.) d d, B u =,, K, B u =,, K, = n (.3) = n (.4) gdze: B - macerz o wymarze s m transformująca przemeszczena węzłów konstrukcj na przemeszczena węzłów elementu, m - lczba stopn swobody konstrukcj. Praca sł zewnętrznych w układze globalnym na przemeszczenach u merzonych w układze globalnym mus być równa pracy sł zewnętrznych w układach lokalnych na przemeszczenach d merzonych w układach lokalnych: n = P T d = P T u 8 j k (.5) Podstawając do równana (.5) zaleŝność (.), po dokonanu obustronnej transpozycj, z porównana wyraŝeń przy przemeszczenach u otrzymuje sę równane równowag: n = B T P = P (.6) Równane (.6) określa sposób transformacj sł odpowadających przemeszczenom występującym we wzorze (.). Podstawając do równana (.6) zaleŝnośc (.) oraz (.), (.3), (.4) otrzymuje sę: n T T B M B u& + B C B u& + n T & B K B u = P (.7) = = = n Porównując współczynnk stojące przy wektorach przemeszczeń, prędkośc przyspeszeń, w równanach (.0) (.7) otrzymuje sę poszukwane zaleŝnośc określające sposób syntezy macerzy M, C, K dla konstrukcj na podstawe M macerzy = C = K = n = n = n = B B B T T T M, M C K B C, B B K dla elementów: (.8) (.9) (.0) Charakter sł tłumena ne jest do końca wyjaśnony dlatego spotyka sę róŝne określena macerzy tłumena C. W celu zmnejszena nakładu pracy oblczenowej przyjmuje sę zwykle macerz tłumena C proporcjonalną do macerzy
mas lub macerzy sztywnośc, albo generuje sę ją na podstawe współczynnków tłumena zadawanych dla poszczególnych postac drgań. Ten ostatn sposób opsu tłumena konstrukcj umoŝlwa określene zgodnego z dośwadczenem jednakowego tłumena wszystkch postac drgań rozpatrywanego układu [LAN80]. Bardzej rozwnęte systemy komputerowej analzy dynamcznej dopuszczają określane macerzy tłumena C jako kombnacj lnowej trzech opsanych moŝlwośc [ARG77]. MoŜna zauwaŝyć, Ŝe przy podawanu współczynnków tłumena stosowanu transformacj równana macerzowego (.0) do bazy współrzędnych, w której następuje rozdzelene tego układu na m nezaleŝnych równań (metoda modalna), generowane macerzy C ne jest koneczne..3. Transformacja współrzędnych. Rozwązane dla konstrukcj o m stopnach swobody równana dynamcznego (.) moŝe być otrzymane przez metodę modalną (postac własnych). Macerz modalna X, której kolumnam są naturalne postace drgań tj. wektory własne uogólnonego problemu wartośc własnych: M X = K X Λ (.) jest uŝyta do transformacj współrzędnych: u = X η (.) Uwaga: teraz X oznacza macerz modalną, wcześnej, w równanach (.3).. (.9) symbolem X oznaczano wektor sł masowych (objętoścowych),. We współrzędnych normalnych η, równana ruchu są rozdzelone zawerają pojedyncze, neznane η ( t) w kaŝdym równanu. Odpowedź na początkowe przemeszczena u ( t o ) początkowe prędkośc u& ( t o ) moŝe być łatwo otrzymana przez proste transformacje tych początkowych wartośc na odpowadające m wartośc we współrzędnych normalnych η : T η ( to ) = X M u( to ) m (.3) T & η ( t o ) = X M u& ( to ) m (.4) gdze: m = T X M X (.5) X - oznacza -ty wektor własny ( -tą kolumnę macerzy modalnej). Odpowedź ( t) η jest oblczana jak dla układu o jednym stopnu swobody, przy uwzględnenu: ω = ω (.6) m = m (.7) k = k T = X K X (.8) T F = F = X P (.9).4. Wyznaczane odpowedz układu. A. Drgana własne netłumone.. Jeśl ruch jest zapoczątkowany początkowym przemeszczenem η ( t o ) to rozwązanem jest: η( t) = η( to ) cos ω ( t t o ) (.30) gdze: 9
η η k ω = m (.3). Jeśl ruch jest zapoczątkowany przez nadane konstrukcj początkowej prędkośc η& rozwązanem jest: ( t) ( ) t o & η ( t ) o = sn ω ω ( t t ) o (.3) B. Drgana wymuszone netłumone. Impuls F ( τ ) dτ dzałający na masę m wywołuje zmanę jej prędkośc o F( τ ) dτ m. Ten wynk wspólne z odpowedzą układu o jednym stopnu swobody na η& daje następującą odpowedź dla dowolnej funkcj początkową prędkość ( t o ) sły F ( τ ): ω m t ( t) = [ sn ω ( t τ )] F( τ ) dτ τ = t o Rozwązana całk występującej we wzorze (.33) dla typowych funkcj ( τ ) są m.n. w ksąŝce [PRZ68]. Nazywa sę je czysto całkam Duhamela. C. Drgana własne przy uwzględnenu tłumena.. Odpowedź na początkowe przemeszczene η ( t o ) : (.33) F zawarte β β ( t t ) η( t) = η( t ) ( ) ( ) o o cos ωd t to + sn ωd t to e (.34) ωd gdze: c β = (.35) m ω d = ω ς (.36) β ς = (.37) ω η& : η η. Odpowedź na początkową prędkość ( ) β ( t t ) ( t) = η( t ) sn ω ( t t ) e o t o & o d o (.38) ωd D. Drgana wymuszone przy uwzględnenu tłumena. Odpowedź w chwl t na mpulsy ω m t β ( t τ ) ( t) = e [ sn ω ( t τ )] F( τ ) dτ d τ = t o d F ( τ ) dτ w chwlach τ : (.39) Ogólną odpowedź na początkowe przemeszczene, początkową prędkość funkcję F τ moŝna otrzymać przez superpozycję powyŝszych rozwązań. sły ( ).5. Powrotna transformacja współrzędnych. Po oblczenu odpowedz układu we współrzędnych normalnych η, poszukwane rozwązane określające ruch konstrukcj we współrzędnych początkowych u wyznacza sę z równana (.). 0
3. METODY OBLICZEŃ BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI [STA9], [SIE0]. W konstrukcjach ścanowych z nadproŝam układ usztywnający stanow zespół ponowych ścan usztywnających, utwerdzonych we fundamence swobodnych na szczyce budynku. Ścany usztywnające mogą być dowolne rozmeszczone w plane połączone mędzy sobą ponowym złączam nepodatnym. Rys. 3. Plan typowego bloku meszkanowego z przecnającym sę ścanam [STA9]. W układze mogą występować ponowe pasma nadproŝy utwerdzonych w ścanach usztywnających oraz ponowe pasma złączy podatnych. Najczęścej moŝna załoŝyć, Ŝe ścany usztywnające posadowone są na tym samym pozome, mają jednakową wysokość stały przekrój oraz stałe cechy materałowe wzdłuŝ wysokośc. Rozpatruje sę pracę konstrukcj usztywnającej budynku w zakrese odkształceń lnowo-spręŝystych małych przemeszczeń. Układ moŝe być poddany dzałanu: obcąŝeń pozomych skuponych, dzałających na szczyce budynku, obcąŝeń pozomych, dowolne rozłoŝonych wzdłuŝ wysokośc budynku, obcąŝeń ponowych, dowolne rozłoŝonych w plane wzdłuŝ wysokośc budynku oraz ponowych osadań fundamentów. Na rys. 3. pokazano rozkłady napręŝeń normalnych w ścanach poddanych dzałanu obcąŝeń ponowych pozomych. Rozkład napręŝeń w pasmach ścan zaleŝy od sztywnośc nadproŝy. Pasma połączone wotkm nadproŝam lub nadproŝam z przegubam pracują podobne jak dwe pojedyncze ścany. Ścany połączone nadproŝam sztywnym pracują natomast podobne jak jedna, scalona, szeroka ścana. Rzeczywsta sytuacja pary ścan połączonych odkształcalnym nadproŝam leŝy pomędzy tym dwoma ekstremalnym przypadkam, które mogą zostać potraktowane jako granczne dla zachowana konstrukcj ścanowych. Im sztywnejsze nadproŝa, tym bardzej zachowane konstrukcj będze przypomnać wspornk w postac jednego pręta.
Rys. 3. Rozkład napręŝeń w ścanach usztywnających: - ścana bez otworów, - ścana z normalnym nadproŝam, 3 - ścana z nadproŝam wotkm [SIE0]. Kedy ścany odkształcają sę pod wpływem obcąŝeń pozomych, końce nadproŝy doznają obrotów przemeszczeń ponowych, tak węc nadproŝa zgnają sę w ten sposób zapobegają dowolnemu wygnanu sę ścan (rys. 3.3). Zgnane układu usztywnającego jako całośc wywołuje ścnane w nadproŝach, które z kole wywołuje w kaŝdej ścane moment zgnający, przecwnego zwrotu nŝ momenty od zadanych obcąŝeń zewnętrznych. Ścnane nadproŝy wywołuje teŝ w obu ścanach sły osowe, rozcągające w ścane nawetrznej ścskające w ścane zawetrznej. Moment od watru M na danej kondygnacj jest węc przecwstawany sume momentów zgnających M M w obu ścanach na tej kondygnacj momentow sł osowych N l, gdze N jest słą osową w kaŝdej ścane na tej kondygnacj, a l jest odległoścą mędzy osam ch środków cęŝkośc. M = M + M + N l (3.)
Rys. 3.3 Zachowane ścan z nadproŝam obcąŝonych pozomo [STA9]. We wzorze (3.) jego ostatn element N l przedstawa moment odwrotny względem momentów M M, który spowodowany jest przez zgnane nadproŝy zapobega dowolnemu zgnanu sę pojedynczych ścan. Element ten jest równy zero w przypadku ścan połączonych nadproŝam obustronne przegubowym osąga maksmum, gdy nadproŝa są neskończene sztywne. Występujące w konstrukcj usztywnającej nadproŝa zmnejszają welkość momentów zgnających w ścanach. Z powodu występowana względne duŝego ramena dźwgn l, stosunkowo małe napręŝene osowe mogą prowadzć do neproporcjonalne duŝego momentu zgnającego. Maksymalne napręŝene rozcągające, które mus przeneść betonowa ścana moŝe wtedy zostać znaczne zmnejszone. Dzęk temu znaczne łatwejsze staje sę zredukowane pochodzących od obcąŝeń watrowych napręŝeń rozcągających w ścanach poprzez napręŝena ścskające od obcąŝeń grawtacyjnych. Podobne jak z nnym rozwaŝanym formam konstrukcyjnym, moŝlwa jest analza konstrukcj ścanowych z nadproŝam przy uŝycu technk przyblŝonych albo dokładnych. Metody przyblŝone są łatwejsze bardzej przydatne do oblczeń ręcznych, ale ogranczone są do regularnych lub pseudo-regularnych struktur systemów obcąŝeń. Metody dokładne radzą sobe z neregularnym konstrukcjam złoŝonym obcąŝenam, ale wymagają skorzystana z komputera. Zastosowana metoda zaleŝy właścwe od układu konstrukcj wymaganego stopna dokładnośc. NajwaŜnejsza technka przyblŝona jest nazywana metodą cągłych połączeń (w lteraturze jest teŝ określana jako " metoda ośrodka cągłego", "metoda cągła", albo "metoda połączeń ścnanych"). Jak sugeruje nazwa, struktura jest upraszczana przez uczynene załoŝena, Ŝe wszystke pozome elementy łączące są faktyczne rozcągnęte wzdłuŝ wysokośc budynku, tworząc równowaŝny, cągły ośrodek łączący pomędzy elementam ponowym. MoŜna to osągnąć z sensowną dokładnoścą jedyne w przypadku jednoltych nadproŝy albo płyt stropowych. W oblczenach bez uŝyca komputera dwuwymarowa, płaska struktura jest przekształcona tym samym do zasadnczo jednowymarowej, w której wszystke zmenne zaleŝą od współrzędnej wysokośc. UmoŜlwa to wyraŝene zachowana konstrukcj w forme zwykłego lnowego równana róŝnczkowego, pozwalając na otrzymane rozwązań w zamknętej forme. W welu sytuacjach praktycznych, w układ budynku wchodzą ścany, które ne są jednolte wzdłuŝ ch wysokośc, ale zmenają sę ch szerokośc albo grubośc, lub teŝ mają zmenny rozkład otworów. W dodatku, warunk podparca mogą być złoŝone, albo z powodu zmany ścan na pozome perwszej kondygnacj, albo teŝ zastosowana netypowego fundamentu. Take brak cągłośc powodują, Ŝe załoŝena o jednoltym cągłym połączenu (medum łączącym) dla całego budynku 3
ne moŝna zastosować. Take neregularne systemy są zwykle analzowane przy uŝycu załoŝena analog ramowej, w połączenu z standardowym programam analzy ram, opartym najczęścej na metodze przemeszczeń. Projektant mus uŝyć swoch umejętnośc dośwadczena, aby zastąpć strukturę ścan z nadproŝam przez równowaŝny szkelet belek słupów. Stosunkowo szeroke ścany mogą być modelowane przez lnę słupów umeszczoną w os środka cęŝkośc, z sztywnym pozomym elementam łączącym ose środka cęŝkośc z zewnętrznym włóknam w pozome kaŝdego stropu, tak, aby przeneść skutk skręcana przemeszczeń ponowych z krawędz ścany na nadproŝa. Dzęk temu, metoda często nazywana jest "metodą ram o szerokch słupach". Praktyczne konstrukcje ścanowe są analzowane główne tą metodą. Jeśl ścana zawera neregularne otwory albo ma złoŝony system podparca, przygotowane modelu konstrukcj w postac płaskej ramy dobrze odzwercedlającego rzeczywstą konstrukcję moŝe powodować trudnośc. W takm przypadku, lepej zastosować metodę elementów skończonych z wykorzystanem płaskego stanu napręŝena. Dawnej uŝyce metody elementów skończonych w kompletnej analze takch konstrukcj uwaŝano za neekonomczne. JednakŜe, wraz z dostępnoścą unwersalnych programów komputerowych, które zawerają duŝy wybór elementów lnowych powerzchnowych, kompletna analza staje sę teraz sensownym rozwązanem. Do oblczeń układów z neregularnym układem otworów /lub ścan moŝna takŝe wykorzystać komputerową wersję metody cągłych połączeń, rozszerzoną na analzę układów ze zmenną wzdłuŝ wysokośc sztywnoścą. Wymagało to jednak przygotowana odpowednego oprogramowana. Obecne, przy jego wykorzystywanu, znkają problemy zwązane z modelowanem występujące przy realzacj oblczeń według metody ram o szerokch słupach. Przy wykorzystanu komputerowej wersj metody cągłych połączeń, rozszerzonej na analzę układów ze zmenną wzdłuŝ wysokośc sztywnoścą, ne ma takŝe nebezpeczeństwa wystąpena zanŝena dokładnośc rozwązań z powodu złego uwarunkowana zadana, jake moŝe wystąpć podczas analzy smukłych konstrukcj metodą elementów skończonych. 3.. Metoda cągłych połączeń. W przypadku pasm ścennych o jednoltym przekroju wzdłuŝ wysokośc, połączonych regularne rozstawonym nadproŝam, stosuje sę klasyczną metodę cągłych połączeń (zwaną teŝ metodą ośrodka cągłego lub metodą kontynualną). W metodze tej wykorzystuje sę dla tego typu konstrukcj załoŝene, Ŝe dyskretny układ łączonych belek moŝna zastąpć przez równowaŝny ośrodek cągły o takej samej sztywnośc (rys. 3.4). 4
Rys. 3.4 Ścana z szeregem otworów: a) model dyskretny; b) model kontynualny; c) sły w przekroju poprzecznym ścany [SIE0]. Podstawowe załoŝena tej metody są następujące: a) materał jest lnowo spręŝysty napręŝena w Ŝadnym punkce ne przekraczają grancy proporcjonalnośc, b) obowązuje zasada superpozycj obcąŝeń, c) zasada płaskch przekrojów dotyczy pasm ścennych rygl, lecz ne całej ścany, d) wychylena ścan ne mogą odbywać sę nezaleŝne, gdyŝ ścany połączone są sztywnym, w swej płaszczyźne, przeponam stropów, e) wpływ otworów moŝe być rozpatrywany oddzelne. W przypadku konstrukcj z jednym rzędem otworów, układ tak jest jednokrotne statyczne newyznaczalny, przy czym za welkość statyczne newyznaczalną przyjmuje sę sumaryczną słę poprzeczną T dzałającą w nadproŝu na rzędnej x, określoną wzorem (3.): T x = 0 ' T dx (3.) ' Newadoma T przedstawa rozkład sł poprzecznych w nadproŝach. Moment zgnający w pasmach ścennych rozdzelany jest proporcjonalne do sztywnośc pasm. Korzystając z warunków zgodnośc równowag w rozcętych nadproŝach (w punktach przegęca), dochodz sę do równana róŝnczkowego drugego rzędu o stałych współczynnkach. W przypadku ścan z klkoma szeregam otworów, równań jest tyle, le szeregów otworów. Przyjęce tego modelu zmnejsza stotne wymar zadana oblczenowego oraz pozwala unknąć w prosty sposób złego uwarunkowana zadana wynkającego z duŝej smukłośc konstrukcj, występującego przy analze budynków wysokch na podstawe model dyskretnych. Stosowane metod wykorzystujących cągły model układu usztywnającego wymaga rozwązywana układów równań róŝnczkowych zwyczajnych. Metoda kontynualna jest szeroko stosowana w projektowanu dzęk swej prostoce stablcowanu rozwązań dla prostych przypadków. Dla złoŝonych układów moŝe być wykorzystywana komputerowa wersja tej metody. 5
Metody oparte na tym modelu charakteryzują sę małą lczbą newadomych. Wadą metod jest to, Ŝe te newadome są funkcjam. W celu rozwązana zadana nezbędnym jest węc rozwązane układu równań róŝnczkowych, a ne, jak w metodach dyskretnych, rozwązane układu równań algebracznych. Pommo konecznośc rozwązywana równań róŝnczkowych zalety metody przewaŝają nad jej nedogodnoścam. Szerzej temat metody kontynualnej poruszono w rozdzale 4.., pośwęconemu oblczenom budynków wysokch usztywnonych konstrukcjam ścanowym z nadproŝam na podstawe modelu cągłego konstrukcj. 3.. Metoda analog ramowej. Ścany z szeregam otworów rozwązuje sę równeŝ metodam dyskretnym, a zwłaszcza metodą ram o szerokch słupach. W metodze tej ścany nadproŝa są reprezentowane przez lnowe elementy prętowe o odpowednej sztywnośc osowej E A sztywnośc na zgnane E I, rozłoŝone wzdłuŝ ch os środkowych. Wpływ skończonej szerokośc ścany jest uwzględnony przez sztywno połączone ramę, łączące konec nadproŝa ze środkową osą ścany (rys. 3.6). Sztywne ramona zapewnają poprawne przemeszczena ponowe obrotowe powstające na krawędzach ścan. NadproŜa mogą być reprezentowane przez prętowe elementy lnowe w konwencjonalny sposób moŝna m przyporządkowywać właścwe sztywnośc osowe, na zgnane, jeśl koneczne takŝe na ścnane. Odkształcena od ścnana naleŝy uwzględnć, jeśl stosunek długość/grubość nadproŝa jest mnejszy nŝ 5. Rozwązane moŝna uzyskać przez sformułowane macerzy sztywnośc dla szerokch słupów uŝyce programów macerzowych lub wykorzystując standardowe programy ramowe, modelując sztywne ramona słupa jako nezaleŝne elementy o duŝej sztywnośc. W tym drugm przypadku występuje jednak dublowane lczby węzłów pogorszene uwarunkowana macerzy sztywnośc. Rys. 3.5 Ramowy model ścany: a) kształt ścany; b) model ramowy; c) rodzaj elementów [SIE0]. Newadomym w metodach wykorzystujących modele dyskretne układów usztywnających są wartośc sł poprzecznych w poszczególnych nadproŝach oraz przemeszczena wybranych punktów konstrukcj. Wadam model dyskretnych są welke rosnące wraz z lczbą kondygnacj rozmary układów algebracznych równań lnowych oraz pogarszane sę uwarunkowana macerzy sztywnośc przy wzrośce smukłośc konstrukcj. Ramę zastępczą oblczać moŝna najdogodnej konwencjonalną metodą sztywnośc, która została obszerne opracowana udokumentowana w lteraturze [COA88, GAL79]. Ne ma potrzeby traktować tego tematu szczegółowo rozwaŝymy tylko jego uŝyce do analzy konstrukcj ścan z nadproŝam. 6
Programy do analzy ram ogólnego zastosowana są szeroko dostępne wyręczają nas w operacjach. Wymagają one od nŝynera jedyne specyfkacj danych geometrycznych konstrukcyjnych oraz zadanych obcąŝeń. W zaleŝnośc od opcj udogodneń dostępnych w programe moŝlwe są róŝne podejśca do modelowana sztywno zakończonych nadproŝy w modelu analtycznym. Oto najwaŝnejsze z nch: Bezpośredne rozwązane modelu analtycznego. Bezpośredna metoda sztywnośc wymaga wprowadzena w modelu o szerokch słupach welu punktów węzłowych w mejscach połączeń mędzy sztywnym ramonam wotkm belkam łączącym, oraz słupam w pozome kaŝdej kondygnacj (rys 3.6). Sztywność ramon szerokch słupów moŝna wprowadzć przez przyporządkowane odpowednm elementom bardzo wysokch wartośc sztywnośc 3 4 osowych sztywnośc na zgnane. W praktyce, wartośc 0 0 razy wększe nŝ odpowadające wartośc spręŝyste nadproŝy dostarczają wynków o dostatecznej dokładnośc bez powodowana problemów oblczenowych w rozwązanu. Tworząc model szerokch słupów, moŝna uŝyć powększonej długośc nadproŝy, aby uwzględnć efekt podatnośc połączena ścana-belka. Często przyjmuje sę, Ŝe osowe odkształcene pozomych belek jest znkomo małe w porównanu z odkształcenam od zgnana, szczególne w wynku wysokej sztywnośc powerzchnowej dołączonych płyt stropowych. W zwązku z tym, pozome przemeszczena wszystkch punktów węzłowych będą na pozome kaŝdej kondygnacj take same. W konsekwencj, w trzech z czterech punktów węzłowych na pozome kaŝdej kondygnacj, będą wymagane tylko dwa stopne swobody (przemeszczene ponowe obrotowe), podczas gdy pozostałe punkty węzłowe będą mały standardowy trzy stopne swobody (przemeszczene ponowe, pozome obrotowe). Jeśl to udogodnene występuje w uŝytym programe, moŝna uŝyć mędzywęzłowego utwerdzena lub opcj sztywnej podłog w celu zapewnena równego odkształcena pozomego połączeń na pozome kaŝdej kondygnacj. Rys. 3.6 Przedstawene ścan z nadproŝam przez równowaŝną ramę z szerokm słupam [SIE0]. 7
UŜyce macerzy sztywnośc dla elementu sztywno zakończonego nadproŝa. Z powodu sztywnych segmentów łączących, pomędzy zachowanem w punkce węzłowym słupa zachowanem w przyległym połączenu belka-ścana stneją proste relacje moŝna wyprowadzć połączoną macerz sztywnośc dla kompletnego segmentu belkowego pomędzy punktam węzłowym słupa, która zawera wpływ segmentów o sztywnych końcach. Wymaganą macerz sztywnośc dla elementu lnowego z sztywnym ramonam pokazanego na rys. 3.7 moŝna wyprowadzć albo poprzez przekazane efektów w połączenach belka-ścana oraz j do punktów węzłowych w osach punktów cęŝkośc ścan przez macerz transformacj, albo przez oblczene współczynnków sztywnośc bezpośredno z załoŝeń wstępnych. W drugm przypadku, moŝna narzucć w punktach węzłowych albo jednostkowe przemeszczena ponowe lub obrotowe wynkłe momenty ścnana otrzymać ze zwykłej teor belek, co da bezpośredno wymagane jednostkowe relacje słaprzemeszczene. Dokładne macerze sztywnośc dla elementu belk o szerokch słupach opublkowano w pracy [MAC67]. Rys. 3.7 Lnowy element z sztywnym ramonam końcowym [STA9]. Jeśl program oblczający zawera macerz sztywnośc belk o szerokch słupach, moŝna jej uŝyć bezpośredno do opsana nadproŝy w modelu płaskej ramy zastępczej z rys. 3.5b. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe analza macerzowa daje momenty belkowe w punktach węzłowych środka cęŝkośc ścany A B w sztywnym segmence. W rzeczywstej konstrukcj, maksymalne momenty w nadproŝach występują w mejscu ch połączena z ścanam, w punktach C D (rys. 3.8). Wobec braku jakchkolwek obcąŝeń poprzecznych w belkach, rozkład momentu zgnającego zmena sę lnowo mędzy punktam węzłowym A B. Jeśl oblczone momenty w nadproŝu w A B nazwemy odpowedno M A M B, prawdzwy momenty na końcach belk podają wzory: d M C = M A ( M A M B ) (3.3) l d M D = M B + ( M A M B ) (3.4) l lub w nny sposób, jeśl punkt przegęca przyjmemy w środku rozpętośc: b M C = M D = Q (3.5) gdze Q jest ścnanem w belce. W pewnych przypadkach nadproŝe moŝe być stosunkowo wysoke powększy sę znaczne sztywność połączena ścana-belka. Efekt moŝna łatwo modelować w rame zastępczej poprzez utworzene sztywnych ponowych odcnków w elemence słupa ponad określoną szerokość nadproŝa, jak to pokazano na 8
rys. 3.9. Macerz sztywnośc dla uzyskanego elementu słupa będze podobnej postac jak dla sztywno zakończonej belk. Nestety, analoga jest mnej dokładna nŝ dla nadproŝa naleŝy uwaŝać przy dodawanu takch sztywnych segmentów oraz nterpretacj otrzymanych rezultatów. Rys. 3.8 Wykres momentu zgnającego dla nadproŝa [STA9]. Rys. 3.9 Reprezentacja ścan z szerokm nadproŝam przez ramę zastępczą [STA9]. UŜyce elementu bodrowego. Jeśl opcja belk z szerokm słupam ne jest dostępna w programe, ale dostępna jest opcja elementu bodrowego, moŝna jej uŝyć do przedstawena sztywnych ramon, jeśl podane są określone wartośc duŝej sztywnośc powerzchn przekroju sztywnośc na zgnane zakończeń bodrowych. Wartośc te muszą być 9
wystarczająco duŝe aby otrzymane odkształcena były pomjalne małe, ale ne na tyle duŝe, aby spowodować problemy oblczenowe przez osłabone równana. Sztywność segmentów zakończeń zaleŝy tak samo od długośc jak od własnośc przekroju wybór sztywnośc EA EI dla sztywnych segmentów mus odzwercedlać stosunek długośc ramena do rozpętośc elastycznego nadproŝa. 4 Generalne odpowedne wydają sę wartośc 0 razy wększe od wartośc dla nadproŝy. UŜyce jednoltych nadproŝy zastępczych. W symetrycznej konstrukcj ścan z nadproŝam, w której odkształcena osowe nadproŝy przyjmuje sę za pomjalne małe, obroty ścan na dowolnym pozome będą równe. Obroty sztywno zakończonych belek są takŝe równe, w konsekwencj moŝlwe jest zastąpene sztywno zakończonych belek przez jednolte nadproŝa zastępcze o efektywnym momence bezwładnośc I e, tym samym traktując ramę z szerokm słupam jak normalną, płaską ramę z belek słupów. Skoro ścany ne podlegają względnym odkształcenom pozomym an obrotom, w modelu zastępczym mus zostać odtworzona poprawne tylko odpowadająca sztywność ponowa. Wymagany moment bezwładnośc belk zastępczej moŝna powązać z wartoścą I b prawdzwej elastycznej belk poprzez zrównane względnych ponowych przemeszczeń δ rzeczywstej zastępczej belk poddanej temu samemu ścnanu ponowemu P, jak to pokazano na rys. 3.0. Rys. 3.0 Zastąpene sztywno zakończonego nadproŝa przez jednolte nadproŝe zastępcze [STA9]. Wartośc te będą równe: P E I b E I e = = 3 3 δ b l lub: 3 (3.6) l I e = I b = ρ I b (3.7) b gdze ρ jest współczynnkem wzmocnena sztywnośc, równym sześcanow stosunku długośc mędzy punktam węzłowym środka cęŝkośc ścan prawdzwej długośc elastycznego nadproŝa. Konstrukcja ścan z nadproŝam moŝe być reprezentowana przez ramę mającą jednolte nadproŝa o długośc l sztywnośc na zgnane E I. Wymagany współczynnk wzmocnena ρ zaleŝy od stosunku ( l ) 3. W b praktyce, szerokośc ścan są duŝo wększe nŝ rozpętośc nadproŝy; wartość meśc sę zazwyczaj w zakrese 3 do 5, co daje w rezultace wartość ρ z przedzału 7 do 5. Te lczby lustrują wyraźne duŝy wzrost efektywnej sztywnośc nadproŝy, który moŝe wynkać z szeroko-słupowego efektu ścan. e l b 0
Jeśl nadproŝa są stosunkowo wysoke, tak Ŝe efekty odkształcena od ścnana mogą ne być znkome, efektywny moment bezwładnośc pownen być dalej modyfkowany. Wartość I e mus być zastąpona przez I e : 3 I e l I e = = I b (3.8) + r + r b E I e gdze: r = λ G Ab Jeśl program oblczenowy wymaga podana powerzchn ścnana, pownna zostać l uŝyta dla nadproŝa zastępczego powerzchna ścnana A se = A λ, gdze A jest b rzeczywstą powerzchną przekroju. Sły w ścanach, ścnane w nadproŝach odkształcena pozome podane są bezpośredno poprzez rezultaty analzy. Rzeczywste belk są jednak krótsze nŝ belk zastępcze oblczone momenty na końcach belk w punktach A B muszą zostać zmnejszone przez współczynnk b, tak, aby uzyskać maksymalne l momenty na końcach C D prawdzwych belek (rys. 3.8). Równana (3.7) (3.8) ne są dokładne, jeśl konstrukcja ne jest symetryczna. Jednak ścany w nesymetrycznej konstrukcj ścanowej z nadproŝam o normalnych proporcjach obracają sę w rzeczywstośc dentyczne na pozome kaŝdej kondygnacj nadproŝa moŝna bezpeczne zastąpć przez zastępcze belk o efektywnym momence bezwładnośc I e lub I e podanym przez równana (3.7) (3.8). Pozwala to znaczne uproścć oblczena daje rezultaty, które są zazwyczaj wystarczająco dokładne do zastosowań praktycznych. Jedyne w przypadku, gdy jedna ze ścan ma duŝo wyŝszą sztywność nŝ druga, na przykład, jeśl ścana jest połączona ze słupem, pownno sę uŝywać rezultatów z ostroŝnoścą. W takm przypadku zaleca sę dokładnejszą analzę. 3.3. MES. Do znalezena napręŝeń w ścane, szczególne w strefe zaburzeń, moŝna stosować metodę elementów skończonych MES. W metodze tej ścanę traktuje sę jako tarczę w płaskm stane napręŝena. Ścana jest dzelona na elementy, najczęścej czworokątne lub trójkątne, połączone ze sobą w węzłach (rys. 3.). Stosuje sę elementy tarczowe dla ścan, ramowe dla nadproŝy płytowe dla stropów. Dla kaŝdego elementu tworzona jest macerz sztywnośc uzaleŝnająca napręŝena w elemence od przemeszczeń jego węzłów. Składowe przemeszczeń wszystkch węzłów konstrukcj stanową wektor uogólnonych przemeszczeń konstrukcj.
Rys. 3. Schematy: a) elementów tarczowych: trójkątnego prostokątnego; b) podzał ścany na elementy skończone [SIE0]. Macerz sztywnośc konstrukcj oblcza sę na podstawe macerzy sztywnośc jej elementów, co symbolczne moŝna zapsać w postac: K = n K = (3.9) gdze: K - macerz sztywnośc konstrukcj, k - macerz sztywnośc -tego elementu. n - lczba elementów. Postać dokładna równana (3.9) przedstawona jest wzorem (.0). Składowe przemeszczeń węzłów znajduje sę rozwązując układ równań lnowych: U = K P (3.0) gdze: U - wektor uogólnonych przemeszczeń; P - wektor uogólnonych sł. RówneŜ równane (3.0) jest tylko symbolcznym zapsem. W rzeczywstośc, ze względu na potrzebę uzyskana dokładnejszych wynków, naleŝy rozwązywać układ równań algebracznych lnowych, a ne odwracać macerz
Lczba równań układu równa jest loczynow lczby węzłów stopn swobody w węźle. Dokładność wynków oblczeń zwększa sę wraz ze zwększenem gęstośc satk. Pocąga to za sobą wzrost nakładu pracy maszyny cyfrowej. Metoda ta została obszerne opracowana udokumentowana w lteraturze [GAL75, ZIE77], moŝna jej uŝywać do analzy praktycznej konstrukcj. Obecne jest w uŝycu wele programów MES, co umoŝlwa rozwązywane ustrojów tarczowych o kształtach neregularnych. Ze względu na koneczność zastosowana maszyn cyfrowych, metoda ta jest uŝywana do projektowana tylko w specjalnych przypadkach, szczególne przy bardzo neregularnych otworach tak jak te na rys. 3., albo przy złoŝonych warunkach podparca. Znaczna lczba szczegółowych wynków otrzymywanych przy jej stosowanu jest przydatna do analz badań naukowych, natomast stanow dodatkowe obcąŝene dla projektantów. Jednym z powodów jest to, Ŝe układ usztywnający budynku mus być modelowany przy wykorzystanu elementów tarczowych dla ścan elementów ramowych dla łączących je belek. W celu zmnejszena zwązanych z tym trudnośc opracowano specjalne elementy płaske, przeznaczone do modelowana ścan usztywnających połączonych nadproŝam [HA89, KWA94]. Rys. 3. Ścany z neregularnym otworam [STA9]. Technka ta ma tą zaletę, Ŝe dokładnejszej satk moŝna uŝyć w mejscach wysokego gradentów napręŝeń albo szczególne złoŝonej geometr, a satk mnej dokładnej w mejscach napręŝeń mało sę zmenających lub stałych. MoŜlwe teŝ jest modelowane konstrukcj przez połączene tarczowych elementów skończonych w skomplkowanych mejscach ramy zastępczej w pozostałej, jednoltej częśc, pod warunkem, Ŝe dołoŝono starań, aby zachować wymagane warunk w ch połączenu. 3
4. OBLICZENIA BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI Z NADPROśAMI NA POSTAWIE MODELU CIĄGŁEGO KONSTRUKCJI. 4.. Metoda cągłych połączeń dla płaskego układu dwóch ścan usztywnających [Sta9]. 4... Wyprowadzene równań róŝnczkowych. RozwaŜmy płaską konstrukcję ścanową z nadproŝam pokazaną na rys. 4., poddaną dzałanu obcąŝena pozomego o natęŝenu w na jednostkę wysokośc. Aby zlustrować wyprowadzene równana róŝnczkowego uŝyto obcąŝena ogólnego. Przyjęto następujące załoŝena:. Właścwośc ścan nadproŝy ne zmenają sę wraz z wysokoścą, a wysokość kondygnacj jest stała.. Elementy płaske przed ugęcem pozostają płaske po ugęcu dla wszystkch częśc konstrukcj. 3. Necągły zbór nadproŝy, z których kaŝde ma sztywność na zgnane E I b, zastąpć moŝna przez równowaŝny cągły ośrodek łączący o sztywnośc na E I zgnane b na jednostkę wysokośc, gdze h jest wysokoścą kondygnacj h (rys. 4.b). Dokładne, aby ta analoga była poprawna, stopeń bezwładnośc najwyŝszego nadproŝa pownen być o połowę mnejszy od nnych nadproŝy. 4. Ścany ugnają sę pozomo jednakowo, w wynku wysokej sztywnośc powerzchnowej otaczających płyt stropowych sztywnośc osowej nadproŝy. Wynka z tego, Ŝe nachylene wszystkch ścan jest równe na wysokośc dzęk temu, przy uŝycu bezpośrednch równań na ugęce, moŝna wykazać, Ŝe nadproŝa w zwązku z tym zastępczy ośrodek łączący, mają punkt przegęca w środku rozpętośc. Z tego załoŝena wynka teŝ, Ŝe krzywzny ścan są równe na całej wysokośc, tak węc moment zgnający w kaŝdej ścane będze proporcjonalny do jej sztywnośc na zgnane. 5. Necągły zbór sł osowych, sł ścnających momentów zgnających w nadproŝach moŝna zastąpć przez równowaŝny rozkład cągły o natęŝenu n, q m na jednostkę wysokośc. Rys. 4. Reprezentacja ścan z nadproŝam w modelu cągłym [STA9]. 4
Jeśl przyjme sę, Ŝe ośrodek łączący jest rozcęty wzdłuŝ ponowej ln przegęca, jedynym słam tam dzałającym są strumeń ścnana o natęŝenu q ( z) na jednostkę wysokośc sła osowa o natęŝenu n ( z) na jednostkę wysokośc, jak na rys. 4.. Sła osowa N w kaŝdej ścane na kaŝdej kondygnacj z będze wtedy równa całce ze strumena ścnana w ośrodku łączącym ponad tym pozomem, to jest: H N = q dz z (4.) albo, po zróŝnczkowanu: dn q = (4.) dz Rys. 4. Sły wewnętrzne w ścanach z nadproŝam [STA9]. RozwaŜmy teraz warunek ponowej zgodnośc wzdłuŝ ln rozcęca przegęca z rys. 4.. Względne przemeszczena ponowe będą mały mejsce na końcach rozcęca połączonych wspornków z powodu następujących czterech podstawowych dzałań [W pochodnej, względne przemeszczene dodatne oznacza, Ŝe konec lewostronnej połówk () przemeszcza sę w dół w stosunku do końca połówk prawostronnej ()]:. Obroty częśc ścan spowodowane zgnanem (rys. 4.3a). Pod dzałanem momentu zgnającego, ścana sę odkształc jej częśc będą sę obracać jak to pokazano na rys. 4.3a. Występują dwe formy odkształcena: perwsza, zgnane ścan spowodowane przez zadane momenty zewnętrzne druga, dodatkowe odkształcena spowodowane przez sły ścnające sły osowe w nadproŝach. Względne przemeszczene ponowe δ podane jest przez wzór (rys. 4.3a): δ b dy b dy dy = + d + + d = l dz dz dz (4.3) dy gdze jest nachylenem os środka cęŝkośc ścan na pozome z z powodu dz odkształcena ścan.. Odkształcena nadproŝy od zgnana ścnana spowodowane słam ścnającym w nadproŝach (rys. 4.3b). RozwaŜmy mały element ośrodka łączącego o grubośc dz przyjmjmy, Ŝe jest zamocowany na wewnętrznej krawędz ścany. Sztywność na zgnane tego małego elementu wynos E I b dz wspornk poddany jest newelkej sle ścnającej h 5 q dz.
Spowodowane jedyne zgnanem, względne przemeszczene δ wynos: 3 3 q dz b q b h δ = = (4.4) E I b E I 3 dz b h gdze b jest pełną rozpętoścą nadproŝa. Rys. 4.3. Względne przemeszczena w ln przegęca [STA9]. I c Skutk odkształcena spowodowanego ścnanem w nadproŝach moŝna łatwo uwzględnć przez zastąpene prawdzwej sztywnośc na zgnane E I przez równowaŝną sztywnoścą na zgnane I b = + r E I b r = λ b G A E I c, gdze: b (4.5) 6
G A jest sztywnoścą na ścane a λ jest współczynnkem kształtu ścnanego przekroju, równym. w przypadku przekroju prostokątnego. Zmana jest koneczna tylko w przypadku nadproŝy o stosunku rozpętość-wysokość mnejszym nŝ około 5. W oszacowanu δ przyjęto, Ŝe nadproŝe jest sztywno połączone ze ścaną przez to zanedbano efekty mejscowych odkształceń spręŝystych w połączenu nadproŝe-ścana, które zwększałyby podatność całego połączena. Zarówno badana eksperymentalne podatnośc, jak z uŝycem metody elementów skończonych wykazały, Ŝe dodatkową podatność połączena nadproŝe-ścana moŝna uwzględnć w prosty sposób przez zwększene długośc nadproŝa o jedną czwartą wysokośc belk na kaŝdym końcu. Długość b w równanu (4.4) pownno sę zatem podstawć jako prawdzwą długość b + wysokośc belk. Równana (4.) (4.5) pozwalają równane (4.4) wyrazć z uŝycem sły osowej N, jako: 3 b h dn δ = + (4.6) E I c dz 3. Odkształcena osowe ścan pod wpływem sły osowych N (rys. 4.3c). Dzałane sł ścnających w nadproŝach wywołuje sły rozcągające w ścane nawetrznej sły ścskające w ścane zawetrznej. W konsekwencj, względne przemeszczene δ 3 na pozome z będze równe: z δ = + 3 N dz (4.7) E A A 0 gdze A A są powerzchnam przekroju ścan. 4. Dowolne ponowe lub obrotowe przemeszczena względne w podstawe (rys. 4.3d). Ponowe albo obrotowe odkształcena podstawy nastąpć mogą w skutek przemeszczena fundamentów (na przykład proporcjonalne do modułu odkształcalnośc podłoŝa) albo jako skutek odkształceń konstrukcj fundamentu. Take przemeszczena fundamentów wywołują ruchy sztywnej struktury nadbudowy powyŝej dają początek przemeszczenom, które są stałe na wysokośc, jak to pokazano na rys. 4.3d. δ Przyjmując, Ŝe względne przemeszczena lnowe ( ) r 7 δ obroty ( ) dzałają w tym samym sense jak wewnętrzne sły osowe momenty, względne ponowe przemeszczene δ 4 wynos: δ = δ + r l δ = 4 θ δ b (4.8) l W rzeczywstej, odkształconej konstrukcj (rys. 3.3) ne moŝe być Ŝadnych ponowych przemeszczeń względnych w ln przegęca nadproŝy. Co za tym dze, warunek ponowej zgodnośc przemeszczeń na tej ln brzm: δ + δ + δ 3 + δ 4 = 0 lub, przy uŝycu odpowednch wyraŝeń na kaŝde z nch: 3 z b h dn + + N dz + δ b = 0 (4.9) E I c dz E A A 0 W najczęścej spotykanym przypadku sztywnej podstawy ostatna pozycja będze zerowa. Przy rozwaŝanu zarówno przemeszczeń od swobodnego zgnana dy dz wywołanego zewnętrzne zadanym momentem M, jak przemeszczeń dodatkowych spowodowanych słam ścnającym osowym w ośrodku łączącym θ
(rys. 4.), relacje moment-ugęce dla obu ścan, na dowolnym pozome, wynoszą: H d y b E I = M = M + d q dz M a dz (4.0) H z d y b E I = M = + d q dz + M a dz (4.) z gdze M a to moment spowodowany przez sły osowe w nadproŝu. Połączene równań (4.0) (4.) daje całkowtą relację momentprzemeszczene w ścanach z nadproŝam: H d y E ( I + I ) = M l q dz = M l N dz (4.) z RóŜnczkując równane (4.9) wzglądem z łącząc z równanem (4.), tak, d y aby wyelmnować ugęce, otrzymujemy: dz d N α ( k α ) N = M (4.3) dz l Jest to główny wzór dla ścan z nadproŝam wyraŝony przy wykorzystanu sły osowej N. Parametry w równanu defnuje sę jako: I c α = 3 b h l I A I k = + A A l I = I + I, A = A + A Jak zwykle, lewa strona równana (4.3) opsuje własnośc fzyczne struktury a prawa strona zawera zadane obcąŝena. Alternatywne, elmnując słę osową N z równań (4.9) (4.): 4 d y d y d M k ( ) ( ) k α = k α M (4.4) 4 dz dz E I dz k Jest to główny wzór dla ścan z nadproŝam wyraŝony w funkcj przemeszczeń pozomych y. y 4... Ogólne rozwązane głównych równań. Ogólne rozwązane równana (4.3) będze zawsze mało formę: 4 D D α M N = C cosh k α z + C snh k α z + + + L 4 ( k α ) ( k α ) ( k α ) l (4.5) d w którym D jest operatorem a C C są stałym całkowana, które muszą dz zostać określone na podstawe odpowednch warunków brzegowych na szczyce w podstawe, wyraŝonym w jednostkach zmennej N. Ogólne rozwązane równana (4.4) wygląda podobne: C3 + C4 z + C5 cosh k α z + C6 snh k α z + E I k α D = 8 ( )
gdze C 3 do 6 4 D D d M k + + + L ( k α ) M 6 (4.6) dz k C to stałe określone na podstawe warunków brzegowych 4 ( k α ) ( k α ) ( k α ) wyraŝonych w jednostkach zmennej y. Warunk brzegowe. Odpowedne warunk brzegowe moŝna wyprowadzć dla welu podstawowych przypadków poprzez równana zgodnośc przemeszczeń równowag na szczyce w podstawe konstrukcj. Na przykład, dla konstrukcj, która jest swobodna na szczyce sztywno utwerdzona w podstawe, dwoma warunkam brzegowym dla wzoru (4.5) będą: dla z = H, N = 0 (4.7) W podstawe, perwsze wyraŝene w równanu (4.9) jest nachylenem dy podstawy, które jest zerowe. Trzece wyraŝene teŝ jest zerem, stąd dz warunek brzegowy: dn dla z = 0, = 0 dz We wzorze (4.6), czterema warunkam brzegowym będą: dla z = 0 = 0 oraz: (4.8) y (4.9) dy dla z = 0 = 0 (4.0) dz d y Na szczyce sła osowa moment są zerowe, stąd z równana (4.), = 0. dz Drug warunek brzegowy na szczyce moŝna łatwo wyprowadzć przez zamanę dn N jej perwszej pochodnej z równana (4.) do zgodnośc z równanem dz (4.9) wykorzystując wzór (4.0). Wymagane warunk brzegowe wyglądają wtedy następująco: d y dla z = H = 0 (4.) dz 3 H d y dy dm ( ) ( ) k x = α k M dz (4.) 3 dz dz E I dz 0 Odpowedne warunk moŝna równeŝ wyprowadzć w nnych przypadkach praktycznych, takch jak ścany oparte na elastycznych fundamentach albo ścany oparte na róŝnych typach konstrukcj. W drugm przypadku, koneczne moŝe być uczynene dalszych uproszczeń załoŝeń dotyczących sposobu zachowana sę konstrukcj podperającej, w celu wyprowadzena odpowednej lczby warunków brzegowych w jednostkach uŝytych zmennych. Wymaga to zwykle redukcj stopna statycznej newyznaczalnośc ram podperających poprzez umeszczene przegubów w przyjętych punktach przegęca, albo w połączenach stosunkowo smukłych słupów ze stosunkowo sztywnym belkam. 4..3. Rozwązane dla standardowego przypadku obcąŝena. Otrzymalśmy teraz kompletne rozwązane dla jednoltego rozkładu obcąŝena pozomego, którego moŝna uŝyć, aby przedstawć obcąŝene watrem. RozwaŜmy przypadek pary ścan z nadproŝam opartych na sztywnej podstawe, poddanych jednolce rozłoŝonemu obcąŝenu pozomemu o natęŝenu w na jednostkę wysokośc. Zewnętrzny moment wynos: 9