Budownictwo i Architektura 13(3) (014) 91-98 Wyboczenie prężyście zamocowanej ścianki wpornikowej z uztywnieniem krawędzi wobodnej Andrzej Szychowki 1 Katedra Mechaniki, Kontrukcji Metalowych i Metod Komputerowych, Wydział Budownictwa i Architektury, Politechnika Świętokrzyka w Kielcach, e mail: azychow@tu.kielce.pl Strezczenie: Zagadnienie utraty tateczności ścikanej ścianki elementu cienkościennego o przekroju otwartym klay 4. prowadzono do analizy wyboczenia jednotronnie prężyście zamocowanej przeciw obrotowi płyty wpornikowej z podatnym na ugięcie uztywnieniem krawędzi wobodnej. Zaproponowano funkcje ugięcia płyty i uztywnienia umożliwiające modelowanie warunków brzegowych na obu krawędziach podłużnych. Wyznaczono wykrey wpółczynników wyboczeniowych dla różnych wkaźników prężytego utwierdzenia i różnych proporcji geometrycznych uztywnienia. Słowa kluczowe: pręty cienkościenne, ścianki wpornikowe, wyboczenie dytoryjne, prężyte utwierdzenie krawędzi 1. Wprowadzenie Ścianki wpornikowe tanowią części kładowe prętowych elementów cienkościennych lub kontrukcji blachownicowych. Z punktu widzenia utraty tateczności, krawędź wobodną takiej ścianki częto wzmacnia ię uztywnieniem krawędziowym powodując wzrot naprężeń krytycznych wyboczenia. Zmienia ię także jakościowo potać utraty tateczności z wyboczenia lokalnego krawędzi wobodnej na wyboczenie dytoryjne ścianki wraz z uztywnieniem [1]. Ściankę taką można w praktyce analizować jako jednotronnie prężyście zamocowaną na obrót płytę wpornikową z podatnym na ugięcie uztywnieniem drugiej krawędzi. Zagadnienie wyboczenia dytoryjnego prężyście zamocowanej płyty (ścianki) wpornikowej na długości egmentu pręta cienkościennego wytępuje m.in. w ścikanych lub równomiernie zginanych elementach o przekrojach otwartych, w których wpornikowa ścianka półki ścikanej jet wzmocniona uztywnieniem krawędzi (ry.1). Segment pręta cienkościennego zdefiniowano tutaj jako odcinek pomiędzy uztywnieniami poprzecznymi (żebrami, przeponami) lub podporami zapewniającymi ztywny kontur przekroju. Rolę uztywnienia krawędziowego może pełnić pojedyncze lub podwójne zagięcie krawędzi kztałtownika giętego lub przypawany element uztywniający (w potaci płakownika o takiej amej lub więkzej grubości ścianki) przekroju blachownicowego. W pracach [, 3] rozwiązanie zagadnienia wyboczenia dytoryjnego kztałtownika giętego uzykano dla modelu giętno krętnej utraty tateczności zatępczego pręta cienkościennego o przekroju złożonym z płyty (półki ścikanej) i uztywnienia krawędziowego (odgięcia) w ośrodku obrotowo prężytym. W pracy [1] podano rozwiązania tateczności płyt wpornikowych z uztywnieniem krawędzi wobodnej dla modelu obliczeniowego: płyta wpornikowa wpółpracująca z belką uztywnienia i granicznych przypadków podparcia (przegub, utwierdzenie) drugiej krawędzi. Rozwiązanie ściłe, wynikające z całkowania równań tateczności układu:
9 Andrzej Szychowki płyta belka z uwzględnieniem warunków brzegowych i warunków wpółpracy otrzymano dla ymetrycznego (względem linii środkowej płyty) uztywnienia krawędziowego. W pracy tej pokazano również wykrey płytowych wpółczynników wyboczeniowych (k) oraz wzory przybliżone (uzykane metodą energetyczną). Ry. 1. Wydzielona z egmentu pręta cienkościennego, jednotronnie prężyście zamocowana przeciw obrotowi, płyta wpornikowa z podłużnym uztywnieniem drugiej krawędzi Natomiat jednotronnie podatnie uztywniona na ugięcie płyta wpornikowa jet z reguły częścią kontrukcji cienkościennej lub blachownicowej prężyście zamocowaną przeciw obrotowi na krawędzi połączenia z płytą ąiednią (np. środnikiem). Europejka norma projektowania elementów cienkościennych [4] zaleca uwzględnienie warunków prężytego zamocowania ścianki wpornikowej (np. półki przekroju) w ściance przęłowej (np. w środniku), por. tab. 5.. [4]. Sztywność prężytego zamocowania na obrót zależy od ztywności zginania ścianki ąiadującej (np. środnika) oraz jej tanu naprężenia i można ją przeliczyć na prężyte podparcie zlokalizowane w środku ciężkości uztywnienia krawędziowego. W praktyce projektowej [4, 5], po wytąpieniu w przekroju naprężeń krytycznych wyboczenia dytoryjnego (σ σ cr D ), ściankę wpornikową z uztywnieniem krawędzi traktuje ię jako zatępczy pręt ścikany na podłożu prężytym o module K. Sztywność podłoża zależy także od ztywności zginania ścianki rozpatrywanej. Jeżeli ścianka jet również wrażliwa na lokalną utratę tateczności, to przekrój zatępczego pręta kłada ię z odpowiednich zerokości efektywnych zarówno ścianki jak również uztywnienia krawędziowego. Analizując rozwiązania zamiezczone w pracy [1] można twierdzić, że zamocowanie na obrót krawędzi podpartej wpływa itotnie na naprężenia krytyczne zarówno wyboczenia lokalnego płyty wpornikowej, jak również na naprężenia krytyczne wyboczenia dytoryjnego układu: płyta uztywnienie krawędzi. Analizę wyboczenia lokalnego jednotronnie prężyście zamocowanych na obrót i przegubowo podpartych na uztywnieniu krawędziowym płyt przęłowych w zakreie σ = σ cr σ cr D pokazano w pracy [6]. W niniejzej pracy rozzerzono wyniki zamiezczone w [1] dla modelu obliczeniowego: płyta wpornikowa belka uztywnienia o długości egmentu, na przypadek jednotronnie prężyście zamocowanej płyty wpornikowej z ymetrycznym uztywnieniem drugiej krawędzi. Rozwiązanie uzykano metodą energetyczną. Przyjęte w niniejzej pracy funkcje ugięć płyty i uztywnienia przetetowano na rozwiązaniu ściłym uzykanym w [1] dla krajnych warunków brzegowych na krawędzi podpartej (przegub, utwierdzenie).. Warunki brzegowe płyty i uztywnienia Założono, że: 1) ścianka ścikana otwartego elementu cienkościennego z uztywnieniem krawędziowym zachowuje ię jak jednotronnie prężyście zamocowana na obrót płyta wpornikowa z drugim brzegiem podpartym na ugięcie belką prężytą
Kontrukcje Metalowe Wyboczenie prężyście zamocowanej ścianki... 93 uztywnienia, ) poprzeczne krawędzie płyty (protopadłe do kierunku obciążenia) oraz końce belki uztywnienia na poprzecznych krawędziach egmentu ą wobodnie podparte (por.ry.1), 3) wytępuje zgodność ugięć krawędzi płyty (y = b ) z ugięciami belkowymi uztywnienia, 4) naprężenia wyboczenia lokalnego uztywnienia ą więkze od naprężeń wyboczenia dytoryjnego. Stopień prężytego zamocowania na obrót podłużnej krawędzi płyty (y = 0) opiano za pomocą wpółczynnika ε wg [1] oraz wkaźnika κ wg [7] w natępującej potaci: e = C q b D ( 1 D b ) k = 1 + C q gdzie: C q - ztywność obrotowa krawędzi podpartej równa momentowi zginającemu powtałemu podcza obrotu o kąt jednotkowy, b - zerokość płyty (ścianki ), D - płytowa ztywność zginania. Wpółczynnik ε wg wzoru (1) zmienia ię od ε = 0 dla podparcia przegubowego do ε = dla pełnego utwierdzenia, natomiat wkaźnik κ wg wzoru (), od κ = 0 (przegub) do κ = 1 (pełne utwierdzenie). Pomiędzy wpółczynnikiem ε, a wkaźnikiem κ zachodzą natępujące zależności: ( e ) k = e + (3) ( k ) e = k 1- (4) Przybliżone wzory do zacowania ztywności obrotowej C q krawędzi podłużnej półki ścikanej prężyście zamocowanej na obrót w środniku pręta cienkościennego o przekroju otwartym podano m.in. w pracach [, 7, 8, 9]. W więkzości przypadków ztywność obrotową uzależniono od geometrii ścianki podpierającej (środnika) oraz jej tanu obciążenia (np. ścikanie lub tarczowe zginanie). W technicznie ważnym przypadku półki ścikanej, zawierającej np. pojedyncze odgięcie krawędzi wobodnej (tzn. uztywnienie o tej amej grubości co ścianka, t = t ), wpływ prężytego zamocowania na obrót na wobodnej krawędzi płyty jet nieznaczny [1] i z technicznego punktu widzenia może zotać pominięty. Wynika to z małej ztywności na kręcanie pojedynczego uztywnienia krawędziowego, redukowanej dodatkowo wpływem naprężeń ścikających. W niniejzej pracy przyjęto (podobnie jak w [1]), że uztywnienie krawędzi ma przekrój protokątny i jet ymetryczne względem płazczyzny środkowej płyty, a jego grubość t jet równa grubości płyty t (por. ry.1.) 3. Funkcja ugięcia płyty wpornikowej i uztywnienia krawędzi W pracy [10] do aprokymacji potaci wyboczenia jednotronnie prężyście zamocowanej na obrót płyty wpornikowej zaproponowano i przetetowano funkcję potaci kończonego zeregu inuowo wielomianowego. Dla wkaźnika utwierdzenia krawędzi podłużnej κ wg wzoru (), funkcję ugięcia można zapiać w potaci: w ( x, y ) é æ ö p p ù ê y æ y ö æ ö æ ( ) ú ö y + i x f i 1 -k + k ê f ip in ú (5) b ë è è b ø ø p è b ø û è l ø io o p = t å å i= 1 = 3 gdzie: t, l, b - grubość, długość, zerokość płyty (ścianki ), f ip - bezwymiarowe, wobodne parametry funkcji ugięcia. (1) ()
94 Andrzej Szychowki W niniejzej pracy funkcję ugięcia uztywnienia krawędziowego przyjęto z warunku równości przemiezczeń krawędzi wobodnej płyty i belki uztywnienia w potaci: w ( x ) æ ( ) x, y = b = t fi + fip in è l ø = w å å è p ö æ i x ö (6) p ø io o p i= 1 = 3 Tak przyjęte funkcje ugięć umożliwiają w ogólnym przypadku aprokymację: 1) potaci wyboczenia dytoryjnego układu płyta uztywnienie, ) potaci wyboczenia lokalnego płyty przęłowej podpartej na niepodatnym uztywnieniu krawędziowym, oraz 3) potaci interakcyjnej wyboczenia lokalnego i dytoryjnego na granicy przedziałów. 4. Energia prężyta i praca ił zewnętrznych W pracy [11] pokazano poób wyznaczania całkowitej energii potencjalnej (U = V,1 ) ścikanej płyty wpornikowej bez uztywnienia krawędzi w takim przypadku, gdy funkcję ugięć zapiuje ię zeregiem wielomianowo inuowym np. potaci (5). W tym przypadku energię prężytą (V,1 ) można wyznaczyć w poób zaproponowany w pracy [1], a funkcję pracy ił zewnętrznych ( ) można wyznaczyć z ekwencji wzorów wyprowadzonych w [11]. Energię prężytego zamocowania przeciw obrotowi (V, ) podpartej krawędzi płyty (y = 0) wyznaczono wg [1] ze wzoru: l C w V ò é, dx y 0 y 0 ú ú ù q æ ö = ê ê ëè ø = û Z kolei energię zginania w uztywnieniu belkowym wyznaczono wg [1] ze wzoru: V l EI æ d w ò dx ö = è ø 0 dx gdzie: I = t b 3 /1 moment bezwładności przekroju uztywnienia. Pracę krawędziowych ił zewnętrznych w uztywnieniu wyznaczono ze wzoru: = l A æ dw ò dx ö 0 è ø dx gdzie: A = t b pole przekroju uztywnienia. 5. Naprężenia krytyczne Naprężenia krytyczne (σ cr ) wyboczenia (lokalnego lub dytoryjnego) oiowo ścikanej i jednotronnie prężyście zamocowanej przeciw obrotowi płyty wpornikowej zymetrycznym uztywnieniem krawędzi wyrażono w potaci wzoru: cr = k E gdzie: σ E - naprężenia Eulera dla płyty wg wzoru: E p E = 1(1 -n æ t ö ) è b ø (7) (8) (9) (10) (11)
Kontrukcje Metalowe Wyboczenie prężyście zamocowanej ścianki... 95 Płytowe wpółczynniki wyboczeniowe (k) wyznaczono metodą energetyczną. Całkowitą energię potencjalną układu: płyta uztywnienie wyznaczono ze wzoru: U - = V, 1 + V, + V - (1) gdzie: V,1 - energia prężyta zginania płyty wg [1], V, - energia prężytego zamocowania podłużnej krawędzi płyty (y = 0) ze wzoru (7), V energia prężyta zginania belki uztywnienia ze wzoru (8), - praca ił zewnętrznych w płycie wg [11], praca ił zewnętrznych w uztywnieniu ze wzoru (9). Płytowe naprężenia krytyczne obliczono z układu równań: U fip = 0 prowadzając zagadnienie do problemu wyznaczania wartości i wektorów włanych. Do obliczenia wpółczynników k opracowano w środowiku pakietu Mathematica program obliczeniowy Ncr-płyta-wpornik-uztywnienie-ym.nb. Program umożliwia tablicowanie wpółczynników oraz graficzną prezentację wyników obliczeń (wykrey, potacie wyboczenia). Funkcję ugięcia płyty aprokymowano zeregiem (5) dla p 0 = 4 i przy narzuceniu wartości początkowych wkaźnika utwierdzenia wg wzoru () od κ = 0 dla krawędzi wobodnie podpartej do κ = 1 dla krawędzi utwierdzonej. Funkcję ugięcia uztywnienia przyjęto wg wzoru (6). Parametr i 0 określający ilość półfal funkcji inu w kierunku oi x zeregów (5, 6) dobierano w zależności od tounku wymiarów płyty (γ = l /b ) i miarodajnej potaci wyboczenia wg zaad podanych w [11]. Prezentowane w dalzej części pracy wykrey wpółczynników k wyznaczono dla wartości parametrów E = 05 GPa oraz n = 0,3. W tabeli 1 podano przyporządkowanie numeru krzywej na wykreach (ry. i ry.3) do wpółczynnika ε oraz wkaźnika κ. Tabela 1. Przyporządkowanie numeru krzywej na ry. i 3 do wpółczynnika e oraz wkaźnika κ Nr 1 3 4 5 6 7 8 ε 0 0, 0,6 1,5 3 8 30 10 5 κ 0 0,091 0,31 0,49 0,6 0,8 0,938 1 Na ry. i ry.3 przedtawiono wykrey wpółczynników k jednotronnie prężyście zamocowanych (tab.1) płyt wpornikowych z uztywnieniem krawędzi dla wartości parametrów b /b =0. i mukłościach płyt odpowiednio: b /t = 30 (ry.) i b /t = 50 (ry.3). (13) Ry.. Wykrey wpółczynników k dla prężyście zamocowanej (tab.1) płyty wpornikowej z uztywnieniem dla: b /t = 30 oraz b /b = 0.
96 Andrzej Szychowki Ry. 3. Wykrey wpółczynników k dla prężyście zamocowanej (tab.1) płyty wpornikowej z uztywnieniem dla: b /t = 50 oraz b /b = 0. Na powyżzych wykreach (ry. i 3), trzałkami oznaczono przedziały (γ ) wytępowania miarodajnych naprężeń krytycznych: 1) wyboczenia lokalnego (σ cr ) płyty przęłowej, oraz ) wyboczenia dytoryjnego (σ cr D ) układu: płyta wpornikowa - uztywnienie. Z porównania wykreów wynika, że ze wzrotem wkaźnika utwierdzenia krawędzi płyty κ wg wzoru () roną wpółczynniki (k) naprężeń krytycznych zarówno wyboczenia lokalnego jak i dytoryjnego, przy czym wzrot tych drugich (σ cr D ) jet znacznie więkzy. Na ry.4 porównano wykrey wpółczynników k płyty wpornikowej z uztywnieniem dla b /t = 40 oraz ε = 1.5 (κ = 0.49) i różnych tounków b /b = 0.1 0.35. Z porównania wpółczynników w tym przypadku wynika, że ze wzrotem relacji b /b roną naprężenia krytyczne wyboczenia dytoryjnego (σ cr D ), natomiat naprężenia krytyczne wyboczenia lokalnego (σ cr ) pozotają w zaadzie bez zmian. Uwaga: 1) w obliczeniach pominięto ztywność krętną uztywnienia, która miałaby nieznaczny wpływ na σ cr płyty przęłowej [13], ) przy małych wartościach relacji b /b, na granicy przedziałów σ cr - σ cr D w wielu przypadkach ujawniła ię interakcyjna potać wyboczenia). Ry. 4. Wykrey wpółczynników k płyty wpornikowej z uztywnieniem dla: b /t = 40, oraz e = 1.5 (k = 0.49) i różnych tounków b /b
Kontrukcje Metalowe Wyboczenie prężyście zamocowanej ścianki... 97 Na ry.5 porównano wykrey wpółczynników k płyty wpornikowej z uztywnieniem dla b /b = 0.5 oraz ε = 5 (κ = 0.714) i różnych mukłości płyty b /t = 0 50. Ry. 5. Wykrey wpółczynników k płyty wpornikowej z uztywnieniem dla: b /b = 0.5, e = 5 (k = 0.714) oraz różnych mukłości b /t Z porównania wpółczynników k w tym przypadku wynika, że ze wzrotem mukłości płyty rośnie korzytny wpływ podparcia na belce uztywnienia i roną wpółczynniki naprężeń krytycznych wyboczenia dytoryjnego. Natomiat naprężenia krytyczne wyboczenia lokalnego zachowują ię analogicznie do ytuacji przedtawionej na ry. 4. Wzytkie prezentowane wykrey (ry. do 5) mają charakter krzywych girlandowych wkazując jednocześnie ilość półfal miarodajnej potaci wyboczenia (lokalnego lub dytoryjnego) powtających na długości egmentu pręta cienkościennego. Oznaczono to ymbolicznie na ry.5, gdzie dla b /t = 50 cyframi arabkimi (1,, 3, 4) oznaczono kolejne półfale wyboczenia lokalnego, a cyframi rzymkimi (I, II) kolejne półfale wyboczenia dytoryjnego. 6. Podumowanie Zatoowana w pracy funkcja ugięcia płyty wpornikowej (5) umożliwia modelowanie warunków brzegowych na wzdłużnej krawędzi podpartej (y = 0) od wobodnego podparcia (κ = 0), przez prężyte zamocowanie w egmencie pręta cienkościennego (0 < κ < 1), do pełnego utwierdzenia krawędzi (κ = 1). Na drugiej krawędzi (y = b ) funkcja ta pozwala na zbudowanie takiej potaci ugięcia belki (6), która umożliwia opi dytoryjnych przemiezczeń układu płyta - uztywnienie. Uwzględnienie prężytego zamocowania krawędzi płyty (ścianki) w egmencie pręta cienkościennego prowadzi do dokładniejzego ozacowania naprężeń krytycznych wyboczenia dytoryjnego. Dotyczy to zwłazcza płyt wpornikowych z podłużnym uztywnieniem krawędzi, dla których zapay dytoryjnej nośności krytycznej, wynikające ze prężytego zamocowania na obrót krawędzi podpartej, ą więkze niż dla obutronnie prężyście zamocowanych płyt przęłowych z uztywnieniem pośrednim [4, 5]. Ze wzrotem wkaźnika utwierdzenia krawędzi płyty κ oraz wzrotem tounków: b /b oraz b /t roną naprężenia krytyczne wyboczenia dytoryjnego płyt wpornikowych z uztywnieniem. W tym drugim przypadku zmieniają ię również przedziały wytępowania miarodajnych potaci wyboczenia lokalnego i dytoryjnego.
98 Andrzej Szychowki iteratura 1 Bulon P.S. The Stability of Flat Plate. Chatto and Windu. ondon 1970. Hancock G.J. Deign for Ditortional Buckling of Flexural Member. Thin-Walled Structure 1997; 7 (1): 3-1. 3 Schafer B., Pekӧz T. aterally braced cold-formed teel flexural member with edge tiffened flange. Journal of Structural Engineering 1999, Vol 15, No, p. 118 16. 4 PN-EN 1993-1-3. Eurokod 3. Projektowanie kontrukcji talowych. Część 1-3: Reguły uzupełniające dla kontrukcji z kztałtowników i blach profilowanych na zimno. 5 Goczek J. Belki z kztałtowników giętych tężone pozyciem z blach fałdowych. Monografia. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 013. 6 Szychowki A. Miejcowa utrata tateczności ścikanej półki cienkościennego kztałtownika giętego. Zezyty Naukowe Politechniki Rzezowkiej Nr 76, Seria: Budownictwo i Inżynieria Środowika, Zezyt 58, Nr 3/011/II, tr. 307-314. 7 Rykaluk K. Pozotające naprężenia pawalnicze w wybranych tanach granicznych nośności. Prace Naukowe Intytutu Budownictwa Politechniki Wrocławkiej, 9, eria: Monografie 11, Wrocław 1981. 8 Roger C.A., Schuter R.M. Flange/Web Ditortional Buckling of Cold-Formed Steel Section in Bending. Thin-Walled Structure 1997; 7 (1): 13-9. 9 Kalyanaraman V., (1979), ocal buckling of cold-formed teel member, Journal of the Structural Diviion 1979, Vol. 105, No.ST5, 813-88. 10 Szychowki A., (014), Stability of Cantilever Wall of Steel Thin-Walled Bar with Open Cro- Section, Thin-Walled Structure (TWST-D-13-00453) w trakcie recenzji. 11 Szychowki A. The tability of eccentrically compreed thin plate with a longitudinal free edge and with tre variation in the longitudinal direction. Thin-Walled Structure 008; 46 (5): 494-505. 1 Jakubowki S.: Macierzowa analiza tateczności i drgań włanych ścian dźwigarów cienkościennych. Archiwum Budowy Mazyn (1986), Tom XXXIII, Z.4, 357-375. 13 Szychowki A. Stateczność nieymetrycznie prężyście zamocowanych płyt przęłowych przy wzdłużnej zmienności naprężeń, Zezyty Naukowe Politechniki Rzezowkiej Nr 83, Seria: Budownictwo i Inżynieria Środowika, Zezyt 59, Nr 3/01/II, tr. 49-436, Buckling of elatically retrained cantilever wall with free edge tiffening Andrzej Szychowki 1 Department of Structure Mechanic, Metal Structure and Computer Method, Faculty of Civil Engineering and Architecture, Kielce Univerity of Technology, e mail: azychow@tu.kielce.pl Abtract: The iue of the tability lo in a compreed wall of a thin-walled member with an open cro ection wa reduced to the buckling analyi of the cantilever wall. The wall wa unilaterally elatically retrained againt rotation. The tiffening of the free edge of the wall wa uceptible to deflection. The plate deflection function and tiffening that allow the modelling of boundary condition on both longitudinal edge were propoed. Graph of buckling coefficient for different indexe of the elatic retraint of the upported edge and different geometrie of the edge tiffening were determined. Keyword: Thin-walled bar, cantilever wall, ditortional buckling, elatic retraint.