WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jrłw Dąbrwieg Ćwiczenie rchunwe: Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI Wrzw 7
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Cel ćwiczeni rchunweg Pdcz ćwiczeni pruzne będą ntępujące zgdnieni: metdy prwdzni i weryficji tbilnści liniwych ułdów utmtyi; ryteri tbilnści: Hurwitz, Ruth rz Nyquit; Celem ćwiczeni jet zdbycie umiejętnści prtycznej relizcji pwyżzych zgdnień. Wymgni wtępne Przed rzpczęciem ćwiczeń tudent zbwiązny jet d zpznni ię z treścią niniejzej intrucji. W zczególnści ittne jet pidnie wiedzy teretycznej z zreu pruzneg pdcz ćwiczeni rchunweg. Pndt tudent zbwiązny jet prześledzić ze zrzumieniem wzytie zmiezczne przyłdy, by wiedzieć w ji pób rzpcząć rzwiązywnie zdń pdcz ćwiczeń. W przypdu pidni wątpliwści p zpznniu ię z treścią intrucji w celu ich wyjśnieni zlec ię nultcje ię z prwdzącym przed terminem ćwiczeń rchunwych. Widmści gólne Stbilnść ułdu terwni jet njwżniejzą jeg cechą chrteryzującą zdlnść ułdu d wynni zdń, dl tórych ztł n zbudwny. Stbilnść jet pjęciem reśljącym w ptcznym znczeniu zdlnść zchwni pewneg tnu. Rzptrując zgdnienie tbilnści, rzwżni mżn rzpcząć d przyłdu zchwni ię uli wbdnej przedtwinej n ry.. ) ułd nietbilny b) ułd tbilny ympttycznie i glblnie c) ułd tbilny nieympttycznie i glblnie d) ułd tbilny nieympttycznie i llnie - nieglblnie Ry.. Ilutrcj rdzjów tnu równwgi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Jeśli ulę pddmy przeunięciu, mżn uznć, że pzycj równwgi, w jiej znjduje ię ul dpwiedni w czterech tnch: ) nietbilnym, b) tbilnym ympttycznie i glblnie, c) tbilnym nieympttycznie i glblnie, d) tbilnym nieympttycznie i llnie, le nie glblnie. Z przedtwinej nlizy wyni, że tbilnść jet cechą ułdu, plegjącą n pwrcniu d tnu równwgi tłej p zmnięciu złóceni, tóre wytrącił ułd z teg tnu. W zgdnienich dtyczących tbilnści ułdów terwni przyjmiemy gólniejze pdejście. Będziemy bdć tbilnść rzwiązń równń różniczwych piujących ułd i śledzić jeg zchwnie n pdtwie przebiegu trjetrii w przetrzeni tnu (tzn. tiej, w tórej płżenie puntu reślne jet przez wzytie wpółrzędne tej przetrzeni i jednzncznie chrteryzuje tn dynmiczny ułdu), w zczególnści w przetrzeni fzwej. Wyróżnimy dw rdzje tbilnści: tbilnść ułdu w tnie wbdnym, tórą rzwżmy w przypdu, gdy n ułd nie dziłją ygnły zewnętrzne (zrówn terujące, j i złócjące); tbilnść ułdu pddneg dziłnim zewnętrznym. Jeżeli ułd wbdny znjduje ię znjduje ię w tnie równwgi, t dpwidjący temu punt równwgi w przetrzeni fzwej umiezczmy w pczątu jej ułdu wpółrzędnych. Jet t dgdne przy bdniu prceu przejściweg przy t > t n pdtwie trjetrii, ją punt piujący wychdzący z płżeni pczątweg y (t ),, y n (t ) reśli w n wymirwej przetrzeni fzwej, minwicie: jeżeli t trjetri dąży d pczątu ułdu wpółrzędnych (punt równwgi), t ułd jet tbilny ympttycznie punt B n ry.; jeżeli t trjetri ddl ię d pczątu ułdu wpółrzędnych (punt równwgi), t ułd jet nietbilny punt C n ry.; jeżeli t trjetri nie wychdzi pz pewien grniczny bzr tczjący pcząte ułdu wpółrzędnych, t ułd jet tbilny w enie Lpunw punt A n ry.; Ry.. Schemt zmnięteg ułdu regulcji Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Punt równwgi x = nzywć będziemy tbilnym w enie definicji Lpunw, jeżeli dl żdej liczby ddtniej mżn dbrć tą liczbę (zleżą n gół d ), że trjetri rzpczynjąc ię w puncie A, leżącym wewnątrz uli prmieniu, pztnie wewnątrz uli prmieniu dl dwlnej chwili t >. Ntmit w przypdu bdni tbilnści ułdu pddneg dziłnim zewnętrznym, rzptrzny ztnie ułd terwni przedtwiny n ry.. SYNAŁ ZAKŁÓCENIA z(t) UCHYB REULACJI e(t) OBIEKT STEROWANIA SYNAŁ WYJŚCIOWY y(t) REULATOR e(t) UCHYB REULACJI Ry.. Schemt zmnięteg ułdu regulcji SYNAŁ WEJŚCIOWY Zmnięty ułd linwy, przedtwiny n ry., będziemy więc uwżć z tbilny, jeżeli przy żdej ńcznej wrtści złóceni z(t) i wrtści zdnej y (t) rz dwlnych wrunów pczątwych ygnł wyjściwy y(t) dążyć będzie d ńcznej wrtści utlnej dl czu t, dążąceg d nieńcznści. Nieiedy precyzuje ię ddtw, że gdy p zninięciu złóceni ułd pwrc d teg meg tnu równwgi c zjmwny pprzedni, t ułd ti jet tbilny ympttycznie. Przyłdy przebiegów y(t) wytępujących w ułdch tbilnych i nietbilnych pzn n ry.. ) b) u(t) Ry.. Chrterytyi czwe: ) ułdów tbilnych, b) ułdów nietbilnych Jeżeli ułd zmnięty piny jet z pmcą liniweg równni różniczweg: n n m m d y d y d x d x y bm bm b x n n... n m... () m dt dt dt dt n lub dpwidjącej mu trnmitncji pertrwej: Y Z m m bm bm... b n n n n... () Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi t czwy przebieg ygnłu wyjściweg y(t) p dwlnym złóceniu wrtści ńcznej piny jet wzrem ntępującej ptci: y t t A A e z n () gdzie: pierwiti równni chrterytyczneg ułdu zmnięteg; z wrtść złóceni. Złócenie z(t) mże być wprwdzne w dwlnym miejcu ułdu, w przypdu zczególnym złóceniem mże być również zmin wrtści ygnłu zdneg y (t). Kniecznym i dttecznym wruniem tbilnści ympttycznej ułdu jet, by pierwiti równni chrterytyczneg ułdu zmnięteg miły ujemne części rzeczywite, tzn. by pierwiti równni chrterytyczneg leżły w lewej półpłzczyźnie płzczyzny zmiennej zeplnej, tzn.: Wówcz: Re () lim y t t A z () gdzie: A wpółczynni wrtści ńcznej. T więc, ułd jet tbilny w pdny enie, łdwe wielści wejściwej zniją d zer przy t, pztje jedynie łdw utln, reśln ttycznymi włnścimi ułdu. W przypdu pierwitów zeplnych: j (6) Odpwiednie wyrzy umy () mją ptć: A e jt t A e c t j in t (7) Wyrzy te dążą d zer przy czie t, jeżeli pełniny jet wrune (). Jeżeli chciż jeden z pierwitów równni chrterytyczneg m część rzeczywitą ddtnią: Re (8) t: t lim y (9) t i ułd jet tbilny. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Jeżeli równnie chrterytyczne ułdu m pierwiti wielrtne, t w umie () pjwiją ię wyrzy typu: Ai t m i! m i e t () W tym przypdu wrune tbilnści () pztje również wżny, gdyż funcj rśnie wlniej niż funcj wyłdnicz ztem dl Re( ) <, mmy: i t m lim t Ai t m i! m i t e () Jeżeli równnie chrterytyczne ułdu m pierwiti w półpłzczyźnie rz jednrtne n i liczb urjnych, np. jeden pierwite zerwy lub prę pierwitów urjnych przężnych, t w ułdzie będą wytępwć drgni tłej mplitudzie, reślnej wrunmi pczątwymi. Ułd jet wówcz n grnicy tbilnści, ściśle mówiąc nie jet tbilny ympttycznie. Jeżeli pierwiti zerwe ą wielrtne, t przebieg y(t) ddl ię d pczątweg tnu równwgi, ułd jet czywiście nietbilny. Wrune tbilnści () będziemy więc uwżć z gólny wrune tbilnści liniwych ułdów utmtyi. Ptrzeb ściślejzeg rzróżnini rdzjów tbilnści wytąpi w ułdch nieliniwych, ntmit tutj tbilnść będziemy rzumieć j tbilnść ympttyczną. Przy bdniu tbilnści ułdów, tórych włnści dynmiczne pine ą z pmcą równń różniczwych wyżzych rzędów (lub dpwiednich trnmitncji), ntrfi ię n duże trudnści przy bliczniu pierwitów równni chrterytyczneg, gdyż jet t równnie lgebriczne teg meg tpni, c rząd równni różniczweg. Stuje ię wtedy jedn z ryteriów tbilnści, tzn. twierdzeń pzwljących cenić tbilnść ułdu n pdtwie wrtści wpółczynniów równni chrterytyczneg lub przebiegu chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg, bez bliczni pierwitów równni (). Nleży jedn pmiętć, że wzytie ryteri wywdzą ię wrunu pdtwweg (). O tbilnści ułdu decyduje równnie chrterytyczne, tj. minwni trnmitncji bdneg ułdu. Wyni tąd, że w ułdzie mją znić drgni wbdne pine równniem jednrdnym (prw trn równni różniczweg jet równ zeru), tóre t równnie dpwid minwniwi trnmitncji bdneg ułdu. Dlteg też przy bdniu tbilnści ułdów zjmujemy ię tyl równniem chrterytycznym teg ułdu. Z wielu prcwnych ryteriów tbilnści pznmy trzy pdtwwe, tóre twne ą njczęściej w prtyce inżynieriej, minwicie: ryterium Hurwitz; ryterium Ruth; ryterium Nyquit; Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 6
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Kryteri tbilnści Kryteri tbilnści ą wprwdzne w celu uprzczeni prjetntwi dpwiedzi n pytnie tbilnść twrzneg mdelu mtemtyczneg ułdu. Dzięi ztwniu dpwiednich ryteriów tbilnści mżn n pdtwie trutury i prmetrów mdelu twierdzić, czy ułd jet tbilny, bez niecznści rzwiązywni równń mdelu lub wynywni bdń ymulcyjnych.. Kryterium Hurwitz Algebriczne ryterium tbilnści, prte n bdniu wpółczynniów równni chrterytyczneg, udwdnine ztł przez Hurwitz w 89r. Pzwl n n prwdzenie, czy równnie lgebriczne dwlneg tpni m wyłącznie pierwiti ujemne lub ujemnych częścich rzeczywitych. Kryterium Hurwitz mżn twć tyl wtedy, iedy znny jet pi mtemtyczny bdneg ułdu, minwicie jeg równnie chrterytyczne. Jet n brdz prte i wygdne w ztwniu d ułdów pinych równnimi niżzych tpni. Z pmcą teg ryterium mżn prwdzić tbilnść ułdu wzytich wpółczynnich równni chrterytyczneg, j i wyznczyć zrey (bzry) zmiennści nietórych wpółczynniów zpewnijące tbilnść. Wdą jet br mżliwści wyznczni zpu tbilnści rz utrudnin cen wpływu pzczególnych prmetrów ułdu n tbilnść. Wruniem niecznym, le niewytrczjącym, żeby ułd liniwy tcjnrny ciągły był tbilny ympttycznie, jet by wzytie wpółczynnii równni chrterytyczneg n n n n... () itniły i były więze d zer: i, i,,,..., n () Wruniem niecznym i wytrczjącym jet by wzytie pdwyzncznii główne (minry) wyznczni n (wyznczni Hurwitz) były więze d zer:,,..., n, n n n n n n n n n n Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 7 n ()
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi J wyni z zleżnści (), wyznczni Hurwitz twrzymy umiezczjąc n głównej przeątnej lejne wpółczynnii wielminu n- d. Ntępnie w pzczególnych lumnch wpiujemy pwyżej wyrzu n przeątnej głównej wyznczni wpółczynnii indech lejn zmniejzjących ię jeden, pniżej wyrzu n przeątnej głównej wpółczynnii indech lejn zwięzjących ię jeden. Jeżeli tóryś ze wpółczynniów równni chrterytyczneg jet ujemny lub równy zeru, lb tóryś z pdwyznczniów jet ujemny lub równy zeru, t ułd jet nietbilny. W przypdu, gdy równnie () m, min. pierwiti czyt urjne i w przebiegu czwym y(t) wytępują drgni tłej mplitudzie. Mówimy wówcz, że ułd znjduje ię n grnicy tbilnści(grnic tbilnści nleży d bzru nietbilneg). Kryterium Hurwitz umżliwi twierdzenie tbilnści ympttycznej, j i nieympttycznej. Mżliwść wytąpieni tbilnści nieympttycznej zchdzi wtedy, iedy w równniu chrterytycznym wpółczynni =. P pdzieleniu trn równni przez, trzymujemy równnie tpni n-, w dnieieniu d tóreg tujemy ryterium Hurwitz.. Kryterium Ruth Drugim ryterium nlitycznym, b ryterium Hurwitz, jet ryterium Ruth, tóre prócz dpwiedzi n pytnie tbilnść ympttyczną bdneg mdelu dtrcz infrmcji liczbie pierwitów równni chrterytyczneg, znjdujących ię w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Kryterium t reśl liczbę pierwitów wielminu chrterytyczneg w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Wzytie pierwiti równni chrterytyczneg bdneg ułdu będą znjdwć ię w lewej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej, jeżeli ztną pełnine ntępujące wruni: wzytie wpółczynnii równni chrterytyczneg i, i=,, n, ą ddtnie. Jet t wrune nieczny; wzytie wpółczynnii lewej rjnej lumny Ruth ą ddtnie. Jeżeli ułd jet nietbilny ympttycznie, t wpółczynnii tej lumny zmieniją zn. Wówcz liczb zmin znu jet równ liczbie pierwitów równni chrterytyczneg znjdujących ię w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Tblicę Ruth buduje ię według ntępująceg chemtu: n b c d e n n n b c d n n b c n6 n7 b () Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 8
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi gdzie: b = n c = n n n n n, b = n b b b, c = c n n n n n d = b b c c, d c = b b c c, d d e = c c d, n, b = n b b b, c = n n 6 n n 7 n n n 7 b b b,, (6) Z żdym wierzem tblicy Ruth mżn jrzyć wielmin pmcniczy, tóry będzie wyrzytywny w przypdu zczególnym, czyli wtedy, iedy wierz wpółczynniów że ię łdć z mych zer. Wtedy wierz łdjący ię z zer ztępuje ię wpółczynnimi pchdnej wielminu pmcniczeg z pprzednieg wierz. Wielmin ten buduje ię, umując dpwiednie ilczyny wpółczynniów z tblicy Ruth ze zmienną w ptędze wynijącej z ntrucji twrzyznej z nią tbeli wielminwej. Drugą ytucją wyjątwą jet ytucj, iedy element w lewej rjnej lumnie tblicy Ruth równ ię zeru. Wtedy bdne równnie chrterytyczne nleży pmnżyć przez czynni (+) i rzpcząć bdnie tbilnści t trzymneg równni z pmcą ryterium Ruth d pczątu. Liczb > jet liczbą rzeczywitą i nie jet pierwitiem równni chrterytyczneg.. Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m duże znczenie prtyczne, pniewż pzwl bdć tbilnść ułdu zmnięteg n pdtwie przebiegu chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg, tórą mżn wyznczyć zrówn nlitycznie, j i dświdczlnie. Rzptrzmy ułd liniwy chemcie blwym przedtwinym n ry.. Trnmitncj ułdu twrteg () jet równ: (8) Przedtwijąc tę trnmitncję w ptci ilrzu wielminów trzymmy: M (9) N przy czym N () = jet równniem chrterytycznym ułdu twrteg. Trnmitncj ułdu zmnięteg z () jet równ: z M N z z () przy czym N z () = + () = jet równniem chrterytycznym ułdu zmnięteg. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 9
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Przedtwijąc równnie chrterytyczne ułdu zmnięteg w ptci widmwej N(j) = N() dl = j trzymmy: N j j () gdzie: (j) jet chrterytyą częttliwściwą ułdu twrteg Stbilnść ułdu zmnięteg zleży d jeg równni chrterytyczneg N() =. Z równni () wyni, że mżn ją cenić n pdtwie chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg (j). j X() () Y() () Ry.. Schemt blwy ułdu Kryterium Nyquit mżn frmułwć ntępując: Ułd zmnięty jet tbilny, jeżeli przyrt rgumentu wyrżeni (wetr) + (j) przy zminie pulcji d d jet równy, gdzie jet ilścią pierwitów równni chrterytyczneg ułdu twrteg, części rzeczywitej ddtniej, czyli: j () Przyrt rgumentu wetr nleży rzumieć j brtu teg wetr, przy zminie pulcji w reślnym zreie. Zwróćmy uwgę, jeżeli, t ułd twrty jet nietbilny, pniewż pid pierwiti równni chrterytyczneg części rzeczywitej ddtniej. Stąd wyni, że itnieją ułdy zmnięte tbilne, pmim że ułd twrty jet nietbilny. Spób bliczni przyrtu rgumentu wetr + (j) pzn n ry.6. ω ω ω -,j ω= (jω) ω= ω Δφ Δφ -,j Δφ + (jω) Δφ Ry.6. Spób bliczni przyrtu rgumentu wetr + (j) Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi j j j j j () Wzór () wyni ze twierdzeni, że przyrt rgumentu wetr + (j) rzuminy jet j ąt brtu teg wetr przy zminie d d, tórą t zminę mżemy rzbić n lejne etpy ( = d = ; = d =, itd.) Rzptrzmy becnie przypde njczęściej wytępujący =, tzn. że ułd twrty jet tbilny. Z pdneg pwyżej ryterium wyni, że ułd twrty jet tbilny. Z pdneg pwyżej ryterium wyni, że ułd zmnięte też jet tbilny, jeżeli: j () Przyłd przebiegu chrteryty mplitudw fzwych (j) ułdu twrtych tbilnych, tóre p zmnięciu będą: ) tbilne, b) nietbilne (ry.7). ) b) -,j + (jω) ω= ω= -,j ω= ω= (jω) Δφ[+ (jω)]= <ω< + (jω) (jω) Δφ[+ (jω)]=-π <ω< + (jω) -,j (jω) ω= ω= + (jω) -,j (jω) ω= ω= ω ω -,j ω= ω= -,j ω= ω= + (jω) + (jω) Ry.7. Przyłd przebiegu chrteryty mplitudw fzwych (j) ułdu twrtych tbilnych, tóre p zmnięciu będą: ) tbilne, b) nietbilne Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi dy w ułdzie twrtym wytępuje jeden lub więcej elementów cłujących, chrteryty (j) zczyn ię w nieńcznści (dl = ). Nleży wtedy chrterytyę te uzupełnić częścią ręgu prmieniu równym nieńcznści R = przez tyle ćwirte, ile wytępuje elementów cłujących. N ry.7 trzeci przypde dpwid ułdwi twrtemu, w tórym wytępuje jeden element cłujący, dlteg ztł uzupełniny częścią ręgu nrywną linią przerywną. Rzptrzmy ułd twrty tbilny, w tórym wytępują dw elementy cłujące, wtedy przebieg chrterytyi (j) jet zgdny z ry.8. Chrterytyę tę nleży uzupełnić półręgiem prmieniu R =. + (jω) -,j (jω) ω= R= Ry.8. Chrteryty (j) ułdu twrteg z dwm elementmi cłującymi Z ryunu teg wyni, że ti ułd p zmnięciu będzie zwze nietbilny (ułd nietbilny truturlnie), pniewż punt (-,j) leży p prwej trnie chrterytyi (j). Kryterium t jet prte w prtycznym ztwniu, gdy znmy chrterytyę mplitudw fzwą (j) rz wiemy, że ułd twrty jet tbilny, trzymmy nlizując tbilnść elementów (pdzepłów) wchdzących w łd ułdu twrteg. Jeżeli twierdzimy, że wzytie elementy łdwe ą tbilne, t ułd twrty też jet tbilny. W celu udwdnieni pwyżzeg twierdzeni przyjmiemy, że ułd twrty łd ię z dwóch elementów trnmitncji () i () ry.. M M gdzie: ; N N Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI M M M () N N N Stąd N ()=N ()N () zncz wielmin chrterytyczny ułdu twrteg równy ilczynwi wielminów chrterytycznych elementów łdwych. Ztem pierwitmi równni chrterytyczneg ułdu twrteg ą pierwiti równń chrterytycznych elementów łdwych. Pwyżze rzumwnie mżn rzzerzyć n dwlną ilść elementów łdwych.
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI Przyłdy zdń rchunwych. Przyłd. Zbdć tbilnść ułdu twrteg i zmnięteg chemcie blwym (ry.9), gdzie () zncz trnmitncję regultr PD. W tym celu nleży rzytć z ryterium Hurwitz ; X() Y() () () Ry.9. Chrteryty (j) ułdu twrteg z dwm elementmi cłującymi I. Trnmitncj ułdu twrteg () jet równ: tąd równnie chrterytyczne ułdu twrteg () m ptć: N ) wrune nieczny jet pełniny, pniewż >, >, >, >, >. Wyznczni Hurwitz ułdu twrteg m ptć: ) wrune wytrczjący wymg prwdzeni znu pdwyznczniów i : 6 8 Ułd twrty jet nietbilny, pniewż <.
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI II. Trnmitncj ułdu zmnięteg z () jet równ: X Y tąd równnie chrterytyczne ułdu zmnięteg N() m ptć: N ) Wrune nieczny pełniny. Wyznczni Hurwitz m ptć: ) Wrune wytrczjący wymg prwdzeni znu pdwyznczniów i : 9 6 Ułd zmnięty jet tbilny. Mmy tu d czynieni z przypdiem, iedy nietbilny ułd twrty p zmnięciu tje ię ułdem tbilnym.. Przyłd Oreślić tbilnść z wyrzytniem ryterium Nyquit ułdu zmnięteg chemcie blwym przedtwinym n ry., gdzie w trze głównym wytępuje element cłujący rzeczywity trnmitncji: T v X() Y() T v Ry.. Schemt blwy ułdu
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi W nlizwnym przyłdzie trnmitncj ułdu twrteg jet równ trnmitncji (). Chrteryty mplitudw fzw ułdu twrteg (j) przedtwin jet n ry.. Ułd twrty jet tbilny dl T >, gdyż element cłujący rzeczywity jet tbilny (nieympttycznie). Pid bwiem pierwiti równni chrterytyczneg =, = -/T. Pniewż w ułdzie twrtym wytępuje element cłujący, chrterytyę uzupełnimy częścią ręgu R = (lini przerywn n ry.). Z ryunu teg wyni również, że ułd zmnięty będzie zwze tbilny, niezleżnie d wrtści v i dl T >, pniewż punt (-,j) leży zwze p lewej trnie chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg (j). T -, j ω= + (jω) R ω= (jω) Ry.. Chrteryty mplitudw fzw ułdu twrteg trnmitncji T v. Przyłd Zbdć tbilnść ytemu pineg przez wielmin chrterytyczny M() = + + ++. W tym celu nleży wyrzytć ryterium Ruth. W tym celu budujemy tblice Ruth zgdnie z zleżnścią (). Wówcz trzymmy: Pniewż w pierwzej lumnie wytępuje pdwójn zmin znu, wielmin M() m dw pierwiti w prwej półpłzczyźnie zeplnej. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI
Stbilnść liniwych ułdów utmtyi. Przyłd Zbdć tbilnść ytemu pineg przez wielmin chrterytyczny M() = + + ++. W tym celu nleży wyrzytć ryterium Ruth. W tym celu budujemy tblice Ruth zgdnie z zleżnścią (). Wówcz trzymmy: Pniewż trzeci element pierwzej lumny jet zerem, tblic nie mże być uzupełnin. P pmnżeniu wielminu M() przez (+) trzymuje ię wielmin M ()=(+)M()= + + + ++, dl tóreg tblic Ruth m ptć: Pniewż w pierwzej lumnie wytępuje pdwójn zmin znu, wielmin M () (czyli również wielmin M()) m dw pierwiti w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. 6 6. Litertur. Zbigniew WAŁACH Cybernety techniczn. Część I Epltcj przętu, Wydził Wydwniczy WAT, Wrzw 98. Jnuz KOWAL Pdtwy utmtyi. T, Uczelnine Wydwnictw Nuw- Dydtyczne AH, Krów, Sygntur: 678. Tdeuz Kczre Teri terwni. Tm I Ułdy liniwe ciągłe i dyretne. Pńtwwe Wydwnictw Nuwe, Wrzw 977.. Driuz Hrl Pdtwy utmtyi. Ćwiczeni rchunwe. Część I, Wydwnictw Plitechnii Pznńiej, Pznń.. Włdyłw Pełczewi Teri terwni. Ciągłe tcjnrne ułdy liniwe Wydwnictw Nuw Techniczne, Wrzw 98, Sygntur: II 6. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 6