III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta przypadkowa wielkość, zwana zmienną losową, jest funkcją, której dziedziną jest podstawowy zbiór zdarzeń. Każde zdarzenie losowe zachodzi z odpowiednim prawdopodobieństwem, a ponieważ w przypadku zajścia określonego zdarzenia zmienna losowa przyjmuje określoną wartość, to i wartości tej jest przyporządkowane odpowiednie prawdopodobieństwo. Definicja.. Niech będzie dana algebra prawdopodobieństwa [I, S, P] (I zbiór zdarzeń elementarnych, S borelowska algebra zdarzeń, P funkcja prawdopodobieństwa). Przez zmienną losową rozumiemy określoną dla każdego zdarzenia elementarnego e należącego do zbioru I rzeczywistą funkcję X = X(e), której wszystkie przeciwobrazy należą do algebry S. Definicja.. Przeciwobrazem funkcji X = X(e) nazywamy określone przez nierówność X < zdarzenie A należące do algebry S ( oznacza dowolną liczbę rzeczywistą). Przykład.. Pewna gra polega na rzucie dwiema monetami i otrzymaniu wygranej 6 zł w przypadku dwu reszek i przegraniu zł w pozostałych przypadkach. Wygraną będzie tutaj funkcja, której dziedziną jest następujący zbiór zdarzeń elementarnych: RR, RO, OR, OO. Dla pierwszego zdarzenia funkcja ma wartość 6 i wartość ta pojawia się z takim samym prawdopodobieństwem, jak zdarzenie RR, tj. /. W pozostałych przypadkach funkcja ma wartość!, a prawdopodobieństwo wystąpienia tej wartości jest równe /. Wartość wygranej jest zatem zmienną losową. Przeciwobrazem odpowiadającym wartości X <! jest zdarzenie niemożliwe, nierówności X < 6 zdarzenie, na które składają się zdarzenia elementarne OR, RO i OO, a przeciwobrazem odpowiadającym nierówności X $ 6 zdarzenie polegające na wyrzuceniu dowolnego układu R i O (nierówność X $ 6 należy interpretować jako nierówność X <, gdzie $ 6). Definicja.. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od oznaczamy przez F() i nazywamy dystrybuantą lub funkcją rozkładu zmiennej losowej X, tj. F() = P(X < ).
.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa 9 Twierdzenie.. Dystrybuanta F() dowolnej zmiennej losowej X jest funkcją: a) co najmniej lewostronnie ciągłą, tzn. Dowód pomijamy. b) niemalejącą, tzn. c) spełniającą warunki lim F( ) = F( ), n < F( ) F( ), co często zapisujemy jako F( ) = i F( + ) =. n lim F ( ) = i lim F ( ) =, + # Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie.. Jeżeli funkcja F() spełnia warunki a) c) podane w twierdzeniu., to jest ona dystrybuantą pewnego rozkładu. Dowód pomijamy. # Wyróżniamy dwa rodzaje zmiennej losowej: skokową i ciągłą. Definicja.. Zmienną losową skokową nazywamy taką zmienną losową X, dla której istnieje funkcja P( X = k) = pk > (k =,,... ), taka że dla każdej rzeczywistej wartości zachodzi relacja F( ) = P( X = k ), tzn. prawdopodobieństwo P(X < ) oblicza się przez zsumowanie wszystkich prawdopodobieństw P(X = k ) dla wartości k mniejszych od. Definicja.5. Funkcję P(X = k ) = p k nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Zauważmy, że z definicji. wynika, że p k =. Funkcję prawdopodobieństwa można podać w postaci wzoru lub tabeli: k k < Zauważmy, że X... n P(X = k ) p p... p n
III. Zmienne losowe jednowymiarowe i po uwzględnieniu wzoru podanego w definicji. mamy Jeśli zmienna losowa skokowa przyjmuje także wartość b, to Definicja.6. Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja f(), że dla każdej rzeczywistej wartości zachodzi Definicja.7. Funkcję f() spełniającą równanie podane w definicji.6 nazywamy gęstością prawdopodobieństwa albo gęstością zmiennej losowej ciągłej. Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, jeśli znana jest dystrybuanta albo gdy znana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej skokowej lub gęstość prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej. Zauważmy, że Ponadto dla zmiennej losowej ciągłej mamy Pa ( X < b) = PX ( = k ) a < b Ponieważ dla zmiennej losowej ciągłej prawdopodobieństwo przyjęcia określonej wartości liczbowej jest równe zeru, więc dołączenie do przedziału [a, b) jego końca = b nie zmienia wartości prawdopodobieństwa, czyli Pa ( X< b) = Fb ( ) Fa ( ). Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) + PX ( = b). F( ) = f ( t) dt. F ( ) = f ( ) i f ( ) =. k + Pa ( X< b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( d ). Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( d ). b a b a.. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej Przykład.. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach. Obliczyć P(5 # X < 8) oraz wykreślić dystrybuantę tej zmiennej. Zmienna losowa może przyjąć wartości będące liczbami naturalnymi z przedziału [, ]. Oznaczmy:
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej I i otrzymanie i oczek na pierwszej kostce, II i otrzymanie i oczek na drugiej kostce. Mamy: PX ( = ) = PI ( II) = PI ( ) PII ( ) = =, 6 6 PX ( = ) = PI ( II + I II) = PI ( ) PII ( ) + PI ( ) PII ( ) = + =, 6 6 6 6 P( X = ) = K =, P( X = 5) = K =, 5 P( X = 6) = K =, 6 P( X = 7) = K =, 5 P( X = 8) = K =, P( X = 9) = K =, P( X = ) = K =, P( X = ) = K =, P( X = ) = K =. Można sprawdzić, że P( X = k) =. k = Tabela rozkładu ma postać k 5 6 7 8 9 P(X = k) 5 6 5 Wykres tego rozkładu jest następujący:
III. Zmienne losowe jednowymiarowe Widzimy, że rozkład jest symetryczny, a jego osią symetrii jest prosta = 7. Szukane prawdopodobieństwo jest równe 7 5 6 5 P( 5 X < 8) = P( X = k) = + + =. k = 5 W celu wykreślenia dystrybuanty konstruujemy następującą tabelę:............ 5... 6... 7... 8... 9............ F() 6 5 6 5 Wykres dystrybuanty ma postać i mamy 6 5 5 P( 5 X < 8) = F( 8) F( 5) = = =.
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład jednopunktowy Zmienna o takim rozkładzie przyjmuje tylko jedną wartość. Definicja.8. Mówimy, że zmienna losowa podlega rozkładowi jednopunktowemu, jeżeli istnieje taki punkt, że P(X = ) =. Dystrybuanta tego rozkładu dana jest wzorem dla F( ) = dla, >. Rozkład dwupunktowy Definicja.9. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli z dodatnimi prawdopodobieństwami przyjmuje jedynie dwie wartości i. Funkcja prawdopodobieństwa jest określona następująco: P( X = ) = p, P( X = ) = p = q, < < p. Często przyjmuje się, że = oraz = i wówczas funkcja prawdopodobieństwa ma postać P( X = ) = p, P( X = ) = p = q, < p<. Rozkład taki nazywa się rozkładem zero-jedynkowym. Modelem rozkładu zero-jedynkowego może być przy p = q = / rzut monetą. Jeśli zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu orła przypiszemy wartość, a wyrzuceniu reszki wartość, to mamy P( X = ) =, P( X = ) =. Dystrybuanta rozkładu dwupunktowego dana jest wzorem dla, F( ) = q dla < dla >., Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Rozkład ten można otrzymać z rozkładów zero-jedynkowych. Niech zmienna losowa X równa się sumie n zmiennych losowych X i, czyli X = n X i, k = z których każda może przyjąć wartość z prawdopodobieństwem p lub wartość z prawdopodobieństwem q =!p, niezależnie od wartości przyjmowanych przez pozostałe zmienne. Zmienna X może zatem przyjąć wartości z przedziału [, n], przy czym równość X = k oznacza,
III. Zmienne losowe jednowymiarowe że k spośród n zmiennych X i przyjmuje wartość, a n!k zmiennych X i przyjmuje wartość. Dla n każdej wartości k może to zajść na sposobów. Zatem wzór na funkcję prawdopodobieństwa k zmiennej losowej X jest następujący: przy czym k =,,..., n. Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest określona wzorem (*). Dystrybuantę rozkładu dwumianowego określa wzór postaci Zauważmy, że dla n = z rozkładu dwumianowego otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy. Rozkład Pascala n P X k k p k q n k ( = ) =, q p, = (*) n F P X k p k q n k ( ) = ( < ) =. k < Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X k ma rozkład Pascala, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem n k n k P( Xk = n) = p q, q = p, k gdzie k oznacza dowolną ustaloną liczbę naturalną, a n = k, k +,.... Zmienna X k ma swoją interpretację w tzw. zagadnieniu Pascala. Przyjmuje ona wartości równe liczbie niezależnych doświadczeń przeprowadzanych aż do otrzymania k sukcesów przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu równym p. W szczególnym przypadku, gdy k =, otrzymujemy tzw. rozkład geometryczny określony wzorem n P( X = n) = p q, n =,,... Rozkład Poissona Niech zmienna X n ma rozkład dwumianowy, czyli n P X k k p k q n k ( n = ) =, k,,, n. = K Załóżmy, że liczba n dąży do nieskończoności oraz że iloczyn n @ p jest stały i równy 8 >. Tak określona nowa zmienna losowa X może przyjąć każdą wartość całkowitą z przedziału [, +). Prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości k jest dane znanym wzorem Poissona (zob. twierdzenie. w p..), tj.
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej 5 Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem (**). Z uwagi na sposób uzyskania podanego wzoru mówimy, że rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernouuliego. Rozkład Pólya Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Pólya, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem gdzie k =,,..., n oraz < p <, q =! p, k" $!p, (n!k)" $!q. Rozkładowi temu podlega zmienna losowa przyjmująca wartości równe liczbie sukcesów przy n-krotnie przeprowadzonych doświadczeniach według schematu Pólya. Rozkład hipergeometryczny Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem gdzie k =,,..., n, a b i c oznaczają liczby naturalne, takie że b + c = N $ n. Rozkładowi temu podlega zmienna losowa przyjmująca wartości równe liczbie sukcesów przy n-krotnie przeprowadzonych doświadczeniach według schematu Pólya, gdy s =!. Zadania P( X = k) = lim P( Xn = k) = λ e λ k k!, = K,,. (**) n n p ( p ) ( p ( k ) ) q ( q ) ( q ( n k ) P( X = k) =, k + α K + α + α K + α ( + α) ( + α) K ( + ( n ) α) b c k n k P( X = k) =, N n. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na trzech kostkach oraz wykreślić dystrybuantę.. Zorganizowano następującą grę: rzucamy dwiema kostkami; jeżeli suma oczek jest równa, to otrzymujemy zł, jeśli suma oczek jest równa, to otrzymujemy 5 zł, a w każdym pozostałym przypadku płacimy zł. Podać rozkład tej zmiennej losowej. k
6 III. Zmienne losowe jednowymiarowe. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbom naturalnym k z prawdopodobieństwami c P( X = k) =, gdzie c oznacza liczbę stałą. Wyznaczyć wartość c oraz obliczyć P(X $). k. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem dla, dla <, 7 F( ) = dla < 5, 7 6 dla 5<, 7 dla >. A. Obliczyć P(5 # X # 8). B. Określić funkcję prawdopodobieństwa... Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej Przykład.. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą C. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P( # X # ). Ad. A) Stałą C obliczymy z warunku Mamy + dla <, f ( ) = C dla, dla >. + f ( ) =. f ( ) = d + Cd + d = C d = C = 8C, + czyli 8C =, skąd wynika, że C = /8. Wykres funkcji gęstości jest zatem następujący:
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 7 Ad. B) Wyznaczamy dystrybuantę: czyli t t F( ) = f ( t) dt = dt = = dla <, 8 6 6 dla, F( ) = dla <, 6 >. dla Wykres dystrybuanty jest następujący: Ad. C) Szukane prawdopodobieństwo można obliczyć jako pole trapezu (z wykresu funkcji gęstości): P( X ) = ( f ( ) + f ( )) = + = 8 8 6 lub z różnicy wartości dystrybuant: P( X ) = F( ) F( ) = =. 6 6 6
8 III. Zmienne losowe jednowymiarowe Rozkład jednostajny Definicja.5. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równoramienny, prostokątny), gdy jej gęstość prawdopodobieństwa jest określona wzorem gdzie liczba a jest dowolna, a C >. W poszczególnych przypadkach dystrybuanta tego rozkładu ma następujące postacie: dla # a F( ) = f ( t) dt = dt =, dla a < a+ C dla > a+ C Zatem dla < a, f ( ) = C dla a a+, C dla > a+, C Przykład.. Zmienna losowa X przyjmuje dowolną wartość z przedziału [, ]. Zakładając, że jej rozkład prawdopodobieństwa jest jednostajny, podać gęstość, dystrybuantę oraz obliczyć P(, # X # ). Podana zmienna losowa nie przyjmuje wartości w przedziałach (!, ) i (, +), tzn. P(! < X < ) = i P( < X < +) =, co oznacza, że gęstość prawdopodobieństwa w tych przedziałach jest równa. Ponieważ P( # X # ) =, to gęstość f() musi być taka, aby pole prostokąta zawartego pomiędzy odcinkami [, ] i wykresem funkcji było równe. Stąd C @ (!) =, czyli C = /. Zatem gęstość jest następująca: a F( ) = Cdt = Ct = C( a), a F( ) =. dla a, F( ) = C ( a) dla a< a+, C dla > a+. C dla <, f ( ) = dla, dla >.
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 9 Szukane prawdopodobieństwo jest równe polu prostokąta na odcinkiem [,; ] (zob. rysunek), czyli P(, X ) = (,),. = W przedziale (, ] dystrybuanta jest równa F( ) = dt = t =. Zatem (zob. rysunek) dla, F( ) = dla <, dla >. Rozkład trójkątny Definicja.6. Jeżeli obrazem geometrycznym gęstości jest trójkąt, to mówimy, że zmienna losowa ma rozkład trójkątny. Przykład.5. Zmienna losowa podlega rozkładowi według trójkąta równobocznego o wierzchołkach A(, ), B(a, ) i C(, y). Dobrać wartości a, i y oraz napisać gęstość prawdopodobieństwa. Trójkąt ma być równoboczny, więc = a a (wysokość). Pole trój-, y a = kąta powinno być równe, czyli
5 III. Zmienne losowe jednowymiarowe a a =, skąd a =, tj. a =. Wierzchołkami są zatem punkty cja gęstości jest następująca: dla, dla, f ( ) = + dla dla. A(, ), B,, C,,, a więc funk- Przykład.6. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś odciętych, oś rzędnych oraz prostą + y = a. Podać wartość a >, gęstość, dystrybuantę i obliczyć P( # X # a/). Trójkąt jest równoramienny o boku a, a więc jego pole S = a /. Pole to powinno być równe i a >, a więc a =. Ponieważ f() = y = a! dla [, a], więc funkcja gęstości ma postać dla <, f ( ) = dla, dla >. Dla < mamy t ( tdt ) = t =, czyli dystrybuanta jest następująca: dla, F( ) = dla <, dla >. Mając wzór na dystrybuantę, łatwo wyznaczyć prawdopodobieństwo: P X F F = () =.
.. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 5 Zadania. Zmienna losowa X ma rozkład według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą C. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P(B/6 # X # B/). dla <, π f ( ) = C sin dla, π dla >.. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą a. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P( # X # e). dla <, f ( ) = ln dla a, dla > a.. Strzałka minutowa zegara elektrycznego zmienia położenie w końcu każdej minuty. Jeżeli strzałka wskazuje a minut, to rzeczywisty czas t jest zmienną losową przyjmującą wartości z przedziału [a, a + ]. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej t.. Zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału [, 7], przy czym prawdopodobieństwo przyjęcia przez nią wartości z wycinka przedziału [, ] jest pięć razy większe od prawdopodobieństwa przyjęcia wartości z wycinka o tej samej długości z przedziału [, ), a także z przedziału (, 7]. Podać gęstość, dystrybuantę i obliczyć P(,6 # X #,7). 5. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś O oraz proste y = a + a i y =! +. Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej. 6. Zmienna losowa podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś O oraz proste y = a (a > ) i y = a + 5. Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdo- podobieństwa tej zmiennej.