Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna 19 8. Planimetria 21 9. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo 23 10. Stereometria 25 3

1. Funkcja liniowa 1.1. Napisz wzór funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy a = 2, a wykresem jest prosta przecinająca oś OY w punkcie P, gdzie: a) P (0, 1) P ( ) b) 0, 3 1 4 1.2. Znajdź miejsca zerowe następujących funkcji liniowych: a) f(x) = x 4 b) f(x) = 2x + 1 2 c) f(x) = 1 2 + 3 1.3. Znajdź wzór funkcji liniowej, której jest dany współczynnik kierunkowy, a jej wykresem jest prosta przechodząca przez punkt P : a) a = 2, P ( 1, 5) b) a = 4, P (2, 3) 1.4. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dwa punkty A oraz B: a) A ( 1, 3), B (0, 4) b) A ( 2, 3), B (5, 3) c) A (1, 2), B ( 3, 2) 1.5. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt P : a) f(x) = 2x + 4, P ( 4, 2) f(x) = 1 3 x + 2 3, P ( ) b) 1, 4 3 1.6. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f: a) f(x) = 3x + 1 b) f(x) = 2x 3 c) f(x) = x + 4 d) f(x) = 2 7 x 3 e) f(x) = 3 4 x + 1 4 1.7. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt P : a) f(x) = 2x + 1, P ( 3, 4) b) f(x) = 3x 2, P ( 2, 6) c) f(x) = 1 5 x + 2 5, P (5, 10) d) f(x) = 2 3x 1, P ( 6, 3) Niektóre odpowiedzi: 1.1. a) y = 2x 1 b) y = 2x 3 1 4 1.2. a) x 0 = 4 b) x 0 = 1 4 c) x 0 = 6 1.3. a) y = 3x 2 b) y = 4x + 5 1.4. a) y = x + 4 b) y = 6 7 x + 9 7 c) y = 2 5

1. Funkcja liniowa 1.5. a) y = 2x 6 b) y = 1 3 x+1 1.6. a) a = 1 3 b) a = 1 2 c) a = 1 d) a = 7 2 e) a = 4 3 1.7. a) y = 1 2 x 11 2 b) y = 1 3 x + 20 3 c) y = 5x 35 d) y = 3 2 x + 6 6

2. Funkcja kwadratowa 2.1. Przedstaw w postaci kanonicznej następujące funkcje: a) f (x) = x 2 + x 2 b) f (x) = 1 2 x2 5x + 2 c) f (x) = x 2 2x 1 d) f (x) = 1 5 x2 + 1 3 x + 3 e) f (x) = 5x 2 1 2 x 3 4 f) f (x) = 3x 2 2 3 x 1 g) f (x) = 3x 2 + 3x + 1 f (x) = 2x2 3x+2 h) i) f (x) = 1 2x+3x2 2 f (x) = 1 3 +32x 3 5 j) x2 3 2.2. Wyznacz zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności następujących funkcji: a) f (x) = 3x 2 + 5 6 x 1 b) f (x) = 1 4 x2 2x + 5 c) f (x) = 4 5 x2 2 5 x + 1 5 d) f (x) = 1 2 x2 1 3 x + 9 e) f (x) = 2 3 x2 x + 3 4 f) f (x) = 2x 2 + x 5 g) f (x) = 3x 2 + 2 3x 1 f (x) = x2 +2x 12 h) i) f (x) = 3 6x 2x2 3 f (x) = 2+16x+ 2 5 j) x2 5 2.3. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że do wykresu funkcji należą punkty A oraz B. a) y = x 2 + bx + c, A ( 2, 3), B ( 1, 2) b) y = ax 2 bx + 1, A (3, 1), B (1, 1) c) y = x 2 bx + c, A ( 5, 4), B (0, 6) d) y = 2x 2 + 2bx c, A ( 1 2, 6), B ( 1, 2) y = 2ax 2 bx 4, A ( e) 6, 5) 4, B (4, 2) 2.4. Wyznacz, o ile istnieją, miejsca zerowe następujących funkcji oraz współrzędne wierzchołka paraboli: a) y = x 2 + 8x + 16 b) y = x 2 9 c) y = x 2 + 7 d) y = x 2 3x e) y = x 2 + x + 1 f) y = x 2 3x + 10 2.5. Przedstaw w postaci iloczynowej następujące trójmiany: 5 3 7

2. Funkcja kwadratowa a) y = x 2 4x + 3 b) y = x 2 + 4x + 3 c) y = x 2 8x + 12 d) y = x 2 40x + 41 e) y = x 2 4x 12 f) y = x2 5 x + 6 5 g) y = x 2 4x + 4 y = 2x2 16 h) 3 + 4x 3 i) y = x 2 x 4 3 8 j) y = 4 5 x2 4 5 x 24 125 k) y = 4x 2 76 3 x + 8 l) y = x2 4x + 3 m) y = 2 3 x2 7 3 x + 4 3 n) y = 3x 2 + ( 3 2 3 ) x 3 2 o) y = x2 3 x p) y = 3x2 3 2x q) y = 3x2 5 x 5 y = 1 3 x2 5x r) 3 y = 3 7 s) 7 x 3 7 x2 2.6. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, ogólnej i iloczynowej wiedząc, że wierzchołkiem wykresu funkcji jest punkt W i do wykresu funkcji należy punkt P. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji oraz wyznacz oś symetrii wykresu tej funkcji. a) W (1, 2), P (2, 1) b) W ( 1 2,, P (1, 3) c) W (1, 1), P ( 3, 2) W ( 3 2, ( 2) 1, P 1 2, ) d) 1 2 W ( e) 0, 5) 3, P ( 2, 2) f) W (4, 0), P ( 2, 1) g) W ( 1, 3), P ( 2, 3) W ( h) 4 3, 3) 1, P (2, 2) 2.7. Dane są funkcje kwadratowe. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, miejsca zerowe, punkt przecięcia wykresu z osią OY dla każdej funkcji. Narysuj wykres każdej z funkcji. a) y = x 2 + x 2 b) y = x 2 + 2x + 3 c) y = x2 2 + x + 1 2 d) y = 3x 2 + 1 2 x + 1 e) y = 2x 2 4 3 x + 2 9 f) y = x 2 4 g) y = 9 x 2 h) y = 3x 3x 2 i) y = x2 2 5x 2 j) y = 2x 2 + 1 k) y = 2 x 2 l) y = x 2 3 m) y = 2x 2 3 x2 n) y = 2x 2 + 1 o) y = x 2 + 4 p) y = x 2 + 2x 4 2.8. Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i iloczynowej wiedząc, że wierzchołkiem wykresu tej funkcji jest punkt P oraz, że jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba x 1. 8 a) P (1, 2), x 1 = 2 b) P ( 1, 3), x 1 = 0 P ( 1 c) 2, 2), x 1 = 3 P ( 3 d) 4, 2) 1, x1 = 1 2

2. Funkcja kwadratowa e) P (0, 4), x 1 = 3 f) P (0, 2), x 1 = 4 g) P ( 3 4, 6) 1, x1 = 10 4 h) P ( 1, 2), x 1 = 4 2.9. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale: a) y = 2x 2 x + 3, x 1, 5 b) y = x 2 4x + 3, x 1, 3 c) y = 1 2 x2 + 3 4x 1, x 0, 2 d) y = 3 5 x2 + 1 5x 2, x 6, 4 e) y = x 2 + 3, x 1 2, 6 y = (x 2) 2 + 4, x 1 f) 2, 6 g) y = 3x 2 + x + 1, x 1, 1 h) y = 2x 2 x 1 2, x 1 2, 2 i) y = 3 4 x2 2 3x + 1, x 0, 3 j) y = x2 2x 7, x 3, 3 k) y = 2x 2 2x + 1, x 2, 2 2 y = x 2 + 2 3 l) 3 x, x 3, 8 3 y = 4x 2 x + 3 4, x 1 8, m) 15 4 n) y = x 2 x, x 0, 2 y = 2x 2 4, x 1 3, o) 1 2 p) y = 3x 2 + 2x, x 3, 0 2.10. Rozwiąż następujące równania kwadratowe: a) 2x 2 6x 20 = 0 b) x 2 7x = 0 c) 3x 2 + 18x = 0 d) x 2 25 = 0 e) 4x 2 36 = 0 f) x 2 + 3 = 0 3x 2 3 g) 4x + 5 = 0 h) 4 x2 5x + 8 = 0 i) 2t 2 20 = 0 j) 2r 2 2r + 1 2 = 0 2.11. Rozwiąż następujące nierówności kwadratowe: a) x 2 7x + 10 > 0 b) x 2 + 5x 6 < 0 c) 3x 2 10x + 7 0 d) 2x 2 3x 9 < 0 e) 4x 2 x + 1 0 f) 2x 2 5x + 3 > 0 g) 6x 2 x + 5 0 x 2 5 9 x 2 27 < 0 i) 5x 2 30x + 45 > 0 j) 2x 2 + 7x + 7 0 k) x 2 + (1 2)x 2 < 0 l) 3x 2 + (3 2 1)x 2 > 0 Niektóre odpowiedzi: ( ) 2.9. a) f max 1 4 = 25 8, f min (5) = 52 b) f max ( 1) = 8, f min (2) = 1 ( c) f 3 max 4) = 23 ( 32, f min (2) = 3 2 d) x e) x f) x g) x h) x i) x j) x k) x l) x m) f 15 ) max 4 = 213 4, f ( 1 ) min 8 = 11 16 n) x o) x p) x 2.10. a) x = 2, x = 5 b) x = 0, x = 7 c) x = 0, x = 6 d) x = 5, x = 5 e) x = 3, x = 3 f) brak rozwiązań g) brak rozwiązań h) x = 8 3, x = 4 i) t = 10, t = 10 j) r = 1 2 2.11. a) x (, 2) (5, + ) b) x (, 2 3, + ) c) x 1, 7 3 d) x ( 3 2, 3) e) x (, + ) f) x ( 3, 2) 1 g) x (, 1 5 6, + ) h) x ( 1 9, ) ( ) 2 3 i) x (, 3) (3, + ) j) brak rozwiązań k) x 1, 2 l) x (, 2 ) ( 1 3, + ) 9

3. Trygonometria 3.1. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna AC ma długość 5 cm, a przeciwprostokątna AB ma długość 13 cm. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ABC. 3.2. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna AC = 4 cm, a przeciwprostokątna AB = 10 cm. Oblicz sinusy i cosinusy kątów ostrych tego trójkąta. 3.3. Uzupełnij poniższą tabelkę. Wykonaj odpowiednie obliczenia opierając się na rysunku. XXXXXXXXXX 3.4. Oblicz wartości liczbowe następujących wyrażeń: 2 a) 2 + sin 30 + cos 60 = b) cos 45 + sin 45 = c) cos 2 45 sin 2 30 = d) (cos 30 tg 45 ) 2 (cos 60 ) 2 = e) sin 2 45 + cos 2 60 (1 tg 60 )(1 + tg 60 ) 3.5. Oblicz wartości liczbowe następujących wyrażeń: f) sin 30 cos 2 30 3 tg 45 a) sin 150 + cos 150 = b) tg 135 cos 135 = c) cos 120 + 2 sin 120 = d) tg 120 (3 sin 150 2 cos 150 ) = e) sin 2 60 tg 120 cos 2 150 3 sin 2 135 tg 135 f) 2 cos 2 135 3.6. Wiedząc, że kąt α jest kątem ostrym, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeżeli: a) sin α = 12 13 b) cos α = 3 5 c) sin α = 2 3 d) cos α = 0, 4 e) tg α = 3 f) tg α = 4 5 3.7. Sprawdź, czy zachodzą podane tożsamości: a) (sin α cos α) 2 + (sin α + cos α) 2 = 2 1 b) cos 2 α 1 = tg2 α Niektóre odpowiedzi: 3.4. a) 3 b) 1 c) 1 4 d) 1 2 e) 3 8 f) 1 8 3.5. a) 1 2 + 3 2 b) x c) x d) x e) 1 + 3 4 3 f) x 3.6. a) cos α = 5 12 13, tg α = 5 b) sin α = 4 5, tg α = 4 3 c) x d) x e) x f) x 11

4. Ciagi liczbowe 13

5. Wielomiany 15

6. Funkcja wykładnicza 17

7. Funkcja wymierna 19

8. Planimetria 21

9. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo 23

10. Stereometria 25