MAŁGORZATA JANUS-MICHALSKA, DOROTA JASIŃSKA ** ODPORNOŚĆ NA PĘKANIE AUKSETYCZNYCH MATERIAŁÓW KOMÓRKOWYCH O REGULARNEJ MIKROSTRUKTURZE FRACTURE TOUGHNESS OF AUXETIC CELLULAR MATERIALS WITH PERIODIC MICROSTRUCTURE S t r e z c z e n i e A b t r a c t Artykuł ma charakter obliczeniowy i dotyczy wyznaczania tałej materiałowej K I charakteryzującej odporność na pękanie przy rozciąganiu określanej dla wybranej klay materiałów komórkowych. Struktura zkieletu tworząca materiał efektywny o ujemnym wpółczynniku Poiona może mieć wpływ na koncentrację naprężeń w wierzchołkach zczeliny, tąd również na odporność tego materiału na pękanie. Obliczenia wkazują na zależność tałej K I od parametrów geometrycznych mikrotruktury, za pomocą których można modelować efektywny materiał komórkowy o zadanych włanościach. Słowa kluczowe: materiał komórkowy o ujemnym wpółczynniku Poiona, odporność na pękanie kruche The parametric tudy of the fracture toughne for auxetic cellular material with repect to geometric microtructural parameter i performed. For given microtructure with brittle keleton, cellular material toughne i repreented by tructural coefficient W tr. Numerical olution leading to aement of W tr are obtained by utilizing FEM ytem ABAQUS. Fracture toughne i preented a directional property of aniotropic cellular material. Keyword: auxetic cellular material, fracture toughne, brittle fracture Dr inż. Małgorzata Janu-Michalka, Katedra Wytrzymałości Materiałów, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowka. ** Dr inż. Dorota Jaińka, Intytut Mechaniki Budowli, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowka.
56 1. Wtęp Materiały komórkowe toowane ą w nowoczenych praktycznych zagadnieniach inżynierkich ze względu na właności mechaniczne zupełnie inne niż te, które charakteryzują materiał rodzimy, kontruujący zkielet komórkowy. Na właności te mają wpływ: charakterytyka materiału zkieletu oraz truktura wewnętrzna. Materiały można wybierać, natomiat trukturę możemy projektować na potrzeby wybranych właności mechanicznych, jeśli potrafimy przewidzieć pracę zkieletu i tym amym wkazać na klaę truktur tworzących materiał o żądanych włanościach. Jednym z częto toowanych materiałów rodzimych ą prężyto-kruche materiały ceramiczne. Materiały komórkowe lepiej pracują na obciążenia rozciągające niż na ścikanie (dla ścikania zachodzi zjawiko wyboczenia ścian zkieletu) i praktycznie touje ię je do przenozenia obciążeń rozciągających. Ważna taje ię więc odpowiedź na pytanie, jaka jet odporność materiału komórkowego o zadanej trukturze zkieletowej na pękanie przy rozciąganiu. Z oczywitych względów dążymy do oiągnięcia jak najwyżzej odporności. Jak wiadomo, pękanie rozważane jet dla niekończonego pama ze zczeliną, w narożach której zachodzi koncentracja naprężeń [3]. Wśród materałów komórkowych wyróżnia ię pewną klaę materiałów tzw. auketycznych, które charakteryzują ię ujemnym wpółczynnikiem Poiona. Takie materiały mają tę właność, że w trefach podziewanego piętrzenia naprężeń może natąpić zmiana tej koncentracji [19]. Na znaczną redukcję koncentracji naprężeń wkazują np. rozwiązania zagadnień kontaktowych z udziałem takich materiałów [5]. Stąd celowe taje ię przebadanie tych materiałów ze względu na odporność na pękanie i porównanie z odpornością materiałów komórkowych o typowych trukturach zkieletu. Dla rozciągania określa ją tała materiałowa K I nazywana odpornością materiału na pękanie w warunkach płakiego tanu odkztałcenia, która jet wielkością charakteryzującą materiał. Zagadnienia pękania materiałów komórkowych o trukturze periodycznej ą tematem wielu prac, począwzy od prac Gibon i Ahby ego [1], Gibon, Ahby ego, Maiti [2], w których przez zatoowanie najprotzego modelu belkowego truktury wewnętrznej wyjaśniono właności auketyczne materiału komórkowego. Wzelkie rozważania przeprowadzać można w dwóch kalach: mikro-truktury wewnętrznej, makro-efektywnego continuum, jakim jet material komórkowy. Najczęściej rozważanymi w literaturze typami truktur ą: przetrzenne izotropowe piany [6], truktury płakie tworzące kwadraty, trójkąty równoboczne i ześciokąty foremne. Dla takich też znane ą rozwiązania. Rozwiązania analityczne zadań pękania w kali makro prezentuje Chen Ortiz [9] oraz Kabir, Saha [6]. W kali mikro najnowze prace Ryvkina, Fucha [8, 17, 20] rozwiązują problem za pomocą tranformat Fouriera. Dla dowolnych truktur możliwe ą rozwiązania numeryczne MES. W mikrokali ą to zadania o bardzo dużej liczbie topni wobody, lecz pozwalające na zczegółową analizę pracy zkieletu i propagacji zczeliny lub powtawania pęknięć inicjowanych mikrodefektami truktury. Analiza taka ma docelowo prowadzić do formułowania właności efektywnego continuum zatępczego, co prowadzi do rozwiązywania zadań o mniejzej liczbie topni wobody dla zagadnień mechaniki z udziałem takich ośrodków. Dla badanych tu materiałów komórkowych analiza i obliczenia przeprowadzone ą w kali mikro. Celem pracy jet zbadanie zależności odporności na pękanie przy rozciąganiu dla auketycznych materiałów komórkowych w zależności od parametrów mikrotruktury lub
cech efektywnego kontinuum i wkazanie, jak projektować tę trukturę w celu uzykania jak najwyżzej odporności. Dla porównania zacytowano wyniki dla mikrotruktur tworzących materiały o dodatnim wpółczynniku Poiona [17] i porównano ich odporność na pękanie ze trukturami tworzącymi materiały auketyczne. 57 2. Materiały komórkowe o ujemnym wpółczynniku Poiona Rozważany jet przetrzenny materiał komórkowy o płakiej periodycznej trukturze zkieletu, jak na ry. 1a. W trukturze tej można wyodrębnić komórkę reprezentatywną (ry. 1b.), którą opiują cztery parametry geometryczne: L, h, t, γ. Ry. 1. a) Mikrotruktura, b) komórka elementarna Fig. 1. Przyjęto prężyto-kruchy materiał zkieletu o natępujących danych: E moduł Younga, ν wpółczynnik Poiona, R m granica wytrzymałości. Właności prężyte tak zaprojektowanego materiału komórkowego, jako efektywnego continuum, w zależności od wkazanych parametrów geometrycznych i materiałowych mikrotruktury ą tematem pracy [4]. Otrzymany materiał charakteryzyje anizotropia właności mechanicznych, w tym również wpółczynnika Poiona, który dla pewnych kierunków może przyjmować wartości ujemne. Powyżzą trukturę przetrzenną złożoną z płyt obciążoną w płazczyźnie xy, pracującą w płakim tanie odkztałcenia można rozważać przez wycięcie platra o jednotkowej grubości H w kierunku oi z. Pozwala to modelować trukturę elementami belkowymi o natępujących ztywnościach: EtH E A na rozciąganie: C = = (1a) 2 2 1 ν 1 ν oraz ztywności giętnej: 3 E t H E J D = = 12 1 1. 2 2 ( ν ) ( ν ) gdzie: A pole przekroju belki tworzącej trukturę, J moment bezwładności na zginanie. 1 (Mnożnik pozwala przekalować ztywność płytową na belkową). 2 ν 1 (1b)
58 3. Odporność na pękanie Przy badaniu odporności na pękanie rozważamy niekończone pamo o trukturze modelowanej belkami ztywno połączonymi w węzłach, w którym znajduje ię zczelina o długości 2a, wygenerowana przez brakujące elementy belkowe. W praktyce przyjmuje ię pamo o zerokości 2b, ze zczeliną o zerokości 2a, które pełniają relację: b a max ( L, h) (2) gdzie: L, h wymiary geometryczne komórki. Nierówność ta pozwala na potraktowanie pama jako wytarczająco zerokie, aby uważać je za niekończone oraz na pominięcie tzw. efektu kali. Rozważane ą dwa ułożenia mikrotruktury materiału względem kierunku rozciągania (ry. 2). Ry. 2. Dwa utawienia zczeliny względem mikrotruktury Fig. 2. Odporność na pękanie jet podana przez naprężenie rozciągające σ r = σ cr, potrzebne do propagacji zczeliny. Odpowiada to pęknięciu kolejnych belek zkieletu najbliżej wierzchołka zczeliny. Warunek pęknięcia odpowiada oiągnięciu naprężeń dopuzczalnych dla materiału zkieletu we włóknach krajnych belki w przekroju przywęzłowym. max ( x ) gdzie: N iła podłużna w belce zkieletu, M moment zginający w przekroju przywęzłowym. σ = N M t Rm A + J 2 = (3)
Warunek bezpiecznej pracy kontrukcji ma potać K < K C. Dla tzw. I poobu pękania (ang. mode) K I < K IC, gdzie dla zczeliny centralnej o długości 2a, w niekończenie zerokim paśmie rozciąganym na kierunku protopadłym pełniona jet zależność: K I cr 59 = σ π a (4) Stała K I nazywana odpornością na pękanie i charakteryzuje właności materiału niezależnie od wielkości zczeliny. Odporność na pękanie materiału komórkowego o dowolnej trukturze zkieletu kłat dającej ię z belek mukłych tzn. pełniających warunek ( Li ) 0,1, można wyrazić max ogólnym przybliżonym wzorem [8, 9]: tr t KI Wtr Rm (5) L gdzie: W wpółczynnik liczbowy zależny od typu mikrotruktury, tr R m naprężenie kruchego pęknięcia materiału zkieletu. Z literatury [8] znane ą wartości wpółczynnika W tr dla truktur o równych długościach belek, pokazanych na ry. 3. Wpółczynniki te wynozą kolejno: a W tr = 0,68, b W tr = 0,1, c W tr = 1,5. Ry. 3. Typowe truktury materiałów komórkowych wraz z zaznaczonymi parametrami geometrycznymi Fig. 3. Jeśli zdecydujemy ię utrzymać potać formuły (5), a zadaną trukturę opiuje więcej parametrów geometrycznych, to wpółczynnik W tr będzie funkcją tych parametrów. Stąd podziewać należy ię, że każdy układ parametrów geometrycznych da materiał o innym wpółczynniku W tr.
60 Z porównania wzorów (4) i (5) otrzymujemy: W tr σ cr R πa L gdzie wartość cr otrzymamy z rozwiązań numerycznych. Odporność na pękanie przy rozciąganiu jet wielkością opiującą materiał komórkowy w kali makrokopowej, tąd można zukać zależności między W tr, a włanościami materiału w kali makro. Wkazanie na te zależności może dać przełanki do odpowiedniego dobierania materiału. Jet cel niniejzych obliczeń. m t (6) 4. Modelowanie MES Obliczenia wykonano z wykorzytaniem ytemu ABAQUS do analizy MES. Strukturę wewnętrzną materiału modelowano elementami belkowymi. Zadanie pękania pama przeprowadzone jet iteracyjnie z zatoowaniem włanych kodów Autorki napianych w programie FORTRAN. Po wykonaniu iteracji natępuje generowanie danych dla kolejnej iteracji przez uuwanie elementów, w których oiągnięte jet naprężenie dopuzczalne wyznaczone wzorem (3). Analiza pama o kończonych wymiarach prowadzi do nieco zaniżonych wartości K I (błąd wartości kilku procent) na korzyść bezpieczeńtwa przy ozacowaniu właności materiału. 5. Wyniki obliczeń numerycznych Do obliczeń przyjęto materiał zkieletu o natępujących danych materiałowych: E = 10 GPa, ν = 0,3, R = 10 MPa. Dane te zaczerpnięto z literatury [21]. m Ry. 4. Wybrane truktury materiałów komórkowych Fig. 4. Parametry geometryczne wybranych mikrotruktur jak na ryunku 4 podane ą w tabeli 1. Mikrotruktura 3) poiada parametry podane w pracy [21].
61 Parametry geometryczne badanych mikrotruktur T a b e l a 1 Struktura L [mm] h [mm] γ t [mm] 1) 1,5 1,5 80 0,15 2) 1,5 3,0 60 0,15 3) 3,0 4,0 60 0,15 4) 3,15 3,15 70 0,15 5) 1,5 3,0 90 0,15 Wyniki analizy MES wkazują, że dla wzytkich wybranych truktur oberwuje ię taki am poób propagacji zczeliny, jak przedtawiono na ryunku 5. Oberwuje ię rozdwajanie zczeliny w kierunkach podyktowanych topologią węzłów. Szczeliny propagują ię ukośnie zarówno dla położenia A), jak i B) truktury względem kierunku rozciągania. W granicznym przypadku dla truktury 5) w położeniu B) zczeliny rozdwajają ię w kierunku protopadłym do kierunku zczeliny początkowej. Typ mikrotruktury ma więc decydujący wpływ na kierunek i układ powtających zczelin i poób ich propagacji. Ry. 5. Spoób propagacji zczeliny A), B) i dla truktury 5 w utawieniu B) Fig. 5. Otrzymane wartości naprężenia σ cr pozwoliły na obliczenie tałej K I oraz wpółczynnika W tr dla kolejno badanych mikrotruktur. T a b e l a 2 Zetawienie makrokopowych właności materiałów auketycznych o zadanych mikrotrukturach Struktura σ cr [kpa] W tr K I [MPa m 0,5 ] E [kpa] 1A 9.47 0.0527 2.040 1.29 2A 11.29 0.0589 2.281 3.407 3A 2.65 0.0276 0.757 0.240 4A 2.11 0.0241 0.643 0.13 1B 30.4 0.1095 4.242 46.18 2B 6.88 0.0334 1.293 3.671 3B 3.59 0.0259 0.711 0.783 4B 5.78 0.0390 1.043 1.95 5B 37.9 0.4250 8.224 1250
62 Badanie zależności między włanościami makrokopowymi znanymi z pracy [4] a wartościami K I i wpółczynnika trukturalnego, potwierdziło zależność tylko między modułem Younga na zadanym kierunku rozciągania a wielkościami charakteryzującymi materiał na pękanie. Wyniki te zetawiono w tabeli 2. Nie można ię dozukać wpływu ujemnej wartości wpółczynnika Poiona, poza faktem, że truktury tworzące materiały o takim wpółczynniku ą bardzo podatne na deformację w porównaniu ze trukturami tworzącymi materiały o dodatnim wpółczynniku Poiona. Są one więc projektowane na zapotrzebowanie dużej deformowalności w zakreie prężytym. Jak wykazuje powyżza analiza, materiały te cechuje nika wartość wpółczynnika trukturalnego, która wkazuje na niewielką odporność na pękanie. Wpółczynnik ten zależny jet od proporcji parametrów geometrycznych t/l, t/h i kąta gamma, tąd różne jego wartości. Szczegółowa analiza pracy belek zkieletu wkazuje, że najlepze rezultaty otrzymuje ię w trukturach o mniejzym udziale tanów giętnych, a takie można otrzymać dla truktur krępzych lub o kącie γ blikich kąta protego. W kali makro materiały o tych trukturach charakteryzują ię więkzą wartością modułu Younga i wpółczynnikiem Poiona blikim zero. Porównanie z typowymi trukturami wkazuje na podobieńtwo do truktury honeycomb, która również charakteryzuje ię wyoką podatnością, udziałem tanów giętnych w pracy zkieletu, dużą wartością modułu Younga i wpółczynnika trukturalnego. Spotrzeżenia te potwierdzają lepze właności truktury kwadratowej ry. 3a (korzytniejze w ułożeniu równoległym, nieco gorze w ułożeniu ukośnym pod kątem 45 topni) i najlepze dla truktury trójkątnej ry. 3c. 6. Wnioki Przedtawione w niniejzym artykule wyniki wkazują na dość niką odporność materiałów komórkowych na pękanie przy rozciąganiu, przy czym materiały o ujemnym wpółczynniku Poiona ą pod tym względem jezcze łabze od innych typowych materiałów komórkowych. Wyniki obliczeń wkazują na protą zależność między modułem Younga a wpółczynnikiem trukturalnym, charakteryzującym trukturę wewnętrzną materiału pod względem odporności na pękanie przy rozciąganiu. Wkazano na pracę zkieletu, która wpływa na odporność na pękanie. Materiały auketyczne mają tę wyróżniającą ię właność, że mają dużą ztywność na ścinanie określaną modułem G w porównaniu ze ztywnością na deformację objętościową K. Wkazane zależności między włanościami prężytymi materiału w kali makro a odpornością na pękanie ugerują, że celowe taje ię prawdzenie pod względem zwiękzonej odporności truktur auxetycznych na pękanie przy ścinaniu.
L i t e r a t u r a 63 [1] G i b o n L., A h b y M., Cellular Material. Structure and Propertie, Cambridge Univerity Pre, 1997. [2] G i b o n L., A h b y M., M a i t i S.K., Fracture toughne of brittle cellular olid, Scr. Metall., 18, 1984, 213-217. [3] G e r m a n J., B i e l - G o ł a k a M., Podtawy i zatoowania mechaniki pękania w zagadnieniach inżynierkich, Intytut Odlewnictwa, Kraków 2005. [4] J a n u - M i c h a l k a M., Micromechanical Model of Auxetic Cellular Material, Journal of Theoretical and Applied Mechanic, Vol. 47, No. 4, 2009. [5] J a ińka D., J a n u - M i c h a l k a M., Material Deign of Aniotropic Elatic Cellular Bodie with Repect to Contact Problem, Engineering Tranaction, Vol. 56, No. 3, 2008, 201-225. [6] K a b i r M.E., S a h a M.C., J e e l a n i S., Tenile and fracture behaviour of polymer foam, Material Science and Engineering A, 429, 2006, 225-235. [7] C h o i S., S a n k a r B., A micromechanical model to predict the fracture toughne of cellular material, Int. Journal of Solid and Structure, 42, 2005, 1797-1817. [8] L i p p e r m a n F., R y v k i n M., F u c h M., Fracture toughne of two-dimenional cellular material with periodic microtructure, Int. Journal of Fracture, 146, 2007, 279-290. [9] C h e n J.Y., H u a n g Y., O r t i z M., Fracture Analyi of Cellular Material. A Strain Gradient Model, Journal of Mechanic and Phyic of Solid, Vol. 46, 5, 1998, 789-828. [10] R y v k i n M., F u c h M., L i p p e r m a n F., K u c h e r o v L., Fracture Analyi of Material with Periodic Microtructure by the Repreentative Cell Method, Int. Journal of Fracture, 128, 2004, 215-221. [11] A n d r e w L.W., G i b o n L., The influence of crack notche and hole on the tenile trength of cellular olid, Acta Materialia, 49, 2001, 2975-2979. [12] Q i u X., F l e c k N.A., The damage tolerance of elatic-brittle, 2-D iotropic laticce, Journal of Mechanic and Phyic of Solid, 55, 2007, 562-588. [13] F a n H.L., J i n F.N., F a n g D.N., Mechanial propertie of hierarchical cellular material, Part I: Analyi, Compoite Science and Technology, 68, 2008, 3380- -3387. [14] H u a n g J.S., C h i a n g M.S., Effect of Microtructure, Specimen and Loading Geometrie on K IC of Brittle Honeycomb, Engineering Fracture Mechanic, Vol 54, No 6, 1996, 813-821. [15] A l o n o I.Q., F l e c k N.A, Damage tolerance of an elatic-brittle diamond celled honeycomb, Scripta Materialia, 56, 2007, 693-696. [16] C h e n C., F l e c k N.A., L u T.J. The mode I crack reitance of metallic foam, Journal of the Mechanic and Phyic of olid, 49, 2001, 231-259. [17] L i p p e r m a n F., F u c h M., R y v k i n M., Stre localization and trength optimization of frame material with periodic microtructure, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 197, 2008, 4016-4026. [18] M i n q u e z J.M., Study of the fracture toughne by finite element method, Int J. of Solid and Structure, 37, 2000, 991-1001.
64 [19] L a k e R.S., Deign conideration for negative Poion ratio material, ASME Journal of Mechanical Deign, 115, 1993, 696-700. [20] L i p p e r m a n F., F u c h M., R y v k i n M., Nucleation of crack in two- -dimenional periodic cellular material, Comp. Mech., 39, 2007, 127-139. [21] O v e r a k e r D.W., C u i t i n o A.M., L a n g r a n a N.A., Elatoplatic Micromechanical Modeling of Two- dimenional Irregular Convex and Nonconvex (Re- -entrant) Hexagonal Foam, Tranaction of ASME, 65, 1998.