J. Wrwał Wkład mechaiki materiałów.9. PROSTE SKRĘCNIE.9.. Wprwadeie Prte kręcaie wtępje wówca gd bciążeie ewętre redkje ię d wektra mmet kręcająceg któreg kierek pkrwa ię główą cetralą ią prekrj O. Wiele elemetów ktrkcji bdwlach pdlega diałai mmet kręcająceg. Prkładami takich ktrkcji ą: rgle ram pretrech wieńce trpów belki pdprwe płt balkwch belki pdwicwe c belki kraje bciąże jedtrie płtą. Diałaie mmet kręcająceg jet cególie itte w prpadk ciekściech prekrjów metalwch. Zagadieie bregwe kręcaia prętów prmatcch dwlm ktałcie prekrj ppreceg jet trde d rwiąaia. Prekrje takie legają deplaacji (pacei) więc d rwiąaia agadieia bregweg treba wkrtać metd terii prężtści. Jedie w prpadk prętów prekrj kłw metrcm pełia jet hiptea BERNOULLI EGO (prekrje ptają płakie p dktałcei) atem waceie w ich ta aprężeia i dktałceia jet tkw łatwe mżliwe d kaia prtmi metdami wtrmałści materiałów..9.. Sta aprężeia i dktałceia w prętach prekrj kłwm Rważm pręt kłw metrc (krągł) dłgści l i prmiei r bciąż mmetem kręcającm (r. ). R. Z rk teg wika że jedą iłą prekrjwą w takim pręcie jet mmet kręcając. Zatem rważa pręt jet pdda prtem kręcai. Sta aprężeń i dktałceń w rważam pręcie wacm prjmjąc atępjące ałżeia pracające:
(i) wpłw ił mawej jet pmijal g g g () (ii) ie C i C ą iami główmi cetralmi prekrj S S J () (iii) pełia jet hiptea płakich prekrjów BERNOULLI EGO (iv) pełia jet hiptea DE SINT-VENNT Stra gemetrca Ze pb dktałceia pręta wika (r. ) że wtkie jeg prekrje pprece bracają ię wględem i pdłżej kąt ( ) wa kątem kręcaia achwjąc gdie ałżeiem (iii) wój pierwt ktałt pr cm prmieie prekrjów pprecch pręta p dktałcei ptają dcikami liii prtch. Natmiat twrące pręta prjmją ktałt liii śrbwch (heli). Każda tch liii precia. twrące pd tałm kątem rówm dktałcei ptaciwem (kątwem) ( ) R. Na pdtawie pwżej aali mżem prjąć że wektr premieceia ( ) pktów prekrj pręta ma w clidrcm (walcwm) kładie dieieia (r. ) atępjące wpółręde: gdie ( ) () jet premieceiem prmieiwm (radialm) premieceiem bwdwm atmiat kątem kręcaia któr ależ wacć. Pieważ ś jet ią metrii prekrj (prekrój jet kłw metrc) atem wpółręde te ie ależą d kąta.
R. W cel waceia wpółrędch wektra premieceia w prtkątm kładie dieieia krtam ależści (r. 4) R. 4 v w i c ( ) i ( ) ( ) c ( ) (4) Rówaia gemetrce (.4.) predtawie w apiie iżierkim (.4.8) mają atępjącą ptać: v v v w w w (5) kąd p wględiei ptaci wpółrędch (4) trmjem Zatem macier dktałceń (.4.8) ma ptać (6)
ij (7) [ ] Stra fica Uwględiając wpółręde tera dktałceń (6) w rówaiach ficch (.5. ) pr wkrtai aceń (..6) dtajem atępjące wpółręde tera aprężeń: G G (8) gdie G jet mdłem prężtści pprecej (mdłem KIRCHOFF). Zatem macier aprężeń (..6) ma ptać Stra tatca Z wagi a ta aprężeia w pręcie (r. 5) G G [ ij ] G (9) G R. 5 ależści (..56) 4 (rówaia rówwagi elemetareg wcika pręta kręcaeg) prjmją ptać d G d d G d ( ) d G ( ) d ()
aś rówaia (..56) ą pełie tżamściw. Pieważ d S d S t wagi a ałżeie (ii) pierwe dwa pwżch rówań ą rówież pełie tżamściw. Pdtawiając w trecim pwżch rówań trmjem G d () Pieważ że d J jet biegwm mmetem bewładści atem () wika () GJ 4 pr cm J Πr. Wart aważć że jeśli mmet kręcając jet tał t pchda kąta kręcaia też jet tała..9.. Naprężeie tce i brt w prekrj kłwm Pdtawiając fkcję () d wrów (8) trmjem ależści J J () Pieważ (r.6) i c J J (4) R. 6 atem ależść kreślająca aprężeie tce (ściające) pr prtm kręcai prjmje ptać
(5) J Z pwżeg wr wika e rkład aprężeń tcch w prekrj kłwm jet liiw ą e prtpadłe d prmieia wdąceg pkt aś wartść makmalą rówą ma ( r ) r (6) J aprężeia tce iągają we włókach krajch prekrj ppreceg (r. 7). Z wagi a kłwą metrię prekrj taki am rkład aprężeń wtępje a każdm dcik prechdącm pre śrdek prekrj ppreceg. R. 7 Pdb rkład aprężeń ma miejce a płacach rówległch d i pdłżej pręta i prechdącch pre jeg śrdek ciężkści (r. 8). R. 8 Wór (6) mża predtawić w atępjącej rówważej ptaci: ma (7) W gdie J W r (8)
awam wkaźikiem wtrmałści pr kręcai (biegwm wkaźikiem wtrmałści) pręta krągłeg pr cm W Πr. Całkjąc rówaie () trmjem ( ) c (9) d d GJ GJ gdie c jet tałą całkwaia. Pieważ w miejc twierdeia pręta kąt kręcaia jet rów er (warek bregw w premieceiach) atem pwżeg rówaia wika że i w kekwecji ( ) c () () GJ ( ) Zatem brót kńca pręta prekrj kłwm (makmal kąt kręcaia) i dłgści l wi l ( l) GJ ma () Wart wrócić wagę a pdbieńtw pwżeg wr d wr (.7.). Pieważ pr małch dktałceiach pełia jet ależść (r. 9) R. 9 () atem wkrtjąc wór () dtajem atępjącą frmłę kreślającą dktałceie ptaciwe (kątwe) pr prtm kręcai (4) GJ
Wart pdkreślić że wagi a ałżeie pełiei aad DE SINT-VENNT wr (5) () i (4) ptają waże rówież w prpadk ieg tatcie rówważeg bciążeia pręta..9.4. Naprężeie tce w prekrj prtkątm Pieważ prekrój prtkąt lega pacei (r. ) atem kreśleie ta aprężeia i dktałceia ie jet mżliwe prtmi metdami wtrmałści materiałów. R. Wac metdami terii prężtści rkład aprężeń tcch w prekrj prtkątm wkści h i erkści b predtawia r.. Z rk teg wika że aprężeia ściające w arżikach prekrj ą rówe er. Jet t reltatem brak bciążeia a pwierchiach bcch pręta. W takim prpadk w pktach tch ra i w kekwecji rówież i. Najwięką wartść aprężeia tce R. ma w takim prekrj iągają w ma ma pkcie wpółrędch b i blicam ją e wr ma (5) W W pwżm wre αb h (6) W jet wkaźikiem wtrmałści pr kręcai pręta prtkąteg.
Wartści fkcji ( h b) α predtawia piża tabela h b..5.75..5. 4. 6. 8.. α.4.96.4.9.49.6.8.99.7. (a) Warek wtrmałści.9.4. Warki prjektwaia prętów kręcach R ma t (7) W gdie R t aca wtrmałść bliceiwą a ściaie. Pwż warek mża wkrtać d waceia śści pręta W R (8) t lb pla pwierchi jeg prekrj ppreceg W (9) Rt (b) Warek twści gdie dp dpcal kąt kręcaia pręta. ma dp ().9.5. Sta aprężeia i dktałceia w clidrcm kładie dieieia Wprwadeie wrów kreślającch ta aprężeia i dktałceia pręta kręcaeg prekrj kłwm jet acie prte jeśli wkrtam clidrc kład dieieia. Wpółręde prtkąte ą pwiąae e wpółrędmi clidrcmi atępjącmi relacjami: Stra gemetrca c i () Z ależści () wika że wpółręde wektra premieceia ( ) clidrcm kładie dieieia mają ptać ( ) w ()
gdie jet kątem kręcaia któr ależ wacć. Pdtawiając ieerwe pchde tch wpółrędch () d rówań gemetrcch w kładie clidrcm () trmjem atępjące wpółręde tera dktałceia (4) Z pwżch ależści wika że macier dktałceń pr prtm kręcai pręta kłweg ma w kładie clidrcm atępjącą ptać: [ ] E (5) Stra fica Sta aprężeń w clidrcm kładie dieieia predtawia r. R.
Wkrtjąc predtawie a tm rk aceia wpółrędch tera aprężeń w rówaiach ficch (.5. ) dtajem: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] G G G G G G (6) Pdtawiając d pwżch rówań wpółręde tera dktałceń (5) trmjem wpółręde tera aprężeń G (7) Zatem macier aprężeń (..6) ma w kładie clidrcm atępjącą ptać: [ ] G G T (8) Stra tatca Z wagi a ta aprężeia w pręcie (r ) rówaie rówwagi elemetareg wcika pręta kręcaeg (..56) 4 prjmje w kładie clidrcm atępjącą ptać: d G d (9) aś ptałe rówaia (..56) ą pełie tżamściw. R.
Pieważ d J jet biegwm mmetem bewładści atem (9) dtajem wór kreślając pchdą pkiwaeg kąta kręcaia (4) GJ Pdtawiając (4) d ależści (4) i (7) trmjem wr kreślające dktałceie ra aprężeie (4) GJ (4) J w pręcie kręcam prekrj kłwm. Są e takie ame jak wr (4) i (5). Spób waceie kąta kręcaia predtawiają ależści (9) d (). Prkład Prkład. Wacć aprężeia główe i kierki główe pr prtm kręcai Dae: acier aprężeń pr prtm kręcai [ ] ij Skae: Rwiąaie: Krk. Oblicam aprężeia główe Krtając e wr (..6) blicam iemieiki macier aprężeń ( ) I I I Pdtawiając pwże iemieiki d rówaia charaktertceg (..5) trmjem [ ( ) ] Pwże rówaie ma atępjące pierwiatki (aprężeia główe)
W kładie dieieia wacm pre kierki główe macier aprężeń ma atem ptać [ ] ij Krk. Wacam kierki główe Pdtawiając wpółręde tera aprężeń d rówań (..) prwadam je d ptaci Natmiat warek (..8) apijem jak Pdtawiając d pwżch rówań kleje aprężeia główe trmjem Cli aprężeia główe i kierki główe w prpadk prteg kręcaia mają atępjącą ptać: ( )
Z pwżch wrów wika że kierki główe ą achle d twrącch pręta pd kątem 45º atmiat aprężeia główe którch pierwe jet ścikające aś drgie rciągające ą rówe c d wartści aprężeim tcm ściającm (r. P); wektr jet kierwa prtpadle d płac rk. R. P Zagadieia a egami. Zdefiiwać prte kręcaie; pdać i mówić rówaia tr: tatcej gemetrcej i ficej w prpadk pręta prekrj kłwm.. Pdać rkład aprężeń tcch w kręcam prekrj kłwm; pdać i mówić warki prjektwaia prętów kręcach.