Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Podobne dokumenty
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

Transformaty. Kodowanie transformujace

Definicja. x(u)h (u t)e i2πuf du. F x (t,f ;h) = Krótko czasowa transformata Fouriera Ciągłą transformata falkowa

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Teoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Prawdopodobieństwo i statystyka

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Wstęp do metod numerycznych Dyskretna transformacja Fouriera. P. F. Góra

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

Teoria systemów i sygnałów Kierunek AiR, sem. 5 2wE + 1l

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Wykład 2. Transformata Fouriera

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry Pojęcia podstawowe Klasyfikacja sygnałów

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

Przetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

Różne reżimy dyfrakcji

1 s(t) 2 t s(t) 2 dt 1. s(t) 2

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Zaawansowane metody numeryczne

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab

Procedura modelowania matematycznego

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa

Drgania i fale II rok Fizyk BC

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

Optyka Fourierowska. Wykład 11 Apodyzacja, superrozdzielczość i odtwarzanie utraconych informacji

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU

Systemy. Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Propagacja w przestrzeni swobodnej (dyfrakcja)

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

Analiza obrazu. wykład 5. Marek Jan Kasprowicz Uniwersytet Rolniczy 2008

TRANSFORMATA FOURIERA

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Solitony i zjawiska nieliniowe we włóknach optycznych

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Wpływ nieliniowości elementów układu pomiarowego na błąd pomiaru impedancji

KONCEPCJA I UKŁADOWA REALIZACJA SYSTEMU DETEKCJI ZDARZEŃ KRYTYCZNYCH Z UDZIAŁEM MOTOCYKLI

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Inżynieria Systemów Dynamicznych (3)

Przetwarzanie sygnałów

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Filtracja. Krzysztof Patan

ELEKTRONIKA W EKSPERYMENCIE FIZYCZNYM

Własności światła laserowego

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Politechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera.

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

1. Podstawowe pojęcia

Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 7 1/7 ĆWICZENIE 7. Splot liniowy i kołowy sygnałów

Transkrypt:

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011

Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji czasu/położenia, albo analiza spektralna - rozkład sygnału na składowe częstotliwościowe (o różnej zmienności) metody te działaja dla sygnałów stacjonarnych (spektrum nie jest zmienne w czasie) transformacja Fouriera - zakłada sygnał periodyczny lub jego kompletna znajomość w całej dziedzinie czasowej punkty spektrum częstotliwościowego - uśrednione po całej dziedzinie czasowej przykład ilustrujacy nieprzydatność transformaty Fouriera - liniowa modulacja częstotliwości: y(t) = sin(2πωt), ω = ω 0 + αt

Przykład - liniowa modulacja częstotliwości Sygnał czasowy, spektrum Fouriera 1 0.8 0.6 0.4 35 30 25 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20 15 10 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Transformata Wignera-Ville a

Potrzeba analizy czasowo-częstotliwościej W wielu zastosowaniach potrzebujemy analizy łacznej (czas i częstoliwość), by wydobyć informację zawarta w sygnale niestacjonarnym niestacjonarność - istota wielu sygnałów będacych przedmiotem naszego zainteresowania (n.p. mowa, sygnały medyczne (EEG, EKG), pomiary sejsmiczne, wibracje części masyn, przebiegi sygnałów elektrycznych, obrazy dwuwymiarowe celowe pobudzanie obiektów wymuszeniem niestacjonarnym celem ich identyfikacji (np. echografia impulsowa stosowana w goeofizyce, radiolokacji, diagnostyce medycznej) niestacjonarna modulacja częstotliwościowa i fazowa w telekomunikacji Wniosek - istnieje potrzeba analizy sygnałów, w której jednocześnie określamy jego własności czasowe i częstotliwościowe

Zasada analizy czasowo-częstotliwościej Cel łaczny opis sygnału jako funkcji czasu i częstotliwości Może być traktowana jako uogólnienie analizy fourierowskiej Standardowe podejście - rozkład sygnału na składowe x(t) = a k g k (t), a k = x(t)γk (t)dt k gdzie g k (t) - funkcje syntezy, funkcje γ k (t) - dualne do g k (t) funkcje analizy Funkcje bazowe g k (t) maja rozpinać cała przestrzeń określonego typu Moga być one: ortonormalne: g k (t)gl (t)dt = δ kl, (funkcje syntezy i analizy identyczne) liniowo niezależne, ale nie ortogonalne, funkcje analizy γ k (t) różne od g k (t), wyznaczone z warunku biortonormalności: g k (t)γl (t)dt = δ kl ; pozwala to na jednoznaczne określenie γ k (t)

Zasada analizy czasowo-częstotliwościej - c.d. dobór funkcji g k (t) i γ k (t) - zależny od typu analizowanego sygnału typowy wybór gdy sygnał stacjonarny - funkcje bazowe to stacjonarne oscylacje (o nieskoczonym nośniku) - n.p. funkcje sin(kω 0 t), cos(kωt) - nieskończenie ostra lokalizacja w częstotliwości, brak jakiejkolwiek lokalizacji w czasie gdy sygnał niestacjonarny - funkcje bazaowe to niestacjonarne oscylacje impulsowe o skończonym nośniku (np. funkcje używane w transformacie Gabora, Haara czy falkowej) własności lokalizacyjne - własność funkcji bazy - zależa od "rozciagłości" funkcji bazowych Ψ(t) w czasie i ich transformat Φ(ω) w częstotliwośći obszar pokryty przez pojedyncza funkcję bazową - kostka zadana przez przedziały P t i P ω - scentrowane wokół środków częstości Ψ(t) 2 i Φ(ω) 2

Lokalizacja w czasie i częstotliwości określenie kostki lokalizacji funkcji bazy funkcje bazowe - rodzimy funkcji o dobrej lokalizacji w czasie i częstotliwości (atomy czasowo-częstotliwościowe) kostki dla poszczególnych atomów powiny być rozłaczne i pokrywać cała przestrzeń czas-częstotliwość dobra lokalizacja - małe pole kostki czy możemy dowolnie zmniejszać powierzchnię kostki lokalizacji?

Transformacje bazy a lokalizacja Jak transformacje funkcji bazowych wpływaja na ich zdolność lokalizacji? przesunięcie w czasie o τ: Ψ (t) = Ψ(t τ), Φ (ω) = Φ(ω), rozmiary kostki bez zmian modulacja za pomoca e iω 0t : Ψ (t) = e iω0t Ψ(t), Φ (ω) = Φ(ω ω 0 ), rozmiary kostki bez zmian skalowanie funkcji Ψ (t) = Ψ(at) zmienia szerokości: P t = P t /a, P ω = ap ω Wnioski: pole kostki zachowane - cecha funkcji bazowej skalowanie - możliwość balansu rozdzielczości w czasie i częstotliwości

Zasada nieoznaczoności Jakie sa ograniczenia na wartość pola powierzchni kostki? Odpowiedź - zasada nieoznaczoności Heisenberga Niech f(t) - funkcja o skończonej energii, której transformata Fouriera jest też skończona N f norma funkcji f(t) (równa normie transformaty), zaś A 2 i B 2 - wariancje - miary średniokwadratowej szerokości czasowej i częstotliwościowej N f = A 2 = 1 f f(t) 2 dt = F(ω) 2 dω t 2 f(t) 2 dt B 2 = 1 f f 2 F(f) 2 df wtedy A B 1 4π, równość zachodzi tylko dla funkcji g(t) = (2α) 1/4 exp( απt 2 )

Konsekwencje zasady nieoznaczoności i skalowania dobra lokalizacja - małe pole kostki zasada nieoznaczoności: pole kostki P t P ω 1 4π potrzebujemy rodziny funkcji pokrywajacych cała przestrzeń czasowo-częstotliwościowa zazwyczaj - rodzina taka pochodzi z jednej funkcji prototypowej podlegajacej przesunieciom w czasie i częstotliwości skalowanie pozwala na zmianę kształtu kostek pokrycia w różnych rejonach przestrzeni różne strategie podziału przestrzeni określone jako różne szachownice czasowo częstotliwościowe

Dekompozycje TF wybór sposobu pokrycia (szachownicy) - dekompozycja TF podstawowe strategie: szachownica o takich samych polach (typowe dla STFT) niskie częstości: lepsza rozdzielczość częstotliwościowa, gorsza czasowa, wysokie częstości - na odwrót (typowe dla transformacji falkowych) sposób dekompozycji powinien być zsynchronizowany z rodzajem sygnału i celem analizy najlepiej, gdy istnieje możliwosć adaptacyjnego dopasowania do lokalnych cech sygnału przykłady funkcji bazowych (falki gaussowskie) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Transformacja Gabora Konstrukcja bazy wybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie) kolejne funkcje bazowe g m,n (t) - przesuwanie funkcji prototypowej w czasie i częstotliwości g m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t Dekompozycja sygnału ciagłego: x(t) = + m,n= c m,n - współczynniki dekompozycji: c m,n = c m,n g m,n (t) x(t)γ m,n(t)dt; γ m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunku biortonormalności wynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego: S x (mt,nf) = c m,n 2

Transformacja Gabora Konstrukcja bazy wybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie) kolejne funkcje bazowe g m,n (t) - przesuwanie prototypu w czasie i częstotliwości g m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t Dekompozycja sygnału ciagłego: x(t) = + m,n= c m,n - współczynniki dekompozycji: c m,n = c m,n g m,n (t) x(t)γ m,n (t)dt; γ m,n(t) = g(t m t)e 2πi(n f)t γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunku biortonormalności wynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego: S x (mt,nf) = c m,n 2

Transformacja Gabora c.d. Dyskretna, okresowa transformata Gabora określona przez formułę dekompozycji: x(k) = współczynniki: M 1 N 1 m=0 n=0 k=0 c m,n g(k m M)W (n N)k L L 1 c m,n = x(k)γ (k m M)W (n N)k L gdzie W L = e 2πi/L, L = ( M)M = ( N)N założenia: x(k), g(k), γ(k) - sygnały okresowe o okresie L, M, N kroki w czasie i częstotliwości; g(k) - dowolne, γ(k) z warunku biortonormalności wybór M, N - różne pary g, γ, sygnał o długości L daje różne reprezentacje majace M widm N-punktowych

Transformacja Gabora c.d. Ważny parametr η = MN L gdy η = 1 - mamy minimalna wymagana ilość próbek próbkowanie krytyczne gdy η > 1 - nadpróbkowanie zazwyczaj próbkowanie krytyczne daje silnie oscylujace, nie posiadajace zwartego nośnika okno analizy γ(k) aby uzyskać dobra lokalizację czasowa konieczne nadpróbkowanie inne rozwiazanie - rzeczywiste reprezentacje TF Gabora różica - użycie modulacji rzeczywistej (a nie zespolonej) jako metody przesunięcia w częstotliwości rezultat - okna dualne lepiej zlokalizowane w czasi, mniej oscylacji nadpróbkowanie reprezentacji TF nie jest konieczne patrz - przykład numeryczny gabor.m

Krótkoczasowa transformata Fouriera (STFT) najprostsza z metod analizy czasowo-częstotliwościowej używa tylko jednego okna do syntezy i analizy w dziedzinie czasowej - SFTF równoważna wykonaniu prostego przekształcenia Fouriera na kolejnych porcjach sygnału wycinanych przez przesuwajace się okno wersja ciagła - definicja transformacji STFT T x (t, f) = x(τ)γ (t τ)dτ STFTx F (t, f) = e 2πift X(ν)Γ (ν f)dν gdzie: γ(t) - okno obserwacji, Γ(f) - jego widmo Fouriera synteza sygnału: x(t) = 1 γ(0) STFT x(t, f)e 2πift możliwa również wersja dyskretna patrz - przykład numeryczny stft.m

Transformacja Wignera Ville a (WV) pełni wyróżniona rolę w analizie sygnałów niestacjonarnych, gdyż: idealnie odwzorowuje sygnał z liniowa modulacja częstotliwości (LFM) poprzez uśrednianie można z niej uzyskać inne reprezentacje jest reprezentacja o największej koncentracji energii w przestrzeni TF (ma najlepsza łaczn a zdolność rozdzielcza) poważny problem: dla sygnałów o innej modulacji niż liniowa (lub immych złozonych sygnałów szkodliwe pasożynicze interferencje pomiędzy różnymi składowymi własnymi widma koniecznosc lokalnego wygładzania definicja reprezentacji WV: S WV x (t, f) = S WV x(t + τ/2)x (t τ/2) e 2πifτ dτ X (t, f) = X(f + ν/2) X (f ν/2)e 2πiνt dν

Transformacja Wignera Ville a -c.d. w powyższych formułach x(t) - sygnał rzeczywisty s(t), lub tzw. sygnał analityczny (część rzeczywista = sygnałowi rzeczywistemu, część urojona - wynik transformaty Hilberta na s(t) powód problemów ze szkodliwa interferencja - mnożenie sygnału przez ten sam sygnał rezultat - nieliniowość reprezentacji WV S WV x1+x2 (t, f) = SWV x1 (t, f) + SWV x2 (t, f) + SWV x1,x2 (t, f) ostatni człon - tzw. widmo skrośne występuje równieź, gdy mamy tylko jeden sygnał

Transformacja Wignera Ville a -c.d. metody ograniczania efektów pasożytniczych stosowanie odpowiednio wysokiej częstości próbkowania modyfikacja równań określajacych metodę (dyskretna pseudoreprezentacja) patrz - przykład numeryczny wv.m