XIII Sympozjum Modelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych 8-11 września 23r., Kraów ZASTOSOWANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALNEJ DYSKRETYZACJI WSPÓŁCZYNNIKÓW WAGOWYCH CYFROWYCH FILTRÓW SOI Jace Czosnowsi * STRESZCZENIE W pracy przedstawiono zastosowanie algorytmu genetycznego do poszuiwania optymalnej aprosymacji współczynniów wagowych filtrów SOI słowami o sończonej długości. Do aprosymacji użyto odowanie CSD. Zaproponowano odpowiednie definicje genetycznych operatorów rzyżowania i mutacji ta, aby algorytm działał w zadanej przestrzeni CSD. USING GENETIC ALGORITHM FOR THE OPTIMAL QUANTIZATION FIR FILTETR COEFFICIENTS Wstęp ABSTRACT This paper describes an automated process for designing FIR filters with finite word length coefficients written in canonical signed-digits (CSD) format. The design process uses genetic algorithm to produce optimal CSD values. The results of numerical experiments are presented. Dowolny cyfrowy filtr SOI o sygnale wejściowym x n, sygnale wyjściowym y n i długości N opisany jest dysretnym równaniem splotowym o postaci [6,11]: N 1 = y = w h x (1) n s gdzie w s współczynni salujący (wzmocnienie) filtru ta dobrany, aby wartości współczynniów wagowych h n spełniały warune: max{h, h 1,, h N-1 } +1,. n * Aademia Górniczo-Hutnicza al. A. Miciewicza 3 paw. B3 p.11; 3-59 Kraów Katedra Eletrotechnii tel. (x12) 617 28 69, 617 28 18; e-mail: czos@uci.agh.edu.pl
Prostota działania filtrów SOI oupiona jest wadą, jaą jest ich duża złożoność obliczeniowa związana z oniecznością stosowania bardzo znacznej liczby współczynniów wagowych, pozwalających uzysać strome charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowe. Jedna w związu z rozwojem technologii projetowania i producji uładów eletronicznych znaczenie tej wady filtrów SOI coraz bardziej maleje [11]. Natomiast niezaprzeczalnymi zaletami cyfrowych filtrów SOI są: prostota projetowania, bezwzględna stabilność oraz liniowość charaterystyi fazowoczęstotliwościowej. Ważnym problemem pratycznej realizacji cyfrowych filtrów SOI jest zagadnienie optymalnej aprosymacji współczynniów wagowych słowami o sończonej długości oraz minimalizacja liczby dwuwejściowych sumatorów potrzebnych do ich realizacji. W pracach [4,9,1] można znaleźć propozycje rozwiązania tego zagadnienia. Należy zauważyć, że problem optymalnej syntezy cyfrowych filtrów SOI o dysretnych współczynniach wagowych jest zagadnieniem nieliniowym, co w znaczący sposób utrudnia jego rozwiązanie. Propozycje rozwiązania tego problemu można znaleźć, na przyład, w pracach [1,1]. Stosowana jest tam odpowiednia linearyzacja ograniczeń związanych z pożądanym ształtem charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowej i następnie problem liniowy jest rozwiązywany przy pomocy całowitoliczbowego programowania liniowego. W niniejszej pracy przedstawiono zastosowanie algorytmu genetycznego, o odpowiednio zdefiniowanych operatorach genetycznych, do bezpośredniego rozwiązywania nieliniowego problemu optymalnej aprosymacji współczynniów wagowych filtrów SOI słowami o sończonej długości zapisanymi w trójwartościowym formacie CSD. 1. Kodowanie CSD Jednym z często stosowanych w pratyce odów trójwartościowych jest format CSD (ang. canonical signed-digits) [3]. W tym formacie dysretne przybliżenia rzeczywistych współczynniów wagowych {h, h 1,, h N-1 } filtru SOI (1) przyjmują postać: L = i (i) (i ) p i s 2 = 1 h (2) gdzie s (i) (i) { 1,, + 1}, p {,1,, Bi 1}, B i liczba bitów słowa odującego i-ty współczynni, L i liczba niezerowych bitów w odzie CSD współczynnia h i. Kod CSD współczynnia h i musi spełniać dwa waruni: 1. liczba niezerowych bitów L i może być co najwyżej równa zadanej wartości M i ; 2. sąsiadami niezerowego bitu muszą być zera. Zaletą odowania CSD jest między innymi to, że do realizacji dysretnego przybliżenia 2 2 1 2 2 2 3 2 4 współ-czynnia h i, niezależnie od długości B i słowa odującego, należy użyć 1 1 1 L i 1 sumatorów dwu-wejściowych, natomiast liczba bitów B i wpływa na możliwą do B i = 5 L i = 3 uzysania doładność przybliżenia realizowanego współczynnia. Na rysunu 1 poazany jest przyład h i = 2 2 2 2 4 =,6875 pratycznej realizacji współczynnia wagowego h i =,6875 Real = (2 2 2 2 4 ) CSD filtru Rys. 1 Przyład realizacji w odzie CSD SOI z zastosowaniem formatu CSD. współczynnia wagowego filtru SOI
Wadą odu CSD jest nierównomierny rozład jego wartości w prze-dziale [ 1,, +1,]. Poazane to jest na rysunu 2 dla B i = 9 oraz L i =, 1, 2, 3. Ja widać współczynnii wagowe filtru o mniejszych wartościach ( h n <,5) mogą być lepiej przybliżane liczbami CSD o mniejszych L i {,1,2}, natomiast dla współczynniów h n >,5 należy używać odów CSD o więszych L i =3. Problem ten jest omówiony w pracy [9]. L i = L i =1 L i =2 L i =3-1 -.75-.5 -.25.25.5.75 1 Rys.2 Przyład rozładu wartości odu CSD dla B i =9 2. Sformułowanie zadania optymalizacji Jaość dysretnego przybliżenia doładnych wartości współczynniów wagowych filtru SOI o zadanej charaterystyce amplitudowo-częstotliwościowej można oreślić przy pomocy błędu Czebyszewa: [ W(ω ) H(ω ) H (ω ) ] e = max (3) gdzie H(ω ) charaterystya amplitudowo-częstotliwościowa poszuiwanego filtru SOI, H D ( ) pożądana charaterystya amplitudowo-częstotliwościowa filtru SOI, W(ω ) współczynni wagowy -tej pulsacji ω. W przypadu przybliżania doładnych współczynniów wagowych {h,h 1,,h N-1 } filtru SOI dysretnymi trójwartościowymi odami CSD {h,h 1,,h N-1 } CSD zadanie optymalizacji ma postać: {h 3. Algorytm genetyczny opt, h1,, hn-1} CSD = arg min { h, h1,, h N 1 } CSD D [] e (4) Algorytm genetyczny jest algorytmem probabilistycznym działającym na osobniach wchodzących w sład populacji olejnych generacji. Każdy osobni jest odpowiednią struturą danych, tóra reprezentuje możliwe rozwiązanie rozpatrywanego zadania. Celem algorytmu genetycznego jest znalezienie osobnia możliwie najlepszego w sensie przyjętej miary jaości [2,7]. Zasada działania algorytmu genetycznego wzorowana jest na podstawowych prawach Ewolucji Naturalnej [2,7,8] i w związu z tym musi on być wyposażony w odpowiednio oreślone operatory genetyczne (operator rzyżowania oraz operator mutacji) przystosowane do działania na chromosomach, w tórych grupy genów odują parametry zadania. W niniejszej pracy do zaodowania dysretnych przybliżeń doładnych wartości h i olejnych współczynniów wagowych projetowanego filtru SOI użyto odu CSD o zadanych wartościach B i oraz M i jednaowych dla wszystich współczynniów, równych odpowiednio B i M. Na rysunu 3 poazano budowę chromosomu użytego do odowania parametrów zadania optymalizacji (4). Ma on długość d= N B i może zawierać, co najwyżej L ±1 = N M cyfr niezerowych ±1, czyli co najmniej L = N (B M) zer. Należy zauważyć, że lasyczne operatory genetyczne działające na ta zdefiniowanych chromosomach mogą prowadzić do otrzymywania słów binarnych nie będących odami CSD. W pracy [5] do rozwiązania tego problemu użyto zmodyfi-
owany algorytm genetyczny. Modyfiacja polega na dodaniu do lasycznego algorytmu genetycznego modułu sprawdzającego czy dysretne współczynnii wagowe filtru, otrzymane w wyniu działania lasycznych operatorów genetycznych, mają format CSD. Taa modyfiacja jest mało suteczna i znacznie wydłuża czas obliczeń. B = B 1= = B N-1= B L max= L 1max = = L (N 1)max = M Kod CSD wsp. h +1 1 Długość chromosomu: d= N B Minimalna liczba zer: z= N (B M) Kod CSD wsp. h 1 Kod CSD wsp. h N-1 +1 1 1 Rys. 3 Budowa chromosomu W niniejszej pracy postąpiono inaczej, a mianowicie wyposażono operatory genetyczne w odpowiednie mechanizmy nie pozwalające na powstanie w wyniu ich działania odów nie mających formatu CSD. Taie postępowanie znacznie przyspiesza działanie algorytmu, tóry porusza się tylo w zadanej dysretnej przestrzeni odów CSD, uniając generacji słów o niepoprawnych formatach i następnie ich eliminacji. Operatory genetyczne zdefiniowano następująco: Operator rzyżowania: po wylosowaniu puntu rzyżowania pc {1,2,,B 1} 1). pc sprawdzane jest czy pc mod B =, jeśli ta Kod CSD wsp. (h ) m Kod CSD wsp. (h +1 ) m to można rzyżować. To rzyżowanie sprowadza się do bezpośredniej wymiany między chromosomami rodzicielsimi odów CSD współczynniów wagowych 2). filtru. W przeciwnym przypadu należy u Kod CSD wsp. (h ) n pc Kod CSD wsp. (h +1 ) n pc obu rodziców sprawdzić wartość genu przed (lub za) puntem rzyżowania pc i Kod CSD wsp. (h ) m Kod CSD wsp. (h ) n Kod CSD wsp. (h ) m Kod CSD wsp. (h ) n jeśli w obu chromosomach rodzicielsich lub jest on równy to można rzyżować. W x x tym przypadu może nastąpić modyfiacja odu CSD rozcinanego współczynnia x x wagowego. Działanie ta oreślonego x { 1,, +1} operatora rzyżowania poazane jest na rysunu 4. Rys. 5 Działanie operatora rzyżowania. Operator mutacji: najpierw losowany jest numer ph {1,2,,N} współczynnia wagowego, tóry będzie podlegał mutacji, a następnie numer pm {1,2,,Nb} bitu, Pierwszy ro: ph= Rand[Integer {1,N} ] tóry będzie mutowany i jeśli ma on Kod CSD wsp. h ph zerowych sąsiadów, to podlega zmianie Drugi ro: według następujących zasad: pm= Rand[Integer {1,Nb} ] x = 1 x = Rand[ {, + 1 }], zawsze x = x = Rand[ { 1, + 1 }], gdy L± 1 < M pm= 1 1<pM<Nb pm= Nb x = + 1 x = Rand[ { 1,} ], zawsze x x x Działanie ta oreślonego operatora mutacji poazane jest na rysunu 5. Rys. 6 Działanie operatora mutacji.
4. Funcja przystosowania Dodatnio oreśloną funcję przystosowania F, przy pomocy, tórej algorytm genetyczny ocenia jaość poszczególnych chromosomów wchodzących w sład populacji olejnej generacji, przyjęto w postaci: 1 1 < F = = 1 (5) 1 + e 1 + max[w(ω ) H(ω ) H (ω )] wyniającej wprost definicji błędu Czebyszewa (3) i zadania optymalizacji (4). 5. Wybrane rezultaty obliczeń numerycznych W celu porównania zaproponowanej ewolucyjnej metody dysretyzacji współczynniów wagowych filtru SOI z ulepszoną metodą poszuiwania opisaną w pracy [9], wartości optymalnych współczynniów wagowych filtru SOI zaczerpnięto z pracy [1], gdzie poszuiwano optymalnych ciągłych współczynniów wagowych dolnoprzepustowego filtru SOI o następujących parametrach charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowej (przy f pr = 1 Hz): masymalne zafalowanie w paśmie przepustowym: δ p = ±,5 db tłumienie w paśmie zaporowym: δ s 46 db; częstotliwość graniczna pasma przepustowego: f p =,15 Hz; częstotliwość graniczna pasma zaporowego: f s =,25 Hz; długość filtru N = 25. Charaterystya amplitudowo-częstotliwościowa oraz wartości współczynniów wagowych wzorcowego filtru SOI poazane są na rysunu 6.»K» @ d B D 1-1 -2-3 -4-5.1.2.3.4.5 f @HzD D h = h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h 5 = h 6 = h 7 = h 8 = h 9 = h 1 = h 11 = h 12 = +,45 +,18,13,331,281 +,398 +,855,9,165,1413 +,2255 +,7469 + 1, Rys. 6 Charaterystya częstotliwościowa i współczynnii wagowe filtru SOI wg [1] W pracy [9] opisano ulepszony algorytm poszuiwania, tóry użyto do rozwiązania problemu optymalnej dysretyzacji współczynniów wagowych filtru SOI przy pomocy odów CSD. Zawarte są tam taże uwagi dotyczące doboru liczby niezerowych wartości ±1 w odzie CSD w zależności od wartości współczynnia h i. Zaproponowano, aby dla współczynniów wagowych filtru h i >,5 zwięszyć w odach CSD L i o jeden w stosunu do wartości L i w odach CSD pozostałych współczynniów. Na rysunu 7 poazana jest charaterystya amplitudowoczęstotliwościowa i wartości współczynniów filtru SOI otrzymane w wyniu zastosowania ulepszonego algorytmu poszuiwania. Otrzymany filtr ma tłumienie w paśmie zaporowym δ s 43,8 db i wymaga użycia 22 sumatorów. Należy zauważyć, że ten filtr SOI ma w paśmie zaporowym bardzo nierównomierną charaterystyę częstotliwościowa, a taże, że cztery jej listi mają tłumienie mniejsze niż wymagane 46 db.
»K2» @ d B D 1-1 -2-3 -4-5.1.2.3.4.5 f @HzD h = h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h 5 = h 6 = h 7 = h 8 = h 9 = h 1 = h 11 = h 12 = +2 8 +2 7 + 2 8 2 8 2 5 2 5 + 2 8 +2 5 + 2 7 +2 4 + 2 6 2 8 2 3 2 5 2 3 2 7 +2 2 2 5 +2 2 2 2 5 +2 2 5 2 7 Rys. 7 Charaterystya częstotliwościowa i współczynnii wagowe filtru SOI wg [9] W celu przeprowadzenia obliczeń numerycznych związanych z ewolucyjną dysretyzacją współczynniów wzorcowego filtru SOI przyjęto następujące wartości parametrów filtru i algorytmu genetycznego: liczba współczynniów wagowych filtru SOI: N h = 25; długość odu CSD, jednaowa dla wszystich współczynniów filtru (w bitach): B= 9; masymalna liczba wartości niezerowych ±1 w odach CSD współczynniów: M= 3; zares wartości liczb CSD: [ 1,+1] długość chromosomu N C = B N h bitów: N C = 225 liczebność populacji: Np= 3; prawdopodobieństwo rzyżowania: pc=,85; prawdopodobieństwo mutacji: pm=,5; liczba generacji: N G = 6. Należy zauważyć, że w rozważanym przypadu liczba różnych odów CSD wynosi tylo (?): N = 337 (L= : 1 od; L= 1: 18 odów; L= 2: 98 odów; L=3: 22 odów), co przy długości filtru: N h = 25 daje zbiór Φ SOI filtrów SOI zawierający N F = 337 25 1,55 1 63 (!) elementów. W sład tego zbioru wchodzą w różnych ilościach filtry wszystich typów poczynając od zerowego, a na górno-przepustowych ończąc. W tej sytuacji jest oczywiste, że nie ma możliwości bezpośredniego przeszuania zbioru Φ SOI w celu znalezienia filtru o współczynniach wagowych w formacie CSD, optymalnych w sensie ryterium (4). W opracowanym algorytmie genetycznym przejęto, inaczej niż w pracy [9], że od CSD ażdego współczynnia wagowego poszuiwanego filtru SOI może zawierać, 1, 2 lub 3 niezerowe cyfry ±1. Wprawdzie taie postępowanie może spowodować zwięszenie liczby dwuwejściowych sumatorów wymaganych do realizacji filtru, jedna w onsewencji winno prowadzić do lepszej aprosymacji zadanej charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowej. Wszystie obliczenia numeryczne przeprowadzono przy pomocy autorsiego programu ewolucyjnego zaimplementowanego w języu paietu Mathematica v. 4,. Należy dodać, że stosunowa łatwość programowania została oupiona pewnym wydłużeniem czasu obliczeń oraz, że ze względu na użytą platformę programistyczną nie można porównać czasów obliczeń ewolucyjnych z czasami podanymi w pracach [9,1]. Na rysunu 8 poazano charaterystyę częstotliwościową oraz wartości współczynniów wagowych filtru SOI AG 1 o dysretnych współczynniach w formacie CSD znalezionego na drodze ewolucyjnej dysretyzacji współczynniów. Filtr ten wymaga 22 dwuwejściowych sumatorów i, ja widać, średnie tłumienie w paśmie zaporowym jest więsze niż wymagane 46 db tylo dwa listi mają mniejsze tłumienie, a mianowicie: 43,5 db. Taże charaterystya amplitudowoczęstotliwościowa tego filtru w paśmie zaporowym jest bardziej równomierna niż filtru przedsta-
wionego w pracy [9] i poazana na rysunu 7. Należy podreślić, że filtr ten był często znajdowany podczas olejnych realizacji opracowanego algorytmu genetycznego.»k 2 2» @ d B D 1-1 -2-3 -4-5.1.2.3.4.5 f @HzD h = h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h 5 = h 6 = h 7 = h 8 = h 9 = h 1 = h 11 = h 12 = +2 8 +2 6 2 5 + 2 8 2 5 + 2 7 +2 5 + 2 8 +2 4 + 2 6 2 8 2 3 2 6 2 3 +2 2 2 4 + 2 7 +2 1 + 2 3 + 2 5 +2 2 3 Rys.8 Charaterystya częstotliwościowa i współczynnii wagowe filtru SOI AG 1 Na rysunu 9 poazana jest charaterystya częstotliwościowa oraz współczynnii wagowe innego filtru SOI AG 2 znalezionego w wyniu ewolucyjnej dysretyzacji współczynniów. Filtr ten wymaga 24 sumatorów i charateryzuje się pierwszym listiem w paśmie zaporowym o tłumieniu więszym niż 53 db, natomiast trzy listi mają tłumienie δ s 42,5 db. Mimo tych nierównomierności charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowej średnie tłumienie w paśmie zaporowym wynosi ooło 47 db.»k 2 2» @ d B D 1-1 -2-3 -4-5.1.2.3.4.5 f @HzD h = h 1 = h 2 = h 3 = h 4 = h 5 = h 6 = h 7 = h 8 = h 9 = h 1 = h 11 = h 12 = +2 8 +2 6 2 5 + 2 8 2 5 + 2 7 +2 5 + 2 8 +2 4 + 2 6 2 8 2 3 2 6 2 3 +2 2 2 4 + 2 7 +2 1 + 2 3 + 2 5 +2 2 3 + 2 8 Rys.9 Charaterystya częstotliwościowa i współczynnii wagowe filtru SOI AG 2 Warto jeszcze dodać, że jeśli jao filtr wzorcowy użyty został filtr z pracy [9] o współczynniach wagowych poazanych na rysunu 7, to opracowany program ewolucyjny znajdował go bardzo szybo podczas ażdej realizacji. Natomiast nie udało się znaleźć filtru SOI o lepszych charaterystyach amplitudowo-częstotliwościowych niż poazane na rysunach 8 i 9 filtry AG 1 i AG 2. Są tu zasadniczo dwie możliwości: zbyt róti czas obliczeń ewolucyjnych oraz zbyt mała liczebność populacji i związane z tym przeszuanie tylo małej części zadanej przestrzeni odów CSD albo w przyjętej przestrzeni odów CSD lepszy filtr nie istnieje. Ja się wydaje, jedyną możliwością sprawdzenia tego fatu są olejne realizacje opracowanego programu ewolucyjnego lub próby zmiany definicji genetycznych operatorów rzyżowania i mutacji.
6. Podsumowanie W pracy przedstawiono próbę zastosowania algorytmu genetycznego do ewolucyjnej dysretyzacji współczynniów wagowych filtru SOI. Zastosowano odowanie trójwartościowe w formacie CSD. Ten sposób odowania wymagał odpowiedniego zdefiniowania genetycznych operatorów rzyżowania i mutacji ta, aby algorytm działał w zadanej przestrzeni odów CSD. Warto zwrócić uwagę, że opracowany program ewolucyjny nie dostarczył bezpośredniej odpowiedzi na pytanie czy w zadanej przestrzeni odów CSD istnieje filtr SOI lepszy, w sensie ryterium (4), niż przedstawione filtry AG 1 i AG 2, tym niemniej, ja łatwo zauważyć, oba te filtry są lepsze niż filtr SOI poazany na rysunu 7, a opisany w pracy [9]. Mają one mniejszą wartość błędu Czebyszewa oraz ich charaterystyi amplitudowo-częstotliwościowe są bardziej równomierne w paśmie zaporowym. Przedstawione rezultaty obliczeń ewolucyjnych są bardzo zachęcające i wydaje się, że dalsze rozwijanie zaproponowanej metody winno doprowadzić do nowych jaościowo rezultatów. Jao ieruni dalszych badań można tu wsazać: analizę działania inaczej zdefiniowanych operatorów genetycznych, a zwłaszcza operatora mutacji oraz testowanie innych ograniczeń na liczbę niezerowych wartości ±1 w odach CSD współczynniów wagowych. Literatura [1] Al-Hashimi B.M., Somerset W.P., Moniri M.: Constrained genetic algorithm design of finite precision FIR linear phase raised cosine filters. ISCAS 1998, vol. 3 pp. 678-691 [2] Goldberg D.E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. WNT, Warszawa 1995 [3] Hwang K.: Computer arithmetic, principles, architecture and design. Wiley, New Yor 1979 [4] Karaboga D., Horrocs D.H., Karaboga N., Kalinli A.: Designing digital FIR filters using tabu search algorithm. ISCAS 1987, vol. 4 pp. 2236-2239 [5] Lee A., Ahmadi M., Julien G.A., Lashari R.S., Miller W.C.: Design of 1-D FIR filters with genetic algorithms. ISCAS 1999, vol. 3 pp. 295-298 [6] Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKŁ, Warszawa 1999 [7] Michalewicz Z.: Algorytmy genetyczne + strutury danych = programy ewolucyjne. WNT, Warszawa 1996 [8] Nalepa G.: Genetya, Wyd. Helion Gliwice 1994 [9] Samueli H.: An improved search algorithm for the design of multiplierless FIR filters with powers-of-two coefficient. IEEE Trans. CAS, vol. 36, No. 7, July 1989 pp. 144-147 [1] Zhao Q., Tadoaoro Y.: A simple design of FIR filters with powers-of-two coefficient. IEEE Trans. CAS, vol. 35, No. 5, May 1988 pp. 566-57 [11] Zielińsi T.P.: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów. AGH EAIiE, Kraów 22 Opracowanie powstało w ramach pracy własnej prowadzonej w Katedrze Eletrotechnii AGH