Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2 Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego x(n) powoduje stałe przesunięcie fazowe DFT. Jeśli zdecydujemy się próbkować x(n) począwszy od n równego pewnej wartości k, w przeciwieństwie do n = 0, to DFT tych przesuniętych w czasie wartości próbek stanowi k j 2 π km/ X m = e X m ( 1 ) Z równania (1) widać, że jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty w prawo o k próbek, to wyjściowe widmo X k (m) DFT wyraża się jako X(m), o każdym j 2πkm / zespolonym składniku X(m) przemnożonym przez liniowe przesunięcie fazowe e, które jest przesunięciem fazy o 2πkm/ a odwrót, jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty w lewo o k j2πkm / próbek, to widmo X k (m) wyraża się jako X(m) przemnożone przez e Przykład 2 ( patrz poprzedni przykład 1 DFT ) Dokonaliśmy próbkowania sygnału wejściowego z przykładu poprzedniego DFT 1 3 () = sin ( 2π 1000 ) + sin ( 2π 2000 + ) xt t t π 2 4 z opóźnieniem o k = 3 próbki.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -2- a rysunku 1 pokazano oryginalną wejściową funkcję czasu Rysunek 1. Próbkowanie sygnału x(t) w obu przykładach owy, przesunięty ciąg x(n) stanowi wartości reprezentowane grubymi czarnymi kropkami na rys. 1., których wartości to: x(0) =1,0607, x(l) =0,3535, x(2) = - 1,0607, x(3) = - 1,3535, x(4) = - 0,3535, x(5) = 0,3535, x(6) = 0,3535, x(7) = 0,6464 Wyznaczając DFT ciągu, X k (m) ma postać: m amplituda faza część rzeczywista część urojona 0 0 0 0 0 1 4 +45 2,8284 2,8284 2 2-45 1,4141-1,4141 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6 2 +45 1,4141-1,4141 7 4-45 2,8284-2,8284
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -3- Rysunek 2. Wyniki DFT z przykładu 2: (a) moduł X k (m), (b) faza X k (m), (c) część rzeczywista X k (m), (d) część urojona X k (m). Z obliczeń wynika, że amplituda X k (m) jest nie zmieniona względem amplitudy X(m). Amplituda DFT względem oryginalnego sygnału okresowego nie uległa zmianie chociaż próbkowaliśmy sygnał w innym przedziale. Jednak, faza DFT zmienia się w zależności od chwili, w której zaczęliśmy próbkować sygnał x(n). Patrząc na składową DFT X k (m), odpowiadającą m = 1 sprawdzimy wartości fazy sygnału przesuniętego: Pamiętając, że X(1) z przykładu 1 DFT miała amplitudę 4 przy kącie fazowym 90 mamy dla k = 3 oraz = 8: k m j2πk j 2π j j 8 2 4 () 1 = e X () 1 = e 4e 4e X = 3 π π ( 2 ) Zatem X k (m) ma amplitudę równą 4 i kąt fazowy +45 o.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -4- Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera Wprowadzimy pojęcie odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera (ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDEF). DFT traktujemy zazwyczaj jako przetransformowanie danych z dziedziny czasu w ich reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Możemy również odwrócić ten proces i otrzymać oryginalny sygnał w dziedzinie czasu przez przeprowadzenie IDFT na wartościach X(m) w dziedzinie częstotliwości. Wyrażeniami standardowymi dla IDFT są i jednocześnie 1 1 j2 π mn/ x n = X m e ( 3 ) m= 1 1 1 n n x( n) = X ( m) cos 2πm jsin 2πm + m= 1 ( 4 ) Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu można traktować jako sumę składowych sinusoidalnych o różnych częstotliwościach a wartości X(m) DFT tworzą zbiór wartości zespolonych, określających amplitudę i fazę każdej ze składowych tworzących tę sumę. * *)Równania (3) i (4) są wyrażeniami matematycznymi tego stwierdzenia. Jeśli wyznaczymy IDFT wstawiając wyniki z przykładu 1 do równania (3), przejdziemy z powrotem z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu i otrzymamy wartości próbek oryginalnego sygnału x(n). x[0]=0,3535, x[1]=0,3535, x[2]= 0,6464, x[3] = 1,0607, x[4]=0,3535, x[5]=-1,0607, x[6] = -1,3535, x[7] = -0,3535 Zauważmy, że wyrażenie dla IDFT, określone równaniem (3), różni się od równania dla DFT jedynie czynnikiem skalującym 1/ oraz zmianą znaku wykładnika. Oprócz różnicy w skalowaniu wartości, wszystkie właściwości dotyczące DFT, jakimi dotąd zajmowaliśmy się, stosują się również do IDEF.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -5- Przeciek DFT Poprzednie przykłady DFT przyniosły poprawne wyniki, ponieważ wejściowe ciągi x(n) stanowiły starannie dobrane przebiegi sinusoidalne. Jak się okazuje, DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące. Właściwość DFT, znana jako przeciek widma, powoduje, że wyniki DFT stanowią jedynie aproksymację widma sygnałów wejściowych poddanych próbkowaniu. Istnieją sposoby minimalizacji przecieku, nie można jednak wyeliminować go całkowicie. DFT ograniczają się do operowania na skończonych zbiorach wartości wejściowych, próbkowanych z częstotliwością f p, dając w wyniku - punktową transformatę, której dyskretne wartości wyjściowe są związane z kolejnymi częstotliwościami analizy f a mf p fa ( m) = ; m= 0,1,2,..., 1 ( 5 ) dla których wyznaczamy kolejne prążki DFT. DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg danych wejściowych zawiera energię rozłożoną dokładnie przy częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy określonych równaniem (5), będących całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej f p /. Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej, np.:1,5 f p / to pomiędzy częstotliwościami mf p /, dla których wyznaczamy wartości DFT, ta składowa sygnału wejściowego ujawni się w pewnym stopniu przy wszystkich wyjściowych wartościach częstotliwości DFT, dla których przeprowadzamy częstotliwościową analizę tego sygnału! Przykład DFT. Wyznaczamy 64 punktową DFT dla ciągu, który otrzymano w wyniku próbkowania 3 okresów sinusoidy (rys.3). Obliczona transformata pokazuje, że ciąg nie zawiera składowej o częstotliwości innej niż m=3. Korelacja ciągu wejściowego oraz składowych sinusoidalnych dla m różnego od 3 jest równa zero.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -6- Rysunek 3. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT, pierwsza połowa wyniku Mamy teraz ciąg wejściowy sinusoidalny mający 3,4 okresu dla 64 próbek. Ponieważ ten ciąg wejściowy nie ma całkowitej liczby okresów w przedziale 64 próbek, energia wejściowa przecieka do wszystkich innych prążków DFT, jak to pokazano na rys. 4(b). Rysunek 4. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT, pierwsza połowa wyniku
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -7- Prążek np. dla m = 4 nie jest równy zeru, ponieważ suma iloczynów ciągu wejściowego i składowej odpowiadającej analizie częstotliwości dla m= 4 nie jest już równa zeru. To jest przeciek powoduje on. że dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest dokładnie równa częstotliwości, dla której jest wyznaczany dany prążek DFT, przecieka do wszystkich innych wyznaczanych prążków DFT. Przeciek jest nie do uniknięcia, kiedy wyznaczamy DFT rzeczywistego ciągu czasowego o skończonej długości. Jak należy przewidywać i minimalizować skutki przecieku? Aby zrozumieć skutki przecieku, wymagana jest znajomość wyrażenia określającego prążki DFT, gdy sygnałem wejściowym DFT jest rzeczywista sinusoida o arbitralnie przyjętej częstotliwości. Dla rzeczywistego przebiegu kosinusoidalnego, zawierającego k okresów w - punktowym wejściowym ciągu czasowym, wartości prążków - punktowej DFT w funkcji indeksu m są aproksymowane za pomocą funkcji sinc X m sin π = 2 π ( k m) ( k m) Użyjemy równania (6), zilustrowanego na rys.5(a), aby określić ile przecieku pojawia się w DFT. ( 6 ) Rysunek 5. Odpowiedź częstotliwościowa DFT dla -punktowego ciągu wejściowego, zawierającego k okresów rzeczywistej kosinusoidy: (a) odpowiedź amplitudowa jako funkcja m- tego prążka, (b) moduł odpowiedzi jako funkcja częstotliwości w Hz)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -8- Krzywą na rys. 5 (a), zawierającą listek główny oraz okresowe szczyty i doliny, znane jako listki boczne, możemy traktować jako zawsze dodatnie widmo - punktowego, rzeczywistego czasowego ciągu kosinusoidalnego, mającego k pełnych okresów w wejściowym - punktowym przedziale czasowym. Wartości wyjściowe DFT są dyskretnymi próbkami, które znajdują się na krzywych z rys. 5: to jest, wynik DFT będzie spróbkowaną wersją tego widma ciągłego. Jeśli ciąg wejściowy ma dokładnie całkowitą liczbę k okresów, przeciek nie pojawia się, ponieważ jeśli kąt w liczniku równania (6) jest niezerową całkowitą wielokrotnością π, to sinus tego kąta jest równy zeru. Jeśli wejściowa sinusoida ma całkowitą liczbę okresów w przedziale próbek sygnału wejściowego w dziedzinie czasu, to wartości wyjściowe DFT są położone na krzywej widma ciągłego dokładnie w punktach przejść przez zero tej krzywej. Przykład: Rzeczywista sinusoida o częstotliwości 8 khz, o amplitudzie 1, została spróbkowana częstotliwością 32kHz. Dla 32 punktowej DFT odległość między prążkami wynosi f p /=1kHz (rys 6.a), dla m=8 prążek jest niezerowy. Rysunek 6. DFT dla 32-punktowego ciągu wejściowego sinusoidalnego (a) częstotliwość sygnału f=8khz, (b) f=8,5khz, (c) f=8,75khz Wartości wyjściowe DFT są próbkami ciągłej krzywej widmowej
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -9- DFT jest okresowa w dziedzinie częstotliwości, pokazuje to rysunek 7. Przy obliczaniu wartości DFT dla coraz większych częstotliwości poruszamy się w kółko. Rysunek 7 64-punktowa DFT, powielenia widma sygnału sinusoidalnego zawierającego 3,4 okresu. Bardziej konwencjonalną metodę prezentacji wartości wyjściowych DFT stanowi odwinięcie widma z rys. 7: Rysunek 8 Dodatkowe powielenia widma dla przykładu 3,4 okresu sygnału w przedziale próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -10- Okienkowanie Skutki przecieku widma DFT są kłopotliwe, ponieważ wartości prążków odpowiadające sygnałom o małej amplitudzie będą zakłócane przez poziomy listków bocznych z sąsiednich prążków odpowiadających sygnałom o dużej amplitudzie. Ważna technika, znana jako okienkowanie jest najbardziej powszechnym sposobem redukcji przecieku. Okienkowanie zmniejsza przeciek DFT przez zminimalizowanie amplitudy listków bocznych funkcji sinc z równania (6). Rysunek 9. Minimalizacja nieciągłości w punktach końcowych przedziału próbkowania: (a) wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania; (b) okno prostokątne odpowiadające przedziałowi próbkowania, (c) iloczyn okna prostokątnego i wejściowej sinusoidy; (d) trójkątna funkcja okna, (e) iloczyn okna trójkątnego i wejściowej sinusoidy; (f) funkcja okna Hanninga, (g) iloczyn okna Hanninga i wejściowej sinusoidy, (h) funkcja okna Hamminga
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -11- Rozważmy sygnał o nieskończonym czasie trwania w dziedzinie czasu, pokazany na rys. 9(a). DFT może być przeprowadzona jedynie na przedziale próbkowania o skończonym czasie, takim jak pokazany na rys. 9(c). Możemy traktować DFT sygnału wejściowego z rys. 9(c) jako DFT iloczynu sygnału wejściowego o nieskończonym czasie trwania z rys. 9(a), i okna prostokątnego, którego amplituda wynosi 1 w przedziale próbkowania pokazanym na rys. 9(b). Za każdym razem, kiedy wyznaczamy DFT ciągu wejściowego o skończonym czasie trwania, w sposób domyślny mnożymy ten ciąg przez okno samych jedynek i mnożymy wartości wejściowe poza tym przedziałem przez zera. Jak się okazuje, kształt funkcji sinc=sin(x)/x jest spowodowany przez to okno prostokątne, ponieważ ciągła transformata Fouriera okna prostokątnego jest funkcją sinc. Aby zminimalizować przeciek widma spowodowany przez te listki boczne musimy zmniejszyć ich amplitudy używając funkcji okna innych niż okno prostokątne. Wyobraźmy sobie, że przemnożyliśmy nasz sygnał wejściowy z rys. 9(a) przez okno trójkątne pokazane na rys. 9(d), aby otrzymać okienkowany sygnał wejściowy pokazany na rys. 9(e). Zauważmy na rys. 9(e), że wartości tego wynikowego sygnału wejściowego stają się takie same na początku i końcu przedziału próbkowania. Zredukowana nieciągłość zmniejsza poziom względnie wysokich składowych częstotliwościowych w całym zbiorze wartości całej DFT; to znaczy. że poziomy prążków DFT listków bocznych mają zmniejszoną amplitudę, dzięki użyciu okna trójkątnego. Istnieją inne funkcje okien, które zmniejszają przeciek nawet bardziej, niż okno trójkątne, takie jak okno Hanninga z rys. 9(f). Iloczyn okna z rys. 9(f) i ciągu wejściowego daje sygnał pokazany na rys. 9(g), stanowiący sygnał wejściowy DFT. Inną powszechnie używaną funkcją okna jest okno Hamminga, pokazane na rys. 9(h). Jest ono podobne do okna Hanninga, ale jest podniesione przy podstawie. Typy okien Zakładając, że oryginalnych próbek sygnału wejściowego jest indeksowanych przez n, gdzie 0 n 1oznaczmy współczynników okna jako w(n); to znaczy, że ciąg wejściowy x(n) jest mnożony przez odpowiadające współczynniki okna w(n), zanim jest wyznaczona DFT. Zatem DFT X w (m) okienkowanego ciągu wejściowego x(n) przyjmuje postać 1 n j2 m X W m = w n x n e π n= 0 ( 7 )
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -12- Okno prostokątne wn = 1, dla n= 0,1, 2,..., 1 (zwane także oknem jednostajnym lub w języku angielskim boxcar) n ; n= 0,1, 2,..., / 2 /2 Okno trójkątne wn = n 2 ; n = /2 + 1, / 2 + 2,..., 1 /2 (bardzo podobne do okien Bartletta i Parzena ) 1 1 n Okno Hanninga: wn = cos 2 π, n= 0,1, 2,..., 1 2 2 (zwane także oknem podniesionego cosinusa. Hanna lub von Hanna) n π Okno Hamminga: wn = 0,54 0, 46cos 2 ; n= 0,1, 2,..., 1 Widmo amplitudowe okna prostokątnego stanowi miarę, jakiej zazwyczaj używamy aby porównać inne okna. Definiuje się logarytmiczną odpowiedź amplitudową jako WdB ( m ) pozwalającą unormować widma różnych okien zgodnie z: W db ( m) ( 0) W m = 20 log 10 W ( 8 ) gdzie W(0) jest wartością maksymalną listka głównego dla m=0.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -13- Szerokości listków głównych różnych okien nie prostokątnych degradują rozdzielczość częstotliwościową okienkowanych DFT prawie dwukrotnie. Jednak istotne korzyści zmniejszenia przecieku zazwyczaj przeważają nad stratą w częstotliwościowej rozdzielczości DFT. Rysunek 10. Moduły odpowiedzi okien w unormowanej skali logarytmicznej Zauważmy zmniejszenie się poziomu pierwszego listka bocznego i gwałtowny spadek listków bocznych okna Hanninga. Okno Hamminga ma nawet mniejsze poziomy pierwszego listka, lecz listki boczne tego okna opadają wolniej w porównaniu z oknem Hanninga. Oznacza to. że przeciek w odległości trzech lub czterech prążków od prążka środkowego jest mniejszy dla okna Hamminga, niż dla okna Hanninga, ale przeciek dla kilkunastu prążków od prążka środkowego jest mniejszy dla okna Hanninga, niż dla okna Hamminga. Przykład: Jeśli zastosujemy okno Hanninga do przykładu 3,4 okresu w przedziale próbkowania, otrzymamy wartości wyjściowe DFT dla tego okienkowanego przebiegu na rys. 11 wraz z wynikami DFT bez okienkowania, tj. przy oknie prostokątnym. Jak oczekiwaliśmy, widmo amplitudowe dla okna Hanninga jest szersze i ma mniejszą wartość maksymalną, lecz przeciek listków bocznych jest zauważalnie zmniejszony w porównaniu z przeciekiem dla okna prostokątnego.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -14- Rysunek 11. Porównanie DFT dla okna prostokątnego i Hanninga Możemy zatem stwierdzić, iż wybór okna stanowi kompromis pomiędzy rozszerzeniem listka głównego, poziomami pierwszego listka bocznego, oraz tego, jak szybko maleją listki boczne wraz ze wzrostem częstotliwości. Użycie każdego szczególnego okna zależy od zastosowań.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -15- Rozdzielczość DFT, uzupełnianie zerami i próbkowanie w dziedzinie częstotliwości Jedną z popularnych metod poprawy rozdzielczości częstotliwościowej DFT, jest metoda znana jako uzupełnianie zerami. Proces ten wymaga dodania do oryginalnego ciągu wejściowego DFT próbek o zerowej wartości w celu zwiększenia całkowitej liczby próbek danych wejściowych. Kiedy próbkujemy funkcję ciągłą w dziedzinie czasu, mającą ciągłą transformatę Fouriera i wyznaczamy DFT tych próbek, wówczas DFT daje w wyniku próbkowaną aproksymację transformaty ciągłej w dziedzinie częstotliwości. Im więcej jest punktów w DFT, tym lepiej wartości wyjściowe tej DFT aproksymują transformatę ciągłą. Rysunek 12. Ciągła transformata Fouriera Chcemy aproksymować transformatę Fouriera funkcji ciągłej f(t) z rys. 12(a). Ten przebieg f(t) rozciąga się w obydwu kierunkach do nieskończoności, lecz przyjmuje wartości niezerowe jedynie w przedziale czasu T sekund. Jeśli niezerowa część tej funkcji czasu jest przebiegiem sinusoidalnym o trzech okresach w sekundach, to moduł jego transformaty Fouriera jest pokazany na rys. 12(b). Jest to funkcja, którą będziemy aproksymować za pomocą DFT.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -16- Rys 13. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości: (a) 16 próbek danych wejściowych i = 16; (b) 16 próbek danych wejściowych, 16 dołączonych zer i = 32; (c) 16 próbek danych wejściowych, 48 dołączonych zer i = 64, (d) 16 próbek danych wejściowych, 112 dołączonych zer i = 128 Jeśli dołączymy 16 próbek zerowych do tego ciągu wejściowego i wyznaczymy 32-punktową DFT, to otrzymamy wynik wyjściowy pokazany po prawej stronie rys. 13(b), gdzie zwiększyliśmy rozdzielczość częstotliwościową DFT dwukrotnie. Ta DFT próbkuje teraz częściej transformatę ciągłą. Dodając kolejne 32 zera i wyznaczając 64-punktową DFT, otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(c). Dodając kolejne 64 zera i wyznaczając 128-punktową DFT, otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(d). Właściwość próbkowania DFT w dziedzinie częstotliwości staje się teraz oczywista.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -17- Dodanie zer do ciągu wejściowego poprawi rozdzielczość wyniku DFT, ale istnieje praktyczna granica określająca, jak wiele możemy zyskać przez dodanie większej liczby zer. W rozważanym przykładzie 128-punktowa DFT pokazuje wystarczająco szczegółową zawartość widma sygnału wejściowego. W praktyce, jeśli chcemy przeprowadzić zarówno uzupełnienie zerami, jak i okienkowanie ciągu próbek danych wejściowych, musimy uważać, aby nie zastosować okna do całego sygnału wejściowego, po dołączeniu próbek o wartościach zerowych. Funkcja okna musi być zastosowana tylko do oryginalnych niezerowych próbek czasowych, w przeciwnym wypadku uzupełnione zera wyzerują się i zniekształcą część funkcji okna, prowadząc do błędnych wyników. DFT funkcji prostokątnych Jednym z najbardziej powszechnych i najważniejszych wyliczeń rozważanych w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów jest DFT funkcji prostokątnej. Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej może być zdefiniowana jako próbek zawierających K próbek o jednostkowej wartości, jak to pokazano na rys. 14. Rysunek 14. Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej Funkcje prostokątną, którą chcemy transformować, stanowi pełny - punktowy ciąg x(n). Ciąg ten nazywamy funkcją prostokątną w postaci ogólnej, ponieważ K jednostkowych próbek zaczyna się przy dowolnej wartości indeksu n 0. - punktowa DFT ma postać: /2 X m = ( ) n= /2 + 1 x n e j2 π nm/
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -18- Przy n niezerowym tylko w zakresie n n n + ( K ) X m 0 0 1 0 ( K 1) n + = 1 e n= n 0 j2 π nm/ dla pomocniczej zmiennej q = 2π m ( K 1) n + 0 jqn jq( n0) jq( n0+ 1) jq( n0+ 2) jq( n0+ K 1) = = + + +... + = X q e e e e e n= n 0 K 1 jq n j q j q j q jq K jq n jpq 0 1 2 ( 1) = + + + + = 0 0 e e e e... e e e Równanie (30) zawiera szereg geometryczny i może być zapisane w zwartej postaci jako p= 0 ( 9 ) K 1 jqk jpq 1 e e = ( 10 ) jq p= 0 1 e Jeśli pomnożymy i podzielimy licznik i mianownik prawej strony równania (31) przez odpowiednie wyrażenia eksponencjalne połówek kąta, to rozdzielimy te wyrażenia eksponencjalne na dwie części i otrzymamy jqk /2 jqk /2 ( e e ) jq/2 jq /2 ( e e ) K 1 jpq jq( K 1)/ e = e ( 11 ) p= 0 jφ jφ e e Z równania Eulera mamy: sin( φ) =. zatem równanie (32) przyjmie postać: j2 K 1 jpq jq( K 1)/2 2jsin ( qk /2) jq( K 1)/2 sin ( qk /2) e = e = e ( 12 ) 2jsin q/2 sin q/2 p= 0 Przywracając naszej pomocniczej zmiennej q jej oryginalną wartość 2 π m/, otrzymujemy Postać ogólna jądra Dirichleta: X m ( π ) 0 sin ( π m/ ) j( 2 π m/ ) n ( K 1 )/2 sin mk / = e ( 14 ) Równanie (14) stanowi ogólne wyrażenie dla DFT funkcji prostokątnej.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -19- DFT symetrycznej funkcji prostokątnej Równanie (14) jest nieco skomplikowane, ponieważ rozważaliśmy oryginalną funkcję x(n) w postaci ogólnej. W praktyce, szczególne przypadki funkcji prostokątnych prowadzą do prostszych wersji równania. Rozważmy symetryczną względem punktu n=0 funkcję prostokątną x(n), jak pokazano na rys. 15, W tym przypadku K próbek jednostkowych zaczyna się w punkcie n= n0 = ( K 1)/2. Zatem podstawienie n0 = ( K 1)/2 w równaniu (14) daje X m ( πm ) ( πm ) j( 2 π m/ ) ( K 1 )/2 ( K 1 )/2 sin πmk / sin πmk / = e = ( 15 ) sin / sin / Rysunek 15. DFT funkcji prostokątnej symetrycznej(a) funkcja oryginalna, (b) część rzeczywista, (c) część urojona, (d) moduł, (e) faza (rd) Opracowano na podstawie: R. G. Lyons Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 1999