Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze tej defujemy ( stdrdowy (eudesowy) oczy sry ( Spełjący stępujące wru: ), y R, y y,,y y ), y, z R + y, z, z + y, z 3) λ R, y R λ, y λ, y ) R,, Przestrzeń ową wyposżoą w oczy sry zywmy przestrzeą utrą Przestrzeń utr jest przestrzeą uormową z ormą,, węc tże przestrzeą metryczą z metryą ρ (, y) y. W przypdu przestrze eudesowej R powyższe wzory przyerją postć, (, y) y ρ ( y ). Wetory, y R są ortogoe (prostopdłe), gdy, y. Nech ( e,..., e ) ędze zą w R Bzę e,..., e ) zywmy zą ortogoą j e,. (,gdy j Bzę ( e,..., e ) zywmy zą ortoormą, j e, e j δ j,gdy j Nech e,..., e ) ędze zą ortogoą. Wówczs żdy wetor moż przedstwć w postc ( α e (czy e j α zywmy współrzędym wetor w ze e,..., e ). Współrzęde te (
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p łtwo zeźć w przypdu zy ortogoej. Rzeczywśce możąc sre wetor przez wetor e otrzymujemy orzystjąc z włsośc oczyu srego ortogoośc z α e, e α e, e α e, e. Stąd, e α,...,. e, e Nech V sp{e,...,e m } ędze podprzestrzeą rozpętą przez perwsze m wetorów zy ortogoej e,..., e ). Dowoy wetor R moż jedozcze przedstwć w postc ( +, gdze V jest rzutem ortogoym wetor podprzestrzeń V, ortogoym do podprzestrze V tz. + (tw. Ptgors), jest wetorem y d żdego y V. Podto prwdzw jest rówość sąd tychmst otrzymujemy. Rzut ortogoy V wetor V podprzestrzeń V m pewą optymą włsośćmowce rg m y V y. tz. spośród wszystch możwych przedstweń wetor y + ( y ), y V w postc sumy wetor y z podprzestrze V jego uzupełe -y orm wetor uzupełjącego -y jest mm gdy wetorem y z przestrze V jest rzut ortogoy wetor podprzestrzeń V. Poprzez ogę wprowdzmy powyższe pojęc w pewej przestrzech fucyjej. Nech V R[,] ędze przestrzeą rzeczywstych fucj cłowych w sese Rem przedze [,]. V jest rzeczywśce przestrzeą ową- fucje umemy dodwć możyć je przez sry. W przestrze tej zdefujemy oczy sry wzorem f g f ( ) g( ) d, (Uwg: oczy fucj R cłowych jest fucją R cłową).
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Łtwo zuwżyć, że są spełoe wszyste włsośc ( - ) oczyu srego oprócz drugej częśc putu ). Z rówośc f, f f ( ) d e wy że f. Woec tego utożsmmy fucje różące sę zorze mry. Forme rozwżmy sy rówowżośc recj zdej wzorem f g ( f ( ) g( ) ) d. Od tego mometu przestrzeń V, to przestrzeń s rówowżośc fucj cłowych w sese Rem. Przestrzeń V jest przestrzeą uormową z ormą f f, f f ( ) d. Przestrzeń V z powyższą ormą zywć ędzemy przestrzeą L [,]. Uwg. W podręczch zy przestrzeń L [,] rozum jest zwye jo przestrzeń s rówowżośc fucj cłowych w sese Leesgue.. Cąg e (), e (), e 3 (),... fucj ędących eemetm (wetorm) przestrze V zywmy ortogoym jeś e, e j e ( ) e j ( ) d j. Szereg fucyjy e ( ), gdze jest cągem czowym e (), e (), e 3 (),... jest cągem ortogoym, zywmy szeregem ortogoym Dej fucj f V L [,] możemy przyporządowć szereg f e ( ), gdze współczy zde są wzorm Euer-Fourer f, e. e, e Pojw sę ture pyte: J eży rozumeć zeżość szeregu ortogoego do czego jest zeży szereg ortogoy? Zeżość szeregu do sumy S() moż rozumeć w sese ormy L [,] (tzw. zeżość f, e średowdrtow) tz. m S e ( ) e, e, e e gwrtuje to zeżośc putowej 3
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Zeżość szeregu do sumy S() moż rozumeć tże w sese zeżośc putowej szeregu, e wówczs może ozć sę, że sum szeregu e jest cłow w sese Rem czy jest eemetem spoz przestrze L [,] D żdej fucj f V L [,] prwdzw jest stępując erówość Besse f, e e, e f (odpowed erówośc Jeże d żdej fucj f V L [,] prwdzw jest rówość Prsev f, e e, e f wyjącej z tw. Ptgors). to ułd ortogoy zywmy zupełym w V L [,]. Ozcz to, że jedyą ( z dołdoścą do zoru mry ) fucją ortogoą do wszystch fucj ułdu ortogoego jest fucj f Tw. Jeże ułd ortogoy jest zupeły, to szereg ortogoy dej fucj f V L [,] jest zeży do tej fucj w sese ormy L. Szereg Fourer Rozwżmy przestrzeń V L [-,]. Ułd trygoometryczy, cos, s, cos, s,... jest ułdem ortogoym zupełym w V L [-,]. Kżdej fucj f V L [,] odpowd jej szereg ortogoy f + cos + s,gdze f ( ) cos d, f ( )s d zwy szeregem Fourer zeży średowdrtowo do fucj f. Nstępujące twerdzee Drchet podje wrue wystrczjący putowej zeżośc szeregu dej fucj f do tej fucj. Tw. Jeże fucj f jest przedzłm mootocz w [-, ] fucj f jest cągł z wyjątem w [-, ] z wyjątem sończoej ośc putów w tórych m ecągłośc I-go rodzju w żdym puce ecągłośc spełoy jest wrue f ( ) ( f ( ) f ( + + f ) f ( ) ( f ( ) f ( )) ( + + ))
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p to f ( ) + cos + s [-, ]. Podto, jeś f jest oresow o orese to powyższ rówość jest prwdzw R. Wos. jeś f jest przyst, to jeś f jest eprzyst, to Ułd trygoometryczy jest zupeły węc prwdzw jest rówość Prsev f ( ) d + ( + ). ; < Przyłd. D fucj f()sg() ; oreśoej przedze [-,] zeźć jej szereg ; > Fourer. Do jej fucj jest putowo zeży te szereg. f ( ) + cos + s, f ( ) cos d, f d ( ) s. Poewż f jest eprzyst, to., f ( )s d s d ( cos ) ( ), sg() Szereg Fourer s( ),, < < s( ) jest putowo zeży do fucj f ( ),., < <, Jeś fucję oresowo przedłużymy cłą oś czową, to szereg Fourer jest zeży do przedłużoej fucj cłej os R. Wos uocze. Ustjąc rgumet otrzymujemy (espodzewe) sumę szeregu + ) s( ) ( ) f (, stąd + ( ). 6 Z rówośc Prsev otrzymujemy podto, ( ) stąd ( ). 8 5
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Uzupełć. Z uwg tożsmość cos + s A s( + ϕ ) szereg Fourer + cos + f ( ) s moż przedstwć w postc f ( ) + A s( ) + ϕ Wdmo mptudowe fzowe Zsd ozcj (zchowe sę szeregu Fourer fucj f w puce zeży wyłącze od zchow sę fucj f dowoe młym otoczeu putu ). 6