Mędzyarodowa Norma Ocey Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets-Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU http://physcs.st./gov/ucertaty Wyrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk. Warszawa, Główy Urząd Mar 1999 H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa 1999 A.Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str.38-47 A.Zęba, Pracowa Fzycza WFTJ, Skrypt Uczelay SU 164, Kraków 00 1 POMIAR Pomary w laboratorum moża podzelć a pomary welkośc: prostych złożoych Przykład 1: Pomar długośc c przymarem metrowym, pomar okresu drgań wahadła pomary welkośc prostych pomary bezpośrede Wyzaczae przyspeszea zemskego a podstawe wzoru l T g - pomar welkośc złożoej 1
W trakce pomaru uzyskujemy wartośc różące sę od przewdywań teor. Źródłem rozbeżośc mędzy teorą eksperymetem są edoskoałośc: -osoby wykoującej pomar, -przyrządów pomarowych, -obektów merzoych Gdy dośwadczee staje sę doskoalsze, rozbeżośc te maleją. Maleje błąd pomaru, epewość pomaru. 3 Wyk pomaru jest zawsze obarczoy błędem po przeprowadzeu odpowedej aalzy błędów podajemy go w jedej z astępujących postac: g F (98 3) 10 C 9,866(8)m/ s Przykład : Załóżmy, że przy wyzaczau rówoważka elektrochemczego pewego perwastka uzyskalśmy astępujące lczby: k=0,0010963 g/c Jak podać wyk? Δk=0,0000347 g/c 3 cyfry zaczące cyfry ezaczące Odp. k= (0,00110 0,00004) g/c lub k= 0,00110(4) g/c 4
Nepewość a błąd pomaru Błąd bezwzględy pojedyczego pomaru: 0 (1) wartość zmerzoa, 0 wartość rzeczywsta Błąd względy: 0 () Uwaga: wartośc rzeczywśce welkośc merzoej zazwyczaj e są zae 5 Nepewość Welkośc określoe wzoram (1) () są pojedyczą realzacją zmeej losowej e wchodzą do teor epewośc. W praktyce e zamy wartośc rzeczywstych welkośc merzoych szacujemy epewośc pomarowe wykające ze statystyczych praw rozrzutu pomarów. Nepewość pomaru jest zwązaym z rezultatem pomaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. 6 3
Nepewość u (ag. ucertaty) posada wymar, tak sam jak welkość merzoa Symbolka: u lub u() lub u(stężee NaCl) Nepewość względa u r () to stosuek epewośc (bezwzględej) do welkośc merzoej: u( ) u r ( ) Nepewość względa jest welkoścą bezwymarową może być wyrażoa w % 7 Nepewość Isteją dwe mary epewośc pomaru: epewość stadardowa u() epewość maksymala Δ 0 -Δ 0 +Δ 0 0 -u() 0 +u() 8 4
Nepewość stadardowa Jest marą dokładośc pomaru ajpowszechej stosowaą uzawaą obece za podstawową. 1. Rezultat pomaru jest zmeą losową, której rozrzut wokół wartośc średej charakteryzuje parametr zway odchyleem stadardowym lm. Dokładej wartośc odchylea stadardowego e zamy. Nepewość stadardowa jest jego ezbyt dokładym oszacowaem (estymatorem, oceą). 9 Nepewość maksymala W tym przypadku staramy sę określć przedzał 0 - Δ < < 0 + Δ w którym meszczą sę wszystke wyk pomaru, aktuale wykoae przyszłe. Jest marą determstyczmą, gdyż zakłada, że moża określć przedzał welkośc merzoej, w którym a pewo zajdze sę welkość rzeczywsta. Zaleca sę obece epewość maksymalą specyfkowaą przez produceta zameać a epewość stadardową wg wzoru: u() 3 10 5
Podzał błędów Wyk pomarów podlegają pewym prawdłowoścom, tzw. rozkładom typowym dla zmeej losowej. Z tego względu błędy dzelmy a: Błędy grube (pomyłk), które ależy elmować Błędy systematycze, które moża ograczyć udoskoalając pomar Błędy przypadkowe, które podlegają prawom statystyk rachuku prawdopodobeństwa, wykają z welu losowych przyczyków e dają sęwyelmować 11 Krzywe rozkładu błędu Φ() () Φ() 0 =15 = =5 0 0 = błąd systematyczy błąd przypadkowyrozkład Gaussa 1 6
Błędy grube: Są wykem pomyłk eksperymetatora p. przy odczytywau wartośc merzoych, przy przelczau jedostek etc., eprawdłowego stosowaa przyrządu pomarowego, poważego euśwadomoego uszkodzea przyrządu pomarowego, zastosowaa eodpowedej metody pomaru lub ewłaścwych wzorów teoretyczych do opracowaa wyków. Fakt zastea błędu grubego ależy sobe jak ajszybcej uśwadomć a wyk obarczoy takm błędem wykluczyć z dalszych aalz. Jeśl to możlwe, pomar powtórzyć. 13 Błędy systematycze zawsze w te sam sposób wpływają a wyk pomarów wykoaych za pomocą tej samej metody aparatury pomarowej. Mmala wartość błędu systematyczego jest określoa dokładoścą stosowaego przyrządu (lub klasą w przypadku aalogowych merków elektryczych). Wprowadza sę pojęce dzałk elemetarej czyl wartość ajmejszej dzałk (odległość mędzy sąsedm kreskam a skal przyrządu lub ułamek tej odległośc określoy klasą przyrządu), która określa dokładość odczytu. 14 7
Źródłem błędu systematyczego są: skale merków (p. ewłaścwe ustawee zera ), euśwadomoy wpływ czyków zewętrzych (temperatura, wlgotość) a wartość welkośc merzoej, ewłaścwy sposób odczytu (błąd paralaksy) lub pomaru, przyblżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczea welkośc złożoej. Błędy systematycze czasam moża ograczyć wprowadzając poprawk, p. r F 6 v(1,4 ) R 15 Błędy przypadkowe: występują zawsze w eksperymece, lecz ujawają sę gdy welokrote dokoujemy pomaru przyrządem, którego dokładość jest bardzo duża a błędy systematycze wykające z ych przyczy są bardzo małe. Wykają oe z własośc obektu merzoego (p. wahaa średcy drutu a całej jego długośc), własośc przyrządu pomarowego (p. wskazaa przyrządu zależą od przypadkowych drgań budyku, fluktuacj cśea czy temperatury, docsku dla suwmark), lub mają podłoże fzjologcze (refleks eksperymetatora, subektywość ocey maksmum atężea dźwęku czy rówomerośc ośwetlea poszczególych częśc pola wdzea) 16 8
Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą eksperymetow, awet jeśl e błędy zostaą wyelmowae. W przecweństwe do błędu systematyczego, ch wpływ a wyk ostateczy pomaru moża ścśle określć. 17 Zadae domowe-1 W pewym eksperymece wyzaczao przyspeszee zemske g merząc okres T długość L c wahadła matematyczego. Długość c L zmeao w pewym zakrese otrzymao astępujące rezultaty: Nr pomaru L (m) T (s) 1 0,6 1,4 1,5 1,9 3,0,6 4,6,9 5 3,5 3,4 Jede z wyków wyraźe odbega od pozostałych? O czym to śwadczy? 18 9
Typy ocey epewośc wg owej Normy Typ A Metody wykorzystujące statystyczą aalzę ser pomarów: wymaga odpowedo dużej lczby powtórzeń pomaru ma zastosowae do błędów przypadkowych Typ B Opera sę a aukowym osądze eksperymetatora wykorzystującym wszystke formacje o pomarze źródłach jego epewośc stosuje sę gdy statystycza aalza e jest możlwa dla błędu systematyczego lub dla jedego wyku pomaru19 TYP A 0 10
Przykład 3 : Sera wyków (próba) 1,,. obarczoych epewoścą przypadkową jest duża gdy 30< 100. W próbe takej wyk sę powtarzają: k jest lczbą pomarów, w których wystąpł wyk k, k / jest częstoścą występowaa wyku k k k / 5, 1 0,011 5,3 1 0,011 5,4 0,01 5,5 4 0,043 5,6 7 0,075 5,7 10 0,106 5,8 14 0,149 5,9 16 0,170 6,0 13 0,138 6,1 1 0,18 6, 6 0,064 6,3 4 0,043 6,4 3 0,03 6,5 1 0,011 Suma 94 1 Opracowae ser pomarów bezpośredch dużej próby Średa arytmetycza k 16 14 1 10 8 Hstogram =5,9 6 4 Odchylee stadardowe 0 5, 5,4 5,6 5,8 6,0 6, 6,4 k σ=0, u( ) 1 11
Φ() Rozkład ormaly Gaussa Gęstość prawdopodobeństwa wystąpea welkośc lub jej błędu podlega rozkładow Gaussa ( ) 1 ep ( 0 ) 0 jest wartoścą ajbardzej prawdopodobą może być ą średa arytmetycza, jest odchyleem stadardowym, jest waracją rozkładu Nepewość stadardowa średej u( ) ( 1) 3 Rozkład ormaly Gaussa 68.% pow. σ 95.4 % 99.7 % W przedzale 0 - < < 0 + zawera sę 68. % (/3), w przedzale 0 - < < 0 + zawera sę 95.4 % w przedzale 0-3 < < 0 +3 zawera sę 99.7 % wszystkch wyków 4 1
Rozkład ormaly Gaussa 3 () 0 =15 = =5 1 0 0 5 10 15 0 5 30 Pomar o wększym σ charakteryzuje sę wększym rozrzutem wyków wokół wartośc średej a zatem mejszą precyzją 5 Zadae domowe- Klkakrote, w tych samych warukach przeprowadzoo pomar apęca U R a rezystorze używając do tego merka cyfrowego. Otrzymao astępujące rezultaty:,31v;,35v;,6v;,v;,30v;,7v;,9v;,33v;,5v;,9v z dokładoścą 0,01V. a) Określ wartość oczekwaą U R a podstawe średej z tych wyków. b) Jaką wartość epewośc systematyczej moża przypsać tym wykom. c) Zakładając, że fluktuacje wyków mają charakter statystyczy, wyzacz epewość przypadkową jako odchylee stadardowe. d) Gdybyśmy wedzel, że rzeczywsta wartość U R wyos,3v co moglbyśmy powedzeć o charakterze błędów w tym dośwadczeu. 6 13
TYP B 7 Dla ocey typu B wykorzystać moża m..: dae z pomarów poprzedch, dośwadczee wedzę a temat przyrządów obektów merzoych, formacje produceta przyrządów, epewośc przypsae daym zaczerpętym z lteratury Gdy formacja o pomarze źródle jego epewośc jest dobra, dokładość ocey typu B jest porówywala z dokładoścą ocey typu A. 8 14
y Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykającej ze skończoej dokładośc przyrządu. Przykład 4: Ocea epewośc typu B dla pomaru długośc wahadła. Długość wahadła merzymy przymarem mlmetrowym uzyskując wartość L=140 mm. Przyjmujemy epewość rówą dzałce elemetarej (dzałka skal 1mm). A zatem u(l)=1 mm, u r (L)=u(L)/L=1/140, błąd procetowy 0,7% 9 NIEPEWNOŚĆ WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ PRAWO PRZENOSZENIA BŁĘDU 140 10 100 80 60 u(y) fukcja y = f() stycza dy/d u(y) dy u() d 40 0 u() 0 0 4 30 15
Metoda różczk zupełej Dla welkośc złożoej y=f( 1,,... ) gdy epewośc maksymale 1,,... są małe w porówau z wartoścam zmeych 1,,... epewość maksymalą welkośc y wylczamy z praw rachuku różczkowego: y y y 1... 1 y (3) 31 Prawo przeoszea epewośc Nepewość stadardową welkośc złożoej y=f( 1,,... ) oblczamy z tzw. prawa przeoszea epewośc jako sumę geometryczą różczek cząstkowych u y c( y) u( 1 ) u( )... u( 1 y y ) u cr ( y) uc( y) y 3 16
Przykład 5 Z pomarów U I wylczamy R U / I Nepewośc maksymala oporu (wg. wzoru 3) R R U U R I I R 1 U I R I U I epewość bezwzględa epewość względa R 1 U U I I R U I R U I I Na wartośc U I mają wpływ dokładośc przyrządów. 33 Dla merków aalogowych korzystamy z klasy dokładośc przyrządu klasa zakres U 100 Dla merków cyfrowych epewość jest ajczęścej podawaa w strukcj obsług jako zależa od welkośc merzoej zakresu pomarowego z c1 cz p. multmetr c 1 =0.%, c =0.1% przy pomarze oporu R=10 k a zakrese z = 0 k da epewość R=0.04 k, tj. rówowartość 4 dzałek elemetarych 34 17
Dawej uważao, że marą błędu systematyczego może być tylko epewość maksymala. Nowa Norma traktuje błąd systematyczy jako zjawsko przypadkowe, gdyż e zamy a pror jego welkośc zaku. Norma zaleca stosowae epewośc stadardowej u. A zatem dla przykładu omawaego: u( R) R 3 35 Zadae domowe-3 W pewym eksperymece wyzaczoo przyspeszee zemske g merząc okres T długość L odpowedego wahadła matematyczego. Wyzaczoa długość wahadła wyos 1.135 0.0014 m. Nezależe określoa epewość względa pomaru okresu wahadła wyos 0,06%, tj. u(t) 4 u r (T) 6 10 T Oblczyć względą epewość pomarową przyspeszea zemskego lub epewość procetową zakładając, że epewośc pomarowe L T są ezależe mają charakter przypadkowy. 36 18
Zasady rysowaa wykresów Czy te wykres jest arysoway zgode z zasadam? 1. Należy wyraźe zazaczyć pukty eksperymetale!!! 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 0 40 80 10 160 00 40 80 30 37. Trzeba aeść błąd pomaru 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 0 40 80 10 160 00 40 80 30 38 19
3. Dobrać zakresy os współrzędych odpowedo do zakresu zmeośc daych pomarowych!!! 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 0 40 80 10 160 00 40 80 30 39 4. Właścwe opsać ose współrzędych dobrać skalę, tak aby łatwo moża było odczytać wartośc zmerzoe. 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 160 00 40 80 30 co jest a osach??? 40 0
cm cm 5. Ne łączyć puktów eksperymetalych lą łamaą!!! Jeśl zay jest przebeg teoretyczy to dokoać dopasowaa teor do dośwadczea (przeprowadzć ftowae) 180 150 10 90 60 160 00 40 80 30 T [K] 41 6. Zadbać o aspekt estetyczy wykresu (ops, zamkęce ramką, tp.) 180 150 dae eksperymetale dopasowae 10 90 60 160 00 40 80 30 T [K] 4 1
cm 180 150 Wykres 1 Rezystywosc probk B w fukcj temperatury T dae eksperymetale dopasowae 10 90 60 160 00 40 80 30 T [K] 43 Metoda ajmejszych kwadratów Regresja lowa S y a b m 44
3 45 Waruek mmum fukcj dwu zmeych: 0 0 b S a S Otrzymuje sę układ rówań lowych dla ewadomych a b y b a y b a Rozwązując te układ rówań otrzymuje sę wyrażea a a b W y y b W y y a 46 Z praw statystyk moża wyprowadzć wyrażea a odchylea stadardowe obu parametrów prostej: W a u b u W S a u ) ( ) ( ) (
l (U/U o ) NapeceU(V) Learyzacja daych eksperymetalych 1,0 0,8 0,6 U(t) =Uoep (-t/ 0,4 0, 0,0 0 10 0 30 40 50 60 czas t (ms) 47 Dopasowae prostej wykoujemy po przekształceu daych do postac l(u/u o )=-t/τ 0 eksperymet ft z =17, ms - -4 0 10 0 30 40 50 60 czas t (s) 48 4
Zadae domowe-4 W pewym eksperymece wyzaczao pewą welkość fzyczą będącą achyleem prostej y() = b + a. Uzyskae wyk pomarów zestawoo w poższej tabel: (K) y (μm) (K) y (μm) (K) y (μm) 0,8 70, 110 3,6 130 1,0 110,6 150 3,8 170 1, 130,8 10 4, 160 1,6 100 3,0 130 4,4 190 1,8 130 3,4 160 5,0 160 49 Zadae domowe-4 (cd) Narysuj wykres y() (bez pomocy programów ftujących), zazaczając pukty eksperymetale prowadząc trzy le proste: a) lę, która wydaje sę ajlepej przechodzć przez pukty eksperymetale b) lę, który ma ajwększe (ale cągle rozsąde) achylee c) lę, która ma ajmejsze możlwe achylee Wykorzystaj wyzaczoe achylea prostych ch przecęca z osam do określea epewośc wyzaczaych welkośc a b. Jest to tzw. metoda grafcza. 50 5
Zadae domowe-4 (cd) Następe użyj metody regresj lowej, aby dopasować lę prostą do zależośc y(). Wykorzystaj podae a wykładze wzory. Na podstawe dopasowaych parametrów achylea epewośc achylea prostej określ współczyk a oraz jego epewość. Zastaów sę czy metoda grafcza daje rówe dobre rezultaty jak metoda regresj lowej. Jake są korzyśc wady stosowaa każdej z tych metod? 51 PODSUMOWANIE Każdy pomar w laboratorum jest obarczoy epewoścą pomarową, którą eksperymetator mus określć zgode z pewym zasadam. W perwszej kolejośc ależy przeaalzować źródła błędów, pamętając, aby wyelmować wyk obarczoe błędem grubym. W laboratorum studeckm błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe. Welokrote powtarzae pomarów, gdy domuje błąd systematyczy, e ma sesu. W takm przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomarów w tych samych warukach w celu sprawdzea powtarzalośc. 5 6
Gdy błąd przypadkowy domuje w eksperymece, ależy sprawdzć czy rozkład wyków może być opsay fukcją Gaussa czy też ależy spodzewać sę ego rozkładu. W tym celu dokoujemy welokrotego (p. 100 razy) pomaru w tych samych warukach, oblczamy średą warację rozkładu, rysujemy hstogram, etc.) Jako marę epewośc stosujemy raczej epewość stadardową, rzadzej epewość maksymalą. W przypadku welkośc złożoej, stosujemy prawo przeoszea błędu. Staramy sę przeprowadzć aalzę epewośc welkośc złożoej tak, aby uzyskać formacje dotyczące wag przyczyków, jake woszą do całkowtej epewośc pomary poszczególych welkośc prostych. W tym celu ależy aalzować epewośc względe. 53 Ważym elemetem sprawozdaa z przebegu eksperymetu ( to e tylko w laboratorum studeckm) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgode z dobrym zasadam, pamętając o jedozaczym opse. Jeżel zae są podstawy teoretycze badaego zjawska, a wykrese zameszczamy krzywą teoretyczą (la cągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (doberamy odpowede symbole aosmy epewośc eksperymetale). Możemy wcześej dokoać dopasowaa parametrów przebegu teoretyczego w oparcu o zae metody ftowaa Zawsze, gdy to możlwe, dokoujemy learyzacj daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l (), lub log y vs. log, lub y vs. 1/ tp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresj lowej 54 7