Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) +... + a n 1 y (x) + a n y(x) = f(x), (1) gdzie wspóªczynniki a 0, a 1,... a n = const., a funkcja f jest ci gªa w pewnym przedziale (a, b) nazywamy równaniem ró»niczkowym liniowym n tego rz du o staªych wspóªczynnikach. Równanie (1), podobnie jak to byªo w przypadku równania liniowego pierwszego rz du, nazywamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) 0, w przeciwnym przypadku niejednorodnym. Tutaj te» znalezienie caªki ogólnej równania niejednorodnego (CORN) (1) opiera si na zasadzi superpozycji tzn. y(x) = y 0 (x)+ỹ(x), gdzie y 0 (x) to caªka ogólna równania jednorodnego (CORJ), a ỹ(x) to caªka szczególna równania niejednorodnego (CSRN). a) Rozwi zanie równania jednorodnego: Denicja 2. Równanie a 0 y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) +... + a n 1 y (x) + a n y(x) = 0 (2) L(λ) a 0 λ n + a 1 λ n 1 + a n λ n 2 +... + a n 1 λ + a n = 0 (3) nazywamy równaniem charakterystycznym równania jednorodnego (2). Fakt 1. Funkcja e λx jest rozwi zaniem równania jednorodnego (2) wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem równania L(λ) = 0. Twierdzenie 2. Niech wszystkie pierwiastki λ 1, λ 2,..., λ n równania charakterystycznego (3) s ró»ne tj. λ i λ m dla ka»dego i m, 1 i, m n. Wtedy dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (2) ma posta : n y 0 (x) = C k e λkx, () k=1 gdzie C 1,..., C n = const. Ponadto dowolna funkcja postaci () jest rozwi zaniem równania (2). Uwaga 3. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = a + bi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz»ony tzn. λ m = a bi. Ponadto mo»na wykaza,»e gdzie A i, A m, C i, C m = const.. A i e (a+bi)x + A m e e(a bi)x = e ax( C i sin bx + C m cos sin bx ), Twierdzenie. Niech λ 1, λ 2,... λ s b d ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego (3) krotno±ci odpowiednio k 1, k 2,..., k s, gdzie k 1, k 2,..., k s < n oraz k 1 + k 2 +... + k s = n. Wówczas dowolne rozwi zanie równania jednorodnego (2) ma posta : s y 0 (x) = P j (x)e λjx, (5) j=1 gdzie P j (x) jest wielomianem stopnia (k j 1). Ponadto dowolna funkcja postaci (5) jest rozwi - zaniem równania (2). 1

Uwaga 5. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = α+βi jest k krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz»ony λ m = α βi o tej samej krotno±ci. Ponadto mo»na wykaza,»e P i (x)e (α+βi)x +P m (x)e (α βi)x = e αx( C 1 +C 2 x+...+c k x k) sin βx+e αx( c 1 +c 2 x+...+c k x k) cos sin βx. W przypadku szczególnym tj. równania ró»niczkowego drugiego rz du postaci ay (x) + by (x) + cy(x) = 0 (6) rozwi zanie równania jednorodnego zale»y od znaku wyró»nika = b 2 ac jego równania charakterystycznego aλ 2 + bλ + c = 0 : 1. je»eli > 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki rzeczywiste λ 1, λ 2 i wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x ; (7) 2. je»eli = 0, to równanie (6) posiada jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty λ i wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = (C 1 x + C 2 )e λx ; (8) 3. je»eli < 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki zespolone (sprz»one ) λ 1 = α + βi, λ 2 = α βi, wówczas y 0 (x) jest postaci: y 0 (x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x co na mocy wzoru e (α±βi)x = e αx (cos βx ± i sin βx) sprowadzamy do: y 0 (x) = e αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx). (9) b) Rozwi zanie równania niejednorodnego (metoda przewidywa«) Rozwa»amy równanie ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu: y (n) (x) + a 1 y (n 1) (x) + a 2 y (n 2) (x) +... + a n 1 y (x) + a n y(x) = P m (x)e µx. (10) Aby znale¹ (CSRN) ỹ(x) b dziemy stosowa metod przewidywa«opisan w nast puj cych dwóch twierdzeniach: Twierdzenie 6. (przypadek nierezonansowy) Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) tzn. (CSRN) równania (10) jest postaci: µ {λ 1, λ 2,..., λ n }, to ỹ(x) = Q m (x)e µx. Twierdzenie 7. (przypadek rezonansowy) Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k n) równania charakterystycznego (3), to (CSRN) równania (10) jest postaci: ỹ(x) = x k Q m (x)e µx. 2

Lp. posta funkcji f(x) przewidywanie ỹ(x) posta funkcji ỹ(x) warunek Q n (x) λ 1 0, λ 2 0 1. P n (x) x Q n (x) λ 1 = 0, λ 2 0 x 2 Q n (x) λ 1 = λ 2 = 0 2. Ae αx x Be αx λ 1 = α, λ 2 α Be αx λ 1 α, λ 2 α x 2 Be αx λ 1 = λ 2 = α e αx Q n (x) λ 1 α, λ 2 α 3. e αx P n (x) x e αx Q n (x) λ 1 = α, λ 2 α x 2 Q n (x) λ 1 = λ 2 = α. A cos βx + B sin βx C cos βx + D sin βx λ 1,2 ±βi x (C cos βx + D sin βx) λ 1,2 = ±βi 5. e αx [A cos βx + B sin βx] e αx [C cos βx + D sin βx] λ 1,2 α ± βi x e αx [C cos βx + D sin βx] λ 1,2 = α ± βi 6. P n (x) cos βx + W m (x) sin βx Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx λ 1,2 ±βi x [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 = ±βi 7. e αx [P n (x) cos βx + W m (x) sin βx] e αx [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 α ± βi x e αx [Q l (x) cos βx + R l (x) sin βx] λ 1,2 = α ± βi Tablica 1: Tablica przewidywa«(csrn) drugiego rz du W powy»szych dwóch twierdzeniach Q m (x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóªczynnikach. Rozwa»my dokªadniej przypadek szczególny tj. równania drugiego rz du: ay + by + cy = P m (x)e µx. Niech λ 1, λ 2 b d pierwiastkami równania charakterystycznego aλ 2 + bλ + c = 0 oraz µ = α ± βi, gdzie α, β R. Wówczas na podstawie twierdze«6, 7 rozwi zania ỹ(x), w zale»no±ci od przypadku, poszukujemy zgodnie z tablic 1 (gdzie l = max{n, m}). Przykªad 1. Rozwi» równanie: x (V ) + x (IV ) x x = 0. (11) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 5 + λ λ 3 λ 2 = 0 λ 2 (λ 2 1)(λ + 1) = 0. Pierwiastki to λ 1,2 = 0, λ 3, = 1, λ 5 = 1. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: wi c Przykªad 2. Rozwi» równanie: y 0 (x) = (c 1 + c 2 x)e 0 x + (c 3 + c x)e x + c 5 e x, y 0 (x) = c 1 + c 2 x + (c 3 + c x)e x + c 5 e x, x (IV ) x = 0. (12) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 1 = 0 (λ 1)(λ + 1)(λ + i)(λ i) = 0. 3

Pierwiastki to λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3, = ±i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: Przykªad 3. Rozwi» równanie: y 0 (x) = c 1 e x + c 2 e x + c 3 sin x + c cos x. x (V I) + 6x = 0. (13) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 6 + 6 = 0 λ = 6 6. n Korzystaj c ze wzoru na pierwiastki w k liczby zespolonej z o argumencie ϕ : w k = n ( z cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1, n n dostajemy pierwiastki λ 1,2 = ±2i, λ 3, = 3 ± i, λ 5,6 = 3 ± i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 sin 2x + c 2 cos 2x + (c 3 sin x + c cos x)e 3x + (c 5 sin x + c 6 cos x)e 3x. Przykªad. Rozwi» równanie: x (V ) + 8x + 16x = 0. (1) Rozwi zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne: λ 5 + 8λ 3 + 16λ = 0 λ(λ 2 + ) 2 = 0. St d dostajemy pierwiastki λ 1 = 0, λ 2,3 = 2i, λ,5 = 2i. Zatem, na mocy twierdze«2 i (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 e 0 x + (c 2 + c 3 x) cos 2x + (c + c 5 x) sin 2x, wi c Przykªad 5. Rozwi» równanie ró»niczkowe y 0 (x) = c 1 + (c 2 + c 3 x) cos 2x + (c + c 5 x) sin 2x. y y 5y = x 2 e 3x. (15) Rozwi zanie: Jest to niejednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x 2 e 3x. Najpierw wyznaczamy (CORJ). Rozpatrujemy równanie jednorodne: y y 5y = 0. Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 2 λ 5 = 0. Szukamy pierwiastków: λ 1 = 5, λ 2 = 1. Zatem, mamy przypadek (7), wobec tego (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 e 5x + c 2 e x. (16)

Teraz na podstawie Twierdze«6, 7 lub Tablicy 1 nale»y przewidzie posta ỹ(x). Tutaj mamy przypadek 3, ponadto poniewa» α = 3, λ 1 3 i λ 2 3, to Liczymy pierwsz i druga pochodn ỹ(x) : ỹ(x) = (Ax 2 + Bx + C)e 3x. (17) ỹ (x) =(2Ax + B)e 3x + 3(Ax 2 + Bx + C)e 3x = (3Ax 2 + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e 3x ỹ (x) =(6Ax + 2A + 3B)e 3x + 3(3Ax 2 + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e 3x = =(9Ax 2 + 12Ax + 9Bx + 2A + 6B + 9C)e 3x. (18) Podstawiaj c (17), (18) do równania (15), mamy: (9Ax 2 +12Ax+9Bx+2A+6B+9C)e 3x (3Ax 2 +2Ax+3Bx+B+3C)e 3x 5(Ax 2 +Bx+C)e 3x = x 2 e 3x Dziel c przez e 3x i przeprowadzaj c redukcje otrzymujemy: 8Ax 2 + Bx 8Bx + 2A + 2B 8C = x 2. St d porównuj c wspóªczynniki po prawej i lewej stronie równania otrzymujemy ukªad na wyznaczenie A, B, C: x 2 : 8A = 1 x 1 : A 8B = 0 x 0 : 2A + 2B 8C = 0. Rozwi zuj c dostajemy: A = 1, B = 1, C = 3, wi c 8 16 6 ( ỹ(x) = 1 8 x2 1 16 x 3 ) e 3x. (19) 6 Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl dniaj c (16) oraz (19) caªka ogólna równania (15) ma posta : ( 1 y(x) = y 0 (x) + ỹ(x) = c 1 e 5x + c 2 e x 8 x2 + 1 16 x + 3 ) e 3x, c1,c 6 2 R. Przykªad 6. Rozwi» równanie: y + y = x cos 2x. (20) Rozwi zanie: Równie» jest to niejednorodne równanie drugiego rz du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x cos 2x. Aby wyznaczy (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne: y + y = 0. Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 2 + = 0. Wyró»nik = 16 = i 2, zatem równanie posiada pierwiastki zespolone. Wynosz one: λ 1,2 = ±2i. Zatem, mamy przypadek (9) z α = 0, β = 2, wobec tego (CORJ) jest postaci: y 0 (x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x. (21) 5

Teraz na podstawie Twierdze«6, 7 (lub tablicy 1: mamy przypadek 6, ponadto poniewa» β = 2, λ 1,2 = ±βi) ỹ(x) ma posta ỹ(x) = x(ax + B) sin 2x + x(cx + D) cos 2x = ỹ = (Ax 2 + Bx) sin 2x + (Cx 2 + Dx) cos 2x. (22) Liczymy pierwsz i druga pochodn ỹ(x) : ỹ (x) =(2Ax + B) sin 2x + 2(Ax 2 + Bx) cos 2x + (2Cx + D) cos 2x 2(Cx 2 + Dx) sin 2x =( 2Cx 2 + 2Ax 2Dx + B) sin 2x + (2Ax 2 + 2Bx + 2Cx + D) cos 2x ỹ (x) =( Cx + 2A 2D) sin 2x + ( Cx 2 + Ax Dx + 2B) cos 2x + (Ax + 2B + 2C) cos 2x (Ax 2 + Bx + Cx + 2D) sin 2x =( Ax 2 Bx 8Cx + 2A D) sin 2x + ( Cx 2 + 8Ax Dx + B + 2C) cos 2x. (23) Podstawiaj c (22), (23) do równania (20), mamy: ( Ax 2 Bx 8Cx + 2A D) sin 2x + ( Cx 2 + 8Ax Dx + B + 2C) cos 2x Przeprowadzaj c redukcj otrzymujemy: + (Ax 2 + Bx) sin 2x + (Cx 2 + Dx) cos 2x = x cos 2x. ( 8Cx + 2A D) sin 2x + (8Ax + B + 2C) cos 2x = x cos 2x. St d porównuj c odpowiednie wspóªczynniki otrzymujemy ukªad na niewiadome A, B, C, D : x sin x : 8C = 0 sin x : 2A D = 0 x cos x : 8A = 1 cos x : B + 2C = 0, wi c A = 1 1, B = 0, C = 0, D =. Zatem (CSRN) ma posta : 8 16 ỹ(x) = 1 8 x2 sin 2x + 1 x cos 2x. (2) 16 Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl dniaj c (21) oraz (2) caªka ogólna równania (20) ma posta : y(x) = y 0 (x) + ỹ(x) = c 1 cos 2x + c 2 sin 2x + 1 8 x2 sin 2x + 1 16 x cos 2x, c 1,c 2 R. Przykªad 7. Rozwi» równanie: y y y + y = 3e x + 5x sin x. (25) Rozwi zanie: Jest to niejednorodne równanie trzeciego rz du o staªych wspóªczynnikach o dwóch prawych stronach w postaci quasi-wielomianów. Aby wyznaczy (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne: y y y + y = 0. 6

Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne: λ 3 λ 2 λ + λ = 0 (λ 1) 2 (λ + 1) = 0. Zatem pierwiastki równania charakterystycznego wynosz λ 1,2 = 1, λ 3 = 1. Wówczas na mocy odpowiednich twierdze«y 0 (x) = (C 1 + C 2 x)e x + C 3 e x. (26) Teraz znajdziemy (CSRN). Tak jak to byªo zauwa»one na pocz tku mamy dwie prawe strony. B dziemy oddzielnie szuka caªki szczególnej ỹ 1 (x) dla prawej strony 3e x, a oddzielnie caªki szczególnej ŷ 2 (x) dla prawej strony 5x sin x. Wówczas (CSRN) równania (25) ma posta ỹ(x) = ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x). Dla prawej strony postaci e x mamy przypadek rezonansowy gdy» µ = 1 oraz λ 1,2 = 1. Wówczas przewidywana posta ỹ 1 (x) to: ỹ 1 (x) = Ax 2 e x, (27) wi c ỹ 1 (x) = (Ax 2 + 2Ax)e x ; ỹ 1 (x) = (Ax 2 + Ax + 2A)e x ; ỹ 1 (x) = (Ax 2 + A x+ A )e x. (28) Kªad c (27) oraz (28) w y y y + y = 3e x mamy równanie na wyznaczenie A : (Ax 2 + 6Ax + 6A)e x (Ax 2 + Ax + 2A)e x (Ax 2 + 2Ax)e x + Ax 2 e x = 3e x. St d po redukcji i dzieleniu przez e x : A = 3, wi c A = 3. Wówczas ỹ 1 (x) = 3 x2 e x. Dla prawej strony 5x sin x dostajemy przypadek nierezonansowy gdy» µ {λ 1, λ 2, λ 3 }. Wówczas przewidywana posta ỹ 2 (x) to: wi c ỹ 1 (x) = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x, (29) ỹ 2 (x) = ( Cx + A D) sin x + (Ax + B + C) cos x; ỹ 2 (x) = ( Ax B 2C) sin x + ( Cx + 2A D) cos x; ỹ 2 (x) = (Cx 3A + D) sin x + ( Ax B 3C) cos x. (30) Wstawiamy (27) oraz (28) do y y y + y = 5x sin x (Cx 3A + D) sin x + ( Ax B 3C) cos x + (Ax + B + 2C) sin x + (Cx 2A + D) cos x + (Cx A + D) sin x + ( Ax B C) cos x + (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x = 5x sin x. Porównuj c odpowiednie wspóªczynniki dostajemy równania na wyznaczenie A, B, C.D : x sin x : 2A + 2C = 5; sin x : A + 2B + 2C + 2D = 0; x cos x : 2A + 2C = 0; cos x : 2A 2B C + 2D = 0. 7

Rozwi zuj c otrzymujemy: A = B = C = 5, D = 0. Wówczas: ỹ 2 (x) = 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. Poniewa» (CSRN) jest sum ỹ(x) = ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x) to: ỹ(x) = 3 x2 e x + 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. Ostatecznie z zasady superpozycji rozwi zanie ogólne równania (25) wynosi: y(x) = (C 1 + C 2 x)e x + C 3 e x + 3 x2 e x + 5 (x + 1) sin x + 5 x cos x. 8