Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 1 / 28
Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN 2005. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 2 / 28
Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN 2005. Materia ly do ćwiczeń: Strony internetowy. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 2 / 28
Literatura: W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. H. Rasiowa, Wstȩp do matematyki wspó lczesnej, PWN. K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wyk lady ze wstȩpu do matematyki. PWN W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstȩp do matematyki. Zbiór zadań, PWN 2005. Materia ly do ćwiczeń: Strony internetowy. Dodatkowe materia ly M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 2 / 28
Zbigniew Huzar Logika dostarcza jȩzyka do przedstawiania i badania w lasności modeli informatycznych, w tym systemów komputerowych i jȩzyków programowania, a zw laszcza środków do definiowania sk ladni i semantyki jȩzyków programowania. W jȩzyku logiki można specyfikować wymagania stawiane projektowanym systemom oprogramowania. Jȩzyk logiki może ponadto być bezpośrednio używany jako jȩzyk programowania. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 3 / 28
Zbigniew Huzar Logika dostarcza jȩzyka do przedstawiania i badania w lasności modeli informatycznych, w tym systemów komputerowych i jȩzyków programowania, a zw laszcza środków do definiowania sk ladni i semantyki jȩzyków programowania. W jȩzyku logiki można specyfikować wymagania stawiane projektowanym systemom oprogramowania. Jȩzyk logiki może ponadto być bezpośrednio używany jako jȩzyk programowania. Szczególn a rolȩ odgrywa logika w procesie wytwarzania oprogramowania. Na gruncie logiki sta lo siȩ możliwe sformu lowanie pojȩcia poprawności programów, a nastȩpnie opracowanie metod weryfikacji ich poprawności. Proces wytwarzania oprogramowania, jak na przyk lad w inżynierii oprogramowania, jest obecnie w coraz wiȩkszym zakresie wspomagany przez komputer. Budowa narzȩdzi wspomagaj acych ten proces opiera siȩ na formalnych metodach, maj acych oparcie na gruncie logiki. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 3 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa Aksjomaty teorii mnogości M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Plan wyk ladu: Rachunek zdań Zbiory Kwantyfikatory Relacje i funkcje Relacje równoważności Czȩściowe porz adki Indukcja matematyczna Teoria mocy Drzewa i relacje Algebry Boole a Kraty i drzewa Aksjomaty teorii mnogości Liczby porz adkowe i kardynalne M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 4 / 28
Zdania Symbole p 0, p 1, p 2,... nazywać bȩdziemy zmiennymi zdaniowymi. Symbole i s a sta lymi; symbol nazywamy zdaniem zawsze prawdziwym, zdaniem zawsze fa lszywym. Rozważamy ponadto spójniki logiczne:,,,,. Spójnik nazywamy koniunkcj a, alternatyw a, negacja lub zaprzeczeniem. Kolejne dwa spójniki to implikacja i równoważność. Do konstrukcji jȩzyka Rachunku Zdań potrzebujemy jeszcze dwóch symboli. S a nimi nawiasy. Pierwszy z nich, (, nazywamy nawiasem otwieraj acym zaś drugi, ), nawiasem zamykaj acym. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 5 / 28
Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 6 / 28
Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami Jeśli wyrażenia φ oraz ψ s a zdaniami, to zdaniami s a też: φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, ψ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 6 / 28
Definicja 1.1 Zmienne zdaniowe oraz sta le i s a zdaniami Jeśli wyrażenia φ oraz ψ s a zdaniami, to zdaniami s a też: φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, ψ Dowolne wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych poprzez zastosowanie skończonej liczby regu l z poprzedniego punktu jest także zdaniem M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 6 / 28
Wartści logiczne Wartościami logicznymi nazywamy symbole 0 i 1, które interpretujemy jako fa lsz i prawdȩ. x y x y x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 7 / 28
Wartści logiczne Wartościami logicznymi nazywamy symbole 0 i 1, które interpretujemy jako fa lsz i prawdȩ. Na zbiorze {0, 1} określamy dzia lania,,,, zgodnie z nastȩpuj acymi zasadami: x y x y x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 7 / 28
Definicja 1.2 Waluacj a nazywamy dowolny ci ag π = (w 0, w 1,...) taki, że dla dowolnego i, w i {0, 1} (jest wartości a logiczn a). M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 8 / 28
Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 9 / 28
Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 9 / 28
Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 Jeśli ψ oraz φ s a zdaniami dla których określone s a już wartości π(ψ) oraz π(φ), to π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π( ψ) = (π(ψ)) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 9 / 28
Definicja 1.3 (Wartościowanie) Niech π bȩdzie waluacj a. Dla dowolnego i, określamy wówczas π(p i ) = w i π( ) = 1, π( ) = 0 Jeśli ψ oraz φ s a zdaniami dla których określone s a już wartości π(ψ) oraz π(φ), to π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π(ψ φ) = π(ψ) π(φ) π( ψ) = (π(ψ)) Jeśli ψ = ψ(p 0,..., p n ) oraz π jest waluacj a, to π(ψ) = π(ψ(p 0,..., p n )) = ψ(π(p 0 ),..., π(p n )) gdzie ostatnie wyrażenie powstaje poprzez odpowiednie podstawienie i zależy od wyjściowych π oraz ψ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdańoctober 2, 2016 9 / 28
Przyk lad Niech π = (0, 0, 1, 0, 1,...) oraz niech ψ = (p 0 p 1 ) p 3. Wówczas π(ψ) = π((p 0 p 1 ) p 3 ) = (π(p 0 ) π(p 1 )) π(p 3 ) = = (0 0) 0 = 0 1 = 0. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 10 / 28
Przyk lad Niech π = (0, 0, 1, 0, 1,...) oraz niech ψ = (p 0 p 1 ) p 3. Wówczas π(ψ) = π((p 0 p 1 ) p 3 ) = (π(p 0 ) π(p 1 )) π(p 3 ) = MNIEJ FORMALNIE: = (0 0) 0 = 0 1 = 0. π(ψ) = (0 0) 0 = 0 1 = 0 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 10 / 28
Definicja 1.4 Zdanie ψ nazywamy tautologi a jeśli π(ψ) = 1 dla dowolnej waluacji π. Zapis: ψ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 11 / 28
Przyk lad Zdanie ψ = ((p 0 p 1 ) p 2 ) ( p 2 ( p 0 p 1 )) jest tautologi a. WYKAZAĆ!!! M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 12 / 28
Zdanie sprzeczne. Zdanie spe lnialne Zdanie ψ nazywamy sprzecznym jeśli ψ jest tautologi a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 13 / 28
Zdanie sprzeczne. Zdanie spe lnialne Zdanie ψ nazywamy sprzecznym jeśli ψ jest tautologi a Zdanie ψ nazywamy spe lnialnym gdy nie jest tautologi a oraz istnieje waluacja π taka, że π(ψ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 13 / 28
Twierdzenie 1.1 Jeżeli dane zdanie ψ = ψ(p 0,..., p n ) jest tautologi a oraz φ 0,..., φ n s a zdaniami, to zdanie ψ(φ 0,..., φ n ) również jest tautologi a. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 14 / 28
Twierdzenie 1.1 Jeżeli dane zdanie ψ = ψ(p 0,..., p n ) jest tautologi a oraz φ 0,..., φ n s a zdaniami, to zdanie ψ(φ 0,..., φ n ) również jest tautologi a. Dowód: Dla dowolnej waluacji π mamy π(ψ(φ 0,..., φ n )) = ψ(π(φ 0 ),..., π(φ n )). Niech teraz π bȩdzie waluacj a tak a, że π (p i ) = π(φ i ) dla dowolnego i {0, 1,..., n}. Wówczas π(ψ(φ 0,..., φ n )) = ψ(π(φ 0 ),..., π(φ n )) = ψ(π (p 0 ),..., π (p n )) = = π (ψ(p 0,..., p n )) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 14 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p prawo wy laczonego środka: (p p) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... idempotentność: (p p) p, (p p) p przemienność: (p q) (q p), (p q) (q p) laczność: (p (q r)) ((p q) r), (p (q r)) ((p q) r) rozdzielność: (p (q r)) (p q) (p r) (p (q r)) (p q) (p r) podwójna negacja: ( p) p prawo wy laczonego środka: (p p) brak trzeciej możliwości: p p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 15 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 16 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 16 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) eliminacja implikacji: (p q) ( p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 16 / 28
Przegl ad najważniejszych tautologii Używamy dla uproszczenia liter p, q, r,... zamiast p 0, p 1,... prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q) przechodniość implikacji: ((p q) (q r)) (p r) eliminacja implikacji: (p q) ( p q) eliminacja równoważności: (p q) ((p q) (q p)), (p q) ((p q) ( p q)) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 16 / 28
Definicja 1.5 Powiemy, że zdania α i β s a równoważne (zapisujemy α β) jeśli (α β). UWAGA: α β wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej waluacji π zachodzi π(α) = π(β) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 17 / 28
W lasności równoważności α α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 18 / 28
W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 18 / 28
W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 18 / 28
W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ α wtedy i tylko wtedy, gdy α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 18 / 28
W lasności równoważności α α jeśli α β, to β α jeśli α β oraz β γ, to α γ α wtedy i tylko wtedy, gdy α α wtedy i tylko wtedy, gdy α M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 18 / 28
Twierdzenie 1.2. Jeśli zdanie ϕ jest zdaniem sprzecznym, to dla dowolnego ψ, zdanie ϕ ψ jest tautologi a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 19 / 28
Twierdzenie 1.2. Jeśli zdanie ϕ jest zdaniem sprzecznym, to dla dowolnego ψ, zdanie ϕ ψ jest tautologi a Dowód: Rozważmy dowoln a waluacjȩ π. Wówczas π(ϕ ψ) = (π(ϕ) π(ψ)) = (0 π(ψ)) = 1 (z tabelki). M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 19 / 28
Metody dowodzenia twierdzeń M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 20 / 28
Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 20 / 28
Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ Zdania ψ 1,..., ψ n nazywamy za lożeniami M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 20 / 28
Metody dowodzenia twierdzeń (ψ 1... ψ n ) ϕ Zdania ψ 1,..., ψ n nazywamy za lożeniami ϕ nazywamy tez a M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 20 / 28
Definicja 1.6 Powiemy, że zdanie ϕ wynika ze zdań ψ 1,..., ψ n (zapisujemy {ψ 1,..., ψ n } ϕ) jeśli dla dowolnej waluacji π takiej, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1 mamy π(ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 21 / 28
Definicja 1.6 Powiemy, że zdanie ϕ wynika ze zdań ψ 1,..., ψ n (zapisujemy {ψ 1,..., ψ n } ϕ) jeśli dla dowolnej waluacji π takiej, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1 mamy π(ϕ) = 1 Wyrażenie postaci {ψ 1,..., ψ n } ϕ które s a prawdziwe nazywamy regu lami wnioskowania M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 21 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 (2) (1): Zak ladamy, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ jest tautologi a oraz rozważamy dowoln a waluacjȩ dla którejπ(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.3 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1.{ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Dowód: (1) (2): Zak ladamy, że {ψ 1,..., ψ n } ϕ. Musimy pokazać, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ Rozważmy zatem dowoln a waluacjȩ π π((ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ) = (π(ψ 1 )... π(ψ n )) π(ϕ) Jeśli π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1, to z za lożenia π(ϕ) = 1 (2) (1): Zak ladamy, że (ψ 1 ψ 2... ψ n ) ϕ jest tautologi a oraz rozważamy dowoln a waluacjȩ dla którejπ(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = 1. Punkt 2. otrzymujemy ponownie korzystaj ac z operatora. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 22 / 28
Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 23 / 28
Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 23 / 28
Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 23 / 28
Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q {p q} p {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 23 / 28
Twierdzenie 1.4 Pewne regu ly wnioskowania {p} p {p, p} q {p, q} p q {p q} p {p, p q} q (modus ponens) {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 23 / 28
Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 24 / 28
Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 Dowód: M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 24 / 28
Twierdzenie 1.5 Nastȩpuj ace wyrażenia s a równoważne: 1. {ψ 1,..., ψ n } ϕ 2. nie istanieje waluacja π taka, że π(ψ 1 ) =... = π(ψ n ) = π( ϕ) = 1 Dowód: Proszȩ przygotować w domu:) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 24 / 28
Dowody wprost Polegaj a na pokazaniu, że z za lożeń twierdzenia wynika jego teza M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 25 / 28
Dowody wprost Polegaj a na pokazaniu, że z za lożeń twierdzenia wynika jego teza Przyk lad: Jeśli a > 0, b > 0 oraz a 2 + b 2 > 3, to (a + b) 2 > 3 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 25 / 28
Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 26 / 28
Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 26 / 28
Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q fa lszywość tezy poci aga fa lszywość za lożenia M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 26 / 28
Dowody Nie Wprost Wykorzystujemy tautologiȩ ( q p) (p q) lub jeśli ktoś woli regu lȩ { q p} p q fa lszywość tezy poci aga fa lszywość za lożenia Przyk lad: Jeśli 2 nie dzieli sumy dwóch liczb naturalnych, to przynajmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 26 / 28
Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 27 / 28
Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 27 / 28
Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ Przyk lad: Jeśli x 2 = 3, to x nie jest liczb a wymiern a. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 27 / 28
Dowody przez sprowadzenie do sprzeczności Mamy ((ψ ϕ) ) (ψ ϕ) (ψ ϕ) ψ ϕ ψ ϕ Zatem mamy regu lȩ wnioskowania {(ψ ϕ) } ψ ϕ Przyk lad: Jeśli x 2 = 3, to x nie jest liczb a wymiern a. Korzystaj ac z regu ly rozważanej trzeba pokazać, że za lożenie x 2 = 3 i x jest liczb a wymiern a prowadzi do sprzeczności. M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 27 / 28
Dowody przez rozważenie przypadków {p q, p q} q M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 28 / 28
Dowody przez rozważenie przypadków {p q, p q} q Przyk lad: Dla dowolnej liczb rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x x M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii mnogościwyk lad 1: Rachunek zdań October 2, 2016 28 / 28