Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie danych kwartalnych od 1 kwartału 1970 r. do 4 kwartału 1992 r. oszacowano model objaśniający konsumpcję ludności Polski wybierając podpróbę od 1 kwartału 1970 r. do 4 kwartału 1990 r. Wyniki podane są na wydruku komputerowym. 1
Estymacja MNK Zmienną zależną jest KONSUM Do estymacji wykorzystano 84 obserwacje od 70Q1 do 90Q4 Zmienna Ocena Błąd Statystyka t-studenta objaśniająca parametru standardowy [Prawdopodobieństwo] DOCHODY 0,76123 0,012161 62,5959[0,000] STALA -22,2942 254,6298-0,0876[0,930] R2 0,97950 Statystyka F F( 1, 82) = 3918,3[0,000] Statystyka Durbina-Watsona DW = 2,2527 Odpowiedz tak lub nie i podaj uzasadnienie. (a) Oszacowany model jest modelem przyczynowo-skutkowym. (b) Jakość oszacowanego modelu jest dobra. (c) Zmienne objaśniajace uwzględnione w modelu są nieistotne. (d) Ocena parametru przy zmiennej objaśniającej DOCHOD ma wartość zgodną z intuicją ekonomiczną. (e) w modelu nie występuje autokorelacja składnika losowego (f) model należy oszacować za pomocą Uogólnionej MNK. 3. Poniższy wydruk przedstawia wyniki estymacji modelu autoregresyjnego dla zwrotów z japońskich obligacji. Odpowiedz na pytania i uzasadnij. EQ( 3) Modelling BONDJP by OLS (using mills_obligacje.xls) The present sample is: 7 to 960 Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^2 Constant 0.0094062 0.0092556 1.016 0.3098 0.0011 BONDJP_1 1.0618 0.032372 32.801 0.0000 0.5319 BONDJP_2 0.15837 0.047275 3.350 0.0008 0.0117 BONDJP_3-0.15675 0.047540-3.297 0.0010 0.0113 BONDJP_4-0.035340 0.047462-0.745 0.4567 0.0006 BONDJP_5 0.056423 0.047126 1.197 0.2315 0.0015 BONDJP_6-0.086478 0.032364-2.672 0.0077 0.0075 R^2 = 0.996269 F(6,947) = 42146 [0.0000] $\sigma$ = 0.0376928 DW = 2.00 RSS = 1.345445925 for 7 variables and 954 observations Które zmienne modelu są statystycznie istotne? Co mówi nam statystyka Walda? Czy w modelu występuje autokorelacja składnika losowego? Czy składnik losowy w modelu jest homoskedastyczny? 2
Czy jest to model przyczynowo-skutkowy? 4. Na podstawie obserwacji rocznych z lat 1981-95 oszacowano następujący jednorównaniowy model ekonometryczny: ŷ t = 30 2 x t + 1, 5 x t 1 + 2, 0 x t + 1, 5 z t 1 + 0, 2 z t 2 (10) (1) (0, 7) (0, 5) (0, 31) (0, 2) gdzie: y - produkcja, z - inwestycje sektora prywatnego, x - wielkość zaciągniętych w danym roku kredytów, Pod równaniem podane są średnie błędy szacunku odpowiednich parametrów. Sprawdzono, że składnik losowy ma rozkład normalny. Przyjąć liczebność próby równą długości badanego okresu. Odpowiedz tak lub nie i uzasadnij. (a) Średnie względne błędy szacunku wszystkich parametrów są większe od 30 (b) Przy poziomie istotności a = 0,05 można wykluczyć wpływ wielkości inwestycji sprzed dwóch lat na bieżącą produkcję. (c) Przy poziomie istotności a=0,01 można uznać, że w modelu nie występuje wyraz wolny. (d) Przy poziomie istotności a=0,1 wpływ opóźnionej wielkości kredytów na produkcję jest istotny, a przy poziomie istotności a=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o nieistotności wpływu. (e) Na podstawie statystyki Durbina-Watsona równej 2,06 obliczonej na podstawie reszt tego modelu można stwierdzić, że nie występuje autokorelacja dodatnia składnika losowego. 5. Dla 20 typów radioodbiorników oszacowano zależność ceny radioodbiornika od cech opisujących jego jakość. Przyjęto model liniowy postaci: y t = a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + a 3 x 3t + e t y t - cena radioodbiornika typu t, t=1,...20 x 1t - liczba zakresów fal, x 1t {2, 3, 4} x 2t - liczba lamp, x 2t {3, 4, 5, 6} x 3t - rodzaj skrzynki; x 3t = 1 gdy skrzynka drewniana, x 3t = 0 gdy z tworzywa sztucznego Oszacowanie parametrów otrzymane MNK jest następujące: ŷ t = 1639 + 314x 1t + 449x 2t + 364x 3t Podać interpretację parametrów modelu. 3
6. Poniższy wydruk przedstawia statystyki reszt pewnego modelu. Zweryfikuj hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego w tym modelu. Normality test for RESIDUALS Sample size 159: 1953 (1) to 1992 (3) Mean 0.000000 Std.Devn. 10.973910 (using T-1: 11.008583) Skewness -0.202523 Excess Kurtosis -0.979040 7. Oszacowano model trendu opisujący wielkość sprzedaży samochodów dostawczych (w setkach sztuk) w kolejnych 15 miesiącach: Ŷt = 0.651 + 0.7t 0.031t 2. Jaka jest spodziewana wielkość sprzedaży tych samochodów w 16 i 17 miesiącu? 8. Liczba kin na terenie pewnego województwa w latach 1980 1990 kształtowała się następująco (brak danych dla 1985 roku): Rok 1980 1981 1982 1983 1984 1986 1987 1988 1989 1990 Kina 185 203 215 221 231 225 223 209 193 175 Przyjęto, że zmienna czasowa t ma wartość 0 dla roku 1985, a jej przyrosty z roku na rok są jednostkowe. Oszacowano model trendu postaci: ŷ t = 230 t 2 t 2 Sporządź prognozę liczby kin w 1993 roku. Dla jakich lat prognozy uzyskane z tego modelu są formalnie sensowne? 9. Na podstawie 5 obserwacji dotyczących zmiennej y oszacowano model tendencji rozwojowej tej zmiennej otrzymując ŷ t = 2 + 3t, t = 1, 2,..., 5. Na jaki najdalszy okres τ > 5 można prognozować wartość y, jeżeli średni błąd prognozy ex ante nie może przekroczyć wartości 2, 8? Wiadomo, że oszacowana wariancja składnika losowego jest równa 1. 10. Na podstawie danych kwartalnych (I kwartał 1990 - IV kwartał 1997) oszacowano następujący model: ˆP t = 5.20 + 0.47P t 1 + 0.95C t 1 gdzie P t - dochód narodowy brutto, C t - zagregowana konsumpcja. Macierz zmiennych objaśniających X tego modelu składa się z kolumn [ 1 P t 1 C t 1 ]. Dla kolejnych kwartałów roku 1998 zmienne przyjmowały następujące wartości: P t 116,36 119,00 123,09 133,95 C t 76,85 77,06 78,47 76,37 4
(a) Przeciętny względny błąd prognozy ex post dla kwartałów III - IV 1998 r. wynosi 0,37. (b) Średni absolutny błąd predykcji ex post dla kwartałów III - IV 1998 r. wynosi 3,8. (c) Wektor wartości zmiennych egzogenicznych dla prognozy na II kwartał 1998 r. jest wektorem o składowych [1 119,00 77,06] T. (d) Średni błąd predykcji ex post obliczany jest na podstawie wartości prognozy oraz rzeczywistych wartości prognozowanych zmiennych. (e) Absolutny błąd predykcji ex post dla prognozy dla trzeciego kwartału 1998 r. wynosi -0,85. (f) Stabilność parametrów modelu możemy zbadać za pomocą m.in. testu Chowa 11. Oszacowano 2 konkurencyjne modele - model A i model B, kształtowania się wartości y. Poniższa tabela podaje prognozy zmiennej y w wariantach A i B oraz zaobserwowane później wartości tej zmiennej. τ 7 8 9 10 A 9,5 11,0 12,3 2,5 B 10,7 11,8 13,0 14,1 Y 10,0 11,0 12,5 13,0 Porównaj dokładność predykcji ex post za pomocą miar ME, MAE, RMSE oraz MAPE. 12. Dane jest oszacowanie modelu trendu Ẑt = 4 + 3t, t = 1,...,7. Obliczyć błąd prognozy ex ante zmiennej Z na okres t=15 gdy wiadomo, ze suma kwadratów wartosści zmiennej objaśnianej z siedmiu okresów obserwacji jest równa 2124. Jak zmienia się wartość średniego błędu prognozy ex ante w czasie? 5