Przykładowy model ekonometryczny. Sebastian Michalski
|
|
- Bogusław Nowicki
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykładowy model ekonometryczny Sebastian Michalski 1
2 Spis treści 1 Postać modelu Dane Graficzna prezentacja danych Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig a 6 3 Oszacowanie parametrów strukturalnych Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych Interpretacja błędów szacunku parametrów Badanie własności koincydencji 9 5 Normalność rozkładu składnika loswego Test Jarque-Bera Autokorelacja składnika losowego Test Durbin a-watson a Test mnożnika Lagrange a Heteroskedastyczność składnika losowego Test White a Liniowość modelu test liczby serii 1 9 Współliniowość zmiennych obajaśniających Istotność zmiennych objaśniających test t-studenta Współczynnik determinacji Skorygowany współczynnik derterminacji Prognozy Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu linowego Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu wielomianowego Ocena ex ante prognozy Prognoza przedziałowa Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu ekonometrycznego (warunkowa) Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trenduliniowego Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu wielomianowego Ocena ex post prognozy Prognoza na podstawie modelu prostego wyrównania wykładniczego Brown a
3 1 Postać modelu Y t X 1t X t X 3t Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (1) wartość wyprodukowanych (przewiezionych) komputerów w USA w milionach USD w latach , (ang. Electronic Computer Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 1, wartość nowych zamówień na produkcję komputerów w USA w milionach USD w latach , (ang. Electronic Computer Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted), wartość wyprodukowanych (przewiezionych) nośników danych, pamięci masowych w USA w milionach USD w latach , (ang. Computer Storage Device Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 3, wartość wyprodukowanych (przewiezionych) półprzewodników w USA w milionach USD w latach , (ang. Semiconductor and Related Device Manufacturing: Value of Shipments: Millions of Dollars: Seasonally Adjusted) 4, α j parametry strukturalne, j =0, 1,, 3, ɛ t składnik losowy
4 1.1 Dane Dane do modelu obejmują 73 obserwacje od lutego 199 do lutego 1998: t Y t X 1t X t X 3t t Y t X 1t X t X 3t
5 1. Graficzna prezentacja danych 7000 Y x1 x x Y 6000 x x 7000 x
6 Dobór zmiennych objaśniających metodą Hellwig a Correlation matrix y x1 x x3 y x x x gdzie: R 0 R 0 = 0,968 0,84 0,967, R = 1 0, 785 0, 945 0, , 799 0, 945 0, 799 1, () =[r j ] macierz wspólczynników korelacji liniowej pomiędzy j. zmienną obajaśniającą a zmienną objaśnianą, j =1,,..., k, R =[r ij ] macierz wspólczynników korelacji liniowej pomiędzy i. a j. zmienną obajaśniającą, i =1,,..., k, j =1,,..., k, k liczba zmiennych objaśniających w modelu. Ilość możliwych podzbiorów ze zbioru zmiennych objaśniających X 1,X,X 3 (bez zbioru pustego): S = k 1= 3 1=7. (3) Te możliwe podzbiory to: numer podzbioru (s) podzbiór zbió indeksów zmiennych tworzących dany podzbiór (C s ) 1 {X 1 } 1 {X 3 {X {X 1,X } 1, 5 {X 1,X 3 } 1,3 6 {X,X 3 },3 7 {X 1,X,X 3 } 1,,3 Pojemność indywidualną j. zmiennej s. podzbioru określamy jako: h sj = r j i C s r ij. (4) Pojemność integralna s. podzbioru to suma jego pojemności idywidualnych: H s = j C s h sj. (5) 6
7 Pojemność integralna i indywidualna dla zbioru jednoelementowego jest identyczna: (1) {X 1 }: h 11 = () {X }: h = (3) {X 3 }: h 33 = r 1 i {1} r i {} r 3 i {3} (0,968) = ri1 1 0, 937 = H 1, (0,84) = ri 1 0, 679 = H, (0,967) = ri3 1 0, 935 = H 3, oraz: (4) {X 1,X }: h 41 = h 4 = r i {1,} r 1 i {1,} H 4 =h 41 + h 4 =0, 905, (5) {X 1,X 3 }: h 51 = h 53 = r 3 i {1,3} (0,968) = ri ,785 0, 55, (0,84) = ri 0, , 380, r 1 i {1,3} H 5 =h 51 + h 53 =0, 963, (6) {X,X 3 }: h 6 = h 63 = r 3 i {,3} (0,968) = ri ,945 0, 48, (0,967) = ri3 0, , 481, r i {,3} H 6 =h 6 + h 63 =0, 897, (0,84) = ri 1 + 0,799 0, 377, (0,967) = ri3 0, , 50, (7) {X 1,X,X 3 }: h 71 = r 1 i {1,,3} = (0,968) ri , ,945 0, 343, h 7 = h 73 = r i {1,,3} = (0,84) ri 0, ,799 r 3 i {1,,3} = (0,967) ri3 0, , H 7 =h 71 + h 7 + h , 319, 0, 341, Zestawienie pojemności integralnych: s podzbiór H s 1 {X 1 } 0,937 {X 0,679 3 {X 3 0,935 4 {X 1,X } 0,905 5 {X 1,X 3 } 0,963 6 {X,X 3 } 0, {X 1,X,X 3 } 1, 000 7
8 Wybieramy ten podzbiór, dla którego pojemność integralna jest największa: C opt =max{h s : s =1,,...,S = k 1} = C 7. (6) Zatem do modelu wchodzą zmienne: X 1,X,X 3. Można uniknąć licznia pojemności integralnych dla wszystkich podzbiorów: z możliwych podzbiorów należy wykluczyć te, które nie zawierają zmiennej najsilniej skorelowanej ze zmienną objaśnianą (w naszym przykładzie odrzucamy kombinacje bez zmiennej X 1 : s =, 3, 6). 3 Oszacowanie parametrów strukturalnych Pakiet PC-Give podaje wyniki: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant x x x R^ = F(3,69) = [0.0000] \sigma = DW = 1.96 RSS = for 4 variables and 73 observations Oszacowany metodą najmniejszych kwadratów model przyjmuje zatem postać: Ŷ t = ˆα 0 + ˆα 1 X 1t + ˆα X 1t + ˆα 3 X 3t, (7) Ŷ t = 493, , 487X 1t +0, 495X t +0, 65X 3t, (8) (15, 46) (0, 069) (0, 179) (0, 043). (9) W nawiasach podano średnie błędy szacunku. 3.1 Interpretacja oszacowanych parametrów strukturalnych ˆα 1 =0, 487 wzrost wartości zmówień na produkację komputerów o l mln USD (ceteris paribus - przy pozostałych warunkach niezmienionych) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 487 tys. USD, ˆα =0, 495 wzrost wartości produkcji nośników danych o 1 mln USD (ceteris paribus) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 495 tys. USD, ˆα 3 = 0, 65 wzrost wartości wyprodukowanych półprzewodników o 1 mln USD (ceteris paribus) wywoła wzrost produkcji komputerów średnio o 65 tys. USD. 3. Interpretacja błędów szacunku parametrów S ˆα0 = 15, 46 szacując α 0 na poziomie 493,30 mylimy się średnio o ±15,46, S ˆα1 =0, 069 szacując α 1 na poziomie 0,487 mylimy się średnio o ±0,069, 8
9 S ˆα =0, 197 szacując α na poziomie 0,495 mylimy się średnio o ±0,197, S ˆα3 =0, 043 szacując α 3 na poziomie 0,65 mylimy się średnio o ±0, Badanie własności koincydencji Model jest koincydentny, gdy spełniony jest warunek: sgn rj = sgn ˆα j, j =1,,...,k. 5 (10) sgn (r 1 =0, 968) = + oraz sgn (ˆα 1 =0, 487) = + sgn (r =0, 84) = + oraz sgn (ˆα =0, 495) = + sgn (r 3 =0, 967) = + oraz sgn (ˆα 3 =0, 65) = + Ponieważ dla wszystkich par znaki są zgodne, zatem model spełnia postulat koincydencji. 5 Normalność rozkładu składnika loswego 5.1 Test Jarque-Bera Po oszacowaniu modelu: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (11) obliczamy statystykę JB: JB = n 1 1 n e 3 t 6 n ( ) n e 4 t t=1 1 n 4 n ( ) 4 3, n t=1 e t=1 1 n t n t=1 e t (1) która ma rozkład χ df =. Jeżeli JB < χ α=0,05; df = to: H 0 : ɛ t N(0,σ ) składnik losowy ma rozkład normalny, jeżeli JB > χ α=0,05; df = to: H 1 : ɛ t N(0,σ ) składnik losowy nie ma rozkładu normalnego Normality test for Residual Sample size 73: 199 () to 1998 () Normality Chi^()= [0.9873] χ df = =0, 055 oraz α =0, Zatem dopiero przy prawie 99% poziomie istotności moglibyśmy odrzucić H 0, co znacznie przekracza 5% poziom błędu. Uznajemy więc, że w naszym modelu składnik losowy ma rozkład normalny. 5 Por. równania () oraz (7), (8) 9
10 6 Autokorelacja składnika losowego 6.1 Test Durbin a-watson a Test DW możemy stosować, gdy: (1) w modelu występuje wyraz wolny (α 0 0), () składnik losowy ma rozkład normalny (ɛ t N(0,σ )), (3) model nie ma postaci autoregresyjnej nie występuje opóźniona zmienna objaśniana jako zmienna objaśniająca. Składnik losowy ɛ t możemy przedstawić w postaci: gdzie: ɛ t = ρɛ t 1 + ξ t, ρ < 1, (13) ρ ξ t współczynnik autokorelacji, składnik losowy. Nieobciążonym estymatorem współczynnika ρ jest: ˆρ = n n t= e te t 1 t= e t n t= e t 1. (14) Statystykę DW obliczamy jako: DW = n t= (e t e t 1 ) n. (15) t=1 e t Pomiędzy DW aˆρ zachodzi związek: DW (1 ˆρ). (16) DW < DW > Proces weryfikacji: H 0 : ρ =0 H 0 : ρ =0 brak autokorelacji brak autokorelacji H 1 : ρ>0 H 1 : ρ<0 dodatnia autokorelacja ujemna autokorelacja H 1? H 0 H 0? H 1 d L d U 4 d U 4 d L R^ = F(3,69) = [0.0000] \sigma = DW = 1.96 RSS = for 4 variables and 73 observations 10
11 Zatem: H 1 : ρ>0, odczytane wartości krytyczne z tablic dla α =0, 05, n=73,k=3to: d L =1, 543, d U =1, 709. Ponieważ 1, 96 > 1, 709 (DW > d U ), zatem na postawie testu Durbin a-watson a nie możemy odrzucić H 0 o braku autokorelacji składnika losowego. 6. Test mnożnika Lagrange a Po oszacowaniu modelu: szacujemy model: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (17) e t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + β 4 e t 1 + ξ t (18) i obliczamy R. Obliczamy statystykę (n 1)R i odczytujemy z tablic χ α=0,05; df =1. Jeżeli (n 1)R <χ α=0,05; df =1 to: H 0 : ρ = 0 brak autokorelacji składnika losowego, jeżeli (n 1)R χ α=0,05; df =1 to: H 1 : ρ 0 autokorelacja składnika losowego Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to 1 Chi^(1) = [0.9198] and F-form(1,68) = [0.98] χ df =1 =0, 010 oraz α =0, Zatem dopiero przy prawie 9% poziomie istotności moglibyśmy odrzucić H 0, co znacznie przekracza 5% poziom błędu. Uznajemy więc, że w naszym modelu nie występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego. Możemy również odczytać wartości oszcowanch parametrów równania (13): Autoregression for Residual: lags from 1 to 1 The present sample is: 199 (3) to 1998 () Constant Lag 1 Coeff Std.Err ˆɛ t = 1, , 01ɛ t 1, co potwierdza niską wartość współczynnika autokorelacji. 7 Heteroskedastyczność składnika losowego 7.1 Test White a Po oszacowaniu modelu: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + α 3 X 3t + ɛ t, (19) 11
12 szacujemy model: lub: e t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + β 4 X 1t + β 5X t + β 6X 3t + ξ t, (0) e t = β 0+β 1 X 1t +β X t +β 3 X 3t +β 4 X 1t +β 5X t +β 6X 3t +β 7X 1t X t +β 8 X 1t X 3t +β 9 X t X 3t +ξ t (1) i obliczamy R. Obliczamy statystkę nr i odczytujemy z tablic: χ α=0,05; df =6 dla modelu (0), dla modelu (1). χ α=0,05; df =9 Jeżeli nr <χ α;df to: H 0 : σ i = σ składnik losowy jest homoskedastyczny, jeżeli nr >χ α;df to: H 1 : σ i σ składnik losowy jest heteroskedastyczny Testing for Heteroscedastic errors (squares) Chi^(6) = 7.11 [0.3098] and F-form(6,6) = [0.369] Testing for Heteroscedastic errors (squares and cross-products) Chi^(9) = [0.4659] and F-form(9,59) = [0.547] Czyli: χ df =6 =7, 11 oraz α =0, 3098, dla modelu (0), χ df =9 =8, 695 oraz α =0, 4659, dla modelu (1). W obu przypadkach krytyczny poziom istotności znacznie przekracza 5%. Uznajemy więc, że w naszym modelu składnik losowy jest homoskedastyczny. 8 Liniowość modelu test liczby serii H 0 H 1 : oszacowany model jest liniowy, : oszacowany model nie jest liniowy. poziom istotności: α = 0, 05, liczba serii: r=37 liczba reszt dodatnich: n 1 =35, liczba reszt ujemnych: n =38, poziom krytyczny odczytany z tablic: r =30. Przy 5% poziome istotności r>r, więc nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o liniowości modelu. 1
13 9 Współliniowość zmiennych obajaśniających Dla k modeli: X 1t = α 1,0 + α 1, X t + α 1,3 X 3t α 1,k X kt + ɛ 1t, X t = α,0 + α,1 X 1t + α,3 X 3t α,k X kt + ɛ t,. X kt = α k,0 + α k,1 X 1t + α k, X t α k,k 1 X (k 1)t + ɛ kt, obliczamy współczynnik determinacji Rj oraz czynnik inflacji wariancji estymatora α j : 1 CIW j = 1 Rj. () Jeżeli: R j = 0 oraz CIW j = 1 brak współliniowości zmiennych, R j > 0orazCIW j > 1 przybliżona współliniowość zmiennych, CIW j > 10 współliniowość zmiennych trwale zakłócająca jakość modelu. Obliczenia: ˆX 1t = 1484, 8+0, 397X t +0, 59X 3t, R1 =0, 895 = CIW =9, 5, ˆX t = 46, , 058X 1t +0, 067X 3t, R =0, 647 = CIW =, 83, ˆX 3t = 494, 7+1, 373X 1t +1, 194X t, R3 =0, 901 = CIW =10, 1. Zatem w modelu zmienna X 3 powinna zostać usunięta. W celach czysto rachunkowych pozostawimy tą zmienną w modelu, przedstawiając jej wpływ na dalszą analizę. W programie STATISTICA możemy odczytać Rj przycisk Redundancy: wciskając po oszacowaniu 10 Istotność zmiennych objaśniających test t-studenta H 0 : α j =0 j. zmienna jest nieistotna w modelu, j =0, 1,,...,k, H 1 : α j 0 j. zmienna jest istotna w modelu, j =0, 1,,...,k. 13
14 Zmienna losowa: t ˆαj = ˆα j, (3) S ˆαj ma rokzkład t-studenta z n (k + 1) stopniami swobody. Statystyki t-studenta oraz krytyczne (nominalne) poziomy istotności dla poszczególnych zmiennych wynoszą odpowiednio: Variable t-value t-prob Constant x x x Z powyższych krytycznych poziomów istotności wynika, że wszystkie zmienne (+wyraz wolny) są statystycznie istotne dla poziomów istotności (odpowiednio): α 0 od 0, 19%, X 1 od 0, 00%, X od 0, 74%, X 3 od 0, 00%.. sposób: Statystyka t-studenta odczytana z tablic dla 5% poziomu istotności i df =73-(3+1)=69 stopni swobody wynosi: t α=0,05;df =69 = (4) i jest mniejsza od wartości statystyk t-studenta dla poszczególnych zmiennych, co prowadzi do wniosku o statystycznej istotności zmiennych. 11 Współczynnik determinacji Współczynnik determinacji możemy obliczyć korzystając ze wzorów: n R t=1 = (ŷ t ȳ) n n t=1 (y t ȳ) =1 t=1 (y t ŷ) n t=1 (y t ȳ) = (5) e T e =1 y T y nȳ =1 yt y ˆα T X T y y T y nȳ = (6) = R T 0 R 1 R 0 (7) R 0, 967: około 97% zmienności produkcji komputerów jest wyjaśniane przez zmienność zmiennych: (a) (b) (c) zamówienia na produkcję komputerów, produkcję nośników danych, produkcję półprzewodników. 14
15 11.1 Skorygowany współczynnik derterminacji R 0, Prognozy R = R Wprowadźmy oznaczenia dla okresu prognozowanego τ: τ = n +1,n+,...,n+ s = T. Zatem długość okresu prognozy wynosi: T n = s. k n (k +1) (1 R ), (8) 1.1 Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu linowego Szacujemy model postaci: Y t = α 0 + α 1 t + ɛ t, (9) otrzymując: na podstawie wyników: Ŷ t = 787, 3+41, 5t, (30) - Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant Trend R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - Prognoza Y na okres τ=74: Y P 74 = 787, 3+41, 5 74 = 5859, 93. (31) Ponieważ w modelu występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego (niskie DW), zatem aby dokonać prognozy punktowej zmiennej Y t należy skorygować powyższy wynik o ˆρe 73, gdzie: e reszta modelu trendu obliczona jako: Y 73 Ŷ73, ˆρ współczynnik autokorelacji składnika losowego obliczony ze wzoru (16), e 73 = 5570 (787, 3+41, 5 73) = 48, 406, ˆρ =1 0,845 =0, 57. Zatem: ˆρe 73 = 143, 45, = 5859, , 45 = 5716, 5. Y P 74 15
16 Ze względu na dość kłopotliwy sposób obliczania wariancji predykcji (średniego błedu prognozy) w warunkach autokorelacji składnika losowego 6, można poszukać innej postaci trendu, która będzie pozbawiona tej niedogodności. 1. Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu trendu wielomianowego Postać trendu wielomianowego dla zmiennej Y t : Y t = α 0 + α 1 t + α t α q t q + ɛ t, (3) Rząd q ustalamy na podstawie otrzymanego optymalnego modelu: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e R^ = F(6,66) = 4.83 [0.0000] \sigma = DW = 1.86 RSS = for 7 variables and 73 observations Zatem oszacowany model przyjmuje postać: Ŷ t = 785, 8+38, 5t 35, 79t +, 09t 3 0, , 0006t 5 0, t 6. (33) Podstawiając za t = 74 otrzymujemy 7 : = 539, Y P 74 Ponieważ DW wskazuje na brak autokorelacji składnika losowego (potwierdza to również poniższy test mnożnika Lagrange a), możemy przejść do analizy błędów ex ante prognozy Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to 1 Chi^(1) = [0.593] and F-form(1,65) = [0.6144] Ocena ex ante prognozy Średni błąd prognozy ex ante obliczamy jako: Sτ S P = + x T ˆD τ (ˆα)x τ = S 1+x T τ (XT X) 1 x τ, (34) gdzie 8 : S = e T e n (k +1), (35) 6 Zeliaś A., Teoria Prognozy, PWE, Warszawa 1997, s Precyzyjnych obliczeń dokonano w Excel. 8 W pakietach komputerowych S podawane jest najczęściej jako sigma. 16
17 x τ wektor prognozowanych wartości zmiennych objaśniających. S P 74=81, Średni względny błąd prognozy ex ante: V τ = Sτ P Yτ P, (36) V 74 =0, 05. Zatem średni względny błąd ex ante prognozy na 74 okres wynosi 5,%. 1.. Prognoza przedziałowa Jeśli składnik losowy ma rozkład normalny to zmienna losowa: yτ y P τ u =, (37) ma rozkład t-studenta z n (k + 1) stopniami swobody. Przedział ufności prognozowanej zmiennej wyznaczamy jako: P ( yτ P t α,df Sτ P <y τ <yτ P + t α,dfs τ P ) =1 α. (38) Zatem dla α=0,05 oraz df =73 (6 + 1) = 66: P (539, 76 81, 45 <y 74 < 539, , 45) = 0, 95, P (489, 87 <y 74 < 5955, 66) = 0, 95. Przedział o końcówkach (489,87; 5955,66) pokrywa prognozowaną wartość Y 74 (na 1 okres do przodu) z prawdopodobieństwem 95%. S P τ 9 Obliczeń dokonano w Excel. 17
18 1.3 Prognoza zmiennej endogenicznej na podstawie modelu ekonometrycznego (warunkowa) Oszacowany model z równania (1) na postać: 10 Ŷ t = 493, , 487X 1t +0, 495X t +0, 65X 3t. (39) Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu liniowego Dokonujemy prognoz zmiennych egzogenicznych na τ = 74 okres na podstawie modeli trendu liniowego: X jt = α 0 + α 1 t + ɛ t, (40) otrzymując: - dla X1: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - dla X: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - dla X3: Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t R^ = F(1,71) = [0.0000] \sigma = DW = RSS = for variables and 73 observations - Dla każdego z trzech powyższych modeli DW jest zbyt niskie by pomyślnie przejść test autokorelacji składnika losowego. Potwierdza to również test mnożnika Lagrange a: Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to dla X1: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = 3.66 [0.0000] ** dla X: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = [0.0000] ** dla X3: Chi^(1) = [0.0000] ** and F-form(1,70) = [0.0000] ** Podsumowując: Modele trendu liniowego dla zmiennych egzogenicznych mają postać: ˆX 1t = 849, 9+40, 1t, 10 Por. równanie (8) 18
19 ˆX t = 700, 0 + 7, 85t, ˆX 3t = 089, 1+68, 91t. Każdy z nich obarczony jest autokorelacją składnika losowego. Prognozy punktowe na ich podstawie muszą być skorygowane o ˆρe 73 (jak w przypadku modelu trendu liniowego dla Y t ): dla X 1t : e 73 = 5735 (849, 9+40, 1 73) = 4, 77, ˆρ =1 0,999 =0, 5, ˆρe 73 = 1, 39, zatem: Y74 P = 849, 9+40, , 39 = 5796, 49, dla X t : e 73 = 1496 (700, 0 + 7, 85 73) =, 83, ˆρ =1 0,816 =0, 59, ˆρe 73 = 131, 47, zatem: Y P 74 = 700, 0 + 7, , 47 = 141, 49, dla X 3t : e 73 = 6505 (089, 1+68, 91 73) = 614, 75, ˆρ =1 0,485 =0, 76, ˆρe 73 = 467, 1, zatem: Y74 P = 089, 1+68, , 1 = 671, 45. Wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych wynosi: 1 x 74 = 5796,49 141,49. (41) 671,45 Podstawiając go do równania (39) otrzymujemy wartość punktowej prognozy warunkowej Y 74 : = 493, , , , , , , 45 = 5796, 84. Y P 74 Ocena ex ante prognozy Korzystając z równania (34) obliczmy średni błąd prognozy ex ante: S = 171, 707, 11 S P 19 = 179, 61,1 Średni względny błąd prognozy ex ante: 11 PC-Give: po oszacowaniu regresji odczytujemy sigma. 1 Na podstawie obliczeń w Excel. 19
20 V 74 = 179, ,84 =0, 031. Zatem średni względny błąd ex ante prognozy na 74 okres wynosi 3,1%. Prognoza przedziałowa Korzystając ze wzoru (38) obliczamy końcówki prognozy przedziałowej: P (5796, , 61 <y 74 < 5796, , 61) = 0, 95, P (5437, 6 <y 74 < 6156, 05) = 0, 95. Przedział o końcówkach (5437,6; 6156,05) pokrywa prognozowaną wartość Y 74 (na 1 okres do przodu) z prawdopodobieństwem 95% 13. Prognozę przedziałową można obliczyć przy pomocy programu STATISTI- CA, korzystając z opcji Compute prediction limits, podając wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych. Należy pamiętać, że STATISTICA nie bierze pod uwagę zjawiska autokorelacji składnika losowego - nie obliczy więc poprawnie przedziałów prognozy gdy autokorelacja występuje. Nieznaczne różnice w końcówkach wynikają z dokładniejszej wartości t Studenta w STATISTICE (t α=0,05; df =69 =1, ). 13 Uwaga: Powinniśmy obliczyć końcówki prognozy ex ante dla każdej z prognoz punktowych dla zmiennych egzogenicznych, następnie lewe i prawe (oddzielnie) końcówki potraktować jako prognozowany wektor zmiennych egzogenicznych, obliczyć prognozy warunkowe, dla każdej z nich obliczyć końcówki prognozy i dopiero ich skrajne wartości potraktować jako prognozę przedziałową. 0
21 1.3. Prognoza zmiennych egzogenicznych na podstawie modeli trendu wielomianowego Postać trendu wielomianowego dla zmiennych X jt : X jt = α 0 + α 1 t + α t α q t q + ɛ t. (4) Rząd q ustalamy na podstawie otrzymanego optymalnego modelu: dla X1 Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e R^ = F(6,66) = [0.0000] \sigma = DW = 1.94 RSS = for 7 variables and 73 observations ====================================================================== dla X Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t e e t e e t e e R^ = F(8,64) = [0.0000] \sigma = DW =.04 RSS = for 9 variables and 73 observations ====================================================================== dla X3 Variable Coefficient Std.Error t-value t-prob PartR^ Constant t t t t t t t e e t e e t e e R^ = F(9,63) = [0.0000] \sigma = DW = 1.93 RSS = for 10 variables and 73 observations ====================================================================== Otrzymujemy zatem trzy modele, w których składnik losowy pozbawiony jest autokorelacji: Testing for Error Autocorrelation from lags 1 to
22 dla X1: Chi^(1) = [0.803] and F-form(1,65) = [0.8148] dla X: Chi^(1) = [0.7646] and F-form(1,63) = [0.7817] dla X3: Chi^(1) = [0.7879] and F-form(1,6) = [0.8049] Ostatecznie otrzymujemy: , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X1 5617,3395 =================================================== 995, , , , , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X 1668,617 =================================================== 03, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , prognoza punktowa X3 6570,7998 =================================================== Wektor prognozowanych zmiennych egzogenicznych wynosi: 1 x 74 = 5617, ,617. (43) 6570,7998 Podstawiając go do równania (39) otrzymujemy wartość punktowej prognozy warunkowej Y 74 : Y74 P = 493, , , , , , , 7998 = 5796, Ocena ex post prognozy Szacujemy model postaci: Y t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + β 3 X 3t + η t, (44)
23 skracając liczbę obserwacji o 3. Te 3 obserwacje potraktujemy jako realizacje prognozy (ex post). Prognozy i realizacje podaje tabela: ---- Analysis of 1-step forecasts ---- Date Actual Forecast Y-Yhat Forecast SE t-value Tests of parameter constancy over: 1997 (1) to 1998 () Forecast Chi^( 3)= [0.360] Chow F( 3, 66) = [0.3898] ---- (1) Średni błąd (ang. average error, AE lub mean error, ME): ME = 1 s T τ =n+1 () Średni błąd procentowy (ang. average percentage error, AP E lub mean percentage error, MPE): MPE = 1 s T τ =n+1 y τ y P τ y τ 100% = ( yτ yτ P ) = 31, 97. (45) ( ) yτ yτ P T τ =n+1 y 100% = 0, 64%. (46) τ T τ =n+1 (3) Średni absolutny błąd (ang. average absolute error, AAE lub mean absolute error, MAE): MAE = 1 s T τ =n+1 (4) Średni absolutny błąd procentowy (ang. average absolute percentage error, AAP E lub mean absolute percentage error, MAPE): MAPE = 1 s T τ =n+1 y τ yτ P y τ (5) Błąd średniokwadratowy (ang. mean square error, MSE): MSE = 1 s y τ yτ P = 169, 76. (47) T 100% = τ =n+1 y τ yτ P T τ =n+1 y 100% =, 999%. τ (48) T τ =n+1 ( yτ yτ P ) = 31410, 78. (49) 3
24 (6) Procentowy błąd średniokwadratowy (ang. mean square percentage error, MSPE): MSPE = 1 s T ( yτ yτ P y τ =n+1 τ ) 100% = ( yτ y P τ T τ =n+1 T τ =n+1 y τ ) 100% = 0, 098%. (50) (7) Pierwiastek błędu średniokwadratowego (ang. root mean square error, RMSE): RMSE = 1 T (y τ yτ s P ) = 177, 3. (51) τ =n+1 (8) Pierwiastek procentowego błędu średniokwadratowego (ang. root mean square percentage error, RMSPE): RMSP E = 1 T ( ) yτ y P T τ 100% = τ =n+1 (y τ yτ P ) s y T 100% = 3, 13%. τ =n+1 τ τ =n+1 y τ (5) (9) Współczynnik rozbieżności 1 (ang. inequality coefficient 1, IC1): IC1= 1 T s τ =n+1 (y τ yτ P ) 1 s T τ =n+1 yp τ 1 T + s τ =n+1 y τ =0, (53) (10) Współczynnik rozbieżności (ang. inequality coefficient, IC): 1 T s τ =n+1 IC= τ yτ P ) 1 T s τ =n+1 y τ =0, 031. (54) 1.4 Prognoza na podstawie modelu prostego wyrównania wykładniczego Brown a Dokonujemy wygładzenia szeregu czasowego zmiennej Y t na podstawie wzoru: gdzie: ŷ t+1 wartość wygładzona w czasie t +1, ŷ t wartość wygładzona w czasie t, y t wartość empiryczna Y w czasie t, α stała wygładzania, ŷ 1 = y 1. ŷ t+1 = αy t +(1 α)ŷ t, α [0, 1], (55) 4
25 Wartość prognozy obliczamy jako: gdzie: e t = y t ŷ t błądex post prognozy. ŷ t+1 =ŷ t + αe t, (56) Korzystając z programu STATISTICA wybieramy moduł Time series, Forecasting, wybieramy zmienną Y, następnie exponential smoothing and forecasting, następnie Automatic search for best parameters (), otrzymując wartość prognozy równą: ŷ 74 = 5579, 731, przy α =0, Dobór α następuje na podstawie minimalnych błędów ocen prognozy ex post: Graficzną prezentację wyrównania wykładniczego przedstawia rysunek: 14...α >0,5 może świadczyć o obecności w danych trendu czasowego, efektów sezonowych czy cyklicznych. Warto wtedy rozważyć zastosowanie innej metody. Por.: Gajda J. B., Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, C.H. BECK, Warszawa 001, s
Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota
Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoEkonometria Wykład 4 Prognozowanie, sezonowość. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, sezonowość Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Plan wykładu Prognozowanie Założenia i własności predykcji ekonometrycznej Stabilność modelu ekonometrycznego
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowo3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoPrognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoparametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,
诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego
Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoDiagnostyka w Pakiecie Stata
Karol Kuhl Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Markowa, estymator MNK w KMRL jest liniowym estymatorem efektywnym i nieobciążonym, co po angielsku opisuje się za pomocą wyrażenia BLUE Best Linear Unbiased Estimator.
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona
Bardziej szczegółowoEKONOMETRYCZNA PROGNOZA ODPŁYWÓW Z BEZROBOCIA
EKONOMETRYCZNA PROGNOZA ODPŁYWÓW Z BEZROBOCIA W OPARCIU O KONCEPCJĘ FUNKCJI DOPASOWAŃ Adam Kowol 2 1. Sformułowanie zadania prognostycznego Celem niniejszej pracy jest próba prognozy kształtowania się
Bardziej szczegółowoEkonometria Ćwiczenia 19/01/05
Oszacowano regresję stopy bezrobocia (unemp) na wzroście realnego PKB (pkb) i stopie inflacji (cpi) oraz na zmiennych zero-jedynkowych związanymi z kwartałami (season). Regresję przeprowadzono na danych
Bardziej szczegółowo4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej
4. Średnia i autoregresja zmiennej prognozowanej 1. Średnia w próbie uczącej Własności: y = y = 1 N y = y t = 1, 2, T s = s = 1 N 1 y y R = 0 v = s 1 +, 2. Przykład. Miesięczna sprzedaż żelazek (szt.)
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 ceny mieszkań
Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoMotto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.
Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą
Bardziej szczegółowoPrzykład 2. Stopa bezrobocia
Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoCzasowy wymiar danych
Problem autokorelacji Model regresji dla szeregów czasowych Model regresji dla szeregów czasowych y t = X t β + ε t Zasadnicze różnice 1 Budowa prognoz 2 Problem stabilności parametrów 3 Problem autokorelacji
Bardziej szczegółowoFORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii prognozowania
Wprowadzenie do teorii prognozowania I Pojęcia: 1. Prognoza i zmienna prognozowana (przedmiot prognozy). Prognoza punktowa i przedziałowa. 2. Okres prognozy i horyzont prognozy. Prognozy krótkoterminowe
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Za pomocą jakiego testu weryfikowana jest normalność składnika losowego? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada w tym teście? Jakie
Bardziej szczegółowoTesty własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu
Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε
Bardziej szczegółowoNarzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski
Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoPodczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.
Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar egatnar@mail.wz.uw.edu.pl Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 14 1 1.Problemy z danymi Współliniowość 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoZadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1
Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów
Bardziej szczegółowoANALIZA DYNAMIKI DOCHODU KRAJOWEGO BRUTTO
ANALIZA DYNAMIKI DOCHODU KRAJOWEGO BRUTTO Wprowadzenie Zmienność koniunktury gospodarczej jest kształtowana przez wiele różnych czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych. Znajomość zmienności poszczególnych
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
EKONOMETRIA STOSOWANA PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE ZADANIE 1 Oszacowano zależność między luką popytowa a stopą inflacji dla gospodarki niemieckiej. Wyniki estymacji są następujące: Estymacja KMNK,
Bardziej szczegółowoWykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006:
Wykład z Nowej ekonometrii, 7 marca 2006: Na mojej stronie internetowej podane są pliki z danymi: http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills.zip http://akson.sgh.waw.pl/~ewams/mills_obligacje.xls dane z pierwszego
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 12 1 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne 2. Autokorelacja o Testowanie autokorelacji 1.Problemy z danymi Zmienne pominięte Zmienne nieistotne
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów 5. Testowanie
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoAnaliza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoWielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna
Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna
Bardziej szczegółowoNiestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie
Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza
Bardziej szczegółowoEkonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej: test RESET Testowanie normalności składników losowych: test Jarque-Berra Testowanie stabilności
Bardziej szczegółowoStanisław Cihcocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cihcocki Natalia Nehrebecka 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji w modelu 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach
Bardziej szczegółowoEkonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej
Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa
Bardziej szczegółowoPrzyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja
korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat Pytania teoretyczne
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat 31-01-2014 Pytania teoretyczne 1. Podać postać przekształcenia Boxa-Coxa i wyjaśnić, do czego jest stosowane w ekonometrii. 2. Wyjaśnić, jakie korzyści i niebezpieczeństwa
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 5 PROGNOZOWANIE
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Prognozowanie jest procesem przewidywania przyszłych zdarzeń. Obszary zastosowań prognozowania obejmują np. analizę danych giełdowych, przewidywanie zapotrzebowania na pracowników,
Bardziej szczegółowoNa podstawie danych dotyczacych rocznych wydatków na pizze oszacowano parametry poniższego modelu:
Zadanie 1. Oszacowano model ekonometryczny liczby narodzin dzieci (w tys.) w Polsce w latach 2000 2010 w zależnosci od średniego rocznego wynagrodzenia (w ujęciu realnym, PLN), stopy bezrobocia (w punktach
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności 1. Testy
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT
Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT 02022015 Pytania teoretyczne 1. Podać treść twierdzenia GaussaMarkowa i wyjaśnić jego znaczenie. 2. Za pomocą jakich testów testuje się autokorelację? Jakiemu założeniu
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji - weryfikacja założeń
Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA WYKŁAD. Maciej Wolny
EKONOMETRIA WYKŁAD Maciej Wolny mwolny@chorzow.wsb.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/mwolny/default.aspx AGENDA. Wprowadzenie (informacje organizacyjne, czym jest ekonometria, zakres wykładu).. Model ekonometryczny
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii
Uniwersytet Warszawski Wydział Nauk Ekonomicznych Mateusz Błażej Nr albumu: 308521 Analiza szeregów czasowych bezrobocia i inflacji w Danii Projekt zaliczeniowy z przedmiotu: Analiza Szeregów Czasowych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowo1.9 Czasowy wymiar danych
1.9 Czasowy wymiar danych Do tej pory rozpatrywaliśmy jedynie modele tworzone na podstawie danych empirycznych pochodzących z prób przekrojowych. Teraz zajmiemy się zagadnieniem budowy modeli regresji,
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoe) Oszacuj parametry modelu za pomocą MNK. Zapisz postać modelu po oszacowaniu wraz z błędami szacunku.
Zajęcia 4. Estymacja i weryfikacja modelu model potęgowy Wersja rozszerzona W pliku Funkcja produkcji.xls zostały przygotowane przykładowe dane o produkcji, kapitale i zatrudnieniu dla 27 przedsiębiorstw
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.
opisują kształtowanie się zjawiska w czasie opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi zastosowaniami modeli dynamicznych są opisują kształtowanie się zjawiska w czasie Najważniejszymi
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2010/2011
SYLLABUS na rok akademicki 00/0 Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr
Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu w systemie USOS 1000-ES1-3EC1 Liczba
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10
Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Bardziej szczegółowoEkonometria. Robert Pietrzykowski.
Ekonometria Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące Prowadzący Zasady zaliczenia Konsultacje Inne 2 Sprawy ogólne czyli co nas czeka Zaliczenie
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Autokorelacja Konsekwencje Testowanie autokorelacji 2. Metody radzenia sobie z heteroskedastycznością i autokorelacją Uogólniona Metoda Najmniejszych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Bardziej szczegółowoZależność. przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna),
Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna Korelacja brak korelacji korelacja krzywoliniowa korelacja dodatnia korelacja ujemna Szereg korelacyjny numer
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii wersja ogolna
Egzamin z ekonometrii wersja ogolna 04-02-2016 Pytania teoretyczne 1. Wymienić założenia Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL). 2. Wyprowadzić estymator MNK dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi.
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady
Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r
Bardziej szczegółowoRegresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X1, X2, X3,...) na zmienną zależną (Y).
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 12 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA WIELORAKA Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 13 1 1. Testowanie autokorelacji 2. Heteroskedastyczność i autokorelacja Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 3.Problemy z danymi Zmienne pominięte
Bardziej szczegółowo