Statystyka Statystyka jest auką, która zajmuje sę zberaem daych ch aalzą. Praca statystyka polega główe a zebrau dużej lośc daych opsujących jakeś zjawsko ch aalze terpretacj. Ne będzemy zajmować sę oczywśce zberaem daych, lecz tylko ch aalzą, czyl matematyczym wylczeem różych zależośc zachodzących pomędzy lczbam, a także postaramy sę wycągać wosk z tak otrzymaych wyków. Wele badaych zjawsk z życa człoweka charakteryzuje sę losowoścą (p. wzrost, wyk wyborów, tp) e jest możlwe przebadae wszystkch ludz z daej populacj, aby stwerdzć aprawdę jak jest. Możemy za to przebadać grupę wybraych, wylczyć zależośc, a tej podstawe wycągąć wosk, co do całośc. Statystyka jest dzsaj szeroko stosowaa, m.. w badaach demograf, psycholog, socjolog, termodyamce, fzyce kwatowej, astroom, ekoom, demograf, td. Podstawowe pojęca statystyk Średa arytmetycza Najbardzej tucyja mara ocey daej ser pomarów. Sumujemy pomary dzelmy przez ch lość. X. Średa harmocza Za pomocą średej harmoczej oblczamy p. średą prędkość jazdy samochodem. h X Średa geometrycza W statystyce opsuje sę średe tempo zma jakegoś zjawska lub marę przecętego pozomu wartośc cech badaych elemetów. Stosuje sę ją, gdy mamy do czyea z rozkładam logarytmczym. Możymy wszystke ocey wycągamy perwastek odpowedego stopa g 3 Średa kwadratowa W statystyce opsuje rząd welkośc ser daych, przydatych, gdy lczby różą sę zakem. Średa kwadratowa różc wartośc zmeej średej arytmetyczej jest azywaa odchyleem stadardowym peł bardzo ważą fukcję w statystyce. k a a a a Średa ważoa Jeżel badamy elemety, z których każdy posada przypsaą jakąś wagę, wpływającą mej lub bardzej a zjawsko, to średa ważoa ajlepej oddaje całoścowy charakter próby. Na przykład każdej ocee auczycel przypsuje wagę w zależośc od ważośc (sprawdza psemy bardzej zacząca ocea - waga 3, odpowedź usta mej zacząca - waga, zadae domowe ajmej zaczące - waga ). średa arytmetycza e uwzględa tych dodatkowych cech. Jeżel wszystke ocey mają detyczą wagę, wtedy średa ważoa jest rówa średej arytmetyczej. X W w w w w, gdze X - baday elemet, W - waga badaego elemetu. W w w w Domata Wartość, która występuje ajczęścej w badaym zborze. Medaa Medaa jest tą wartoścą zajdującą sę a środku. Gdy baday zbór ma parzystą lczbę elemetów, oblczamy średą z dwóch środkowych.
Waracja Waracja tak aprawdę c e wyjaśa, lecz jest potrzeba przy welu statystyczych oblczeach, m.. przy odchyleu stadardowym. Najperw musmy meć średą, którą odejmujemy od każdego elemetu. Różcę podosmy do kwadratu je wszystke sumujemy. Na końcu sumę różc dzelmy przez lczbę elemetów. S. Odchylee stadardowe Jeśl mamy oblczoą średą arytmetyczą, to odchylee stadardowe pokazuje am, jak bardzo rozrzucoe są poszczególe wyk od tej średej. Moża też powedzeć, jak daleko zajdują sę od średej. Na przykład średa oce wystawoych przez auczycela wyos 3,5, a odchylee. Ozacza to, że ocey meszczą sę w przedzale,5 5,5. () S () S (3) S( sr ) Jeżel przebadalśmy całą badaą grupę stosujemy wzór (), tzw. odchylee stadardowe bardzo rzadko mamy do czyea z taką sytuacją. Jeżel przebadalśmy tylko część grupy stosujemy wzór () odchylee stadardowe pojedyczego pomaru. Natomast wzór (3), tzw. epewość stadardowa pokazuje błąd odchylea stadardowego. Współczyk zmeośc Współczyk zmeośc pokazuje am, jak sle jest zróżcowae daych. Odchylee stadardowe dzelmy przez średą arytmetyczą, a wyk prezetujemy w procetach. Jeżel współczyk mamy w gracach 0-0% to mówmy, że zróżcowae jest małe. Jeżel powyżej 60% - zróżcowae bardzo duże. S 00% W z Rozkład ormaly Gaussa Jest to wykres (tzw. krzywa dzwoowa), który odgrywa bardzo ważą rolę w statystyczym opse zagadeń przyrodczych, przemysłowych, medyczych, społeczych, tp. Pozom telgecj, wzrost, ocey wystawae przez auczycela, tp. wszystko to oscyluje wokół jakejś średej. Krzywa Gaussa pokazuje, jak bardzo poszczególe pomary odchyloe są od tej średej. Wszystke prawdłowe procesy będą oscylowały oczywśce wokół średej, a każde zjawsko epożądae będze dawało pomary zacze odbegające od tej średej. Iym słowy: jeżel przeprowadzoe przez as badae będze przypomało rozkład Gaussa, możemy powedzeć, że jest to zjawsko ormale, bez żadych aomal. Przykładowa krzywa a rysuku pokazuje p. rozkład pozomu telgecj w badaej grupe. Fukcja opsująca rozkład ormaly ma postać: G s ( ) e s gdze s - odchylee stadardowe, - średa arytmetycza Korelacja - powązae, zależość Korelacja mów am, jak bardzo powązae są ze sobą dwa badaa (dwe tabele z daym). a przykład, jak zwązek ma frekwecja a zajęcach z wykam osągaym a egzame. y y r y S S jest to tzw. współczyk korelacj lowej Pearso a lub χ (ch kwadrat) y Jeżel wartość korelacj przybera wartośc blske zeru, mówmy o całkowtym braku korelacj (frekwecja e ma wpływu a egzamy). Jeżel korelacja przyjmuje wartośc blske (00%), mówmy o dużej zależośc.
Wybrae fukcje statystycze arkusza kalkulacyjego. CZĘSTOŚĆ(tablca_dae; tablca_przedzały) - oblcza le razy daa ocea występowała w zestaweu oce =CZĘSTOŚĆ($B$:$K$7;M:$M$7) {=CZĘSTOŚĆ(B:K7;M:M7)} =LICZ.JEŻELI($B$:$K$7;M) {=LICZ.JEŻELI(B:K7;M:M7)} ILE.LICZB(tablca) - podaje le komórek zawera lczby (przydate podczas ręczego oblczaa średej arytmetyczej. =ILE.LICZB(B:K7) 58 - dwe komórk są puste LICZ.JEŻELI(tablca; krytera) - zlcza komórk, które spełają podae krytera =LICZ.JEŻELI(B:K7;">0") 58 - dwe komórk są puste LICZ.PUSTE(tablca) =LICZ.PUSTE(B:K7) - podaje lość pustych komórek dwe komórk puste MAX(tablca) MIN(tablca) - maksymala mmala wartość w tablcy =MAX(B:K7) 6 =MIN(B:K7) ODCH.KWADRATOWE(tablca) oblcza sumę kwadratów różc elemetu średej. Wykorzystuje sę podczas oblczaa odchylea stadardowego. =ODCH.KWADRATOWE(B:B7),833 ODCH.STANDARD.POPUL(tablca) S pop Mara tego, jak szeroko rozproszoe są wartośc wokół wartośc średej przebadaa cała grupa =ODCH.STANDARD.POPUL(B:B7) 0,687 ODCH.STANDARDOWE(tablca) S Mara tego, jak szeroko rozproszoe są wartośc wokół wartośc przecętej przebadaa część grupy =ODCH.STANDARDOWE(B:B7) 0,753 ŚREDNIA(tablca) - oblcza średą arytmetyczą pomja komórk puste =ŚREDNIA(I:I7) 4,5 ŚREDNIA.GEMETRYCZNA(tablca) - oblczee p. średej stopy wzrostu procetu składaego =ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(B:B7) ŚREDNIA.HARMONICZNA(tablca) p. do oblczea średej prędkośc jazdy samochodem =ŚREDNIA.HARMONICZNA(B:B7) y y WSP.KORELACJI(tablca; tablca) r y S S Oblcza stopeń zależośc pomędzy dwoma zboram daych, p. moża zbadać relację pomędzy oceam z matematyk fzyk. =WSP.KORELACJI(B:B7;C:C7) 0,765 duża zależość =WSP.KORELACJI(B:B7;J:J7) 0,35 0 mała zależość Jeżel przebadao całą grupę ależy wząć pod uwagę odchylee stadardowe populacj y
ĆWICZENIA ARKUSZ OCEN Przykłady zwązae z arkuszem oce końcowych w pewej klase (ARKUSZ OCEN.XLS). Fragmet arkusza obok. Wylcz średe arytmetycze odchylea stadardowe dla każdego ucza (-36), każdego przedmotu (P- P7) całej klasy. Podaj rozkład oce dla całej klasy. Wykreśl rozkład ormaly Gaussa dla całej klasy. Oblcz współczyk korelacj pomędzy przedmotam humastyczym P P4 oraz przedmotem humastyczym ścsłym P P7. Wszystke oblczea wykoaj dwoma sposobam: gotowym wzoram wzoram teoretyczym. Średa arytmetycza uczeń T =ŚREDNIA(B:R) U =SUMA(B:R)/ILE.LICZB(B:R) przedmot B39 =ŚREDNIA(B:B37) B40 =SUMA(B:B37)/ILE.LICZB(B:B37) cała klasa T38 =ŚREDNIA(T:T37) 3,575 średa ze średch uczów S39 =ŚREDNIA(B39:R39) 3,587 średa ze średch przedmotów T39 =ŚREDNIA(B:R37) 3,575 średa ze wszystkch oce zwróć uwagę a występujące różce pojawają sę, gdy występują puste komórk (brak ocey) Odchylee stadardowe V =ODCH.STANDARDOWE(F:R) 0,707 B4 =ODCH.STANDARDOWE(B:B37) 0,793 ręcze oblczae wymaga stosowaa welu komórek, aby tego ukąć stosujemy formułę tablcową. W B4 {=PIERWIASTEK(SUMA((B:R-$T)^)/(ILE.LICZB(B:R)-))} {=PIERWIASTEK(SUMA((B:B37-B$39)^)/(ILE.LICZB(B:B37)-))} zwróć uwagę a pojawające sę różce w mejscach, gdze brak jest ocey (oblcza różcę pomędzy zero, a średą), aby je wyelmować stosujemy dodatkową strukcję warukową, która sprawdza, czy w komórce jest ocea (lczba wększa od zera) W B4 klasa V4 W4 {=PIERWIASTEK(SUMA((JEŻELI(B:R>0;B:R-$T;0))^)/(ILE.LICZB(B:R)-))} {=PIERWIASTEK(SUMA((JEŻELI(B:B37>0;B:B37-B$39;0))^)/(ILE.LICZB(B:B37)-))} =ODCH.STANDARDOWE(B:R37) {=PIERWIASTEK(SUMA((JEŻELI(B:R37>0;B:R37-$T$39;0)^)/(ILE.LICZB(B:R37)-)))} Rozkład oce Y-Y7 koleje ocey 6- Z-Z7 {=CZĘSTOŚĆ($B$:$R$37;W:W7)} AA =LICZ.JEŻELI($B$:$R$37;W) Korelacja Y =WSP.KORELACJI(C:C37;E:E37) P-P4 0,784 Y =WSP.KORELACJI(C:C37;H:H37) P-P7 0,306 AA {=SUMA($C$:$C$37*$E$:$E$37-ŚREDNIA($C$:$C$37)*ŚREDNIA($E$:$E$37))/ (35*ODCH.STANDARDOWE($C$:$C$37)*ODCH.STANDARDOWE($E$:$E$37))} w podoby sposób lczymy drugą korelację, moża skorzystać róweż z polczoych już średch odchyleń. Lczba badaych wyos 35 dlatego, że używamy odchylea stadardowego, które zawsze berze pod uwagę jedą próbkę mej (-) Rozkład Gaussa Krzywą Gaussa tworzymy dokłade tak samo jak e wykresy fukcj. Przyjmujemy, że wartośc X będą zmeać sę od do 6, co 0, (krzywa będze bardzej zaokrągloa) T39 średa arytmetycza T40 =ODCH.STANDARDOWE(B:R37) klasa AC lczby od do 6, co 0, AD =EXP(-((AA-$T$39)^)/(*$T$40^))/($T$40*(*PI())^(/))
Porówywae wyków badań Test t Studeta Gdy porówujemy ze sobą dwe grupy, to różce występują zawsze, to jeszcze jedak o czym e śwadczy. Dopero, gdy odpowed test wykaże, że te różce są odpowedo duże, możemy powedzeć, że są statystycze stote. Co to zaczy odpowedo duże? Otóż przyjmujemy a wstępe (hpoteza), że ajwyżej 5% z badaej grupy (pozom stotośc 0,05) może sę różć. Jeśl tak rzeczywśce będze, to zaczy, że badae grupy sę statystycze e różą, a zaobserwowae wyk e są statystycze stote. Test t Studeta jest ajczęścej stosowaą metodą ocey różc mędzy średm w badaych grupach. Czy podaway pacjetom lek leczy? Czy koleja deta-cud ma se? Czy wyk z egzamu meszczą sę w średej krajowej? Iym słowy, jak bardzo są ze sobą skorelowae przeprowadzoe badaa w dwóch próbach? Mamy trzy rodzaje testów w zależośc od rodzajów grup. Test dla prób ezależych (dwe róże grupy ludz grupy). Chcemy a przykład określć wpływ leku a wyleczalość jakejś choroby podając lek jedej grupe, a drugej podając placebo. Test dla prób zależych (jeda grupa dwa razy badae) zachodz wówczas, gdy mamy tą samą grupę ludz poddajemy ch obserwacj przed po. Możemy p., zmerzyć samopoczuce badaej grupy przed o po podau leków. Test dla jedej próby zachodz wtedy, gdy porówujemy średą badaej grupy ze średą ogólą - uzyskaą p. z lteratury. Test dla pojedyczej próby (jeda grupa porówujemy z wartoścam teoretyczym) - posługujemy sę m wtedy, gdy chcemy zbadać zależość pomędzy średą z daego badaa a średą uzyskaą p. z lteratury. Porówujemy p. średą z egzamu w aszej szkole ze średą egzamu w całej Polsce. grupy ezależe grupy zależe pojedycza próba Patrząc a powyższe wzory odeść moża wrażee, że to jest strasze, ale lteratura podaje, że testy te są jedym z mej skomplkowaych! Na szczęśce arkusz kalkulacyjy posada wbudowae odpowede fukcje Test Studeta =TEST.T(tablca; tablca; ślady; typ) ŚLADY: rozkład jedostroy, rozkład dwustroy (podaje dwa razy wyższe prawdopodobeństwo) TYP: sparoway grupy zależe () esparoway grupy ezależe odchylea róże () odchylea take same (3) Dygresja. Dlaczego test Studeta? Otóż a początku XX weku pewe browar zatrudał studetów do testowaa swoch produktów, a jede ze studetów wymyślł te strasze wzory, które jedak dały frme ogrome zysk. Jeszcze raz o terpretacj testu studeta. Potrafmy już polczyć. Ale, o czym am mów otrzymay wyk? I jak w praktyce wygląda aalza? Po perwsze hpoteza. Zakładamy, że otrzymae rezultaty są stote (bądź estote) statystycze. Co to zaczy stote? To ozacza, że baday lek jedak leczy, że deta ma wpływ a chudęce, td. Po druge pozom stotośc, czyl jak bardzo chcemy ufać aszym wykom. W praktyce przyjmuje sę dwa pozomy: 0,0 lub 0,05. Załóżmy, że przeprowadzlśmy 00 prób (00 badań). Jeżel przy założoym pozome 0,05 poad 5 badań róż sę od sebe, to próby są statystycze ezależe od sebe, różca jest statystycze stota, albo aczej hpoteza sę e sprawdzła.
Szacowae epewośc w pomarach laboratoryjych Pomar Aby coś zmerzyć musmy wedzeć, co chcemy zmerzyć (p. długość, masę, czas, tp.) oraz musmy dyspoować odpowedm przyrządem (p. ljką, stoperem, wagą, tp.). Sam pomar polega a porówau merzoej welkośc (p. długośc stołu) z przyrządem, w wyku czego uzyskujemy wyk pomaru, tj. lczbę z jedostką (p. 5 mm). Zaps wyku pomaru Otrzymay wyk pomaru e jest jedak pełą formacją o merzoej welkośc. W praktyce bardzo potrzeba jest róweż ocea warygodośc pomaru, polegająca a określeu (oszacowau) epewośc pomarowej wyku. W praktyce stosuje sę pojęce epewośc stadardowej, w języku potoczym mówmy raczej o błędze pomarowym. Sam wyk pomaru zapsujemy w razem z epewoścą w tej samej jedostce, p. 5 ± mm,,006 ± 0,003s, tp. W epewośc pomarowej podajemy tylko tyle cyfr zaczących, le mał ch wyk główy pomaru! Ocea epewośc pomarowej Jeżel mamy do czyea z pojedyczym pomarem, pomerzoym za pomocą określoego przyrządu - e ma problemu. Nepewoścą będze zazwyczaj ajmejszą dzałką a przyrządze (p. mm a ljce, 0, sekuda a stoperze, tp.). Jeżel mamy do czyea w pomarem welokrotym (p. merzymy grubość drutu w różych mejscach), to średa arytmetycza jest bardzo dobrym oszacowaem pomaru, a epewość (błąd) oblczamy z wzoru a epewość stadardową, zaego z oblczeń statystyczych S. Poeważ welokrote dokoywae pomary podlegają pod procesy statystycze, dlatego też opsuje je krzywa Gaussa daa wzorem: G( ) ep - jeżel rozkład s s pomarów ma kształt krzywej dzwoowej możemy być pew, że pomary oddają rzeczywsty charakter merzoej welkośc. Oblczae epewośc a podstawe pomarów pośredch Bardzo często mamy do czyea z astępującą sytuacją: merzymy pewe welkośc obarczoe różym błędam, a podstawe określoego wzoru (chemczego, fzyczego) wylczamy dopero końcowy wyk. Jak w takm wypadku wylczyć epewość pomarową? Najczęścej stosuje sę wzór wyrażający w lteraturze prawo przeoszea odchyłek przypadkowych. Załóżmy, że oblczamy prędkość - V merząc czas - t odległość - s. Czas odległość mają wylczoe średe (t śr s śr ) oraz wylczoe epewośc pomarowe - odchylee stadardowe (S(t) S(s)). W takm wypadku epewość prędkośc wylczamy z wzoru: d d V ( tsr) S( t) V ( ssr) S( ). S( V ) s dt ds We wzorze mamy do czyea z pochodym. Na szczęśce e musmy ch wylczać algebracze - odpowede programy robą to same. Spotkać moża też dużo prostsze rozwązae (bez wylczaa pochodych: S ( V ) V śr S( t) tsr S( s) ssr