FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi.
FUNKCJA LINIOWA Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem: =+ dla, gdzie i są danymi liczbami. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Liczbę nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Liczbę nazywamy wyrazem wolnym. Jeżeli 0, to funkcja liniowa = + jest funkcją pierwszego stopnia. Jej przeciwdziedziną jest zbiór. Jeżeli =0, to funkcja liniowa = + jest funkcją stałą. Jej przeciwdziedziną jest zbiór jednoelementowy {}.
Wykresem funkcji liniowej = + jest prosta przecinająca oś w punkcie o rzędnej. Jeżeli jest kątem, jaki prosta o równaniu = + tworzy z osią, to =. Współczynnik kierunkowy prostej == gdzie oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie!,! i dodatnią częścią osi. Funkcja liniowa określona wzorem = + jest: rosnąca dla >0 malejąca dla <0 stała dla =0 Proste = % + % i = & + & są: równoległe, % = & prostopadłe, % & = 1
Równanie +=0, w którym jest niewiadomą, zaś i są to liczby dane, nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Jeżeli 0, to równanie +=0 jest równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Równanie pierwszego stopnia ma dokładnie jedno rozwiązanie. += = = Jeżeli =0 i =0, to każda liczba spełnia równanie +=0, jest wiec ono w tym przypadku tożsamościowe. Jeżeli =0 i 0, to żadna liczba nie spełnia równania +=0, jest wiec ono sprzeczne.
Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci: ++=, gdzie, i - są danymi liczbami a i - niewiadomymi. Układ równań liniowych: nazywamy:. / + / + =, / 0 + 0 + =, 0 1 oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie nieoznaczonym, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań.
Dany jest układ równań liniowych:. % + % = - % & + & = - & 1 Liczbę 2 =3 % % & & 3= % & % & nazywamy wyznacznikiem głównym. Liczbę 2 4 =3 - % % - & & 3=- % & % - & nazywamy wyznacznikiem niewiadomej x. Liczbę 2 5 =6 % - % & - & 6= % - & - % & nazywamy wyznacznikiem niewiadomej y.
ROZWIĄZALNOŚĆ UKŁADU RÓWNAŃ LINIOWYCH 1. Jeśli 2 0, to układ równań ma jedno rozwiązanie = 7 8 i 7 =7 9 7 (wzory te nazywamy wzorami Cramera). 2. Jeśli 2 =2 =2=0, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony). 3. Jeśli 2 =0 i (2 4 0 lub 2 5 0), to układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzeczny). PRZYKŁAD Dla jakich : układ. : 5 = 0 3 + 2 = 1 1 ma rozwiązanie?
FUNKCJA KWADRATOWA Funkcję = 0 ++, określoną dla, gdzie,,- są danymi liczbami rzeczywistymi i 0, nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym. Wykres funkcji kwadratowej nazywamy parabolą. Znak współczynnika decyduje o tym, czy ramiona paraboli o równaniu = & + +- są skierowane w górę (>0), czy w dół (<0). Wykres funkcji = & + +- otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji = & o wektor [:,?]. Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego nazywamy liczbę = & 4-. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
Jeśli >0, to funkcja ma dwa różne miejsca zerowe: % = CDC, &F & = CDG &F Jeśli =0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe:! = 2 (nazywamy je pierwiastkiem podwójnym) Jeśli <0, to funkcja nie ma miejsc zerowych. PRZYKŁADY Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) =3 & 12 +12 b) =2 & 4
Postać ogólna: WZÓR FUNKCJI KWADRATOWEJ = & + +- Wierzchołek paraboli ma współrzędne H, H =I CD &F,C JF K Postać kanoniczna: = : & +? gdzie :,? są współrzędnymi wierzchołka paraboli: := 2,? = 4 Postać iloczynowa: 1. jeśli >0, to = % &, gdzie % i & są miejscami zerowymi 2. jeśli =0, to =! &, gdzie! jest miejscem zerowym.
UWAGA Funkcja kwadratowa w zależności od współczynnika a jest funkcją ograniczoną: a) z dołu dla >0 b) z góry dla <0. W przypadku >0 funkcja kwadratowa posiada wartość najmniejszą (która znajduje się w wierzchołku paraboli), zaś dla <0 posiada wartość największą (która znajduje się w wierzchołku paraboli). UWAGA Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od współczynnika : a) dla >0 funkcja maleje w przedziale, H, rośnie zaś w przedziale H,+, b) dla <0 funkcja rośnie w przedziale, H, maleje zaś w przedziale H,+.
WZORY VIETE A Jeśli równanie kwadratowe & + +- =0 ma pierwiastki % i & 0, to: / + 0 = C, / 0 =,. Liczby %, & są dodatnie. % + & > 0 % & > 0 1, Liczby %, & są ujemne. % + & < 0 % & > 0 1 Liczby %, & mają różne znaki % & < 0 PRZYKŁAD: Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego: 2 & 20 +15=0.
DEFINICJA (wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej) Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej a, którą oznaczamy symbolem, jest określona następująco:, O 0 =., O <0 1 UWAGA Dla P będącego liczbą naturalną parzystą i dla dowolnej liczby zachodzi związek: R Q =
Własności: 0 S =0 =0 OU = stąd = = 6 F D 6= F D OU,, 0 + + OU, UWAGA Jeżeli = to:, O 0 =., O <0 1
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH =0, + = & =2 & + +- =2 +
PRZYKŁAD: Ciało o masie 2kg porusza się ruchem prostoliniowym określonym funkcją W= % & & ++1 gdzie s to droga w metrach, a t czas w sekundach. W której sekundzie ruchu energia kinetyczna ciała będzie wynosiła 4 J? Energia kinetyczna energia, którą posiada każde poruszające się ciało. Wartość tej energii zależy od masy ciała i jego prędkości. Przyjmijmy następujące oznaczenia: X masa ciała, W droga, Y Z energia kinetyczna, [ prędkość ciała. Dane: Szukane: X=2 [\], =? W= % & & ++1, Y Z =4 [^]
Y Z = 1 2 X[& [=W stąd Y Z = % & X_W `& W =a 1 2 & ++1b ROZWIĄZANIE: =2 1 2 +1=+1 Podstawiając do wzoru na energię kinetyczną otrzymujemy: Y Z = % & X+1& = % & X& +2+1 &c d e =& +2+1 Podstawiamy teraz wartości liczbowe: 2 4 2 =& +2+1 & + 3=0 Stąd otrzymujemy: +3 1=0 [ { 3,1} >0] =1 Odp. W pierwszej sekundzie tego ruchu energia kinetyczna będzie wynosiła 4J.
PRZYKŁAD: Punkt g oddala się od nieruchomego punktu h po linii prostej tak, że odległość hg rośnie proporcjonalnie do kwadratu czasu. Po upływie 2 minut od chwili rozpoczęcia ruchu odległość hg wynosiła 12 m. Oblicz prędkość w 3 minucie ruchu. Przyjmujemy następujące oznaczenia: W % droga przebyta po czasie %, W droga przebyta przez punkt i po czasie, [ & prędkość w 3 minucie ruchu. Dane: Szukane: % =2 [XSP] [ & W % =12 [X] W=\ &, \ współczynnik proporcjonalności & =3 [XSP]
ROZWIĄZANIE: W % =\ % & \= j k l k m Po podstawieniu \= %& J =3 Zatem W=3 &, [ & =W n & =3 & & n =6 & Podstawiając do wzoru na prędkość chwilową otrzymujemy: [ & =6 & =6 3p X XSP q=18 60 px W q= 3 20 px W q Odp.: W trzeciej minucie ruchu prędkość będzie wynosić s &! pe j q.