Budownctwo Archtektura 3(3) (04) 75-8 Aerodynamczne tłumene drgań w oblczenach stalowych weż kratowych Marcn Skwarek, Jacek ulmka Pracowna Projektowa M.Skwarek J.ulmka Sp. J., e-mal: marcn.skwarek@pracownaprojektowa.com.pl Katedra Inżyner Budowlanej, Wydzał Budownctwa, Poltechnka Śląska, e mal: jacek.hulmka@polsl.pl Streszczene: Oblczane stalowych weż kratowych sprowadza sę przede wszystkm do wyznaczena odpowedz dynamcznej konstrukcj, drgającej w kerunku średnej prędkośc watru. Te drgana, smukłej stosunkowo lekkej konstrukcj, podlegają tłumenu, ne tylko konstrukcyjnemu, ale także spowodowanemu oporem ośrodka w jakm sę odbywają. W odnesenu do przedmotowych konstrukcj, fakt występowana drugego z wymenonych tu czynnków tłumących ujawnł sę w praktyce nżynerskej dopero poprzez procedury norm Eurokod. Formuły te w welu przypadkach pozostają jednak mało precyzyjne stąd zawarte w nnejszym referace propozycje autorów. Rozbeżnośc podanych metod lustruje przykład oblczenowy. Słowa kluczowe: weże kratowe, obcążene watrem, tłumene aerodynamczne.. Wprowadzene Podatne lekke, wolnostojące konstrukcje stalowe, take jak rozpatrywane tu weże kratowe, ale także pełnoścenne (lub komny), dla których podstawowe obcążene zewnętrzne wynka z sł oddzaływana watru, narażone są przede wszystkm na drgana powodowane porywam watru, których najwększe ampltudy występują na kerunku jego średnej prędkośc, lub naczej mówąc w ln średnego kerunku watru. Tak naprzemenny ruch konstrukcj powoduje, że zwrot wektora jego prędkośc jest odpowedno zgodny lub przecwny do zwrotu wektora średnej prędkośc watru. W tym śwetle, wypadkowa prędkość przepływu powetrza wokół konstrukcj jest sumą wektorową ne tylko średnej pulsacyjnej prędkośc watru, ale także prędkośc ruchu drgającej konstrukcj. Rozpatrywane drgana konstrukcj podlegają zatem tłumenu ne tylko konstrukcyjnemu, tj. zwązanemu z właścwoścam materału czy też tarcem lub luzam w połączenach, ale także wynkającemu z oporów cągłego ośrodka płynnego (materalnego), za jak uważane jest powetrze, a w jakm drgana te sę odbywają naczej tłumenu aerodynamcznemu. Opsany wyżej, rzeczywsty schemat wolnostojącej weży kratowej, przedstawony dalej na rysunku.a), sprowadzć można do układu o jednym stopnu swobody dynamcznej, jak na rysunku.b). Dla takego układu (np. za []) równane ruchu drgań swobodnych, tłumonych, ma postać: ( ) P t q&& ( t) + gw q& ( t) + w q( t) = M gdze w jest częstoścą kołową drgań własnych, g bezwymarowym współczynnkem tłumena, natomast q(t) współrzędną uogólnoną, powązaną z ampltudą przemeszczenową dowolnego punktu rozpatrywanej konstrukcj x(z, t) zależnoścą (wg []): ()
76 Marcn Skwarek, Jacek ulmka ( z t) F ( z) q( t) x, () = gdze Φ (z) jest podstawową (perwszą) postacą drgań gętnych weży, opsywaną równanem: k æ z ö F ( z ) = ç (3) è ø gdze wartość wykładnka k przyjmowana jest wg [3] dla stalowych weż kratowych k =,5 (lecz ne dla weż o skokowo zmennej sztywnośc trzonu przyps autorów). Rys.. Schemat konstrukcj weży: a) rzeczywsty, b) sprowadzony do układu o jednym stopnu swobody Słę wymuszającą P(t) w równanu (), w rozważanym tu przypadku, reprezentuje zmenne w czase obcążene watrem, dzałające na jednostkę wysokośc weży, które w ślad za [] [4] zapsać można w postac: P ( z, t) = r U ( z, t) c ( z) A ( z) w f ref gdze ρ jest gęstoścą powetrza (,5 kg/m 3 ), c f (z) to współczynnk aerodynamczny (współczynnk łącznej sły oddzaływana watru wg [5]) na jednostkę wysokośc konstrukcj, A ref (z) to powerzchna referencyjna (oddzaływana watru) na jednostkę wysokośc weży, natomast U w (z,t) jest wypadkową prędkoścą przepływu powetrza względem elementów weży, którą, za [] [4], wyrazć można wzorem: w (, ) ( ) (, ) (, ) U zt = U z + u zt - x& zt (5) m gdze U m (z) jest średną prędkoścą watru (dla określonego czasu uśrednena, wg [3] 0 mn), u(z,t) prędkoścą pulsacyjną watru (fluktuacja prędkośc watru wokół wartośc średnej), natomast x& ( zt, ) jest prędkoścą ruchu drgającej konstrukcj na określonej wysokośc z. Przedstawony wyżej ops, uzupełnony klkoma, można rzec fundamentalnym równanam, wyjaśna stotę poruszanego tu zagadnena, a przede wszystkm stanow podstawę przedstawonych dalej rozważań. (4)
Konstrukcje Metalowe Aerodynamczne tłumene drgań w... 77. Aerodynamczne tłumene drgań konstrukcj wywołanych porywam watru, a regulacje normowe w Polsce W polskej praktyce nżynerskej, przed wprowadzenem norm Eurokod, a węc przy wykorzystanu w oblczenach normy [6] (także z późnejszą poprawką z roku 009), zjawsko tłumena aerodynamcznego drgań było pomjane. Wyjątek stanowły tutaj oblczena komnów stalowych, dla których w norme [7] podano uproszczony wzór do wyznaczena (oszacowana) wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań. W artykule [] przedstawony został algorytm wyprowadzena tego wzoru, w którym wychodz sę od przedstawonego na wstępe równana ruchu () podstawanych dalej zależnośc (4) (5), z wykorzystanem () (3). Oczywśce, w przypadku konstrukcj pełnoścennej jaką jest komn, powerzchnę referencyjną na jednostkę wysokośc konstrukcj A ref (z) w równanu (4), zastępuje odpowedno jego średnca (szerokość) zewnętrzna na jednostkę wysokośc b(z). Przyjmując dalej dla komnów stałą średncę oraz wartość współczynnka oporu aerodynamcznego na wysokośc, po odpowednch przekształcenach, w [] uzyskano następujący wzór, pozwalający wyznaczyć logarytmczny dekrement tłumena aerodynamcznego komna w perwszej postac: ( ) r U m c f d a = n m e b gdze n to częstotlwość drgań własnych w perwszej postac gętnej [z], a m e jest masą równoważną na jednostkę wysokośc konstrukcj [kg/m]; pozostałe oznaczena jak wyżej. W norme Eurokod [3], a węc już dla wszystkch rodzajów konstrukcj, podano następujące równane, defnujące logarytmczny dekrement tłumena drgań dla podstawowej (perwszej) postac drgań gętnych: d = d + d + d (7) s a d gdze δ s to logarytmczny dekrement tłumena konstrukcyjnego, δ a logarytmczny dekrement tłumena aerodynamcznego, a δ d logarytmczny dekrement tłumena wynkający z zastosowana urządzeń tłumących (jeśl take występują). Defncja ta w sposób jawny uwzględna zatem wpływ tłumena aerodynamcznego drgań konstrukcj powodowanych porywam watru. Oczywśce, wpływ ten będze stotny tylko dla podatnych lekkch konstrukcj, jak opsano na wstępe. Dalej, norma [3] dla konstrukcj, w których odkształcena modalne Φ(z) można uznać za stałe na każdej wysokośc z podaje wyrażene, wg którego można oszacować wartość δ a. Jest to dokładne wzór (6) podany wyżej. W norme [3] zapsano ponadto, że w przypadku konstrukcj wspornkowych o zmennym rozkładze masy, można w przyblżenu przyjąć masę równoważna m e jako równą wartośc średnej masy m [kg/m] z górnej jednej trzecej częśc konstrukcj. 3. Propozycje w zakrese uwzględnana aerodynamcznego tłumena drgań w oblczenach weż kratowych Perwsze propozycje autorów, dotyczące oblczana logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań weż kratowych powodowanych porywam watru, podane zostały w pracy [8]. Wynkały one z genezy wzoru (6) potrzeby zastąpena średncy zewnętrznej (szerokośc) komna b wartoścą odpowedną dla konstrukcj kratowych (z ewentualnym wyposażenem). Przez analogę do uproszczonego sposobu wyznaczana wartośc masy równoważnej podanego w [3] (opsano wyżej), w [8] podano, że w przypadku oblczeń weż kratowych można przyjąć: (6)
78 Marcn Skwarek, Jacek ulmka SAref b = 3 (8) gdze ΣA ref oznacza tu łączną powerzchnę dzałana watru (wraz z elementam wyposażena jeśl one występują) z górnej /3 wysokośc konstrukcj. Oczywśce przyjąć należy wtedy także średną wartość współczynnka łącznej sły oddzaływana watru c f, odpowedno z tej samej częśc wysokośc weży. Dalsza analza rozpatrywanego tu problemu, a szczególne zapsów normowych w tym zakrese ujawnła, że przytoczona wyżej, uproszczona metoda wyznaczena masy równoważnej pozostaje bardzo nedokładną w porównanu z wartoścą oblczoną na podstawe wzoru: m e = ò 0 ( ) F ( z) m z ò 0 F ( z) dz dz podanego także w norme [3], szczególne w przypadku, gdy mamy do czynena ze skoncentrowaną masą w szczytowej częśc weży, pochodzącą od elementów wyposażena. Różnce wartośc, co przedstawa także zameszczony dalej przykład oblczenowy, przekraczają nawet 00%. Autorzy zauważają przy tym, że borąc pod uwagę potrzebę dzelena w oblczenach konstrukcj weży na określoną lczbę n segmentów (zarówno do celów wyznaczena współczynnka oporu aerodynamcznego, jak rozkładu prędkośc watru na jej wysokośc), wzór (9) zapsać można w prostszej postac, przydatnej bezpośredno w zastosowanach nżynerskch, jako: m e = n å= å [ M F ( z ) h ] n F ( z ) h = [ ] gdze M oznacza masę -tego segmentu weży (wraz z wyposażenem), z rzędną jego środka cężkośc, a h jego wysokość. Spróbujmy teraz zestawć założena jake przyjęte zostały w wyprowadzenu wzoru (6) z rzeczywstym realzacjam weż kratowych, zwłaszcza tych stosowanych w telekomunkacj radodyfuzj, jako najlcznejszych. Autorzy szczególne mają tu na myśl uproszczone przyjęce stałej szerokośc konstrukcj współczynnka oporu aerodynamcznego na jej wysokośc, ewentualne znwelowane neco poprzez oblczene wymaru b ze wzoru (8). Należy zauważyć, że znacznym uproszczenem jest też zastosowane w oblczenach wg wzoru (6) jednej średnej prędkośc watru, wyznaczonej dla rzędnej odpowadającej werzchołkow konstrukcj. Patrząc na zameszczony na rysunku przykładowy wdok górnej częśc weży telekomunkacyjnej trudno zaakceptować take uproszczena, a borąc pod uwagę także stopeń skomplkowana pozostałych procedur normowych [3] [5] jeszcze trudnej. Uproszczena te stają sę już zupełne ne do zaakceptowana w sytuacj, kedy oblczene logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego nezbędne jest do opracowana wynków pomarów charakterystyk dynamcznych weży, opsanych w pracy [9]. (9) (0)
Konstrukcje Metalowe Aerodynamczne tłumene drgań w... 79 Rys.. Przykładowy wdok górnej częśc weży telekomunkacyjnej nerównomernego rozłożena powerzchn nawetrznych Borąc pod uwagę powyższe, autorzy proponują korektę wzoru na logarytmczny dekrement tłumena aerodynamcznego drgań weż kratowych, powodowanych porywam watru. Wzór tak uzyskać można na podstawe zależnośc () do (5), ponawając wyprowadzene opsane w pracy [], pozostawając jednak welkośc A ref (z) c f (z) we wzorze (4) jako zmenne, w funkcj wysokośc konstrukcj. Otrzymuje sę wyrażene: r d a = n ò 0 U m ( z) c ( z) A ( z) F ( z) ò 0 f ref ( ) F ( z) m z dz co podobne jak wcześnej dla wzoru (9), w sposób uproszczony, dedykowany do zastosowań nżynerskch, zapsać można w postac: r d a = n å n = dz [ Um( z ) c f, SAref, F ( z )] n M F ( z ) h å = [ ] gdze ΣA ref, oznacza łączną powerzchnę referencyjną (nawetrzną) w -tym segmence weży (z uwzględnenem wyposażena, jeśl występuje), a c f, odpowedno współczynnk łącznej sły oddzaływana watru wg [5] (współczynnk aerodynamczny) odpowadający powerzchn ΣA ref,. Pozostałe oznaczena podano opsano wcześnej. Podobne zależnośc podane zostały w pracach [4] [0]. Należy tu jeszcze podkreślć, że do przeprowadzena oblczeń, zarówno wg wzoru (6) z wykorzystanem zależnośc (8), jak wg wzoru (), nezbędne jest wyznaczene łącznych powerzchn referencyjnych odpowadających m współczynnków aerodynamcznych w każdym z wydzelonych segmentów weży. Tym samym wskazany jest odpowedno gęsty podzał konstrukcj, szczególne w jej górnej częśc, w przypadku weż telekomunkacyjnych uwzględnający także rozdzelene poszczególnych pozomów nstalacj systemów antenowych. Praktykowane często w oblczenach nżynerskch wyznaczene współczynnków dynamcznych jedyne na podstawe powerzchn rzutowej współczynnków oporu aerodynamcznego samej konstrukcj kratowej weży, w śwetle opsanych tu zależnośc, () ()
80 Marcn Skwarek, Jacek ulmka zupełne rozmja sę z uwarunkowanam fzycznym zjawsk jake mają one opsywać. Oczywśce, tematem odrębnym, wykraczającym poza tematykę nnejszej pracy, pozostaje kwesta marodajnego wyznaczena wartośc współczynnków oporu aerodynamcznego, z uwzględnenem wpływu nterferencj aerodynamcznej konstrukcj weży elementów wyposażena. 4. Przykład oblczenowy Dla sprawdzena zobrazowana rozbeżnośc wynków oblczeń uzyskwanych przy zastosowanu różnych, opsanych wyżej procedur wyznaczena wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań, przeprowadzono oblczena sprawdzające. Do tego celu wybrano rzeczywstą, stosunkowo smukłą dość podatną konstrukcję weży kratowej = 40 m, o podstawe trójkąta równobocznego, o szerokośc boku w podstawe 3,5 m,5m na szczyce. Sylwetkę tej weży prezentuje rysunek.a). Oblczena wykonano zastępczą metodą statyczną wg [5], zakładając lokalzację obektu w perwszej strefe obcążena watrem wg [3] (przy rzędnej terenu A < 300 m n.p.m.), w terene kategor II. Stosowano przy tym logarytmczny profl prędkośc watru wg [3], a współczynnk konstrukcyjny oblczono wg załącznka B [3]. Wartość logarytmcznego dekrementu tłumena konstrukcyjnego drgań przyjęto δ s = 0,05, natomast częstotlwość drgań własnych w perwszej postac gętnej wyznaczono na podstawe analzy modalnej, w opsanych nżej, kolejnych dwóch schematach. Oblczena wykonano dla następujących schematów konstrukcj jej obcążena: schemat A konstrukcja kratowa weży bez jakegokolwek wyposażena dodatkowego, schemat B przyjęte dodatkowe wyposażene weży o określonych parametrach zastępczych: w segmence S- dodatkowa powerzchna dzałana watru A A = 4,0 m, dla której współczynnk aerodynamczny wynos c f,a =, oraz masa M A = 300 kg; w segmence S-3 dodatkowa powerzchna A A =,0 m przy współczynnku c f,a =, oraz masa M A = 00 kg. W każdym z dwóch opsanych schematów rozważono trzy kolejne przypadk, odpowedno dla różnych metod wyznaczena wartośc logarytmcznego dekrementu aerodynamcznego tłumena drgań, a manowce: przypadek wzór (6) z zastosowanem zależnośc (8); masa równoważna wyznaczona w sposób uproszczony wg [3], opsany w pkt., przypadek wzór (6) z zastosowanem zależnośc (8); masa równoważna wyznaczona ze wzoru (0), przypadek 3 wzór (). Przyjęto przy tym podzał konstrukcj na segmenty oblczenowe determnowany kolejnym polam krzyżowego układu X skratowań głównych (krzyżulców). Zestawene uzyskanych wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań w poszczególnych przypadkach schematach obcążeń, jak równeż podstawowe wynk oblczeń statycznych trzonu weży, zestawono w ponższej tabel. Można tu dodać, że dla schematu A welkość masy równoważnej wyznaczonej w przypadku wynosła 00,7 kg/m, natomast w przypadku 68, kg/m. Dla schematu B było to odpowedno: 40,7 kg/m oraz 369,7 kg/m. Wynka stąd, że powodem najwększych rozbeżnośc wynków oblczeń (w przypadku ) jest nedokładność wyznaczena masy równoważnej konstrukcj. Dalsze nezgodnośc są już efektem opsanych wcześnej uproszczeń w założenach do wyprowadzena wzoru (6).
Konstrukcje Metalowe Aerodynamczne tłumene drgań w... 8 Tabela. Zestawene wybranych wynków oblczeń schemat A B przypadek 3 3 wartość logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań da 0,08 0,030 0,05 0,37 0,05 0,05 wartość współczynnka konstrukcyjnego cscd 0,95 0,97 0,98 0,94 0,97 0,99 przemeszczene pozome szczytu konstrukcj pod dzałanem watru u [cm] 3,5 3,55 3,7 0,07 0,67,08 najwększa wartość charakterystyczna sły ścskającej w krawężnku od dzałana watru [kn], 5,9 8,4 89,5 98, 304,0 Autorzy chcą tu także zasygnalzować, że w nektórych przypadkach zasadnym będze posłużene sę oblczonym, unormowanym wartoścam wektorów własnych dla perwszej postac drgań, w mejsce stosowana funkcj (3) z wartoścą wykładnka k =,5 wg [3]. Będze to szczególne stotne w przypadku konstrukcj o skokowo (wyraźne) zmennej sztywnośc trzonu. W przedstawonym przypadku oblczenowym wartośc wyznaczone na podstawe analzy modalnej neznaczne odbegają od przebegu funkcj normowej. Korekta funkcj (wartośc wykładnka k) ne wpływa tu na wynk oblczeń statyczno wytrzymałoścowych, a wartość δ a zmnejsza sę co najwyżej o 0,00. 5. Podsumowane W referace omówone zostało ogólne zjawsko tłumena aerodynamcznego drgań powodowanych porywam watru, lekkch podatnych konstrukcj wspornkowych. Przedstawone zostały tu regulacje normowe w zakrese uwzględnana tego zjawska w oblczenach stalowych weż kratowych oraz ch krytyczna ocena w śwetle omawanych zastosowań. Zameszczono także propozycję zmodyfkowanego wzoru do oblczana logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań w perwszej postac gętnej. Różnce omówonych metod zobrazowano przykładem lczbowym. Jak pokazują przedstawone wynk przykładowych oblczeń, zastosowane uproszczonego wzoru (6) wg normy [3] może powodować stotne przeszacowane wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego drgań. Jest to nezmerne stotne w sytuacj, gdze oblczona wartość δ a stanowć ma podstawę do opracowana nterpretacj wynków pomarów dynamcznych konstrukcj (w zakrese dośwadczalnego wyznaczena logarytmcznego dekrementu tłumena konstrukcyjnego drgań opsano w [9]). Natomast w przełożenu na wynk oblczeń statyczno wytrzymałoścowych trzonów weż, rozbeżnośc te przekładają sę już w znaczne mnejszym stopnu. Oczywśce będą one tym wększe, m wększy będze udzał elementów wyposażena w łącznej powerzchn referencyjnej, szczególne w górnych partach konstrukcj zależne też od ch masy. Co jednak stotne, m bardzej uproszczona będze metoda oblczana δ a, tym mnejsza będze wartość zastępczego obcążena watrem, a zatem zmnejszony zostane stopeń bezpeczeństwa konstrukcj. W przytoczonym przykładze oblczenowym najwększe różnce wartośc wyznaczonych sł wewnętrznych lub przemeszczeń sęgały około 5%. Tak pozom błędu będze zapewne akceptowalny z punktu wdzena praktyk projektowej, może być jednak znaczący przy ocene nośnośc stnejących konstrukcj. Podsumowując, autorzy proponują uwzględnane wpływu aerodynamcznego tłumena drgań weż kratowych powodowanych porywam watru, poprzez stosowane podanego tu wzoru () do oblczena logarytmcznego dekrementu tłumena aerodynamcznego
8 Marcn Skwarek, Jacek ulmka drgań (w perwszej postac gętnej), zwracając przy tym uwagę na przedstawone w punkce 3 uwag dotyczące metodyk oblczeń. Zauważyć także należy, że wzór ten znajdze zastosowane równeż w oblczenach weż pełnoścennych o zmennym przekroju lub ze skoncentrowanym elementam wyposażena o znaczącej powerzchn /lub mase. Lteratura Lewandowsk R. Dynamka konstrukcj budowlanych. Wydawnctwo Poltechnk Poznańskej, Poznań, 006. Żurańsk J. A. Aerodynamczne tłumene drgań komna stalowego spowodowanych porywam watru. Inżynera Budownctwo, nr /96 (996), s. -3. 3 PN-EN 99--4:008 Eurokod. Oddzaływana na konstrukcje. Część -4: Oddzaływana ogólne. Oddzaływana watru. 4 olmes J.D. Along-wnd response of lattce towers II. Aerodynamc dampng and deflectons. Engneerng Structures, vol. 8, No. 7 (996), s. 483-488. 5 PN-EN 993-3-:008 Eurokod 3. Projektowane konstrukcj stalowych. Część 3-: Weże, maszty komny. Weże maszty. 6 PN-77/B-00 Obcążena w oblczenach statycznych. Obcążene watrem. 7 PN-93/B-030 Konstrukcje stalowe. Komny. Oblczena projektowane. 8 Skwarek M., ulmka J. Wybrane problemy wyznaczana obcążena watrem weż kratowych w ujęcu norm PN-EN. Zeszyty Naukowe Poltechnk Rzeszowskej, Budownctwo Inżynera Środowska, z.58 (3//II) (0), s. 99-306. 9 Skwarek M., ulmka J. Pomary charakterystyk dynamcznych jako element projektowana wspomaganego badanam przy wyznaczanu obcążena watrem stalowych weż kratowych wg Eurokodu. Poltechnka Lubelska, Budownctwo Archtektura Vol.() (03) s. 75-8. 0 olmes J.D. Wnd loadng of structures. Taylor & Francs, 007. Aerodynamc dampng n the structural analyss of steel lattce towers Marcn Skwarek, Jacek ulmka Pracowna Projektowa M.Skwarek J.ulmka Sp. J., e-mal: marcn.skwarek@pracownaprojektowa.com.pl Department of Structural Engneerng, Faculty of Cvl Engneerng, Slesan Unversty of Technology, e mal: jacek.hulmka@polsl.pl Abstract: Structural analyss of lghtweght freestandng structures, such as steel lattce towers, manly conssts of determnng the along-wnd dynamc response of the vbratng structure. These vbratons are damped not only structurally but also by the aerodynamc forces. In the Polsh desgn practce, aerodynamc dampng concept was ntroduced together wth the rules of Eurocode standards. Wth respect to the lattce towers, n many cases, these rules are naccurate, therefore the paper contans some suggestons of authors. Keywords: lattced towers, wnd loads, aerodynamc dampng